Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 4·2-s + 14·3-s + 9·5-s + 56·6-s + 3·7-s − 21·8-s + 84·9-s + 36·10-s + 16·11-s − 13-s + 12·14-s + 126·15-s − 27·16-s + 16·17-s + 336·18-s + 5·19-s + 42·21-s + 64·22-s + 32·23-s − 294·24-s + 4·25-s − 4·26-s + 263·27-s − 7·29-s + 504·30-s − 6·31-s + 21·32-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.82·2-s + 8.08·3-s + 4.02·5-s + 22.8·6-s + 1.13·7-s − 7.42·8-s + 28·9-s + 11.3·10-s + 4.82·11-s − 0.277·13-s + 3.20·14-s + 32.5·15-s − 6.75·16-s + 3.88·17-s + 79.1·18-s + 1.14·19-s + 9.16·21-s + 13.6·22-s + 6.67·23-s − 60.0·24-s + 4/5·25-s − 0.784·26-s + 50.6·27-s − 1.29·29-s + 92.0·30-s − 1.07·31-s + 3.71·32-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(373^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(373^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(373^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.14224\times 10^{8}\) |
| Root analytic conductor: | \(1.72580\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 373^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(2004.894544\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(2004.894544\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 373 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| good | 2 | \( 1 - p^{2} T + p^{4} T^{2} - 43 T^{3} + 115 T^{4} - 253 T^{5} + 555 T^{6} - 1075 T^{7} + 2081 T^{8} - 921 p^{2} T^{9} + 6515 T^{10} - 5365 p T^{11} + 4417 p^{2} T^{12} - 27423 T^{13} + 10651 p^{2} T^{14} - 31445 p T^{15} + 93071 T^{16} - 65703 p T^{17} + 93071 p T^{18} - 31445 p^{3} T^{19} + 10651 p^{5} T^{20} - 27423 p^{4} T^{21} + 4417 p^{7} T^{22} - 5365 p^{7} T^{23} + 6515 p^{7} T^{24} - 921 p^{10} T^{25} + 2081 p^{9} T^{26} - 1075 p^{10} T^{27} + 555 p^{11} T^{28} - 253 p^{12} T^{29} + 115 p^{13} T^{30} - 43 p^{14} T^{31} + p^{19} T^{32} - p^{18} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 3 | \( 1 - 14 T + 112 T^{2} - 655 T^{3} + 3103 T^{4} - 12563 T^{5} + 44929 T^{6} - 145048 T^{7} + 47686 p^{2} T^{8} - 1176586 T^{9} + 3012985 T^{10} - 7251151 T^{11} + 5492545 p T^{12} - 35483726 T^{13} + 72611455 T^{14} - 47160286 p T^{15} + 262849012 T^{16} - 465991502 T^{17} + 262849012 p T^{18} - 47160286 p^{3} T^{19} + 72611455 p^{3} T^{20} - 35483726 p^{4} T^{21} + 5492545 p^{6} T^{22} - 7251151 p^{6} T^{23} + 3012985 p^{7} T^{24} - 1176586 p^{8} T^{25} + 47686 p^{11} T^{26} - 145048 p^{10} T^{27} + 44929 p^{11} T^{28} - 12563 p^{12} T^{29} + 3103 p^{13} T^{30} - 655 p^{14} T^{31} + 112 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 5 | \( 1 - 9 T + 77 T^{2} - 438 T^{3} + 2339 T^{4} - 10234 T^{5} + 42441 T^{6} - 30957 p T^{7} + 540201 T^{8} - 1715324 T^{9} + 5255487 T^{10} - 14942674 T^{11} + 41292908 T^{12} - 107274528 T^{13} + 272561402 T^{14} - 656633751 T^{15} + 1554083268 T^{16} - 3503090754 T^{17} + 1554083268 p T^{18} - 656633751 p^{2} T^{19} + 272561402 p^{3} T^{20} - 107274528 p^{4} T^{21} + 41292908 p^{5} T^{22} - 14942674 p^{6} T^{23} + 5255487 p^{7} T^{24} - 1715324 p^{8} T^{25} + 540201 p^{9} T^{26} - 30957 p^{11} T^{27} + 42441 p^{11} T^{28} - 10234 p^{12} T^{29} + 2339 p^{13} T^{30} - 438 p^{14} T^{31} + 