Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 2·2-s − 4·3-s − 10·4-s − 7·5-s + 8·6-s − 7-s + 22·8-s − 18·9-s + 14·10-s − 4·11-s + 40·12-s − 20·13-s + 2·14-s + 28·15-s + 43·16-s − 10·17-s + 36·18-s − 13·19-s + 70·20-s + 4·21-s + 8·22-s − 13·23-s − 88·24-s − 22·25-s + 40·26-s + 95·27-s + 10·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 1.41·2-s − 2.30·3-s − 5·4-s − 3.13·5-s + 3.26·6-s − 0.377·7-s + 7.77·8-s − 6·9-s + 4.42·10-s − 1.20·11-s + 11.5·12-s − 5.54·13-s + 0.534·14-s + 7.22·15-s + 43/4·16-s − 2.42·17-s + 8.48·18-s − 2.98·19-s + 15.6·20-s + 0.872·21-s + 1.70·22-s − 2.71·23-s − 17.9·24-s − 4.39·25-s + 7.84·26-s + 18.2·27-s + 1.88·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(31^{17} \cdot 41^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(31^{17} \cdot 41^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(31^{17} \cdot 41^{17}\) |
| Sign: | $-1$ |
| Analytic conductor: | \(1.28583\times 10^{17}\) |
| Root analytic conductor: | \(3.18574\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(17\) |
| Selberg data: | \((34,\ 31^{17} \cdot 41^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ -1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 31 | \( ( 1 + T )^{17} \) |
| 41 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 + p T + 7 p T^{2} + 13 p T^{3} + 105 T^{4} + 181 T^{5} + 557 T^{6} + 447 p T^{7} + 1159 p T^{8} + 1739 p T^{9} + 7969 T^{10} + 11237 T^{11} + 23391 T^{12} + 15549 p T^{13} + 7479 p^{3} T^{14} + 75079 T^{15} + 134943 T^{16} + 159701 T^{17} + 134943 p T^{18} + 75079 p^{2} T^{19} + 7479 p^{6} T^{20} + 15549 p^{5} T^{21} + 23391 p^{5} T^{22} + 11237 p^{6} T^{23} + 7969 p^{7} T^{24} + 1739 p^{9} T^{25} + 1159 p^{10} T^{26} + 447 p^{11} T^{27} + 557 p^{11} T^{28} + 181 p^{12} T^{29} + 105 p^{13} T^{30} + 13 p^{15} T^{31} + 7 p^{16} T^{32} + p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 3 | \( 1 + 4 T + 34 T^{2} + 113 T^{3} + 556 T^{4} + 533 p T^{5} + 5908 T^{6} + 5038 p T^{7} + 15401 p T^{8} + 107033 T^{9} + 283954 T^{10} + 602099 T^{11} + 1423792 T^{12} + 308858 p^{2} T^{13} + 5954056 T^{14} + 1192258 p^{2} T^{15} + 21027880 T^{16} + 34976774 T^{17} + 21027880 p T^{18} + 1192258 p^{4} T^{19} + 5954056 p^{3} T^{20} + 308858 p^{6} T^{21} + 1423792 p^{5} T^{22} + 602099 p^{6} T^{23} + 283954 p^{7} T^{24} + 107033 p^{8} T^{25} + 15401 p^{10} T^{26} + 5038 p^{11} T^{27} + 5908 p^{11} T^{28} + 533 p^{13} T^{29} + 556 p^{13} T^{30} + 113 p^{14} T^{31} + 34 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 5 | \( 1 + 7 T + 71 T^{2} + 377 T^{3} + 2292 T^{4} + 10036 T^{5} + 46496 T^{6} + 175398 T^{7} + 675661 T^{8} + 2252531 T^{9} + 1505704 p T^{10} + 22529428 T^{11} + 13380132 p T^{12} + 181425737 T^{13} + 485398242 T^{14} + 1199261481 T^{15} + 582910401 p T^{16} + 6574071526 T^{17} + 582910401 p^{2} T^{18} + 1199261481 p^{2} T^{19} + 485398242 p^{3} T^{20} + 181425737 p^{4} T^{21} + 13380132 p^{6} T^{22} + 22529428 p^{6} T^{23} + 