Properties

Label 34-1226e17-1.1-c1e17-0-0
Degree $34$
Conductor $3.194\times 10^{52}$
Sign $1$
Analytic cond. $6.96704\times 10^{16}$
Root an. cond. $3.12884$
Motivic weight $1$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 17·2-s + 4·3-s + 153·4-s − 5·5-s − 68·6-s + 7·7-s − 969·8-s − 7·9-s + 85·10-s + 8·11-s + 612·12-s + 9·13-s − 119·14-s − 20·15-s + 4.84e3·16-s − 17-s + 119·18-s + 32·19-s − 765·20-s + 28·21-s − 136·22-s − 5·23-s − 3.87e3·24-s − 15·25-s − 153·26-s − 48·27-s + 1.07e3·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 12.0·2-s + 2.30·3-s + 76.5·4-s − 2.23·5-s − 27.7·6-s + 2.64·7-s − 342.·8-s − 7/3·9-s + 26.8·10-s + 2.41·11-s + 176.·12-s + 2.49·13-s − 31.8·14-s − 5.16·15-s + 1.21e3·16-s − 0.242·17-s + 28.0·18-s + 7.34·19-s − 171.·20-s + 6.11·21-s − 28.9·22-s − 1.04·23-s − 791.·24-s − 3·25-s − 30.0·26-s − 9.23·27-s + 202.·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 613^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 613^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(34\)
Conductor: \(2^{17} \cdot 613^{17}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(6.96704\times 10^{16}\)
Root analytic conductor: \(3.12884\)
Motivic weight: \(1\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((34,\ 2^{17} \cdot 613^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(1)\) \(\approx\) \(0.2481382055\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(0.2481382055\)
\(L(\frac{3}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad2 \( ( 1 + T )^{17} \)
613 \( ( 1 - T )^{17} \)
good3 \( 1 - 4 T + 23 T^{2} - 8 p^{2} T^{3} + 85 p T^{4} - 662 T^{5} + 617 p T^{6} - 4252 T^{7} + 1156 p^{2} T^{8} - 22202 T^{9} + 5548 p^{2} T^{10} - 100870 T^{11} + 70436 p T^{12} - 403076 T^{13} + 788438 T^{14} - 1419542 T^{15} + 2616164 T^{16} - 4476176 T^{17} + 2616164 p T^{18} - 1419542 p^{2} T^{19} + 788438 p^{3} T^{20} - 403076 p^{4} T^{21} + 70436 p^{6} T^{22} - 100870 p^{6} T^{23} + 5548 p^{9} T^{24} - 22202 p^{8} T^{25} + 1156 p^{11} T^{26} - 4252 p^{10} T^{27} + 617 p^{12} T^{28} - 662 p^{12} T^{29} + 85 p^{14} T^{30} - 8 p^{16} T^{31} + 23 p^{15} T^{32} - 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
5 \( 1 + p T + 8 p T^{2} + 166 T^{3} + 814 T^{4} + 587 p T^{5} + 11319 T^{6} + 36467 T^{7} + 121027 T^{8} + 355394 T^{9} + 1057208 T^{10} + 2870324 T^{11} + 313043 p^{2} T^{12} + 19836993 T^{13} + 10051832 p T^{14} + 4784084 p^{2} T^{15} + 283919956 T^{16} + 635806428 T^{17} + 283919956 p T^{18} + 4784084 p^{4} T^{19} + 10051832 p^{4} T^{20} + 19836993 p^{4} T^{21} + 313043 p^{7} T^{22} + 2870324 p^{6} T^{23} + 1057208 p^{7} T^{24} + 355394 p^{8} T^{25} + 121027 p^{9} T^{26} + 36467 p^{10} T^{27} + 11319 p^{11} T^{28} + 587 p^{13} T^{29} + 814 p^{13} T^{30} + 166 p^{14} T^{31} + 8 p^{16} T^{32} + p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
