Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 17·2-s + 153·4-s + 12·5-s − 6·7-s − 969·8-s − 8·9-s − 204·10-s + 23·11-s − 7·13-s + 102·14-s + 4.84e3·16-s + 10·17-s + 136·18-s + 1.83e3·20-s − 391·22-s + 2·23-s + 46·25-s + 119·26-s − 918·28-s + 13·29-s + 3·31-s − 2.03e4·32-s − 170·34-s − 72·35-s − 1.22e3·36-s − 8·37-s − 1.16e4·40-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 12.0·2-s + 76.5·4-s + 5.36·5-s − 2.26·7-s − 342.·8-s − 8/3·9-s − 64.5·10-s + 6.93·11-s − 1.94·13-s + 27.2·14-s + 1.21e3·16-s + 2.42·17-s + 32.0·18-s + 410.·20-s − 83.3·22-s + 0.417·23-s + 46/5·25-s + 23.3·26-s − 173.·28-s + 2.41·29-s + 0.538·31-s − 3.59e3·32-s − 29.1·34-s − 12.1·35-s − 204·36-s − 1.31·37-s − 1.83e3·40-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 647^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 647^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(2^{17} \cdot 647^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.74418\times 10^{17}\) |
| Root analytic conductor: | \(3.21444\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 2^{17} \cdot 647^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(0.1998562937\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.1998562937\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 + T )^{17} \) |
| 647 | \( ( 1 - T )^{17} \) | |
| good | 3 | \( 1 + 8 T^{2} + 11 p T^{4} + 25 T^{5} + 115 T^{6} + 151 T^{7} + 415 T^{8} + 208 p T^{9} + 1568 T^{10} + 2707 T^{11} + 4196 T^{12} + 10367 T^{13} + 12754 T^{14} + 10714 p T^{15} + 572 p^{4} T^{16} + 86224 T^{17} + 572 p^{5} T^{18} + 10714 p^{3} T^{19} + 12754 p^{3} T^{20} + 10367 p^{4} T^{21} + 4196 p^{5} T^{22} + 2707 p^{6} T^{23} + 1568 p^{7} T^{24} + 208 p^{9} T^{25} + 415 p^{9} T^{26} + 151 p^{10} T^{27} + 115 p^{11} T^{28} + 25 p^{12} T^{29} + 11 p^{14} T^{30} + 8 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{34} \) |
| 5 | \( 1 - 12 T + 98 T^{2} - 123 p T^{3} + 3209 T^{4} - 14509 T^{5} + 58237 T^{6} - 211067 T^{7} + 699268 T^{8} - 2138392 T^{9} + 1217003 p T^{10} - 16237588 T^{11} + 40960728 T^{12} - 98571861 T^{13} + 228751696 T^{14} - 518251737 T^{15} + 1160461859 T^{16} - 2592812394 T^{17} + 1160461859 p T^{18} - 518251737 p^{2} T^{19} + 228751696 p^{3} T^{20} - 98571861 p^{4} T^{21} + 40960728 p^{5} T^{22} - 16237588 p^{6} T^{23} + 1217003 p^{8} T^{24} - 2138392 p^{8} T^{25} + 699268 p^{9} T^{26} - 211067 p^{10} T^{27} + 58237 p^{11} T^{28} - 14509 p^{12} T^{29} + 3209 p^{13} T^{30} - 123 p^{15} T^{31} + 98 p^{15} T^{32} - 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 + 6 T + 8 p T^{2} + 289 T^{3} + 1627 T^{4} + 7033 T^{5} + 31008 T^{6} + 115166 T^{7} + 61466 p T^{8} + 1415888 T^{9} + 667550 p T^{10} + 13948770 T^{11} + 42051988 T^{12} + 116664508 T^{13} + 331157269 T^{14} + 877680955 T^{15} + 2411776977 T^{16} + 6247344434 T^{17} + 2411776977 p T^{18} + 877680955 p^{2} T^{19} + 331157269 p^{3} T^{20} + 116664508 p^{4} T^{21} + 42051988 p^{5} T^{22} + 13948770 p^{6} T^{23} + 667550 p^{8} T^{24} + 1415888 p^{8} T^{25} + 61466 p^{10} T^{26} + 115166 p^{10} T^{27} + 