1505704 p^{8} T^{24} + 2252531 p^{8} T^{25} + 675661 p^{9} T^{26} + 175398 p^{10} T^{27} + 46496 p^{11} T^{28} + 10036 p^{12} T^{29} + 2292 p^{13} T^{30} + 377 p^{14} T^{31} + 71 p^{15} T^{32} + 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 + T + 83 T^{2} + 74 T^{3} + 3369 T^{4} + 384 p T^{5} + 88952 T^{6} + 63701 T^{7} + 1714141 T^{8} + 1105054 T^{9} + 25639569 T^{10} + 2133295 p T^{11} + 308965843 T^{12} + 163306671 T^{13} + 438657892 p T^{14} + 30213798 p^{2} T^{15} + 3646518114 p T^{16} + 11279344126 T^{17} + 3646518114 p^{2} T^{18} + 30213798 p^{4} T^{19} + 438657892 p^{4} T^{20} + 163306671 p^{4} T^{21} + 308965843 p^{5} T^{22} + 2133295 p^{7} T^{23} + 25639569 p^{7} T^{24} + 1105054 p^{8} T^{25} + 1714141 p^{9} T^{26} + 63701 p^{10} T^{27} + 88952 p^{11} T^{28} + 384 p^{13} T^{29} + 3369 p^{13} T^{30} + 74 p^{14} T^{31} + 83 p^{15} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 + 4 T + 122 T^{2} + 459 T^{3} + 674 p T^{4} + 26308 T^{5} + 297493 T^{6} + 996407 T^{7} + 8817899 T^{8} + 2531471 p T^{9} + 204734040 T^{10} + 607866673 T^{11} + 3853665742 T^{12} + 10709718645 T^{13} + 60044818545 T^{14} + 155235433701 T^{15} + 783891741678 T^{16} + 1870083257318 T^{17} + 783891741678 p T^{18} + 155235433701 p^{2} T^{19} + 60044818545 p^{3} T^{20} + 10709718645 p^{4} T^{21} + 3853665742 p^{5} T^{22} + 607866673 p^{6} T^{23} + 204734040 p^{7} T^{24} + 2531471 p^{9} T^{25} + 8817899 p^{9} T^{26} + 996407 p^{10} T^{27} + 297493 p^{11} T^{28} + 26308 p^{12} T^{29} + 674 p^{14} T^{30} + 459 p^{14} T^{31} + 122 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 + 20 T + 321 T^{2} + 3698 T^{3} + 37233 T^{4} + 318522 T^{5} + 2472322 T^{6} + 17220535 T^{7} + 111027459 T^{8} + 658745378 T^{9} + 3660785012 T^{10} + 18977276210 T^{11} + 92815052741 T^{12} + 426776030825 T^{13} + 1859611309562 T^{14} + 7651499696149 T^{15} + 29905324346545 T^{16} + 110590293271430 T^{17} + 29905324346545 p T^{18} + 7651499696149 p^{2} T^{19} + 1859611309562 p^{3} T^{20} + 426776030825 p^{4} T^{21} + 92815052741 p^{5} T^{22} + 18977276210 p^{6} T^{23} + 3660785012 p^{7} T^{24} + 658745378 p^{8} T^{25} + 111027459 p^{9} T^{26} + 17220535 p^{10} T^{27} + 2472322 p^{11} T^{28} + 318522 p^{12} T^{29} + 37233 p^{13} T^{30} + 3698 p^{14} T^{31} + 321 p^{15} T^{32} + 20 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 + 10 T + 235 T^{2} + 1992 T^{3} + 26377 T^{4} + 193967 T^{5} + 1886382 T^{6} + 12244623 T^{7} + 96636556 T^{8} + 560769988 T^{9} + 3775091061 T^{10} + 19759868934 T^{11} + 116741146565 T^{12} + 554389320452 T^{13} + 172031014462 p T^{14} + 12638157965219 T^{15} + 60161831489417 T^{16} + 236651396146198 T^{17} + 60161831489417 p T^{18} + 12638157965219 p^{2} T^{19} + 172031014462 p^{4} T^{20} + 554389320452 p^{4} T^{21} + 116741146565 p^{5} T^{22} + 19759868934 p^{6} T^{23} + 3775091061 p^{7} T^{24} + 560769988 p^{8} T^{25} + 96636556 p^{9} T^{26} + 12244623 p^{10} T^{27} + 1886382 