7 \( 1 - p T + 58 T^{2} - 274 T^{3} + 1423 T^{4} - 5416 T^{5} + 22667 T^{6} - 76158 T^{7} + 40645 p T^{8} - 126908 p T^{9} + 3083567 T^{10} - 9081402 T^{11} + 29511903 T^{12} - 82035608 T^{13} + 251034291 T^{14} - 661682934 T^{15} + 1924594061 T^{16} - 4842752682 T^{17} + 1924594061 p T^{18} - 661682934 p^{2} T^{19} + 251034291 p^{3} T^{20} - 82035608 p^{4} T^{21} + 29511903 p^{5} T^{22} - 9081402 p^{6} T^{23} + 3083567 p^{7} T^{24} - 126908 p^{9} T^{25} + 40645 p^{10} T^{26} - 76158 p^{10} T^{27} + 22667 p^{11} T^{28} - 5416 p^{12} T^{29} + 1423 p^{13} T^{30} - 274 p^{14} T^{31} + 58 p^{15} T^{32} - p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
11 \( 1 - 8 T + 78 T^{2} - 490 T^{3} + 2900 T^{4} - 14486 T^{5} + 69136 T^{6} - 293638 T^{7} + 1241267 T^{8} - 4860804 T^{9} + 1731089 p T^{10} - 71692914 T^{11} + 270340392 T^{12} - 982794154 T^{13} + 3604826300 T^{14} - 12631408510 T^{15} + 44108607889 T^{16} - 147491172008 T^{17} + 44108607889 p T^{18} - 12631408510 p^{2} T^{19} + 3604826300 p^{3} T^{20} - 982794154 p^{4} T^{21} + 270340392 p^{5} T^{22} - 71692914 p^{6} T^{23} + 1731089 p^{8} T^{24} - 4860804 p^{8} T^{25} + 1241267 p^{9} T^{26} - 293638 p^{10} T^{27} + 69136 p^{11} T^{28} - 14486 p^{12} T^{29} + 2900 p^{13} T^{30} - 490 p^{14} T^{31} + 78 p^{15} T^{32} - 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
13 \( 1 - 9 T + 132 T^{2} - 942 T^{3} + 8436 T^{4} - 51037 T^{5} + 354743 T^{6} - 1892543 T^{7} + 856619 p T^{8} - 53652798 T^{9} + 278838616 T^{10} - 1230964012 T^{11} + 444967253 p T^{12} - 1815153993 p T^{13} + 101650594122 T^{14} - 384853522588 T^{15} + 1532049650624 T^{16} - 5390725388884 T^{17} + 1532049650624 p T^{18} - 384853522588 p^{2} T^{19} + 101650594122 p^{3} T^{20} - 1815153993 p^{5} T^{21} + 444967253 p^{6} T^{22} - 1230964012 p^{6} T^{23} + 278838616 p^{7} T^{24} - 53652798 p^{8} T^{25} + 856619 p^{10} T^{26} - 1892543 p^{10} T^{27} + 354743 p^{11} T^{28} - 51037 p^{12} T^{29} + 8436 p^{13} T^{30} - 942 p^{14} T^{31} + 132 p^{15} T^{32} - 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
17 \( 1 + T + 139 T^{2} + 14 p T^{3} + 9615 T^{4} + 22317 T^{5} + 449050 T^{6} + 1257737 T^{7} + 16063863 T^{8} + 50485362 T^{9} + 27650750 p T^{10} + 1575486412 T^{11} + 11690597045 T^{12} + 40167201065 T^{13} + 253098451790 T^{14} + 861384050893 T^{15} + 4839348833219 T^{16} + 15793596871502 T^{17} + 4839348833219 p T^{18} + 861384050893 p^{2} T^{19} + 253098451790 p^{3} T^{20} + 40167201065 p^{4} T^{21} + 11690597045 p^{5} T^{22} + 1575486412 p^{6} T^{23} + 27650750 p^{8} T^{24} + 50485362 p^{8} T^{25} + 16063863 p^{9} T^{26} + 1257737 p^{10} T^{27} + 449050 p^{11} T^{28} + 22317 p^{12} T^{29} + 9615 p^{13} T^{30} + 14 p^{15} T^{31} + 139 p^{15} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
19 \( 1 - 32 T + 649 T^{2} - 9684 T^{3} + 117851 T^{4} - 1216262 T^{5} + 10992757 T^{6} - 88577059 T^{7} + 646416806 T^{8} - 4318390031 T^{9} + 26679136162 T^{10} - 153666065813 T^{11} + 832103476578 T^{12} - 224623023991 p T^{13} + 20897004192068 T^{14} - 98349392250356 T^{15} + 447699216589384 T^{16} - 1978771996002028 T^{17} + 447699216589384 p T^{18} - 98349392250356 p^{2} T^{19} + 20897004192068 p^{3} T^{20} - 224623023991 p^{5} T^{21} + 832103476578 p^{5} T^{22} - 153666065813 p^{6} T^{23} + 26679136162 p^{7} T^{24} - 4318390031 p^{8} T^{25} + 646416806 p^{9} T^{26} - 88577059 p^{10} T^{27} + 10992757 p^{11} T^{28} - 1216262 p^{12} T^{29} + 117851 p^{13} T^{30} - 9684 p^{14} T^{31} + 649 p^{15} T^{32} - 32 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
