Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 17·2-s + 6·3-s + 153·4-s + 5·5-s + 102·6-s + 13·7-s + 969·8-s + 3·9-s + 85·10-s + 16·11-s + 918·12-s + 3·13-s + 221·14-s + 30·15-s + 4.84e3·16-s − 4·17-s + 51·18-s + 18·19-s + 765·20-s + 78·21-s + 272·22-s + 25·23-s + 5.81e3·24-s − 22·25-s + 51·26-s − 57·27-s + 1.98e3·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 12.0·2-s + 3.46·3-s + 76.5·4-s + 2.23·5-s + 41.6·6-s + 4.91·7-s + 342.·8-s + 9-s + 26.8·10-s + 4.82·11-s + 265.·12-s + 0.832·13-s + 59.0·14-s + 7.74·15-s + 1.21e3·16-s − 0.970·17-s + 12.0·18-s + 4.12·19-s + 171.·20-s + 17.0·21-s + 57.9·22-s + 5.21·23-s + 1.18e3·24-s − 4.39·25-s + 10.0·26-s − 10.9·27-s + 375.·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 607^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 607^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(2^{17} \cdot 607^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(5.89424\times 10^{16}\) |
| Root analytic conductor: | \(3.11349\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 2^{17} \cdot 607^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(2.982302082\times10^{7}\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(2.982302082\times10^{7}\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| 607 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 3 | \( 1 - 2 p T + 11 p T^{2} - 41 p T^{3} + 145 p T^{4} - 1273 T^{5} + 1195 p T^{6} - 8989 T^{7} + 21928 T^{8} - 5495 p^{2} T^{9} + 12122 p^{2} T^{10} - 227435 T^{11} + 154934 p T^{12} - 909560 T^{13} + 581572 p T^{14} - 3227278 T^{15} + 5844763 T^{16} - 10234906 T^{17} + 5844763 p T^{18} - 3227278 p^{2} T^{19} + 581572 p^{4} T^{20} - 909560 p^{4} T^{21} + 154934 p^{6} T^{22} - 227435 p^{6} T^{23} + 12122 p^{9} T^{24} - 5495 p^{10} T^{25} + 21928 p^{9} T^{26} - 8989 p^{10} T^{27} + 1195 p^{12} T^{28} - 1273 p^{12} T^{29} + 145 p^{14} T^{30} - 41 p^{15} T^{31} + 11 p^{16} T^{32} - 2 p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 5 | \( 1 - p T + 47 T^{2} - 169 T^{3} + 948 T^{4} - 2749 T^{5} + 12098 T^{6} - 30591 T^{7} + 4711 p^{2} T^{8} - 273186 T^{9} + 961483 T^{10} - 2093181 T^{11} + 6831822 T^{12} - 14042083 T^{13} + 42814628 T^{14} - 83210667 T^{15} + 47761638 p T^{16} - 439598386 T^{17} + 47761638 p^{2} T^{18} - 83210667 p^{2} T^{19} + 42814628 p^{3} T^{20} - 14042083 p^{4} T^{21} + 6831822 p^{5} T^{22} - 2093181 p^{6} T^{23} + 961483 p^{7} T^{24} - 273186 p^{8} T^{25} + 4711 p^{11} T^{26} - 30591 p^{10} T^{27} + 12098 p^{11} T^{28} - 2749 p^{12} T^{29} + 948 p^{13} T^{30} - 169 p^{14} T^{31} + 47 p^{15} T^{32} - p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 - 13 T + 137 T^{2} - 1039 T^{3} + 6933 T^{4} - 39506 T^{5} + 29353 p T^{6} - 964592 T^{7} + 4217680 T^{8} - 17082302 T^{9} + 9321980 p T^{10} - 234249885 T^{11} + 799659136 T^{12} - 2587801351 T^{13} + 8006138968 T^{14} - 23602555952 T^{15} + 66725023137 T^{16} - 180186890136 T^{17} + 66725023137 p T^{18} - 23602555952 p^{2} T^{19} + 8006138968 p^{3} T^{20} - 2587801351 p^{4} T^{21} + 799659136 p^{5} T^{22} - 234249885 p^{6} T^{23} + 9321980 p^{8} T^{24} - 17082302 p^{8} T^{25} + 4217680 p^{9} T^{26} - 