p^{11} T^{28} + 193967 p^{12} T^{29} + 26377 p^{13} T^{30} + 1992 p^{14} T^{31} + 235 p^{15} T^{32} + 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + 13 T + 287 T^{2} + 2951 T^{3} + 37710 T^{4} + 322742 T^{5} + 3077024 T^{6} + 22647849 T^{7} + 176981365 T^{8} + 1145488914 T^{9} + 404718135 p T^{10} + 44454474026 T^{11} + 263394339073 T^{12} + 1374823809957 T^{13} + 7310466573207 T^{14} + 34687295797802 T^{15} + 167198491239494 T^{16} + 723381730078210 T^{17} + 167198491239494 p T^{18} + 34687295797802 p^{2} T^{19} + 7310466573207 p^{3} T^{20} + 1374823809957 p^{4} T^{21} + 263394339073 p^{5} T^{22} + 44454474026 p^{6} T^{23} + 404718135 p^{8} T^{24} + 1145488914 p^{8} T^{25} + 176981365 p^{9} T^{26} + 22647849 p^{10} T^{27} + 3077024 p^{11} T^{28} + 322742 p^{12} T^{29} + 37710 p^{13} T^{30} + 2951 p^{14} T^{31} + 287 p^{15} T^{32} + 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 + 13 T + 377 T^{2} + 4105 T^{3} + 66551 T^{4} + 621373 T^{5} + 7338969 T^{6} + 2599654 p T^{7} + 568153064 T^{8} + 4090640164 T^{9} + 32848809502 T^{10} + 210869188211 T^{11} + 1471318385770 T^{12} + 8469402433106 T^{13} + 52209587022182 T^{14} + 270296748280926 T^{15} + 1487037102973916 T^{16} + 6926486508660392 T^{17} + 1487037102973916 p T^{18} + 270296748280926 p^{2} T^{19} + 52209587022182 p^{3} T^{20} + 8469402433106 p^{4} T^{21} + 1471318385770 p^{5} T^{22} + 210869188211 p^{6} T^{23} + 32848809502 p^{7} T^{24} + 4090640164 p^{8} T^{25} + 568153064 p^{9} T^{26} + 2599654 p^{11} T^{27} + 7338969 p^{11} T^{28} + 621373 p^{12} T^{29} + 66551 p^{13} T^{30} + 4105 p^{14} T^{31} + 377 p^{15} T^{32} + 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 5 T + 266 T^{2} + 1460 T^{3} + 34508 T^{4} + 192179 T^{5} + 2876451 T^{6} + 15106342 T^{7} + 169853745 T^{8} + 781570775 T^{9} + 7380348710 T^{10} + 27214958714 T^{11} + 239411410965 T^{12} + 607313367768 T^{13} + 5977051186008 T^{14} + 7209847673660 T^{15} + 134538321839270 T^{16} + 55019844050346 T^{17} + 134538321839270 p T^{18} + 7209847673660 p^{2} T^{19} + 5977051186008 p^{3} T^{20} + 607313367768 p^{4} T^{21} + 239411410965 p^{5} T^{22} + 27214958714 p^{6} T^{23} + 7380348710 p^{7} T^{24} + 781570775 p^{8} T^{25} + 169853745 p^{9} T^{26} + 15106342 p^{10} T^{27} + 2876451 p^{11} T^{28} + 192179 p^{12} T^{29} + 34508 p^{13} T^{30} + 1460 p^{14} T^{31} + 266 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 + 14 T + 451 T^{2} + 4770 T^{3} + 90876 T^{4} + 782947 T^{5} + 11454141 T^{6} + 84129108 T^{7} + 1047354815 T^{8} + 6766165937 T^{9} + 75401437811 T^{10} + 437542643089 T^{11} + 4472977409652 T^{12} + 23632840946982 T^{13} + 224090785695489 T^{14} + 1088435900255161 T^{15} + 9613828327523164 T^{16} + 43258869319473484 T^{17} + 9613828327523164 p T^{18} + 1088435900255161 p^{2} T^{19} + 224090785695489 p^{3} T^{20} + 23632840946982 p^{4} T^{21} + 4472977409652 p^{5} T^{22} + 437542643089 p^{6} T^{23} + 75401437811 p^{7} T^{24} + 6766165937 