23 \( 1 + 5 T + 228 T^{2} + 1212 T^{3} + 26448 T^{4} + 143349 T^{5} + 2074185 T^{6} + 11094116 T^{7} + 122639118 T^{8} + 632594274 T^{9} + 5768765908 T^{10} + 28263310326 T^{11} + 222463941930 T^{12} + 1024641241540 T^{13} + 7160126219696 T^{14} + 30752245031258 T^{15} + 194343274312364 T^{16} + 772080265270336 T^{17} + 194343274312364 p T^{18} + 30752245031258 p^{2} T^{19} + 7160126219696 p^{3} T^{20} + 1024641241540 p^{4} T^{21} + 222463941930 p^{5} T^{22} + 28263310326 p^{6} T^{23} + 5768765908 p^{7} T^{24} + 632594274 p^{8} T^{25} + 122639118 p^{9} T^{26} + 11094116 p^{10} T^{27} + 2074185 p^{11} T^{28} + 143349 p^{12} T^{29} + 26448 p^{13} T^{30} + 1212 p^{14} T^{31} + 228 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
29 \( 1 - 3 T + 212 T^{2} - 462 T^{3} + 785 p T^{4} - 30900 T^{5} + 1660011 T^{6} - 936618 T^{7} + 93235101 T^{8} + 13165332 T^{9} + 4344476443 T^{10} + 3008883010 T^{11} + 175824819741 T^{12} + 183546876404 T^{13} + 6330636155507 T^{14} + 7587287972630 T^{15} + 204466457768263 T^{16} + 244884009771806 T^{17} + 204466457768263 p T^{18} + 7587287972630 p^{2} T^{19} + 6330636155507 p^{3} T^{20} + 183546876404 p^{4} T^{21} + 175824819741 p^{5} T^{22} + 3008883010 p^{6} T^{23} + 4344476443 p^{7} T^{24} + 13165332 p^{8} T^{25} + 93235101 p^{9} T^{26} - 936618 p^{10} T^{27} + 1660011 p^{11} T^{28} - 30900 p^{12} T^{29} + 785 p^{14} T^{30} - 462 p^{14} T^{31} + 212 p^{15} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
31 \( 1 - 27 T + 570 T^{2} - 8146 T^{3} + 102276 T^{4} - 1050361 T^{5} + 10062763 T^{6} - 85043999 T^{7} + 696308193 T^{8} - 5210604648 T^{9} + 38393424134 T^{10} - 8446235198 p T^{11} + 1769649466911 T^{12} - 11153843938277 T^{13} + 70174138878226 T^{14} - 13363952599764 p T^{15} + 2451462923420646 T^{16} - 13631365551311268 T^{17} + 2451462923420646 p T^{18} - 13363952599764 p^{3} T^{19} + 70174138878226 p^{3} T^{20} - 11153843938277 p^{4} T^{21} + 1769649466911 p^{5} T^{22} - 8446235198 p^{7} T^{23} + 38393424134 p^{7} T^{24} - 5210604648 p^{8} T^{25} + 696308193 p^{9} T^{26} - 85043999 p^{10} T^{27} + 10062763 p^{11} T^{28} - 1050361 p^{12} T^{29} + 102276 p^{13} T^{30} - 8146 p^{14} T^{31} + 570 p^{15} T^{32} - 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
37 \( 1 - 7 T + 410 T^{2} - 3268 T^{3} + 83911 T^{4} - 718684 T^{5} + 11472609 T^{6} - 99854508 T^{7} + 1174546367 T^{8} - 9903036300 T^{9} + 2568149789 p T^{10} - 749659447492 T^{11} + 6235890681039 T^{12} - 45129501619044 T^{13} + 336298454868593 T^{14} - 2215708887933964 T^{15} + 15001170985735537 T^{16} - 89955132895922202 T^{17} + 15001170985735537 p T^{18} - 2215708887933964 p^{2} T^{19} + 336298454868593 p^{3} T^{20} - 45129501619044 p^{4} T^{21} + 6235890681039 p^{5} T^{22} - 749659447492 p^{6} T^{23} + 2568149789 p^{8} T^{24} - 9903036300 p^{8} T^{25} + 1174546367 p^{9} T^{26} - 99854508 p^{10} T^{27} + 11472609 p^{11} T^{28} - 718684 p^{12} T^{29} + 83911 p^{13} T^{30} - 3268 p^{14} T^{31} + 410 p^{15} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