31008 p^{11} T^{28} + 7033 p^{12} T^{29} + 1627 p^{13} T^{30} + 289 p^{14} T^{31} + 8 p^{16} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 23 T + 331 T^{2} - 3483 T^{3} + 29973 T^{4} - 220343 T^{5} + 1436306 T^{6} - 8472570 T^{7} + 46025330 T^{8} - 232693119 T^{9} + 1104820370 T^{10} - 4953853045 T^{11} + 21078826974 T^{12} - 85367400532 T^{13} + 329966975705 T^{14} - 1219153958430 T^{15} + 4312307162634 T^{16} - 14610186040814 T^{17} + 4312307162634 p T^{18} - 1219153958430 p^{2} T^{19} + 329966975705 p^{3} T^{20} - 85367400532 p^{4} T^{21} + 21078826974 p^{5} T^{22} - 4953853045 p^{6} T^{23} + 1104820370 p^{7} T^{24} - 232693119 p^{8} T^{25} + 46025330 p^{9} T^{26} - 8472570 p^{10} T^{27} + 1436306 p^{11} T^{28} - 220343 p^{12} T^{29} + 29973 p^{13} T^{30} - 3483 p^{14} T^{31} + 331 p^{15} T^{32} - 23 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 + 7 T + 105 T^{2} + 669 T^{3} + 6012 T^{4} + 34054 T^{5} + 236531 T^{6} + 1207842 T^{7} + 7083555 T^{8} + 33016938 T^{9} + 170916403 T^{10} + 734243500 T^{11} + 3441618699 T^{12} + 13727109938 T^{13} + 59182843074 T^{14} + 220218823101 T^{15} + 881780863216 T^{16} + 3066807101294 T^{17} + 881780863216 p T^{18} + 220218823101 p^{2} T^{19} + 59182843074 p^{3} T^{20} + 13727109938 p^{4} T^{21} + 3441618699 p^{5} T^{22} + 734243500 p^{6} T^{23} + 170916403 p^{7} T^{24} + 33016938 p^{8} T^{25} + 7083555 p^{9} T^{26} + 1207842 p^{10} T^{27} + 236531 p^{11} T^{28} + 34054 p^{12} T^{29} + 6012 p^{13} T^{30} + 669 p^{14} T^{31} + 105 p^{15} T^{32} + 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 - 10 T + 176 T^{2} - 1482 T^{3} + 15543 T^{4} - 113087 T^{5} + 909724 T^{6} - 5848692 T^{7} + 39534538 T^{8} - 228290340 T^{9} + 1354872115 T^{10} - 7113802638 T^{11} + 37974163008 T^{12} - 10758451986 p T^{13} + 890694711597 T^{14} - 3956854966029 T^{15} + 17727149978695 T^{16} - 72812477170646 T^{17} + 17727149978695 p T^{18} - 3956854966029 p^{2} T^{19} + 890694711597 p^{3} T^{20} - 10758451986 p^{5} T^{21} + 37974163008 p^{5} T^{22} - 7113802638 p^{6} T^{23} + 1354872115 p^{7} T^{24} - 228290340 p^{8} T^{25} + 39534538 p^{9} T^{26} - 5848692 p^{10} T^{27} + 909724 p^{11} T^{28} - 113087 p^{12} T^{29} + 15543 p^{13} T^{30} - 1482 p^{14} T^{31} + 176 p^{15} T^{32} - 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + 157 T^{2} + 22 T^{3} + 12788 T^{4} + 3174 T^{5} + 714909 T^{6} + 238871 T^{7} + 30639339 T^{8} + 12290823 T^{9} + 1066761304 T^{10} + 25204271 p T^{11} + 31211864269 T^{12} + 14839145619 T^{13} + 783245240320 T^{14} + 375039765430 T^{15} + 17056782134837 T^{16} + 7827027093232 T^{17} + 17056782134837 p T^{18} + 375039765430 p^{2} T^{19} + 783245240320 p^{3} T^{20} + 14839145619 p^{4} T^{21} + 31211864269 p^{5} T^{22} + 25204271 p^{7} T^{23} + 1066761304 p^{7} T^{24} + 12290823 p^{8} T^{25} + 30639339 p^{9} T^{26} + 238871 p^{10} T^{27} + 714909 p^{11} T^{28} + 3174 p^{12} T^{29} + 12788 p^{13} T^{30} + 22 p^{14} T^{31} + 157 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 2 T + 155 T^{2} - 163 T^{3} + 11606 T^{4} - 8582 T^{5} + 