p^{8} T^{25} + 1047354815 p^{9} T^{26} + 84129108 p^{10} T^{27} + 11454141 p^{11} T^{28} + 782947 p^{12} T^{29} + 90876 p^{13} T^{30} + 4770 p^{14} T^{31} + 451 p^{15} T^{32} + 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 + 15 T + 532 T^{2} + 6750 T^{3} + 131657 T^{4} + 1453260 T^{5} + 20353852 T^{6} + 199649057 T^{7} + 2224128127 T^{8} + 19733895935 T^{9} + 184565493528 T^{10} + 1505607648863 T^{11} + 12253630839223 T^{12} + 93313250949593 T^{13} + 680580874703420 T^{14} + 4896027707106462 T^{15} + 32860401147764084 T^{16} + 224112079310430146 T^{17} + 32860401147764084 p T^{18} + 4896027707106462 p^{2} T^{19} + 680580874703420 p^{3} T^{20} + 93313250949593 p^{4} T^{21} + 12253630839223 p^{5} T^{22} + 1505607648863 p^{6} T^{23} + 184565493528 p^{7} T^{24} + 19733895935 p^{8} T^{25} + 2224128127 p^{9} T^{26} + 199649057 p^{10} T^{27} + 20353852 p^{11} T^{28} + 1453260 p^{12} T^{29} + 131657 p^{13} T^{30} + 6750 p^{14} T^{31} + 532 p^{15} T^{32} + 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 + 6 T + 591 T^{2} + 3321 T^{3} + 167573 T^{4} + 873128 T^{5} + 30354937 T^{6} + 145409861 T^{7} + 3950334348 T^{8} + 17285966373 T^{9} + 394222592562 T^{10} + 1570332535965 T^{11} + 31475126617503 T^{12} + 114176134077313 T^{13} + 2071054774309135 T^{14} + 6870746853557525 T^{15} + 114577949022620530 T^{16} + 349747347362793282 T^{17} + 114577949022620530 p T^{18} + 6870746853557525 p^{2} T^{19} + 2071054774309135 p^{3} T^{20} + 114176134077313 p^{4} T^{21} + 31475126617503 p^{5} T^{22} + 1570332535965 p^{6} T^{23} + 394222592562 p^{7} T^{24} + 17285966373 p^{8} T^{25} + 3950334348 p^{9} T^{26} + 145409861 p^{10} T^{27} + 30354937 p^{11} T^{28} + 873128 p^{12} T^{29} + 167573 p^{13} T^{30} + 3321 p^{14} T^{31} + 591 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 7 T + 563 T^{2} - 4211 T^{3} + 162076 T^{4} - 1228882 T^{5} + 31311432 T^{6} - 233152268 T^{7} + 4506233154 T^{8} - 32292270309 T^{9} + 509587567357 T^{10} - 3465979320337 T^{11} + 46701803061390 T^{12} - 298303695912367 T^{13} + 3534161270100566 T^{14} - 21000828182183048 T^{15} + 223256992772486789 T^{16} - 1222177551762984542 T^{17} + 223256992772486789 p T^{18} - 21000828182183048 p^{2} T^{19} + 3534161270100566 p^{3} T^{20} - 298303695912367 p^{4} T^{21} + 46701803061390 p^{5} T^{22} - 3465979320337 p^{6} T^{23} + 509587567357 p^{7} T^{24} - 32292270309 p^{8} T^{25} + 4506233154 p^{9} T^{26} - 233152268 p^{10} T^{27} + 31311432 p^{11} T^{28} - 1228882 p^{12} T^{29} + 162076 p^{13} T^{30} - 4211 p^{14} T^{31} + 563 p^{15} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 3 T + 653 T^{2} - 2302 T^{3} + 209713 T^{4} - 814330 T^{5} + 44143268 T^{6} - 180312064 T^{7} + 6838858900 T^{8} - 28387300026 T^{9} + 829610178645 T^{10} - 3406290489988 T^{11} + 81815896489507 T^{12} - 325063286213469 T^{13} + 6717780538755184 T^{14} - 25337682051071970 T^{15} + 465947531962626357 T^{16} - 1637656596012673232 T^{17} + 