Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 5·2-s + 6·3-s + 5·4-s + 5·5-s + 30·6-s + 7-s − 17·8-s + 5·9-s + 25·10-s + 39·11-s + 30·12-s − 6·13-s + 5·14-s + 30·15-s − 45·16-s + 17-s + 25·18-s + 7·19-s + 25·20-s + 6·21-s + 195·22-s + 8·23-s − 102·24-s − 23·25-s − 30·26-s − 45·27-s + 5·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 3.53·2-s + 3.46·3-s + 5/2·4-s + 2.23·5-s + 12.2·6-s + 0.377·7-s − 6.01·8-s + 5/3·9-s + 7.90·10-s + 11.7·11-s + 8.66·12-s − 1.66·13-s + 1.33·14-s + 7.74·15-s − 11.2·16-s + 0.242·17-s + 5.89·18-s + 1.60·19-s + 5.59·20-s + 1.30·21-s + 41.5·22-s + 1.66·23-s − 20.8·24-s − 4.59·25-s − 5.88·26-s − 8.66·27-s + 0.944·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(349^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(349^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(349^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(3.68759\times 10^{7}\) |
| Root analytic conductor: | \(1.66936\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 349^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(304.5720686\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(304.5720686\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 349 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| good | 2 | \( 1 - 5 T + 5 p^{2} T^{2} - 29 p T^{3} + 75 p T^{4} - 21 p^{4} T^{5} + 355 p T^{6} - 1393 T^{7} + 2639 T^{8} - 4759 T^{9} + 8319 T^{10} - 3497 p^{2} T^{11} + 22865 T^{12} - 9069 p^{2} T^{13} + 56133 T^{14} - 84661 T^{15} + 124473 T^{16} - 22299 p^{3} T^{17} + 124473 p T^{18} - 84661 p^{2} T^{19} + 56133 p^{3} T^{20} - 9069 p^{6} T^{21} + 22865 p^{5} T^{22} - 3497 p^{8} T^{23} + 8319 p^{7} T^{24} - 4759 p^{8} T^{25} + 2639 p^{9} T^{26} - 1393 p^{10} T^{27} + 355 p^{12} T^{28} - 21 p^{16} T^{29} + 75 p^{14} T^{30} - 29 p^{15} T^{31} + 5 p^{17} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 3 | \( 1 - 2 p T + 31 T^{2} - 37 p T^{3} + 124 p T^{4} - 1031 T^{5} + 2738 T^{6} - 236 p^{3} T^{7} + 14516 T^{8} - 29903 T^{9} + 61480 T^{10} - 1439 p^{4} T^{11} + 8330 p^{3} T^{12} - 405155 T^{13} + 250928 p T^{14} - 1312046 T^{15} + 2375014 T^{16} - 4034818 T^{17} + 2375014 p T^{18} - 1312046 p^{2} T^{19} + 250928 p^{4} T^{20} - 405155 p^{4} T^{21} + 8330 p^{8} T^{22} - 1439 p^{10} T^{23} + 61480 p^{7} T^{24} - 29903 p^{8} T^{25} + 14516 p^{9} T^{26} - 236 p^{13} T^{27} + 2738 p^{11} T^{28} - 1031 p^{12} T^{29} + 124 p^{14} T^{30} - 37 p^{15} T^{31} + 31 p^{15} T^{32} - 2 p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 5 | \( 1 - p T + 48 T^{2} - 186 T^{3} + 1044 T^{4} - 3339 T^{5} + 14253 T^{6} - 39282 T^{7} + 142051 T^{8} - 349952 T^{9} + 1141627 T^{10} - 2597236 T^{11} + 7929703 T^{12} - 17031398 T^{13} + 49308966 T^{14} - 100628638 T^{15} + 275804904 T^{16} - 532910478 T^{17} + 275804904 p T^{18} - 100628638 p^{2} T^{19} + 49308966 p^{3} T^{20} - 17031398 p^{4} T^{21} + 7929703 p^{5} T^{22} - 2597236 p^{6} T^{23} + 1141627 p^{7} T^{24} - 349952 p^{8} T^{25} + 142051 p^{9} T^{26} - 39282 p^{10} T^{27} + 14253 p^{11} T^{28} - 3339 p^{12} T^{29} + 1044 p^{13} T^{30} - 186 p^{14} T^{31} + 48 p^{15} T^{32} - p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 - T + 57 T^{2} - 4 T^{3} + 1600 T^{4} + 1112 T^{5} + 31168 T^{6} + 38728 T^{7} + 481569 T^{8} + 753299 T^{9} + 6192483 T^{10} + 10621139 T^{11} + 67559581 T^{12} + 16908572 p T^{13} + 632316767 T^{14} + 1082756247 T^{15} + 5109754045 T^{16} + 8273159638 T^{17} + 5109754045 p T^{18} + 1082756247 p^{2} T^{19} + 632316767 p^{3} T^{20} + 16908572 p^{5} T^{21} + 67559581 p^{5} T^{22} + 10621139 p^{6} T^{23} + 6192483 p^{7} T^{24} + 753299 p^{8} T^{25} + 481569 p^{9} T^{26} + 38728 p^{10} T^{27} + 31168 p^{11} T^{28} + 1112 p^{12} T^{29} + 1600 p^{13} T^{30} - 4 p^{14} T^{31} + 57 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 39 T + 824 T^{2} - 12326 T^{3} + 145216 T^{4} - 1425628 T^{5} + 12073177 T^{6} - 90258106 T^{7} + 605453969 T^{8} - 30479869 p^{2} T^{9} + 20584700049 T^{10} - 105999554279 T^{11} + 506259989221 T^{12} - 2251727597066 T^{13} + 9355439535330 T^{14} - 36391023577503 T^{15} + 132731023630338 T^{16} - 454346180348312 T^{17} + 132731023630338 p T^{18} - 36391023577503 p^{2} T^{19} + 9355439535330 p^{3} T^{20} - 2251727597066 p^{4} T^{21} + 506259989221 p^{5} T^{22} - 105999554279 p^{6} T^{23} + 20584700049 p^{7} T^{24} - 30479869 p^{10} T^{25} + 605453969 p^{9} T^{26} - 90258106 p^{10} T^{27} + 12073177 p^{11} T^{28} - 1425628 p^{12} T^{29} + 145216 p^{13} T^{30} - 12326 p^{14} T^{31} + 824 p^{15} T^{32} - 39 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 + 6 T + 134 T^{2} + 719 T^{3} + 8529 T^{4} + 41841 T^{5} + 346292 T^{6} + 1584845 T^{7} + 10165280 T^{8} + 44248787 T^{9} + 232349055 T^{10} + 978858157 T^{11} + 4364141841 T^{12} + 18004351591 T^{13} + 70379139094 T^{14} + 284510622359 T^{15} + 1008816511090 T^{16} + 3938739150750 T^{17} + 1008816511090 p T^{18} + 284510622359 p^{2} T^{19} + 70379139094 p^{3} T^{20} + 18004351591 p^{4} T^{21} + 4364141841 p^{5} T^{22} + 978858157 p^{6} T^{23} + 232349055 p^{7} T^{24} + 44248787 p^{8} T^{25} + 10165280 p^{9} T^{26} + 1584845 p^{10} T^{27} + 346292 p^{11} T^{28} + 41841 p^{12} T^{29} + 8529 p^{13} T^{30} + 719 p^{14} T^{31} + 134 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 - T + 181 T^{2} - 74 T^{3} + 15981 T^{4} + 1750 T^{5} + 925095 T^{6} + 506473 T^{7} + 39650408 T^{8} + 35557136 T^{9} + 1342145378 T^{10} + 1543199155 T^{11} + 37267915520 T^{12} + 48471134510 T^{13} + 868880331098 T^{14} + 1170434743288 T^{15} + 17243063174476 T^{16} + 22309383674893 T^{17} + 17243063174476 p T^{18} + 1170434743288 p^{2} T^{19} + 868880331098 p^{3} T^{20} + 48471134510 p^{4} T^{21} + 37267915520 p^{5} T^{22} + 1543199155 p^{6} T^{23} + 1342145378 p^{7} T^{24} + 35557136 p^{8} T^{25} + 39650408 p^{9} T^{26} + 506473 p^{10} T^{27} + 925095 p^{11} T^{28} + 1750 p^{12} T^{29} + 15981 p^{13} T^{30} - 74 p^{14} T^{31} + 181 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 - 7 T + 200 T^{2} - 1146 T^{3} + 18872 T^{4} - 90709 T^{5} + 1136805 T^{6} - 4635185 T^{7} + 49627502 T^{8} - 172083168 T^{9} + 1687498764 T^{10} - 4973821868 T^{11} + 47013959799 T^{12} - 118494834509 T^{13} + 1118825958150 T^{14} - 2473678070857 T^{15} + 23541332034957 T^{16} - 48055653048750 T^{17} + 23541332034957 p T^{18} - 