77 p^{15} T^{32} - 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 - 3 T + 60 T^{2} - 19 p T^{3} + 1650 T^{4} - 2481 T^{5} + 28039 T^{6} - 3079 p T^{7} + 338647 T^{8} + 9360 T^{9} + 3266763 T^{10} + 2634749 T^{11} + 28420054 T^{12} + 37490645 T^{13} + 34186097 p T^{14} + 340355833 T^{15} + 1891472605 T^{16} + 2528210654 T^{17} + 1891472605 p T^{18} + 340355833 p^{2} T^{19} + 34186097 p^{4} T^{20} + 37490645 p^{4} T^{21} + 28420054 p^{5} T^{22} + 2634749 p^{6} T^{23} + 3266763 p^{7} T^{24} + 9360 p^{8} T^{25} + 338647 p^{9} T^{26} - 3079 p^{11} T^{27} + 28039 p^{11} T^{28} - 2481 p^{12} T^{29} + 1650 p^{13} T^{30} - 19 p^{15} T^{31} + 60 p^{15} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 16 T + 223 T^{2} - 2110 T^{3} + 18179 T^{4} - 11764 p T^{5} + 861034 T^{6} - 5061660 T^{7} + 2565978 p T^{8} - 143475935 T^{9} + 697880861 T^{10} - 3147310806 T^{11} + 13656823410 T^{12} - 55486066014 T^{13} + 217639063013 T^{14} - 803730774135 T^{15} + 2870811286388 T^{16} - 9678577905532 T^{17} + 2870811286388 p T^{18} - 803730774135 p^{2} T^{19} + 217639063013 p^{3} T^{20} - 55486066014 p^{4} T^{21} + 13656823410 p^{5} T^{22} - 3147310806 p^{6} T^{23} + 697880861 p^{7} T^{24} - 143475935 p^{8} T^{25} + 2565978 p^{10} T^{26} - 5061660 p^{10} T^{27} + 861034 p^{11} T^{28} - 11764 p^{13} T^{29} + 18179 p^{13} T^{30} - 2110 p^{14} T^{31} + 223 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 + T + 128 T^{2} + 70 T^{3} + 7903 T^{4} + 303 T^{5} + 314883 T^{6} - 163291 T^{7} + 9175250 T^{8} - 10075606 T^{9} + 210860801 T^{10} - 347113822 T^{11} + 4030140930 T^{12} - 645507546 p T^{13} + 66494189499 T^{14} - 154477009320 T^{15} + 968904587489 T^{16} - 2246750815233 T^{17} + 968904587489 p T^{18} - 154477009320 p^{2} T^{19} + 66494189499 p^{3} T^{20} - 645507546 p^{5} T^{21} + 4030140930 p^{5} T^{22} - 347113822 p^{6} T^{23} + 210860801 p^{7} T^{24} - 10075606 p^{8} T^{25} + 9175250 p^{9} T^{26} - 163291 p^{10} T^{27} + 314883 p^{11} T^{28} + 303 p^{12} T^{29} + 7903 p^{13} T^{30} + 70 p^{14} T^{31} + 128 p^{15} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 - 16 T + 285 T^{2} - 3147 T^{3} + 34470 T^{4} - 300771 T^{5} + 2542355 T^{6} - 18656024 T^{7} + 131927712 T^{8} - 842285380 T^{9} + 5180897042 T^{10} - 29368158689 T^{11} + 160547486466 T^{12} - 818156173907 T^{13} + 4025115932315 T^{14} - 18576379930886 T^{15} + 82824553354167 T^{16} - 347394660331739 T^{17} + 82824553354167 p T^{18} - 18576379930886 p^{2} T^{19} + 4025115932315 p^{3} T^{20} - 818156173907 p^{4} T^{21} + 160547486466 p^{5} T^{22} - 29368158689 p^{6} T^{23} + 5180897042 p^{7} T^{24} - 842285380 p^{8} T^{25} + 131927712 p^{9} T^{26} - 18656024 p^{10} T^{27} + 2542355 p^{11} T^{28} - 300771 p^{12} T^{29} + 34470 p^{13} T^{30} - 3147 p^{14} T^{31} + 285 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 - 5 T + 237 T^{2} - 991 T^{3} + 26590 T^{4} - 93843 T^{5} + 1899160 T^{6} - 5691218 T^{7} + 97751351 T^{8} - 250004761 T^{9} + 3883073870 T^{10} - 8536585476 T^{11} + 124255498132 T^{12} - 237729307896 T^{13} + 3293747833833 T^{14} - 5593115304750 T^{15} + 73603227557157 T^{16} - 113796963256072 T^{17} + 