465947531962626357 p T^{18} - 25337682051071970 p^{2} T^{19} + 6717780538755184 p^{3} T^{20} - 325063286213469 p^{4} T^{21} + 81815896489507 p^{5} T^{22} - 3406290489988 p^{6} T^{23} + 829610178645 p^{7} T^{24} - 28387300026 p^{8} T^{25} + 6838858900 p^{9} T^{26} - 180312064 p^{10} T^{27} + 44143268 p^{11} T^{28} - 814330 p^{12} T^{29} + 209713 p^{13} T^{30} - 2302 p^{14} T^{31} + 653 p^{15} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 43 T + 1433 T^{2} + 34535 T^{3} + 715807 T^{4} + 12613404 T^{5} + 199604344 T^{6} + 2832078744 T^{7} + 36952080145 T^{8} + 443745103350 T^{9} + 4977490219508 T^{10} + 52241908194726 T^{11} + 518377114107628 T^{12} + 4873067334058839 T^{13} + 43748419465656087 T^{14} + 375716436961394295 T^{15} + 3104738724670254167 T^{16} + 24684645005272064400 T^{17} + 3104738724670254167 p T^{18} + 375716436961394295 p^{2} T^{19} + 43748419465656087 p^{3} T^{20} + 4873067334058839 p^{4} T^{21} + 518377114107628 p^{5} T^{22} + 52241908194726 p^{6} T^{23} + 4977490219508 p^{7} T^{24} + 443745103350 p^{8} T^{25} + 36952080145 p^{9} T^{26} + 2832078744 p^{10} T^{27} + 199604344 p^{11} T^{28} + 12613404 p^{12} T^{29} + 715807 p^{13} T^{30} + 34535 p^{14} T^{31} + 1433 p^{15} T^{32} + 43 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 + 19 T + 822 T^{2} + 12994 T^{3} + 319755 T^{4} + 4353415 T^{5} + 79467310 T^{6} + 14253477 p T^{7} + 14308757421 T^{8} + 154508851818 T^{9} + 2000002980002 T^{10} + 19650761581590 T^{11} + 226248724470170 T^{12} + 2038920404094552 T^{13} + 21245323504486879 T^{14} + 176319362258936989 T^{15} + 1679812878249691742 T^{16} + 12847920069043396214 T^{17} + 1679812878249691742 p T^{18} + 176319362258936989 p^{2} T^{19} + 21245323504486879 p^{3} T^{20} + 2038920404094552 p^{4} T^{21} + 226248724470170 p^{5} T^{22} + 19650761581590 p^{6} T^{23} + 2000002980002 p^{7} T^{24} + 154508851818 p^{8} T^{25} + 14308757421 p^{9} T^{26} + 14253477 p^{11} T^{27} + 79467310 p^{11} T^{28} + 4353415 p^{12} T^{29} + 319755 p^{13} T^{30} + 12994 p^{14} T^{31} + 822 p^{15} T^{32} + 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 + 744 T^{2} - 609 T^{3} + 263700 T^{4} - 429449 T^{5} + 59701598 T^{6} - 141560993 T^{7} + 9809174939 T^{8} - 29062452353 T^{9} + 1264508059671 T^{10} - 4199817157843 T^{11} + 135046962122690 T^{12} - 461831347628836 T^{13} + 12391151737305424 T^{14} - 41185452689518427 T^{15} + 996369710507860393 T^{16} - 3133290371946350774 T^{17} + 996369710507860393 p T^{18} - 41185452689518427 p^{2} T^{19} + 12391151737305424 p^{3} T^{20} - 461831347628836 p^{4} T^{21} + 135046962122690 p^{5} T^{22} - 4199817157843 p^{6} T^{23} + 1264508059671 p^{7} T^{24} - 29062452353 p^{8} T^{25} + 9809174939 p^{9} T^{26} - 141560993 p^{10} T^{27} + 59701598 p^{11} T^{28} - 429449 p^{12} T^{29} + 263700 p^{13} T^{30} - 609 p^{14} T^{31} + 744 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 + 27 T + 1177 T^{2} + 23764 T^{3} + 606284 T^{4} + 9976507 