2473678070857 p^{2} T^{19} + 1118825958150 p^{3} T^{20} - 118494834509 p^{4} T^{21} + 47013959799 p^{5} T^{22} - 4973821868 p^{6} T^{23} + 1687498764 p^{7} T^{24} - 172083168 p^{8} T^{25} + 49627502 p^{9} T^{26} - 4635185 p^{10} T^{27} + 1136805 p^{11} T^{28} - 90709 p^{12} T^{29} + 18872 p^{13} T^{30} - 1146 p^{14} T^{31} + 200 p^{15} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 8 T + 214 T^{2} - 1356 T^{3} + 21853 T^{4} - 117935 T^{5} + 1489111 T^{6} - 7132216 T^{7} + 3360621 p T^{8} - 335817683 T^{9} + 3255641878 T^{10} - 12996669057 T^{11} + 115230456614 T^{12} - 426173466055 T^{13} + 3498529197768 T^{14} - 12050936012779 T^{15} + 92199776371748 T^{16} - 296636825810398 T^{17} + 92199776371748 p T^{18} - 12050936012779 p^{2} T^{19} + 3498529197768 p^{3} T^{20} - 426173466055 p^{4} T^{21} + 115230456614 p^{5} T^{22} - 12996669057 p^{6} T^{23} + 3255641878 p^{7} T^{24} - 335817683 p^{8} T^{25} + 3360621 p^{10} T^{26} - 7132216 p^{10} T^{27} + 1489111 p^{11} T^{28} - 117935 p^{12} T^{29} + 21853 p^{13} T^{30} - 1356 p^{14} T^{31} + 214 p^{15} T^{32} - 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 - 9 T + 229 T^{2} - 1922 T^{3} + 28036 T^{4} - 7468 p T^{5} + 2382347 T^{6} - 17006184 T^{7} + 156138921 T^{8} - 1035931284 T^{9} + 8342507847 T^{10} - 51641810851 T^{11} + 374856739205 T^{12} - 2169918937795 T^{13} + 14427576553368 T^{14} - 78145530035404 T^{15} + 480787887338763 T^{16} - 2433554823998601 T^{17} + 480787887338763 p T^{18} - 78145530035404 p^{2} T^{19} + 14427576553368 p^{3} T^{20} - 2169918937795 p^{4} T^{21} + 374856739205 p^{5} T^{22} - 51641810851 p^{6} T^{23} + 8342507847 p^{7} T^{24} - 1035931284 p^{8} T^{25} + 156138921 p^{9} T^{26} - 17006184 p^{10} T^{27} + 2382347 p^{11} T^{28} - 7468 p^{13} T^{29} + 28036 p^{13} T^{30} - 1922 p^{14} T^{31} + 229 p^{15} T^{32} - 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 + 2 T + 287 T^{2} + 13 p T^{3} + 40895 T^{4} + 31579 T^{5} + 3847612 T^{6} + 383772 T^{7} + 8663301 p T^{8} - 160101624 T^{9} + 14850629033 T^{10} - 18874433910 T^{11} + 680551134050 T^{12} - 1255068400403 T^{13} + 26763039995205 T^{14} - 59024724946809 T^{15} + 927423118377644 T^{16} - 2091461908060580 T^{17} + 927423118377644 p T^{18} - 59024724946809 p^{2} T^{19} + 26763039995205 p^{3} T^{20} - 1255068400403 p^{4} T^{21} + 680551134050 p^{5} T^{22} - 18874433910 p^{6} T^{23} + 14850629033 p^{7} T^{24} - 160101624 p^{8} T^{25} + 8663301 p^{10} T^{26} + 383772 p^{10} T^{27} + 3847612 p^{11} T^{28} + 31579 p^{12} T^{29} + 40895 p^{13} T^{30} + 13 p^{15} T^{31} + 287 p^{15} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 + 7 T + 305 T^{2} + 1934 T^{3} + 46856 T^{4} + 280627 T^{5} + 4937326 T^{6} + 28342799 T^{7} + 402762781 T^{8} + 2212475869 T^{9} + 26937621598 T^{10} + 140823919532 T^{11} + 1523045258623 T^{12} + 7545771331120 T^{13} + 74109107202793 T^{14} + 346646303087377 T^{15} + 3136352355428545 T^{16} + 13773533176896479 T^{17} + 3136352355428545 p T^{18} + 346646303087377 p^{2} T^{19} + 74109107202793 p^{3} T^{20} + 7545771331120 p^{4} T^{21} + 1523045258623 p^{5} T^{22} + 140823919532 p^{6} T^{23} + 26937621598 