41 \( 1 + 2 T + 296 T^{2} + 154 T^{3} + 40053 T^{4} - 43464 T^{5} + 3420232 T^{6} - 8948437 T^{7} + 221052339 T^{8} - 799672074 T^{9} + 12178899765 T^{10} - 46634674229 T^{11} + 588902325509 T^{12} - 2216189108402 T^{13} + 24752104659287 T^{14} - 99787746976033 T^{15} + 963133188793335 T^{16} - 4273122112139889 T^{17} + 963133188793335 p T^{18} - 99787746976033 p^{2} T^{19} + 24752104659287 p^{3} T^{20} - 2216189108402 p^{4} T^{21} + 588902325509 p^{5} T^{22} - 46634674229 p^{6} T^{23} + 12178899765 p^{7} T^{24} - 799672074 p^{8} T^{25} + 221052339 p^{9} T^{26} - 8948437 p^{10} T^{27} + 3420232 p^{11} T^{28} - 43464 p^{12} T^{29} + 40053 p^{13} T^{30} + 154 p^{14} T^{31} + 296 p^{15} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
43 \( 1 - 36 T + 961 T^{2} - 19064 T^{3} + 323115 T^{4} - 4720338 T^{5} + 62029913 T^{6} - 737902299 T^{7} + 8103187762 T^{8} - 82497798869 T^{9} + 787346686550 T^{10} - 7064380380649 T^{11} + 60013051198584 T^{12} - 483557475352413 T^{13} + 3713245841806772 T^{14} - 27194279073468700 T^{15} + 190531136747998510 T^{16} - 1276560864699924752 T^{17} + 190531136747998510 p T^{18} - 27194279073468700 p^{2} T^{19} + 3713245841806772 p^{3} T^{20} - 483557475352413 p^{4} T^{21} + 60013051198584 p^{5} T^{22} - 7064380380649 p^{6} T^{23} + 787346686550 p^{7} T^{24} - 82497798869 p^{8} T^{25} + 8103187762 p^{9} T^{26} - 737902299 p^{10} T^{27} + 62029913 p^{11} T^{28} - 4720338 p^{12} T^{29} + 323115 p^{13} T^{30} - 19064 p^{14} T^{31} + 961 p^{15} T^{32} - 36 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
47 \( 1 + 3 T + 544 T^{2} + 1030 T^{3} + 141459 T^{4} + 109016 T^{5} + 23419511 T^{6} - 9135982 T^{7} + 2778284785 T^{8} - 93579540 p T^{9} + 252766195725 T^{10} - 696101346202 T^{11} + 18513053601539 T^{12} - 69829356570648 T^{13} + 24177581474801 p T^{14} - 5027103302869630 T^{15} + 60423725718955627 T^{16} - 271300298181491502 T^{17} + 60423725718955627 p T^{18} - 5027103302869630 p^{2} T^{19} + 24177581474801 p^{4} T^{20} - 69829356570648 p^{4} T^{21} + 18513053601539 p^{5} T^{22} - 696101346202 p^{6} T^{23} + 252766195725 p^{7} T^{24} - 93579540 p^{9} T^{25} + 2778284785 p^{9} T^{26} - 9135982 p^{10} T^{27} + 23419511 p^{11} T^{28} + 109016 p^{12} T^{29} + 141459 p^{13} T^{30} + 1030 p^{14} T^{31} + 544 p^{15} T^{32} + 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
53 \( 1 + 20 T + 578 T^{2} + 9493 T^{3} + 165702 T^{4} + 2255847 T^{5} + 30606271 T^{6} + 356301842 T^{7} + 4078909502 T^{8} + 41813824475 T^{9} + 420255458820 T^{10} + 3876753080588 T^{11} + 35115725795935 T^{12} + 296349827213125 T^{13} + 2465412116117128 T^{14} + 19290210386510021 T^{15} + 149279408794803443 T^{16} + 1092146643532418634 T^{17} + 149279408794803443 p T^{18} + 19290210386510021 p^{2} T^{19} + 2465412116117128 p^{3} T^{20} + 296349827213125 p^{4} T^{21} + 35115725795935 p^{5} T^{22} + 3876753080588 p^{6} T^{23} + 420255458820 p^{7} T^{24} + 41813824475 p^{8} T^{25} + 4078909502 p^{9} T^{26} + 356301842 p^{10} T^{27} + 30606271 p^{11} T^{28} + 2255847 p^{12} T^{29} + 165702 p^{13} T^{30} + 9493 p^{14} T^{31} + 578 p^{15} T^{32} + 20 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