T^{5} + 190790806 T^{6} + 2681423969 T^{7} + 42144792686 T^{8} + 520259304454 T^{9} + 7036515077701 T^{10} + 77637139953476 T^{11} + 927556652038377 T^{12} + 9246566816543120 T^{13} + 99137739945922141 T^{14} + 898407333397574723 T^{15} + 8725458780122076527 T^{16} + 72052503457015642388 T^{17} + 8725458780122076527 p T^{18} + 898407333397574723 p^{2} T^{19} + 99137739945922141 p^{3} T^{20} + 9246566816543120 p^{4} T^{21} + 927556652038377 p^{5} T^{22} + 77637139953476 p^{6} T^{23} + 7036515077701 p^{7} T^{24} + 520259304454 p^{8} T^{25} + 42144792686 p^{9} T^{26} + 2681423969 p^{10} T^{27} + 190790806 p^{11} T^{28} + 9976507 p^{12} T^{29} + 606284 p^{13} T^{30} + 23764 p^{14} T^{31} + 1177 p^{15} T^{32} + 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 32 T + 1250 T^{2} + 28474 T^{3} + 676062 T^{4} + 12320900 T^{5} + 224326014 T^{6} + 3462847015 T^{7} + 52593494266 T^{8} + 710210143599 T^{9} + 9376701126756 T^{10} + 112942272156651 T^{11} + 1326376591306302 T^{12} + 14420984119148281 T^{13} + 152682401844293864 T^{14} + 1508808177728500908 T^{15} + 14511737171256475967 T^{16} + \)\(13\!\cdots\!82\)\( T^{17} + 14511737171256475967 p T^{18} + 1508808177728500908 p^{2} T^{19} + 152682401844293864 p^{3} T^{20} + 14420984119148281 p^{4} T^{21} + 1326376591306302 p^{5} T^{22} + 112942272156651 p^{6} T^{23} + 9376701126756 p^{7} T^{24} + 710210143599 p^{8} T^{25} + 52593494266 p^{9} T^{26} + 3462847015 p^{10} T^{27} + 224326014 p^{11} T^{28} + 12320900 p^{12} T^{29} + 676062 p^{13} T^{30} + 28474 p^{14} T^{31} + 1250 p^{15} T^{32} + 32 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 + 14 T + 684 T^{2} + 6831 T^{3} + 216157 T^{4} + 1642266 T^{5} + 45797765 T^{6} + 277667898 T^{7} + 7637230329 T^{8} + 38130005826 T^{9} + 12860003152 p T^{10} + 4461067163949 T^{11} + 128230850198528 T^{12} + 457967791975281 T^{13} + 13496042864832756 T^{14} + 42705908028322246 T^{15} + 1259576172654709842 T^{16} + 3682971928469254946 T^{17} + 1259576172654709842 p T^{18} + 42705908028322246 p^{2} T^{19} + 13496042864832756 p^{3} T^{20} + 457967791975281 p^{4} T^{21} + 128230850198528 p^{5} T^{22} + 4461067163949 p^{6} T^{23} + 12860003152 p^{8} T^{24} + 38130005826 p^{8} T^{25} + 7637230329 p^{9} T^{26} + 277667898 p^{10} T^{27} + 45797765 p^{11} T^{28} + 1642266 p^{12} T^{29} + 216157 p^{13} T^{30} + 6831 p^{14} T^{31} + 684 p^{15} T^{32} + 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 + 22 T + 1052 T^{2} + 19349 T^{3} + 505648 T^{4} + 7901735 T^{5} + 148185003 T^{6} + 1996069031 T^{7} + 29933048987 T^{8} + 352726690796 T^{9} + 4501751996947 T^{10} + 47261551781030 T^{11} + 538460597678393 T^{12} + 5164396509643462 T^{13} + 54865752958356350 T^{14} + 496477004678203934 T^{15} + 5102386735930805443 T^{16} + 44909430439663715674 T^{17} + 5102386735930805443 p T^{18} + 496477004678203934 p^{2} T^{19} + 54865752958356350 p^{3} T^{20} + 5164396509643462 p^{4} T^{21} + 538460597678393 p^{5} T^{22} + 