73603227557157 p T^{18} - 5593115304750 p^{2} T^{19} + 3293747833833 p^{3} T^{20} - 237729307896 p^{4} T^{21} + 124255498132 p^{5} T^{22} - 8536585476 p^{6} T^{23} + 3883073870 p^{7} T^{24} - 250004761 p^{8} T^{25} + 97751351 p^{9} T^{26} - 5691218 p^{10} T^{27} + 1899160 p^{11} T^{28} - 93843 p^{12} T^{29} + 26590 p^{13} T^{30} - 991 p^{14} T^{31} + 237 p^{15} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 32 T + 694 T^{2} - 11106 T^{3} + 147828 T^{4} - 73142 p T^{5} + 16986538 T^{6} - 154308939 T^{7} + 1283394499 T^{8} - 9852754965 T^{9} + 70524979920 T^{10} - 473075305195 T^{11} + 2992473491907 T^{12} - 17904895261415 T^{13} + 101727446523431 T^{14} - 23897873620149 p T^{15} + 2830593237236195 T^{16} - 13896892729761846 T^{17} + 2830593237236195 p T^{18} - 23897873620149 p^{3} T^{19} + 101727446523431 p^{3} T^{20} - 17904895261415 p^{4} T^{21} + 2992473491907 p^{5} T^{22} - 473075305195 p^{6} T^{23} + 70524979920 p^{7} T^{24} - 9852754965 p^{8} T^{25} + 1283394499 p^{9} T^{26} - 154308939 p^{10} T^{27} + 16986538 p^{11} T^{28} - 73142 p^{13} T^{29} + 147828 p^{13} T^{30} - 11106 p^{14} T^{31} + 694 p^{15} T^{32} - 32 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 7 T + 240 T^{2} + 1801 T^{3} + 31077 T^{4} + 238330 T^{5} + 2833538 T^{6} + 21213156 T^{7} + 200317758 T^{8} + 1420206653 T^{9} + 11476561805 T^{10} + 75875389505 T^{11} + 545400792517 T^{12} + 3345494644199 T^{13} + 21814082255547 T^{14} + 124016014180335 T^{15} + 741153436267400 T^{16} + 3899696117638446 T^{17} + 741153436267400 p T^{18} + 124016014180335 p^{2} T^{19} + 21814082255547 p^{3} T^{20} + 3345494644199 p^{4} T^{21} + 545400792517 p^{5} T^{22} + 75875389505 p^{6} T^{23} + 11476561805 p^{7} T^{24} + 1420206653 p^{8} T^{25} + 200317758 p^{9} T^{26} + 21213156 p^{10} T^{27} + 2833538 p^{11} T^{28} + 238330 p^{12} T^{29} + 31077 p^{13} T^{30} + 1801 p^{14} T^{31} + 240 p^{15} T^{32} + 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 + 6 T + 204 T^{2} + 1251 T^{3} + 23050 T^{4} + 132977 T^{5} + 1861755 T^{6} + 10034816 T^{7} + 118202476 T^{8} + 600801352 T^{9} + 6245550182 T^{10} + 29955500345 T^{11} + 283094498982 T^{12} + 1283174159022 T^{13} + 11199103757607 T^{14} + 48001493416596 T^{15} + 391259244221543 T^{16} + 1582076173435606 T^{17} + 391259244221543 p T^{18} + 48001493416596 p^{2} T^{19} + 11199103757607 p^{3} T^{20} + 1283174159022 p^{4} T^{21} + 283094498982 p^{5} T^{22} + 29955500345 p^{6} T^{23} + 6245550182 p^{7} T^{24} + 600801352 p^{8} T^{25} + 118202476 p^{9} T^{26} + 10034816 p^{10} T^{27} + 1861755 p^{11} T^{28} + 132977 p^{12} T^{29} + 23050 p^{13} T^{30} + 1251 p^{14} T^{31} + 204 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 + 13 T + 488 T^{2} + 5675 T^{3} + 115398 T^{4} + 1203285 T^{5} + 17549133 T^{6} + 164754632 T^{7} + 1923334469 T^{8} + 16331150694 T^{9} + 161428712819 T^{10} + 1244802966283 T^{11} + 10762232937812 T^{12} + 75599207204594 T^{13} + 583076935509308 T^{14} + 3736974054339300 T^{15} + 26022592310267450 T^{16} + 152098077059696917 T^{17} + 26022592310267450 p T^{18} + 3736974054339300 p^{2} T^{19} + 583076935509308 p^{3} T^{20} + 75599207204594 