p^{7} T^{24} + 2212475869 p^{8} T^{25} + 402762781 p^{9} T^{26} + 28342799 p^{10} T^{27} + 4937326 p^{11} T^{28} + 280627 p^{12} T^{29} + 46856 p^{13} T^{30} + 1934 p^{14} T^{31} + 305 p^{15} T^{32} + 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 - 3 T + 377 T^{2} - 17 p T^{3} + 70387 T^{4} - 68829 T^{5} + 8813051 T^{6} - 2865581 T^{7} + 836114500 T^{8} + 122049873 T^{9} + 64017892219 T^{10} + 29326561973 T^{11} + 4101630769056 T^{12} + 2600570289327 T^{13} + 224489668362810 T^{14} + 157563661771252 T^{15} + 10609886000694774 T^{16} + 7296132373049024 T^{17} + 10609886000694774 p T^{18} + 157563661771252 p^{2} T^{19} + 224489668362810 p^{3} T^{20} + 2600570289327 p^{4} T^{21} + 4101630769056 p^{5} T^{22} + 29326561973 p^{6} T^{23} + 64017892219 p^{7} T^{24} + 122049873 p^{8} T^{25} + 836114500 p^{9} T^{26} - 2865581 p^{10} T^{27} + 8813051 p^{11} T^{28} - 68829 p^{12} T^{29} + 70387 p^{13} T^{30} - 17 p^{15} T^{31} + 377 p^{15} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - T + 274 T^{2} - 506 T^{3} + 41073 T^{4} - 105403 T^{5} + 4428027 T^{6} - 13622481 T^{7} + 382361662 T^{8} - 1291092373 T^{9} + 27825938921 T^{10} - 97315131261 T^{11} + 1749574466768 T^{12} - 6106641140091 T^{13} + 2239574731612 p T^{14} - 326974036157220 T^{15} + 4675783501084611 T^{16} - 15109533829277132 T^{17} + 4675783501084611 p T^{18} - 326974036157220 p^{2} T^{19} + 2239574731612 p^{4} T^{20} - 6106641140091 p^{4} T^{21} + 1749574466768 p^{5} T^{22} - 97315131261 p^{6} T^{23} + 27825938921 p^{7} T^{24} - 1291092373 p^{8} T^{25} + 382361662 p^{9} T^{26} - 13622481 p^{10} T^{27} + 4428027 p^{11} T^{28} - 105403 p^{12} T^{29} + 41073 p^{13} T^{30} - 506 p^{14} T^{31} + 274 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 16 T + 478 T^{2} - 6401 T^{3} + 108759 T^{4} - 1244375 T^{5} + 15666296 T^{6} - 155988945 T^{7} + 1603678559 T^{8} - 14141466804 T^{9} + 124640758901 T^{10} - 991844899290 T^{11} + 7750878282645 T^{12} - 57017435210467 T^{13} + 409119465021707 T^{14} - 2874074187472665 T^{15} + 19742513247228737 T^{16} - 136648596986997038 T^{17} + 19742513247228737 p T^{18} - 2874074187472665 p^{2} T^{19} + 409119465021707 p^{3} T^{20} - 57017435210467 p^{4} T^{21} + 7750878282645 p^{5} T^{22} - 991844899290 p^{6} T^{23} + 124640758901 p^{7} T^{24} - 14141466804 p^{8} T^{25} + 1603678559 p^{9} T^{26} - 155988945 p^{10} T^{27} + 15666296 p^{11} T^{28} - 1244375 p^{12} T^{29} + 108759 p^{13} T^{30} - 6401 p^{14} T^{31} + 478 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 27 T + 839 T^{2} - 14937 T^{3} + 274361 T^{4} - 3729565 T^{5} + 51590897 T^{6} - 581068266 T^{7} + 6709416320 T^{8} - 66254874956 T^{9} + 676970234685 T^{10} - 6069922084934 T^{11} + 56487811317102 T^{12} - 466722036331991 T^{13} + 4001081004882664 T^{14} - 30646165151498655 T^{15} + 243830697121406879 T^{16} - 1740631728849083882 T^{17} + 243830697121406879 p T^{18} - 30646165151498655 p^{2} T^{19} + 4001081004882664 p^{3} T^{20} - 466722036331991 p^{4} T^{21} + 56487811317102 p^{5} T^{22} - 6069922084934 p^{6} T^{23} + 676970234685 p^{7} T^{24} - 66254874956 p^{8} T^{25} + 6709416320 p^{9} T^{26} - 581068266 p^{10} T^{27} + 