964592 p^{10} T^{27} + 29353 p^{12} T^{28} - 39506 p^{12} T^{29} + 6933 p^{13} T^{30} - 1039 p^{14} T^{31} + 137 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 16 T + 218 T^{2} - 2052 T^{3} + 17158 T^{4} - 119397 T^{5} + 758817 T^{6} - 4268907 T^{7} + 22327983 T^{8} - 106487660 T^{9} + 478549675 T^{10} - 181645053 p T^{11} + 7963015831 T^{12} - 29958662771 T^{13} + 109173264488 T^{14} - 381562695034 T^{15} + 1310825720249 T^{16} - 4370244427640 T^{17} + 1310825720249 p T^{18} - 381562695034 p^{2} T^{19} + 109173264488 p^{3} T^{20} - 29958662771 p^{4} T^{21} + 7963015831 p^{5} T^{22} - 181645053 p^{7} T^{23} + 478549675 p^{7} T^{24} - 106487660 p^{8} T^{25} + 22327983 p^{9} T^{26} - 4268907 p^{10} T^{27} + 758817 p^{11} T^{28} - 119397 p^{12} T^{29} + 17158 p^{13} T^{30} - 2052 p^{14} T^{31} + 218 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 - 3 T + 120 T^{2} - 305 T^{3} + 6726 T^{4} - 13904 T^{5} + 235304 T^{6} - 370782 T^{7} + 5880908 T^{8} - 6436968 T^{9} + 116734022 T^{10} - 81875296 T^{11} + 2029263416 T^{12} - 998500064 T^{13} + 32656901930 T^{14} - 14670518649 T^{15} + 480529546117 T^{16} - 210504165642 T^{17} + 480529546117 p T^{18} - 14670518649 p^{2} T^{19} + 32656901930 p^{3} T^{20} - 998500064 p^{4} T^{21} + 2029263416 p^{5} T^{22} - 81875296 p^{6} T^{23} + 116734022 p^{7} T^{24} - 6436968 p^{8} T^{25} + 5880908 p^{9} T^{26} - 370782 p^{10} T^{27} + 235304 p^{11} T^{28} - 13904 p^{12} T^{29} + 6726 p^{13} T^{30} - 305 p^{14} T^{31} + 120 p^{15} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 + 4 T + 148 T^{2} + 441 T^{3} + 607 p T^{4} + 20236 T^{5} + 456090 T^{6} + 416001 T^{7} + 14768963 T^{8} - 1745698 T^{9} + 392559753 T^{10} - 367767257 T^{11} + 9364023860 T^{12} - 12314041508 T^{13} + 206196723563 T^{14} - 268878065761 T^{15} + 4061659713143 T^{16} - 4835864632212 T^{17} + 4061659713143 p T^{18} - 268878065761 p^{2} T^{19} + 206196723563 p^{3} T^{20} - 12314041508 p^{4} T^{21} + 9364023860 p^{5} T^{22} - 367767257 p^{6} T^{23} + 392559753 p^{7} T^{24} - 1745698 p^{8} T^{25} + 14768963 p^{9} T^{26} + 416001 p^{10} T^{27} + 456090 p^{11} T^{28} + 20236 p^{12} T^{29} + 607 p^{14} T^{30} + 441 p^{14} T^{31} + 148 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 - 18 T + 294 T^{2} - 3353 T^{3} + 1845 p T^{4} - 310158 T^{5} + 2557887 T^{6} - 18974398 T^{7} + 132885154 T^{8} - 860809234 T^{9} + 5311850568 T^{10} - 30781976416 T^{11} + 170951725139 T^{12} - 899558494714 T^{13} + 4554222796979 T^{14} - 21957008708785 T^{15} + 102075529564923 T^{16} - 452945082564008 T^{17} + 102075529564923 p T^{18} - 21957008708785 p^{2} T^{19} + 4554222796979 p^{3} T^{20} - 899558494714 p^{4} T^{21} + 170951725139 p^{5} T^{22} - 30781976416 p^{6} T^{23} + 5311850568 p^{7} T^{24} - 860809234 p^{8} T^{25} + 132885154 p^{9} T^{26} - 18974398 p^{10} T^{27} + 2557887 p^{11} T^{28} - 310158 p^{12} T^{29} + 1845 p^{14} T^{30} - 3353 p^{14} T^{31} + 294 p^{15} T^{32} - 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 25 T + 504 T^{2} - 7177 T^{3} + 89022 T^{4} - 930988 T^{5} + 8827569 T^{6} - 75007583 T^{7} + 592088285 T^{8} - 4317161568 T^{9} + 29701300221 T^{10} - 191998835117 