592073 T^{6} - 607175 T^{7} + 23201833 T^{8} - 38723347 T^{9} + 735739992 T^{10} - 1868634705 T^{11} + 20159108476 T^{12} - 70852769022 T^{13} + 506481365157 T^{14} - 2154820139269 T^{15} + 12021263339517 T^{16} - 54029882390158 T^{17} + 12021263339517 p T^{18} - 2154820139269 p^{2} T^{19} + 506481365157 p^{3} T^{20} - 70852769022 p^{4} T^{21} + 20159108476 p^{5} T^{22} - 1868634705 p^{6} T^{23} + 735739992 p^{7} T^{24} - 38723347 p^{8} T^{25} + 23201833 p^{9} T^{26} - 607175 p^{10} T^{27} + 592073 p^{11} T^{28} - 8582 p^{12} T^{29} + 11606 p^{13} T^{30} - 163 p^{14} T^{31} + 155 p^{15} T^{32} - 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 - 13 T + 287 T^{2} - 3029 T^{3} + 40170 T^{4} - 364111 T^{5} + 3721960 T^{6} - 1034456 p T^{7} + 258978300 T^{8} - 1893652836 T^{9} + 14436483464 T^{10} - 96873668778 T^{11} + 668197911780 T^{12} - 4142371217609 T^{13} + 26212238982786 T^{14} - 150694324240705 T^{15} + 881690513825872 T^{16} - 4708383972429646 T^{17} + 881690513825872 p T^{18} - 150694324240705 p^{2} T^{19} + 26212238982786 p^{3} T^{20} - 4142371217609 p^{4} T^{21} + 668197911780 p^{5} T^{22} - 96873668778 p^{6} T^{23} + 14436483464 p^{7} T^{24} - 1893652836 p^{8} T^{25} + 258978300 p^{9} T^{26} - 1034456 p^{11} T^{27} + 3721960 p^{11} T^{28} - 364111 p^{12} T^{29} + 40170 p^{13} T^{30} - 3029 p^{14} T^{31} + 287 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 - 3 T + 175 T^{2} - 359 T^{3} + 16373 T^{4} - 20481 T^{5} + 1027504 T^{6} - 548172 T^{7} + 48639614 T^{8} - 1010577 T^{9} + 1875847478 T^{10} + 194221815 T^{11} + 63926795058 T^{12} - 19185872230 T^{13} + 2060209831921 T^{14} - 2022642537576 T^{15} + 65081502439024 T^{16} - 85419569919234 T^{17} + 65081502439024 p T^{18} - 2022642537576 p^{2} T^{19} + 2060209831921 p^{3} T^{20} - 19185872230 p^{4} T^{21} + 63926795058 p^{5} T^{22} + 194221815 p^{6} T^{23} + 1875847478 p^{7} T^{24} - 1010577 p^{8} T^{25} + 48639614 p^{9} T^{26} - 548172 p^{10} T^{27} + 1027504 p^{11} T^{28} - 20481 p^{12} T^{29} + 16373 p^{13} T^{30} - 359 p^{14} T^{31} + 175 p^{15} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 + 8 T + 278 T^{2} + 2188 T^{3} + 43067 T^{4} + 317516 T^{5} + 4683651 T^{6} + 32387000 T^{7} + 10664076 p T^{8} + 2560595541 T^{9} + 27122039761 T^{10} + 165269585844 T^{11} + 1565729703626 T^{12} + 8957518665096 T^{13} + 77295829477408 T^{14} + 414337098824968 T^{15} + 3295592588936748 T^{16} + 16501727787465598 T^{17} + 3295592588936748 p T^{18} + 414337098824968 p^{2} T^{19} + 77295829477408 p^{3} T^{20} + 8957518665096 p^{4} T^{21} + 1565729703626 p^{5} T^{22} + 165269585844 p^{6} T^{23} + 27122039761 p^{7} T^{24} + 2560595541 p^{8} T^{25} + 10664076 p^{10} T^{26} + 32387000 p^{10} T^{27} + 4683651 p^{11} T^{28} + 317516 p^{12} T^{29} + 43067 p^{13} T^{30} + 2188 p^{14} T^{31} + 278 p^{15} T^{32} + 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 - 29 T + 764 T^{2} - 13728 T^{3} + 223231 T^{4} - 3028731 T^{5} + 37933007 T^{6} - 424260075 T^{7} + 4453027361 T^{8} - 43094350464 T^{9} + 395814744571 T^{10} - 3409381035990 