51590897 p^{11} T^{28} - 3729565 p^{12} T^{29} + 274361 p^{13} T^{30} - 14937 p^{14} T^{31} + 839 p^{15} T^{32} - 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 74 T + 3278 T^{2} - 105185 T^{3} + 2707019 T^{4} - 58538343 T^{5} + 1099455345 T^{6} - 18308964734 T^{7} + 274712321571 T^{8} - 3756066692537 T^{9} + 47227583970761 T^{10} - 549773449142659 T^{11} + 5957583227005193 T^{12} - 60338789248142446 T^{13} + 572999171911577244 T^{14} - 5113312798421402983 T^{15} + 42948622142212805403 T^{16} - \)\(33\!\cdots\!80\)\( T^{17} + 42948622142212805403 p T^{18} - 5113312798421402983 p^{2} T^{19} + 572999171911577244 p^{3} T^{20} - 60338789248142446 p^{4} T^{21} + 5957583227005193 p^{5} T^{22} - 549773449142659 p^{6} T^{23} + 47227583970761 p^{7} T^{24} - 3756066692537 p^{8} T^{25} + 274712321571 p^{9} T^{26} - 18308964734 p^{10} T^{27} + 1099455345 p^{11} T^{28} - 58538343 p^{12} T^{29} + 2707019 p^{13} T^{30} - 105185 p^{14} T^{31} + 3278 p^{15} T^{32} - 74 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 30 T + 987 T^{2} + 19590 T^{3} + 384216 T^{4} + 5814631 T^{5} + 85281087 T^{6} + 1051015089 T^{7} + 12526179632 T^{8} + 130454460599 T^{9} + 1319655959857 T^{10} + 11913884249779 T^{11} + 105669259627098 T^{12} + 850172531474345 T^{13} + 6887787888345491 T^{14} + 51800172134294910 T^{15} + 408570998958673159 T^{16} + 3076437485416293174 T^{17} + 408570998958673159 p T^{18} + 51800172134294910 p^{2} T^{19} + 6887787888345491 p^{3} T^{20} + 850172531474345 p^{4} T^{21} + 105669259627098 p^{5} T^{22} + 11913884249779 p^{6} T^{23} + 1319655959857 p^{7} T^{24} + 130454460599 p^{8} T^{25} + 12526179632 p^{9} T^{26} + 1051015089 p^{10} T^{27} + 85281087 p^{11} T^{28} + 5814631 p^{12} T^{29} + 384216 p^{13} T^{30} + 19590 p^{14} T^{31} + 987 p^{15} T^{32} + 30 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 - 9 T + 524 T^{2} - 4135 T^{3} + 130677 T^{4} - 926965 T^{5} + 21015536 T^{6} - 138573578 T^{7} + 2514501640 T^{8} - 16059520836 T^{9} + 247230885612 T^{10} - 23713496211 p T^{11} + 21527250878740 T^{12} - 141223694409929 T^{13} + 1725886193997133 T^{14} - 11345250222512998 T^{15} + 127372418975845143 T^{16} - 810122938319325226 T^{17} + 127372418975845143 p T^{18} - 11345250222512998 p^{2} T^{19} + 1725886193997133 p^{3} T^{20} - 141223694409929 p^{4} T^{21} + 21527250878740 p^{5} T^{22} - 23713496211 p^{7} T^{23} + 247230885612 p^{7} T^{24} - 16059520836 p^{8} T^{25} + 2514501640 p^{9} T^{26} - 138573578 p^{10} T^{27} + 21015536 p^{11} T^{28} - 926965 p^{12} T^{29} + 130677 p^{13} T^{30} - 4135 p^{14} T^{31} + 524 p^{15} T^{32} - 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 70 T + 3028 T^{2} - 96081 T^{3} + 2476957 T^{4} - 54154321 T^{5} + 1037295504 T^{6} - 17744331291 T^{7} + 275375201797 T^{8} - 3918770484624 T^{9} + 51603019810981 T^{10} - 632914403419616 T^{11} + 7270749123649303 T^{12} - 78543817320779319 T^{13} + 800541429573002823 T^{14} - 7715155108302091123 T^{15} + 70425336524578166553 T^{16} - \)\(60\!