59 \( 1 - 34 T + 1086 T^{2} - 24058 T^{3} + 484522 T^{4} - 8268834 T^{5} + 2200486 p T^{6} - 1836202678 T^{7} + 24206895991 T^{8} - 295072815180 T^{9} + 3385400940951 T^{10} - 36400593734130 T^{11} + 370800765849330 T^{12} - 3567030363603998 T^{13} + 32642673267601962 T^{14} - 283316281145497918 T^{15} + 2344435512053355609 T^{16} - 18436161916384564452 T^{17} + 2344435512053355609 p T^{18} - 283316281145497918 p^{2} T^{19} + 32642673267601962 p^{3} T^{20} - 3567030363603998 p^{4} T^{21} + 370800765849330 p^{5} T^{22} - 36400593734130 p^{6} T^{23} + 3385400940951 p^{7} T^{24} - 295072815180 p^{8} T^{25} + 24206895991 p^{9} T^{26} - 1836202678 p^{10} T^{27} + 2200486 p^{12} T^{28} - 8268834 p^{12} T^{29} + 484522 p^{13} T^{30} - 24058 p^{14} T^{31} + 1086 p^{15} T^{32} - 34 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
61 \( 1 - 49 T + 1566 T^{2} - 36724 T^{3} + 711091 T^{4} - 11720252 T^{5} + 170871205 T^{6} - 2237243084 T^{7} + 26859319779 T^{8} - 298887813188 T^{9} + 3128630228405 T^{10} - 31062245135108 T^{11} + 295504069635955 T^{12} - 2704491933005444 T^{13} + 23918035352728141 T^{14} - 204236798110816508 T^{15} + 1684879191309048813 T^{16} - 13397952539029617238 T^{17} + 1684879191309048813 p T^{18} - 204236798110816508 p^{2} T^{19} + 23918035352728141 p^{3} T^{20} - 2704491933005444 p^{4} T^{21} + 295504069635955 p^{5} T^{22} - 31062245135108 p^{6} T^{23} + 3128630228405 p^{7} T^{24} - 298887813188 p^{8} T^{25} + 26859319779 p^{9} T^{26} - 2237243084 p^{10} T^{27} + 170871205 p^{11} T^{28} - 11720252 p^{12} T^{29} + 711091 p^{13} T^{30} - 36724 p^{14} T^{31} + 1566 p^{15} T^{32} - 49 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
67 \( 1 - 36 T + 1289 T^{2} - 29928 T^{3} + 661015 T^{4} - 11821558 T^{5} + 200999661 T^{6} - 2984858745 T^{7} + 42314974910 T^{8} - 542720836281 T^{9} + 6671701559642 T^{10} - 75625028878603 T^{11} + 824196191840886 T^{12} - 8373417876726471 T^{13} + 81970651392234964 T^{14} - 752621818332825656 T^{15} + 6667070848905677864 T^{16} - 55547028894580590260 T^{17} + 6667070848905677864 p T^{18} - 752621818332825656 p^{2} T^{19} + 81970651392234964 p^{3} T^{20} - 8373417876726471 p^{4} T^{21} + 824196191840886 p^{5} T^{22} - 75625028878603 p^{6} T^{23} + 6671701559642 p^{7} T^{24} - 542720836281 p^{8} T^{25} + 42314974910 p^{9} T^{26} - 2984858745 p^{10} T^{27} + 200999661 p^{11} T^{28} - 11821558 p^{12} T^{29} + 661015 p^{13} T^{30} - 29928 p^{14} T^{31} + 1289 p^{15} T^{32} - 36 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
71 \( 1 + T + 474 T^{2} + 1442 T^{3} + 115423 T^{4} + 549564 T^{5} + 19880827 T^{6} + 118665126 T^{7} + 2735437987 T^{8} + 18288443236 T^{9} + 316432186959 T^{10} + 2235059978850 T^{11} + 31628805083759 T^{12} + 228130388525124 T^{13} + 2787164897610403 T^{14} + 19962556675910294 T^{15} + 219671037470320589 T^{16} + 1517436282571647414 T^{17} + 219671037470320589 p T^{18} + 19962556675910294 p^{2} T^{19} + 2787164897610403 p^{3} T^{20} + 228130388525124 p^{4} T^{21} + 31628805083759 p^{5} T^{22} + 2235059978850 p^{6} T^{23} + 316432186959 p^{7} T^{24} + 18288443236 p^{8} T^{25} + 2735437987 p^{9} T^{26} + 118665126 p^{10} T^{27} + 19880827 p^{11} T^{28} + 549564 p^{12} T^{29} + 115423 p^{13} T^{30} + 1442 p^{14} T^{31} + 474 p^{15} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