T^{11} + 28066561157901 T^{12} - 218706893490519 T^{13} + 1635473751748882 T^{14} - 11636142099913046 T^{15} + 79628572537277323 T^{16} - 519695099191534326 T^{17} + 79628572537277323 p T^{18} - 11636142099913046 p^{2} T^{19} + 1635473751748882 p^{3} T^{20} - 218706893490519 p^{4} T^{21} + 28066561157901 p^{5} T^{22} - 3409381035990 p^{6} T^{23} + 395814744571 p^{7} T^{24} - 43094350464 p^{8} T^{25} + 4453027361 p^{9} T^{26} - 424260075 p^{10} T^{27} + 37933007 p^{11} T^{28} - 3028731 p^{12} T^{29} + 223231 p^{13} T^{30} - 13728 p^{14} T^{31} + 764 p^{15} T^{32} - 29 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 + 30 T + 743 T^{2} + 13421 T^{3} + 208973 T^{4} + 2790907 T^{5} + 33234403 T^{6} + 355433551 T^{7} + 3458245100 T^{8} + 30777846178 T^{9} + 252201267525 T^{10} + 1908894801409 T^{11} + 13435911916628 T^{12} + 88470411229389 T^{13} + 553346732317470 T^{14} + 3359795241773619 T^{15} + 20522455088201179 T^{16} + 130686970385288592 T^{17} + 20522455088201179 p T^{18} + 3359795241773619 p^{2} T^{19} + 553346732317470 p^{3} T^{20} + 88470411229389 p^{4} T^{21} + 13435911916628 p^{5} T^{22} + 1908894801409 p^{6} T^{23} + 252201267525 p^{7} T^{24} + 30777846178 p^{8} T^{25} + 3458245100 p^{9} T^{26} + 355433551 p^{10} T^{27} + 33234403 p^{11} T^{28} + 2790907 p^{12} T^{29} + 208973 p^{13} T^{30} + 13421 p^{14} T^{31} + 743 p^{15} T^{32} + 30 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 21 T + 644 T^{2} - 10567 T^{3} + 191787 T^{4} - 2595642 T^{5} + 35653742 T^{6} - 412623859 T^{7} + 4692357381 T^{8} - 47629174812 T^{9} + 469246328336 T^{10} - 4257642716885 T^{11} + 37355086391271 T^{12} - 307474687806566 T^{13} + 2447029439233984 T^{14} - 18472515757980785 T^{15} + 134960624221961546 T^{16} - 940260811264777054 T^{17} + 134960624221961546 p T^{18} - 18472515757980785 p^{2} T^{19} + 2447029439233984 p^{3} T^{20} - 307474687806566 p^{4} T^{21} + 37355086391271 p^{5} T^{22} - 4257642716885 p^{6} T^{23} + 469246328336 p^{7} T^{24} - 47629174812 p^{8} T^{25} + 4692357381 p^{9} T^{26} - 412623859 p^{10} T^{27} + 35653742 p^{11} T^{28} - 2595642 p^{12} T^{29} + 191787 p^{13} T^{30} - 10567 p^{14} T^{31} + 644 p^{15} T^{32} - 21 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 19 T + 654 T^{2} - 9360 T^{3} + 184023 T^{4} - 2098753 T^{5} + 574633 p T^{6} - 286524013 T^{7} + 3414740643 T^{8} - 27264089664 T^{9} + 287095693301 T^{10} - 2012101334881 T^{11} + 19939631140755 T^{12} - 127882576459063 T^{13} + 1241390520682577 T^{14} - 7526591522269882 T^{15} + 71568905845812709 T^{16} - 414467831949676106 T^{17} + 71568905845812709 p T^{18} - 7526591522269882 p^{2} T^{19} + 1241390520682577 p^{3} T^{20} - 127882576459063 p^{4} T^{21} + 19939631140755 p^{5} T^{22} - 2012101334881 p^{6} T^{23} + 287095693301 p^{7} T^{24} - 27264089664 p^{8} T^{25} + 3414740643 p^{9} T^{26} - 286524013 p^{10} T^{27} + 574633 p^{12} T^{28} - 2098753 p^{12} T^{29} + 184023 p^{13} T^{30} - 9360 p^{14} T^{31} + 654 p^{15} T^{32} - 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 31 T + 1069 T^{2} - 22749 