p^{4} T^{21} + 10762232937812 p^{5} T^{22} + 1244802966283 p^{6} T^{23} + 161428712819 p^{7} T^{24} + 16331150694 p^{8} T^{25} + 1923334469 p^{9} T^{26} + 164754632 p^{10} T^{27} + 17549133 p^{11} T^{28} + 1203285 p^{12} T^{29} + 115398 p^{13} T^{30} + 5675 p^{14} T^{31} + 488 p^{15} T^{32} + 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 5 T + 299 T^{2} + 1438 T^{3} + 47713 T^{4} + 215668 T^{5} + 5295843 T^{6} + 22364085 T^{7} + 455853924 T^{8} + 1791949750 T^{9} + 32259220603 T^{10} + 118055664581 T^{11} + 1943683318226 T^{12} + 6639577603357 T^{13} + 101911466302353 T^{14} + 326289633705785 T^{15} + 4710606865646757 T^{16} + 14191613164325877 T^{17} + 4710606865646757 p T^{18} + 326289633705785 p^{2} T^{19} + 101911466302353 p^{3} T^{20} + 6639577603357 p^{4} T^{21} + 1943683318226 p^{5} T^{22} + 118055664581 p^{6} T^{23} + 32259220603 p^{7} T^{24} + 1791949750 p^{8} T^{25} + 455853924 p^{9} T^{26} + 22364085 p^{10} T^{27} + 5295843 p^{11} T^{28} + 215668 p^{12} T^{29} + 47713 p^{13} T^{30} + 1438 p^{14} T^{31} + 299 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 9 T + 355 T^{2} - 3040 T^{3} + 63641 T^{4} - 492572 T^{5} + 7381685 T^{6} - 50038152 T^{7} + 603966427 T^{8} - 3451243018 T^{9} + 36047827216 T^{10} - 161354139114 T^{11} + 1579585731664 T^{12} - 4552782720953 T^{13} + 51307393052636 T^{14} - 34157794718000 T^{15} + 1449358304197570 T^{16} + 1912255106707074 T^{17} + 1449358304197570 p T^{18} - 34157794718000 p^{2} T^{19} + 51307393052636 p^{3} T^{20} - 4552782720953 p^{4} T^{21} + 1579585731664 p^{5} T^{22} - 161354139114 p^{6} T^{23} + 36047827216 p^{7} T^{24} - 3451243018 p^{8} T^{25} + 603966427 p^{9} T^{26} - 50038152 p^{10} T^{27} + 7381685 p^{11} T^{28} - 492572 p^{12} T^{29} + 63641 p^{13} T^{30} - 3040 p^{14} T^{31} + 355 p^{15} T^{32} - 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 42 T + 1235 T^{2} - 553 p T^{3} + 456399 T^{4} - 6738397 T^{5} + 88335386 T^{6} - 1031896099 T^{7} + 11057262597 T^{8} - 108787391379 T^{9} + 1001712136717 T^{10} - 8629911670507 T^{11} + 70662713382274 T^{12} - 549866912099402 T^{13} + 4128765067882611 T^{14} - 29909445695164260 T^{15} + 211968815297323467 T^{16} - 1464833713587930804 T^{17} + 211968815297323467 p T^{18} - 29909445695164260 p^{2} T^{19} + 4128765067882611 p^{3} T^{20} - 549866912099402 p^{4} T^{21} + 70662713382274 p^{5} T^{22} - 8629911670507 p^{6} T^{23} + 1001712136717 p^{7} T^{24} - 108787391379 p^{8} T^{25} + 11057262597 p^{9} T^{26} - 1031896099 p^{10} T^{27} + 88335386 p^{11} T^{28} - 6738397 p^{12} T^{29} + 456399 p^{13} T^{30} - 553 p^{15} T^{31} + 1235 p^{15} T^{32} - 42 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 16 T + 635 T^{2} - 8211 T^{3} + 186881 T^{4} - 2044275 T^{5} + 34639865 T^{6} - 329850243 T^{7} + 4606591974 T^{8} - 38985061519 T^{9} + 473913990403 T^{10} - 3624301671441 T^{11} + 39667842556531 T^{12} - 277948737261439 T^{13} + 2797961579081113 T^{14} - 18157927731701433 T^{15} + 170122045165514981 T^{16} - 1029714149583304286 T^{17} + 170122045165514981 p T^{18} - 18157927731701433 p^{2} T^{19} + 2797961579081113 p^{3} T^{20} - 277948737261439 p^{4} T^{21} + 