73 \( 1 - 24 T + 1019 T^{2} - 18056 T^{3} + 441790 T^{4} - 6300648 T^{5} + 114545450 T^{6} - 1383206568 T^{7} + 20616957234 T^{8} - 217947577808 T^{9} + 2807141050462 T^{10} - 26620365387608 T^{11} + 306780772845918 T^{12} - 2665464447601432 T^{13} + 387070718000778 p T^{14} - 229424052652572536 T^{15} + 2286803777336945596 T^{16} - 17608483977132516400 T^{17} + 2286803777336945596 p T^{18} - 229424052652572536 p^{2} T^{19} + 387070718000778 p^{4} T^{20} - 2665464447601432 p^{4} T^{21} + 306780772845918 p^{5} T^{22} - 26620365387608 p^{6} T^{23} + 2807141050462 p^{7} T^{24} - 217947577808 p^{8} T^{25} + 20616957234 p^{9} T^{26} - 1383206568 p^{10} T^{27} + 114545450 p^{11} T^{28} - 6300648 p^{12} T^{29} + 441790 p^{13} T^{30} - 18056 p^{14} T^{31} + 1019 p^{15} T^{32} - 24 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
79 \( 1 - 43 T + 1496 T^{2} - 37440 T^{3} + 825988 T^{4} - 15534409 T^{5} + 267374535 T^{6} - 4150302552 T^{7} + 60197934584 T^{8} - 808825239504 T^{9} + 10284506279680 T^{10} - 122952374519364 T^{11} + 1402136137471284 T^{12} - 15164137738142032 T^{13} + 157186873963831182 T^{14} - 1552651794012110712 T^{15} + 14736570485391987664 T^{16} - \)\(13\!\cdots\!92\)\( T^{17} + 14736570485391987664 p T^{18} - 1552651794012110712 p^{2} T^{19} + 157186873963831182 p^{3} T^{20} - 15164137738142032 p^{4} T^{21} + 1402136137471284 p^{5} T^{22} - 122952374519364 p^{6} T^{23} + 10284506279680 p^{7} T^{24} - 808825239504 p^{8} T^{25} + 60197934584 p^{9} T^{26} - 4150302552 p^{10} T^{27} + 267374535 p^{11} T^{28} - 15534409 p^{12} T^{29} + 825988 p^{13} T^{30} - 37440 p^{14} T^{31} + 1496 p^{15} T^{32} - 43 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
83 \( 1 - 10 T + 930 T^{2} - 9448 T^{3} + 424128 T^{4} - 4396436 T^{5} + 126196248 T^{6} - 1335230640 T^{7} + 27511445007 T^{8} - 295789567072 T^{9} + 4680376906511 T^{10} - 50616611652544 T^{11} + 646230996602776 T^{12} - 6914722303514860 T^{13} + 74301930547032672 T^{14} - 768717674286106600 T^{15} + 7229815417621781989 T^{16} - 70256606232793369388 T^{17} + 7229815417621781989 p T^{18} - 768717674286106600 p^{2} T^{19} + 74301930547032672 p^{3} T^{20} - 6914722303514860 p^{4} T^{21} + 646230996602776 p^{5} T^{22} - 50616611652544 p^{6} T^{23} + 4680376906511 p^{7} T^{24} - 295789567072 p^{8} T^{25} + 27511445007 p^{9} T^{26} - 1335230640 p^{10} T^{27} + 126196248 p^{11} T^{28} - 4396436 p^{12} T^{29} + 424128 p^{13} T^{30} - 9448 p^{14} T^{31} + 930 p^{15} T^{32} - 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