T^{3} + 479746 T^{4} - 8012519 T^{5} + 129460135 T^{6} - 1806767350 T^{7} + 24256809509 T^{8} - 292955029075 T^{9} + 3401423959668 T^{10} - 36312353518177 T^{11} + 372957937960879 T^{12} - 3566390815278216 T^{13} + 32840149058458698 T^{14} - 283515854007318852 T^{15} + 2358521706521435627 T^{16} - 18453147731264152718 T^{17} + 2358521706521435627 p T^{18} - 283515854007318852 p^{2} T^{19} + 32840149058458698 p^{3} T^{20} - 3566390815278216 p^{4} T^{21} + 372957937960879 p^{5} T^{22} - 36312353518177 p^{6} T^{23} + 3401423959668 p^{7} T^{24} - 292955029075 p^{8} T^{25} + 24256809509 p^{9} T^{26} - 1806767350 p^{10} T^{27} + 129460135 p^{11} T^{28} - 8012519 p^{12} T^{29} + 479746 p^{13} T^{30} - 22749 p^{14} T^{31} + 1069 p^{15} T^{32} - 31 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 - 13 T + 553 T^{2} - 6652 T^{3} + 152087 T^{4} - 1692754 T^{5} + 28112373 T^{6} - 289429681 T^{7} + 3944202380 T^{8} - 37630157385 T^{9} + 446469002257 T^{10} - 3962844699875 T^{11} + 42236662452556 T^{12} - 350090370595291 T^{13} + 3415055277865968 T^{14} - 26477357547456487 T^{15} + 239151785084593582 T^{16} - 1733110124998635036 T^{17} + 239151785084593582 p T^{18} - 26477357547456487 p^{2} T^{19} + 3415055277865968 p^{3} T^{20} - 350090370595291 p^{4} T^{21} + 42236662452556 p^{5} T^{22} - 3962844699875 p^{6} T^{23} + 446469002257 p^{7} T^{24} - 37630157385 p^{8} T^{25} + 3944202380 p^{9} T^{26} - 289429681 p^{10} T^{27} + 28112373 p^{11} T^{28} - 1692754 p^{12} T^{29} + 152087 p^{13} T^{30} - 6652 p^{14} T^{31} + 553 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 + 14 T + 784 T^{2} + 9476 T^{3} + 281751 T^{4} + 2956453 T^{5} + 61545627 T^{6} + 561329923 T^{7} + 9125357029 T^{8} + 72064243468 T^{9} + 971797271878 T^{10} + 6582837165443 T^{11} + 77271812679360 T^{12} + 444341269321963 T^{13} + 4861838005455868 T^{14} + 24258037174123598 T^{15} + 280933142203275012 T^{16} + 1401030239749102860 T^{17} + 280933142203275012 p T^{18} + 24258037174123598 p^{2} T^{19} + 4861838005455868 p^{3} T^{20} + 444341269321963 p^{4} T^{21} + 77271812679360 p^{5} T^{22} + 6582837165443 p^{6} T^{23} + 971797271878 p^{7} T^{24} + 72064243468 p^{8} T^{25} + 9125357029 p^{9} T^{26} + 561329923 p^{10} T^{27} + 61545627 p^{11} T^{28} + 2956453 p^{12} T^{29} + 281751 p^{13} T^{30} + 9476 p^{14} T^{31} + 784 p^{15} T^{32} + 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 54 T + 2124 T^{2} - 59565 T^{3} + 1402787 T^{4} - 27690599 T^{5} + 484540028 T^{6} - 7522115044 T^{7} + 106645168573 T^{8} - 1382165397705 T^{9} + 16686734850592 T^{10} - 187785594519366 T^{11} + 1998054732574901 T^{12} - 20105369907058077 T^{13} + 193594317891022848 T^{14} - 1782712738084156217 T^{15} + 15850034021842795986 T^{16} - \)\(13\!