39667842556531 p^{5} T^{22} - 3624301671441 p^{6} T^{23} + 473913990403 p^{7} T^{24} - 38985061519 p^{8} T^{25} + 4606591974 p^{9} T^{26} - 329850243 p^{10} T^{27} + 34639865 p^{11} T^{28} - 2044275 p^{12} T^{29} + 186881 p^{13} T^{30} - 8211 p^{14} T^{31} + 635 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 55 T + 1958 T^{2} - 52032 T^{3} + 1145298 T^{4} - 21649105 T^{5} + 362760352 T^{6} - 5475998541 T^{7} + 75566742800 T^{8} - 961717366772 T^{9} + 11380163347383 T^{10} - 125870758453884 T^{11} + 1307707599865087 T^{12} - 12802551337113632 T^{13} + 118460987586567709 T^{14} - 1037802351630392091 T^{15} + 8622027350628254944 T^{16} - 67971117996795531008 T^{17} + 8622027350628254944 p T^{18} - 1037802351630392091 p^{2} T^{19} + 118460987586567709 p^{3} T^{20} - 12802551337113632 p^{4} T^{21} + 1307707599865087 p^{5} T^{22} - 125870758453884 p^{6} T^{23} + 11380163347383 p^{7} T^{24} - 961717366772 p^{8} T^{25} + 75566742800 p^{9} T^{26} - 5475998541 p^{10} T^{27} + 362760352 p^{11} T^{28} - 21649105 p^{12} T^{29} + 1145298 p^{13} T^{30} - 52032 p^{14} T^{31} + 1958 p^{15} T^{32} - 55 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 20 T + 758 T^{2} + 12618 T^{3} + 276967 T^{4} + 3953809 T^{5} + 65261609 T^{6} + 817706510 T^{7} + 11166346880 T^{8} + 124923169430 T^{9} + 1478093808192 T^{10} + 14942052422280 T^{11} + 157162466618364 T^{12} + 1446821610014537 T^{13} + 13734211514867142 T^{14} + 115653007703349456 T^{15} + 999668084034520659 T^{16} + 7711714062380459352 T^{17} + 999668084034520659 p T^{18} + 115653007703349456 p^{2} T^{19} + 13734211514867142 p^{3} T^{20} + 1446821610014537 p^{4} T^{21} + 157162466618364 p^{5} T^{22} + 14942052422280 p^{6} T^{23} + 1478093808192 p^{7} T^{24} + 124923169430 p^{8} T^{25} + 11166346880 p^{9} T^{26} + 817706510 p^{10} T^{27} + 65261609 p^{11} T^{28} + 3953809 p^{12} T^{29} + 276967 p^{13} T^{30} + 12618 p^{14} T^{31} + 758 p^{15} T^{32} + 20 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 + 6 T + 609 T^{2} + 4241 T^{3} + 179265 T^{4} + 1391560 T^{5} + 34179656 T^{6} + 284648068 T^{7} + 4790030513 T^{8} + 41109014040 T^{9} + 533313297830 T^{10} + 4518555581041 T^{11} + 49928908206069 T^{12} + 401714816773498 T^{13} + 4096330254333194 T^{14} + 30696584583766250 T^{15} + 302062137367980549 T^{16} + 2131388546997293952 T^{17} + 302062137367980549 p T^{18} + 30696584583766250 p^{2} T^{19} + 4096330254333194 p^{3} T^{20} + 401714816773498 p^{4} T^{21} + 49928908206069 p^{5} T^{22} + 4518555581041 p^{6} T^{23} + 533313297830 p^{7} T^{24} + 41109014040 p^{8} T^{25} + 4790030513 p^{9} T^{26} + 284648068 p^{10} T^{27} + 34179656 p^{11} T^{28} + 1391560 p^{12} T^{29} + 179265 p^{13} T^{30} + 4241 p^{14} T^{31} + 609 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 + 7 T + 10 p T^{2} + 5013 T^{3} + 249801 T^{4} + 1753433 T^{5} + 57860380 T^{6} + 400712037 T^{7} + 9906298925 T^{8} + 67382788274 T^{9} + 1337302650362 T^{10} + 8894346251604 T^{11} + 148482647289137 T^{12} + 959139563474044 T^{13} + 13967356739218878 T^{14} + 86669448821432790 T^{15} + 1135585839745329314 T^{16} + 6658034965448855836 T^{17} + 1135585839745329314 