47261551781030 p^{6} T^{23} + 4501751996947 p^{7} T^{24} + 352726690796 p^{8} T^{25} + 29933048987 p^{9} T^{26} + 1996069031 p^{10} T^{27} + 148185003 p^{11} T^{28} + 7901735 p^{12} T^{29} + 505648 p^{13} T^{30} + 19349 p^{14} T^{31} + 1052 p^{15} T^{32} + 22 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 25 T + 1373 T^{2} + 27644 T^{3} + 857635 T^{4} + 14444816 T^{5} + 328342744 T^{6} + 4741196290 T^{7} + 87259357563 T^{8} + 1099678439831 T^{9} + 17300524409838 T^{10} + 193258537282789 T^{11} + 2697378184331886 T^{12} + 27155866854605095 T^{13} + 346307087801929481 T^{14} + 3202631255102803057 T^{15} + 38139468212003342215 T^{16} + \)\(32\!\cdots\!74\)\( T^{17} + 38139468212003342215 p T^{18} + 3202631255102803057 p^{2} T^{19} + 346307087801929481 p^{3} T^{20} + 27155866854605095 p^{4} T^{21} + 2697378184331886 p^{5} T^{22} + 193258537282789 p^{6} T^{23} + 17300524409838 p^{7} T^{24} + 1099678439831 p^{8} T^{25} + 87259357563 p^{9} T^{26} + 4741196290 p^{10} T^{27} + 328342744 p^{11} T^{28} + 14444816 p^{12} T^{29} + 857635 p^{13} T^{30} + 27644 p^{14} T^{31} + 1373 p^{15} T^{32} + 25 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.10905485530830093641733031548, −3.01186856539264275890243823779, −2.82280839777436196046706812475, −2.65586754887274625194327922772, −2.62835007701094410039804538872, −2.61454540716856634014351118911, −2.59482945352495159314971833665, −2.55525515393209170754560953208, −2.39010930035342798389343871110, −2.24609337639148314608562058667, −2.19630161279202291345621046411, −2.18429396690289729913448079326, −2.18426517786917408927474681778, −1.98512303143144388658645371797, −1.94465378592278437807269299759, −1.93586942127774111775747739263, −1.89825701272945453448809435484, −1.65833727707058603911454644454, −1.56044394844710488474306621412, −1.54548579561115948611492828771, −1.48009392317816174665770999480, −1.31026511950409443073336972005, −1.17214783726623008278837131334, −1.14829560013749330233203403056, −1.06956254819122172091424582123, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.06956254819122172091424582123, 1.14829560013749330233203403056, 1.17214783726623008278837131334, 1.31026511950409443073336972005, 1.48009392317816174665770999480, 1.54548579561115948611492828771, 1.56044394844710488474306621412, 1.65833727707058603911454644454, 1.89825701272945453448809435484, 1.93586942127774111775747739263, 1.94465378592278437807269299759, 1.98512303143144388658645371797, 2.18426517786917408927474681778, 2.18429396690289729913448079326, 2.19630161279202291345621046411, 2.24609337639148314608562058667, 2.39010930035342798389343871110, 2.55525515393209170754560953208, 2.59482945352495159314971833665, 2.61454540716856634014351118911, 2.62835007701094410039804538872, 2.65586754887274625194327922772, 2.82280839777436196046706812475, 3.01186856539264275890243823779, 3.10905485530830093641733031548
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.