\cdots\!70\)\( T^{17} + 15850034021842795986 p T^{18} - 1782712738084156217 p^{2} T^{19} + 193594317891022848 p^{3} T^{20} - 20105369907058077 p^{4} T^{21} + 1998054732574901 p^{5} T^{22} - 187785594519366 p^{6} T^{23} + 16686734850592 p^{7} T^{24} - 1382165397705 p^{8} T^{25} + 106645168573 p^{9} T^{26} - 7522115044 p^{10} T^{27} + 484540028 p^{11} T^{28} - 27690599 p^{12} T^{29} + 1402787 p^{13} T^{30} - 59565 p^{14} T^{31} + 2124 p^{15} T^{32} - 54 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 - 17 T + 834 T^{2} - 12414 T^{3} + 332658 T^{4} - 4477821 T^{5} + 86174467 T^{6} - 1066444097 T^{7} + 16454788402 T^{8} - 188303258696 T^{9} + 2473337053068 T^{10} - 26173415139417 T^{11} + 303558085553659 T^{12} - 2965348399249035 T^{13} + 31053194732579896 T^{14} - 279649871904666328 T^{15} + 2677095756000313855 T^{16} - 22206240607627454334 T^{17} + 2677095756000313855 p T^{18} - 279649871904666328 p^{2} T^{19} + 31053194732579896 p^{3} T^{20} - 2965348399249035 p^{4} T^{21} + 303558085553659 p^{5} T^{22} - 26173415139417 p^{6} T^{23} + 2473337053068 p^{7} T^{24} - 188303258696 p^{8} T^{25} + 16454788402 p^{9} T^{26} - 1066444097 p^{10} T^{27} + 86174467 p^{11} T^{28} - 4477821 p^{12} T^{29} + 332658 p^{13} T^{30} - 12414 p^{14} T^{31} + 834 p^{15} T^{32} - 17 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 22 T + 994 T^{2} + 16894 T^{3} + 440296 T^{4} + 6107479 T^{5} + 118224951 T^{6} + 1374744806 T^{7} + 21796826307 T^{8} + 215010326109 T^{9} + 2956215317536 T^{10} + 24830354650273 T^{11} + 310946619088103 T^{12} + 2236245950587434 T^{13} + 27043445935464110 T^{14} + 171791914981572435 T^{15} + 2138778065072231788 T^{16} + 13038776190539860520 T^{17} + 2138778065072231788 p T^{18} + 171791914981572435 p^{2} T^{19} + 27043445935464110 p^{3} T^{20} + 2236245950587434 p^{4} T^{21} + 310946619088103 p^{5} T^{22} + 24830354650273 p^{6} T^{23} + 2956215317536 p^{7} T^{24} + 215010326109 p^{8} T^{25} + 21796826307 p^{9} T^{26} + 1374744806 p^{10} T^{27} + 118224951 p^{11} T^{28} + 6107479 p^{12} T^{29} + 440296 p^{13} T^{30} + 16894 p^{14} T^{31} + 994 p^{15} T^{32} + 22 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 18 T + 900 T^{2} - 12613 T^{3} + 375517 T^{4} - 4365537 T^{5} + 100131436 T^{6} - 994929384 T^{7} + 19431309731 T^{8} - 167643088559 T^{9} + 2948103803964 T^{10} - 22339260792474 T^{11} + 367135038786215 T^{12} - 2476841348412059 T^{13} + 38963230178186396 T^{14} - 238845594565046801 T^{15} + 3626768095698270336 T^{16} - 20743930287707196614 T^{17} + 3626768095698270336 p T^{18} - 238845594565046801 p^{2} T^{19} + 38963230178186396 p^{3} T^{20} - 2476841348412059 p^{4} T^{21} + 367135038786215 p^{5} T^{22} - 22339260792474 p^{6} T^{23} + 2948103803964 p^{7} T^{24} - 167643088559 p^{8} T^{25} + 19431309731 p^{9} T^{26} - 994929384 p^{10} T^{27} + 100131436 p^{11} T^{28} - 4365537 p^{12} T^{29} + 375517 p^{13} T^{30} - 12613 p^{14} T^{31} + 900 p^{15} T^{32} - 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 - 68 T + 3096 T^{2} - 101377 T^{3} + 2729916 T^{4} - 61748729 T^{5} + 1227776601 T^{6} - 21681934446 T^{7} + 348123461476 T^{8} - 5111953069508 T^{9} + 69697295369402 T^{10} - 885685676519408 T^{11} + 10611399567632421 T^{12} - 120201179959874191 T^{13} + 1299832146490392286 T^{14} - 13440825616821581713 T^{15} + \)\(13\!\cdots\!61\)\( T^{16} - \)\(12\!\cdots\!24\)\( T^{17} + \)\(13\!