\cdots\!68\)\( T^{17} + 70425336524578166553 p T^{18} - 7715155108302091123 p^{2} T^{19} + 800541429573002823 p^{3} T^{20} - 78543817320779319 p^{4} T^{21} + 7270749123649303 p^{5} T^{22} - 632914403419616 p^{6} T^{23} + 51603019810981 p^{7} T^{24} - 3918770484624 p^{8} T^{25} + 275375201797 p^{9} T^{26} - 17744331291 p^{10} T^{27} + 1037295504 p^{11} T^{28} - 54154321 p^{12} T^{29} + 2476957 p^{13} T^{30} - 96081 p^{14} T^{31} + 3028 p^{15} T^{32} - 70 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 + 38 T + 1458 T^{2} + 35260 T^{3} + 817804 T^{4} + 14982695 T^{5} + 262885705 T^{6} + 3941266949 T^{7} + 56912490172 T^{8} + 729453582581 T^{9} + 9068872756649 T^{10} + 102315434018594 T^{11} + 1127973827704328 T^{12} + 11448919855388484 T^{13} + 114352984457995388 T^{14} + 1061688680299556166 T^{15} + 9751909910938630702 T^{16} + 83682487854376099853 T^{17} + 9751909910938630702 p T^{18} + 1061688680299556166 p^{2} T^{19} + 114352984457995388 p^{3} T^{20} + 11448919855388484 p^{4} T^{21} + 1127973827704328 p^{5} T^{22} + 102315434018594 p^{6} T^{23} + 9068872756649 p^{7} T^{24} + 729453582581 p^{8} T^{25} + 56912490172 p^{9} T^{26} + 3941266949 p^{10} T^{27} + 262885705 p^{11} T^{28} + 14982695 p^{12} T^{29} + 817804 p^{13} T^{30} + 35260 p^{14} T^{31} + 1458 p^{15} T^{32} + 38 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 - 7 T + 870 T^{2} - 6104 T^{3} + 356114 T^{4} - 2508516 T^{5} + 91824131 T^{6} - 649332772 T^{7} + 16941292845 T^{8} - 119756651477 T^{9} + 2422941373127 T^{10} - 16945206226005 T^{11} + 285069863498099 T^{12} - 1941697470143002 T^{13} + 28797184714272512 T^{14} - 187982498955122177 T^{15} + 2560256763682626504 T^{16} - 15834890903507516172 T^{17} + 2560256763682626504 p T^{18} - 187982498955122177 p^{2} T^{19} + 28797184714272512 p^{3} T^{20} - 1941697470143002 p^{4} T^{21} + 285069863498099 p^{5} T^{22} - 16945206226005 p^{6} T^{23} + 2422941373127 p^{7} T^{24} - 119756651477 p^{8} T^{25} + 16941292845 p^{9} T^{26} - 649332772 p^{10} T^{27} + 91824131 p^{11} T^{28} - 2508516 p^{12} T^{29} + 356114 p^{13} T^{30} - 6104 p^{14} T^{31} + 870 p^{15} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 47 T + 1911 T^{2} - 52485 T^{3} + 1293469 T^{4} - 26129798 T^{5} + 486787331 T^{6} - 7952973120 T^{7} + 122126971698 T^{8} - 1701495305079 T^{9} + 22588813266459 T^{10} - 277553764934125 T^{11} + 3280505101331932 T^{12} - 36312725260292464 T^{13} + 388826963320656326 T^{14} - 3923786302587828670 T^{15} + 38403627283756914763 T^{16} - \)\(35\!\cdots\!24\)\( T^{17} + 38403627283756914763 p T^{18} - 3923786302587828670 p^{2} T^{19} + 388826963320656326 p^{3} T^{20} - 36312725260292464 p^{4} T^{21} + 3280505101331932 p^{5} T^{22} - 277553764934125 p^{6} T^{23} + 22588813266459 p^{7} T^{24} - 1701495305079 p^{8} T^{25} + 122126971698 p^{9} T^{26} - 7952973120 p^{10} T^{27} + 486787331 p^{11} T^{28} - 26129798 p^{12} T^{29} + 1293469 p^{13} T^{30} - 52485 p^{14} T^{31} + 1911 p^{15} T^{32} - 47 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 - 23 T + 1134 T^{2} - 21743 T^{3} + 608451 T^{4} - 10014955 T^{5} + 2334807 p T^{6} - 3005884069 T^{7} + 51156014686 T^{8} - 662033156512 T^{9} + 9719318180981 T^{10} - 113964453081701 T^{11} + 16687247762796 p T^{12} - 15909287246357393 T^{13} + 187219420722253150 T^{14} - 1840691161327135335 T^{15} + 19761871087393564594 T^{16} - \)\(17\!