p T^{18} + 86669448821432790 p^{2} T^{19} + 13967356739218878 p^{3} T^{20} + 959139563474044 p^{4} T^{21} + 148482647289137 p^{5} T^{22} + 8894346251604 p^{6} T^{23} + 1337302650362 p^{7} T^{24} + 67382788274 p^{8} T^{25} + 9906298925 p^{9} T^{26} + 400712037 p^{10} T^{27} + 57860380 p^{11} T^{28} + 1753433 p^{12} T^{29} + 249801 p^{13} T^{30} + 5013 p^{14} T^{31} + 10 p^{16} T^{32} + 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 + 6 T + 602 T^{2} + 927 T^{3} + 166860 T^{4} - 422352 T^{5} + 31381952 T^{6} - 189397357 T^{7} + 4819955519 T^{8} - 39853845243 T^{9} + 642914220326 T^{10} - 5880785692187 T^{11} + 74111074158019 T^{12} - 685288686148171 T^{13} + 7311084004302621 T^{14} - 65749540911534232 T^{15} + 618732080985546175 T^{16} - 5254133992287189203 T^{17} + 618732080985546175 p T^{18} - 65749540911534232 p^{2} T^{19} + 7311084004302621 p^{3} T^{20} - 685288686148171 p^{4} T^{21} + 74111074158019 p^{5} T^{22} - 5880785692187 p^{6} T^{23} + 642914220326 p^{7} T^{24} - 39853845243 p^{8} T^{25} + 4819955519 p^{9} T^{26} - 189397357 p^{10} T^{27} + 31381952 p^{11} T^{28} - 422352 p^{12} T^{29} + 166860 p^{13} T^{30} + 927 p^{14} T^{31} + 602 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 23 T + 1065 T^{2} + 19394 T^{3} + 512852 T^{4} + 7942725 T^{5} + 154963185 T^{6} + 2126480517 T^{7} + 33680096496 T^{8} + 419223762156 T^{9} + 5656336047849 T^{10} + 64685893554375 T^{11} + 765223213921864 T^{12} + 8086792133226976 T^{13} + 85510204764203344 T^{14} + 835603915692272883 T^{15} + 8007527595047321753 T^{16} + 72113949647302639994 T^{17} + 8007527595047321753 p T^{18} + 835603915692272883 p^{2} T^{19} + 85510204764203344 p^{3} T^{20} + 8086792133226976 p^{4} T^{21} + 765223213921864 p^{5} T^{22} + 64685893554375 p^{6} T^{23} + 5656336047849 p^{7} T^{24} + 419223762156 p^{8} T^{25} + 33680096496 p^{9} T^{26} + 2126480517 p^{10} T^{27} + 154963185 p^{11} T^{28} + 7942725 p^{12} T^{29} + 512852 p^{13} T^{30} + 19394 p^{14} T^{31} + 1065 p^{15} T^{32} + 23 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 98 T + 5209 T^{2} - 195273 T^{3} + 5749586 T^{4} - 140921891 T^{5} + 2982755823 T^{6} - 55905748971 T^{7} + 944863110003 T^{8} - 14594823268158 T^{9} + 208143807515637 T^{10} - 2761975802015553 T^{11} + 34302639150796626 T^{12} - 400524601547732858 T^{13} + 4411497991407058911 T^{14} - 45947957570953494983 T^{15} + \)\(45\!\cdots\!00\)\( T^{16} - \)\(42\!\cdots\!90\)\( T^{17} + \)\(45\!\cdots\!00\)\( p T^{18} - 45947957570953494983 p^{2} T^{19} + 4411497991407058911 p^{3} T^{20} - 400524601547732858 p^{4} T^{21} + 34302639150796626 p^{5} T^{22} - 2761975802015553 p^{6} T^{23} + 208143807515637 p^{7} T^{24} - 14594823268158 p^{8} T^{25} + 944863110003 p^{9} T^{26} - 55905748971 p^{10} T^{27} + 2982755823 p^{11} T^{28} - 140921891 p^{12} T^{29} + 5749586 p^{13} T^{30} - 195273 p^{14} T^{31} + 5209 p^{15} T^{32} - 98 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 - 4 T + 840 T^{2} - 1352 T^{3} + 346140 T^{4} + 124399 T^{5} + 95200378 T^{6} + 2122556 p T^{7} + 19757146925 T^{8} + 65104272280 T^{9} + 3292205033339 T^{10} + 14091826791983 T^{11} + 457041786991328 