89 \( 1 + 12 T + 238 T^{2} + 1792 T^{3} + 28239 T^{4} + 236710 T^{5} + 3196892 T^{6} + 27475349 T^{7} + 351583589 T^{8} + 2454288652 T^{9} + 29151244235 T^{10} + 114488103123 T^{11} + 2393983806575 T^{12} + 10530382452198 T^{13} + 207444840166271 T^{14} + 714504172941661 T^{15} + 13580906216619191 T^{16} + 57506798731210893 T^{17} + 13580906216619191 p T^{18} + 714504172941661 p^{2} T^{19} + 207444840166271 p^{3} T^{20} + 10530382452198 p^{4} T^{21} + 2393983806575 p^{5} T^{22} + 114488103123 p^{6} T^{23} + 29151244235 p^{7} T^{24} + 2454288652 p^{8} T^{25} + 351583589 p^{9} T^{26} + 27475349 p^{10} T^{27} + 3196892 p^{11} T^{28} + 236710 p^{12} T^{29} + 28239 p^{13} T^{30} + 1792 p^{14} T^{31} + 238 p^{15} T^{32} + 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
97 \( 1 - 26 T + 1364 T^{2} - 28150 T^{3} + 848553 T^{4} - 14706964 T^{5} + 329020748 T^{6} - 4951487205 T^{7} + 90564375063 T^{8} - 1209459165010 T^{9} + 19006971681097 T^{10} - 228672130779045 T^{11} + 3180460270424737 T^{12} - 34836678091911426 T^{13} + 436966283911983151 T^{14} - 4387193293329160001 T^{15} + 50214874338635782415 T^{16} - \)\(46\!\cdots\!61\)\( T^{17} + 50214874338635782415 p T^{18} - 4387193293329160001 p^{2} T^{19} + 436966283911983151 p^{3} T^{20} - 34836678091911426 p^{4} T^{21} + 3180460270424737 p^{5} T^{22} - 228672130779045 p^{6} T^{23} + 19006971681097 p^{7} T^{24} - 1209459165010 p^{8} T^{25} + 90564375063 p^{9} T^{26} - 4951487205 p^{10} T^{27} + 329020748 p^{11} T^{28} - 14706964 p^{12} T^{29} + 848553 p^{13} T^{30} - 28150 p^{14} T^{31} + 1364 p^{15} T^{32} - 26 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.27946782233342266290957017607, −2.26158655962395901414011341898, −2.07871435398747607929816095409, −2.07429730994902412848570988763, −2.06615385321034094971221697261, −1.96766263498289104736014648686, −1.84237409661656029136618956657, −1.81443437857918287536909953618, −1.51107622087040303688973730844, −1.46288913526596488496625940812, −1.42023160503569495410586455231, −1.37083555596854674276115537275, −1.28767084067195169907349540116, −1.18457830085395456482477613562, −1.02333433485314657758769948354, −0.923309300086808626867349975820, −0.922221553150073310009841656566, −0.893528886499419460486572508158, −0.890336581149373281281713491343, −0.77419492431925779003682294121, −0.65858066576955026302503714680, −0.56905936391200552067898175650, −0.49991571659671357713328288770, −0.38551465520600812555961035482, −0.16176040730100231554471537180, 0.16176040730100231554471537180, 0.38551465520600812555961035482, 0.49991571659671357713328288770, 0.56905936391200552067898175650, 0.65858066576955026302503714680, 0.77419492431925779003682294121, 0.890336581149373281281713491343, 0.893528886499419460486572508158, 0.922221553150073310009841656566, 0.923309300086808626867349975820, 1.02333433485314657758769948354, 1.18457830085395456482477613562, 1.28767084067195169907349540116, 1.37083555596854674276115537275, 1.42023160503569495410586455231, 1.46288913526596488496625940812, 1.51107622087040303688973730844, 1.81443437857918287536909953618, 1.84237409661656029136618956657, 1.96766263498289104736014648686, 2.06615385321034094971221697261, 2.07429730994902412848570988763, 2.07871435398747607929816095409, 2.26158655962395901414011341898, 2.27946782233342266290957017607

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.