\cdots\!61\)\( p T^{18} - 13440825616821581713 p^{2} T^{19} + 1299832146490392286 p^{3} T^{20} - 120201179959874191 p^{4} T^{21} + 10611399567632421 p^{5} T^{22} - 885685676519408 p^{6} T^{23} + 69697295369402 p^{7} T^{24} - 5111953069508 p^{8} T^{25} + 348123461476 p^{9} T^{26} - 21681934446 p^{10} T^{27} + 1227776601 p^{11} T^{28} - 61748729 p^{12} T^{29} + 2729916 p^{13} T^{30} - 101377 p^{14} T^{31} + 3096 p^{15} T^{32} - 68 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 - 17 T + 716 T^{2} - 10902 T^{3} + 285435 T^{4} - 3925435 T^{5} + 78802421 T^{6} - 1000474993 T^{7} + 16881083209 T^{8} - 2055864956 p T^{9} + 2953547663691 T^{10} - 32726287731238 T^{11} + 436920404002089 T^{12} - 4547996221803161 T^{13} + 55645164575745040 T^{14} - 544538787489643402 T^{15} + 6170914017333758279 T^{16} - 56595866380454045838 T^{17} + 6170914017333758279 p T^{18} - 544538787489643402 p^{2} T^{19} + 55645164575745040 p^{3} T^{20} - 4547996221803161 p^{4} T^{21} + 436920404002089 p^{5} T^{22} - 32726287731238 p^{6} T^{23} + 2953547663691 p^{7} T^{24} - 2055864956 p^{9} T^{25} + 16881083209 p^{9} T^{26} - 1000474993 p^{10} T^{27} + 78802421 p^{11} T^{28} - 3925435 p^{12} T^{29} + 285435 p^{13} T^{30} - 10902 p^{14} T^{31} + 716 p^{15} T^{32} - 17 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.20417413223151921602673990980, −2.14483971816866823471333055055, −2.11247790180121699165992374885, −2.06143904536399159967123224570, −1.98945685833768032117135735061, −1.97973703070855241751804348288, −1.85353125111233280842664298628, −1.63813425384219671726152128804, −1.62839811319753540392585218322, −1.46668556582697128222615002209, −1.45770910415827386100765272150, −1.39157425572511389873447256813, −1.34462471242387107711541771939, −1.20505322627849828433696350485, −1.12041482336448461908023041573, −1.04426404668174956674754468956, −0.976961864490172837965244800388, −0.874491918570731496433950979170, −0.841229644422748849620013777983, −0.810707261912352076877039445548, −0.56994474519170952020235450613, −0.54336079673616554631807033868, −0.51114602685864416258575254522, −0.21794484313062536174077933176, −0.21279877421665957761543847733, 0.21279877421665957761543847733, 0.21794484313062536174077933176, 0.51114602685864416258575254522, 0.54336079673616554631807033868, 0.56994474519170952020235450613, 0.810707261912352076877039445548, 0.841229644422748849620013777983, 0.874491918570731496433950979170, 0.976961864490172837965244800388, 1.04426404668174956674754468956, 1.12041482336448461908023041573, 1.20505322627849828433696350485, 1.34462471242387107711541771939, 1.39157425572511389873447256813, 1.45770910415827386100765272150, 1.46668556582697128222615002209, 1.62839811319753540392585218322, 1.63813425384219671726152128804, 1.85353125111233280842664298628, 1.97973703070855241751804348288, 1.98945685833768032117135735061, 2.06143904536399159967123224570, 2.11247790180121699165992374885, 2.14483971816866823471333055055, 2.20417413223151921602673990980
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.