T^{11} + 1182280275963 T^{12} - 6906313420356 T^{13} + 38634777927048 T^{14} - 206054842285963 T^{15} + 1055162504243975 T^{16} - 5162372318962606 T^{17} + 1055162504243975 p T^{18} - 206054842285963 p^{2} T^{19} + 38634777927048 p^{3} T^{20} - 6906313420356 p^{4} T^{21} + 1182280275963 p^{5} T^{22} - 191998835117 p^{6} T^{23} + 29701300221 p^{7} T^{24} - 4317161568 p^{8} T^{25} + 592088285 p^{9} T^{26} - 75007583 p^{10} T^{27} + 8827569 p^{11} T^{28} - 930988 p^{12} T^{29} + 89022 p^{13} T^{30} - 7177 p^{14} T^{31} + 504 p^{15} T^{32} - 25 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 - 14 T + 292 T^{2} - 3051 T^{3} + 38554 T^{4} - 334815 T^{5} + 3305789 T^{6} - 25453518 T^{7} + 215409786 T^{8} - 1517039411 T^{9} + 11437876269 T^{10} - 74547347689 T^{11} + 510642772155 T^{12} - 3099803399202 T^{13} + 19555261779792 T^{14} - 110999434298542 T^{15} + 650350136111519 T^{16} - 3451524191089718 T^{17} + 650350136111519 p T^{18} - 110999434298542 p^{2} T^{19} + 19555261779792 p^{3} T^{20} - 3099803399202 p^{4} T^{21} + 510642772155 p^{5} T^{22} - 74547347689 p^{6} T^{23} + 11437876269 p^{7} T^{24} - 1517039411 p^{8} T^{25} + 215409786 p^{9} T^{26} - 25453518 p^{10} T^{27} + 3305789 p^{11} T^{28} - 334815 p^{12} T^{29} + 38554 p^{13} T^{30} - 3051 p^{14} T^{31} + 292 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 - 13 T + 327 T^{2} - 3312 T^{3} + 50122 T^{4} - 429701 T^{5} + 4999723 T^{6} - 37865534 T^{7} + 370844362 T^{8} - 2544201194 T^{9} + 21930902226 T^{10} - 138334925974 T^{11} + 1075993182633 T^{12} - 202980533093 p T^{13} + 44824569323840 T^{14} - 243967791661756 T^{15} + 1606157979573062 T^{16} - 8140464972809618 T^{17} + 1606157979573062 p T^{18} - 243967791661756 p^{2} T^{19} + 44824569323840 p^{3} T^{20} - 202980533093 p^{5} T^{21} + 1075993182633 p^{5} T^{22} - 138334925974 p^{6} T^{23} + 21930902226 p^{7} T^{24} - 2544201194 p^{8} T^{25} + 370844362 p^{9} T^{26} - 37865534 p^{10} T^{27} + 4999723 p^{11} T^{28} - 429701 p^{12} T^{29} + 50122 p^{13} T^{30} - 3312 p^{14} T^{31} + 327 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 28 T + 665 T^{2} - 298 p T^{3} + 163492 T^{4} - 2034225 T^{5} + 23348815 T^{6} - 239486554 T^{7} + 2311584724 T^{8} - 20568892237 T^{9} + 174553395481 T^{10} - 1390090443308 T^{11} + 10648147429058 T^{12} - 77320504057340 T^{13} + 542563012133770 T^{14} - 98040359467454 p T^{15} + 23482934680010117 T^{16} - 145128728552864022 T^{17} + 23482934680010117 p T^{18} - 98040359467454 p^{3} T^{19} + 542563012133770 p^{3} T^{20} - 77320504057340 p^{4} T^{21} + 10648147429058 p^{5} T^{22} - 1390090443308 p^{6} T^{23} + 174553395481 p^{7} T^{24} - 20568892237 p^{8} T^{25} + 2311584724 p^{9} T^{26} - 239486554 p^{10} T^{27} + 23348815 p^{11} T^{28} - 2034225 p^{12} T^{29} + 163492 p^{13} T^{30} - 298 p^{15} T^{31} + 665 p^{15} T^{32} - 28 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 4 T + 350 T^{2} + 1706 T^{3} + 62205 T^{4} + 315902 T^{5} + 7452767 T^{6} + 35864984 T^{7} + 664307084 T^{8} + 2883773336 T^{9} + 46491306562 T^{10} + 176866676538 T^{11} + 2674021342371 T^{12} + 8770303025442 T^{13} + 132137706835250 T^{14} + 379218612802592 