T^{12} + 2240877870374442 T^{13} + 54095641007976050 T^{14} + 277795745238353288 T^{15} + 5533959279701079401 T^{16} + 27544667270812532301 T^{17} + 5533959279701079401 p T^{18} + 277795745238353288 p^{2} T^{19} + 54095641007976050 p^{3} T^{20} + 2240877870374442 p^{4} T^{21} + 457041786991328 p^{5} T^{22} + 14091826791983 p^{6} T^{23} + 3292205033339 p^{7} T^{24} + 65104272280 p^{8} T^{25} + 19757146925 p^{9} T^{26} + 2122556 p^{11} T^{27} + 95200378 p^{11} T^{28} + 124399 p^{12} T^{29} + 346140 p^{13} T^{30} - 1352 p^{14} T^{31} + 840 p^{15} T^{32} - 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 13 T + 5 p T^{2} + 4401 T^{3} + 118018 T^{4} + 910181 T^{5} + 216810 p T^{6} + 148484396 T^{7} + 2909767127 T^{8} + 19562106379 T^{9} + 326396019561 T^{10} + 2298574339789 T^{11} + 318749154673 p T^{12} + 243705238676517 T^{13} + 2545260402319949 T^{14} + 24254669912983014 T^{15} + 211061838127578144 T^{16} + 2391097910500854684 T^{17} + 211061838127578144 p T^{18} + 24254669912983014 p^{2} T^{19} + 2545260402319949 p^{3} T^{20} + 243705238676517 p^{4} T^{21} + 318749154673 p^{6} T^{22} + 2298574339789 p^{6} T^{23} + 326396019561 p^{7} T^{24} + 19562106379 p^{8} T^{25} + 2909767127 p^{9} T^{26} + 148484396 p^{10} T^{27} + 216810 p^{12} T^{28} + 910181 p^{12} T^{29} + 118018 p^{13} T^{30} + 4401 p^{14} T^{31} + 5 p^{16} T^{32} + 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.19552935292289680131649168479, −3.17778727632599764921273634837, −3.02012174690665214455370049234, −3.00160419828086565890207140996, −2.70372997628317246405002378263, −2.58054939128972826838464326321, −2.54003533433208554777571515422, −2.53208644086016435140050783388, −2.38060879500131590558392369122, −2.32821682997194921643227960065, −2.28378337334839711944696536272, −2.24606871458704303417086407119, −2.17330206219874801177478946172, −2.01553582467484036172340381943, −1.90234651973320079125704518264, −1.83113974305220867809407656697, −1.60251483780924665865494513531, −1.59187046888012770462218426358, −1.58498715229215575792535861237, −1.34168550583053724377127762593, −1.29191618582309902177157034397, −1.13728159960024336420080912441, −0.933204609775510077625780551138, −0.71898317753073773050547614127, −0.57096436552373970338150363045, 0.57096436552373970338150363045, 0.71898317753073773050547614127, 0.933204609775510077625780551138, 1.13728159960024336420080912441, 1.29191618582309902177157034397, 1.34168550583053724377127762593, 1.58498715229215575792535861237, 1.59187046888012770462218426358, 1.60251483780924665865494513531, 1.83113974305220867809407656697, 1.90234651973320079125704518264, 2.01553582467484036172340381943, 2.17330206219874801177478946172, 2.24606871458704303417086407119, 2.28378337334839711944696536272, 2.32821682997194921643227960065, 2.38060879500131590558392369122, 2.53208644086016435140050783388, 2.54003533433208554777571515422, 2.58054939128972826838464326321, 2.70372997628317246405002378263, 3.00160419828086565890207140996, 3.02012174690665214455370049234, 3.17778727632599764921273634837, 3.19552935292289680131649168479
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.