\cdots\!90\)\( T^{17} + 19761871087393564594 p T^{18} - 1840691161327135335 p^{2} T^{19} + 187219420722253150 p^{3} T^{20} - 15909287246357393 p^{4} T^{21} + 16687247762796 p^{6} T^{22} - 113964453081701 p^{6} T^{23} + 9719318180981 p^{7} T^{24} - 662033156512 p^{8} T^{25} + 51156014686 p^{9} T^{26} - 3005884069 p^{10} T^{27} + 2334807 p^{12} T^{28} - 10014955 p^{12} T^{29} + 608451 p^{13} T^{30} - 21743 p^{14} T^{31} + 1134 p^{15} T^{32} - 23 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 14 T + 978 T^{2} + 12057 T^{3} + 466690 T^{4} + 5172956 T^{5} + 146327151 T^{6} + 1478856591 T^{7} + 34063734517 T^{8} + 316852322736 T^{9} + 6288008605578 T^{10} + 54193394649113 T^{11} + 958626958505064 T^{12} + 7692144498678444 T^{13} + 123957579198078067 T^{14} + 928735303312769343 T^{15} + 13825209937501111010 T^{16} + 96754109374678229620 T^{17} + 13825209937501111010 p T^{18} + 928735303312769343 p^{2} T^{19} + 123957579198078067 p^{3} T^{20} + 7692144498678444 p^{4} T^{21} + 958626958505064 p^{5} T^{22} + 54193394649113 p^{6} T^{23} + 6288008605578 p^{7} T^{24} + 316852322736 p^{8} T^{25} + 34063734517 p^{9} T^{26} + 1478856591 p^{10} T^{27} + 146327151 p^{11} T^{28} + 5172956 p^{12} T^{29} + 466690 p^{13} T^{30} + 12057 p^{14} T^{31} + 978 p^{15} T^{32} + 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.28492273042760871245376486146, −3.27738046784041945184851594901, −3.19675279107537193837739699246, −2.96051251360877273085683008979, −2.95568821138191581129683847145, −2.60077946472725411055260352099, −2.48782597627328057677888504330, −2.48095322376481467503635203826, −2.38375320953741279526994077965, −2.32223282752169369159316926633, −2.28886901226935611644209311466, −2.26897193481416708880051173246, −2.07913029407505360263794417253, −2.02160285963344380026941565604, −1.86335344571238487507037983028, −1.80544521751483684748487180660, −1.58725570795479694378380430466, −1.58622331074270900913905014815, −1.42059241554233782164567171606, −1.28408602030093467751030353867, −1.19191761626895597477803396242, −0.982598843298159794717654686575, −0.923751115801437189952988970782, −0.66447260950614154859026263490, −0.45743924651590474213246576399, 0.45743924651590474213246576399, 0.66447260950614154859026263490, 0.923751115801437189952988970782, 0.982598843298159794717654686575, 1.19191761626895597477803396242, 1.28408602030093467751030353867, 1.42059241554233782164567171606, 1.58622331074270900913905014815, 1.58725570795479694378380430466, 1.80544521751483684748487180660, 1.86335344571238487507037983028, 2.02160285963344380026941565604, 2.07913029407505360263794417253, 2.26897193481416708880051173246, 2.28886901226935611644209311466, 2.32223282752169369159316926633, 2.38375320953741279526994077965, 2.48095322376481467503635203826, 2.48782597627328057677888504330, 2.60077946472725411055260352099, 2.95568821138191581129683847145, 2.96051251360877273085683008979, 3.19675279107537193837739699246, 3.27738046784041945184851594901, 3.28492273042760871245376486146
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.