T^{15} + 5856250655046183 T^{16} + 15601963326841102 T^{17} + 5856250655046183 p T^{18} + 379218612802592 p^{2} T^{19} + 132137706835250 p^{3} T^{20} + 8770303025442 p^{4} T^{21} + 2674021342371 p^{5} T^{22} + 176866676538 p^{6} T^{23} + 46491306562 p^{7} T^{24} + 2883773336 p^{8} T^{25} + 664307084 p^{9} T^{26} + 35864984 p^{10} T^{27} + 7452767 p^{11} T^{28} + 315902 p^{12} T^{29} + 62205 p^{13} T^{30} + 1706 p^{14} T^{31} + 350 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 11 T + 317 T^{2} - 3068 T^{3} + 51810 T^{4} - 460878 T^{5} + 5835205 T^{6} - 48028725 T^{7} + 504967902 T^{8} - 3871416398 T^{9} + 35812007442 T^{10} - 257012331201 T^{11} + 2167765899059 T^{12} - 14645599861338 T^{13} + 115299511769372 T^{14} - 737319832493574 T^{15} + 5488439346600652 T^{16} - 33347710333291966 T^{17} + 5488439346600652 p T^{18} - 737319832493574 p^{2} T^{19} + 115299511769372 p^{3} T^{20} - 14645599861338 p^{4} T^{21} + 2167765899059 p^{5} T^{22} - 257012331201 p^{6} T^{23} + 35812007442 p^{7} T^{24} - 3871416398 p^{8} T^{25} + 504967902 p^{9} T^{26} - 48028725 p^{10} T^{27} + 5835205 p^{11} T^{28} - 460878 p^{12} T^{29} + 51810 p^{13} T^{30} - 3068 p^{14} T^{31} + 317 p^{15} T^{32} - 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 7 T + 523 T^{2} - 3809 T^{3} + 137747 T^{4} - 1003759 T^{5} + 24101095 T^{6} - 171232659 T^{7} + 3119435000 T^{8} - 21238374947 T^{9} + 315696685970 T^{10} - 2034573860667 T^{11} + 25803532076718 T^{12} - 155890926723933 T^{13} + 1737280145555112 T^{14} - 9752224712011958 T^{15} + 97465231297137489 T^{16} - 503610476324760858 T^{17} + 97465231297137489 p T^{18} - 9752224712011958 p^{2} T^{19} + 1737280145555112 p^{3} T^{20} - 155890926723933 p^{4} T^{21} + 25803532076718 p^{5} T^{22} - 2034573860667 p^{6} T^{23} + 315696685970 p^{7} T^{24} - 21238374947 p^{8} T^{25} + 3119435000 p^{9} T^{26} - 171232659 p^{10} T^{27} + 24101095 p^{11} T^{28} - 1003759 p^{12} T^{29} + 137747 p^{13} T^{30} - 3809 p^{14} T^{31} + 523 p^{15} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 7 T + 404 T^{2} - 1652 T^{3} + 80730 T^{4} - 212680 T^{5} + 11605025 T^{6} - 21453643 T^{7} + 1314707901 T^{8} - 1744237424 T^{9} + 122505727855 T^{10} - 124332227903 T^{11} + 9717682463441 T^{12} - 8124787257000 T^{13} + 666997177675840 T^{14} - 486336613614794 T^{15} + 40114519476095059 T^{16} - 26943176348312818 T^{17} + 40114519476095059 p T^{18} - 486336613614794 p^{2} T^{19} + 666997177675840 p^{3} T^{20} - 8124787257000 p^{4} T^{21} + 9717682463441 p^{5} T^{22} - 124332227903 p^{6} T^{23} + 122505727855 p^{7} T^{24} - 1744237424 p^{8} T^{25} + 1314707901 p^{9} T^{26} - 21453643 p^{10} T^{27} + 11605025 p^{11} T^{28} - 212680 p^{12} T^{29} + 80730 p^{13} T^{30} - 1652 p^{14} T^{31} + 404 p^{15} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 + 4 T + 567 T^{2} + 3332 T^{3} + 164346 T^{4} + 1200905 T^{5} + 32425570 T^{6} + 267824381 T^{7} + 4856364679 T^{8} + 42557275037 T^{9} + 581902717529 T^{10} + 5173689007750 T^{11} + 57386271657330 T^{12} + 500632810459130 T^{13} + 4733853984560498 T^{14} + 39437003545775738 T^{15} + 329589560692638045 T^{16} + 2558977224940635990 T^{17} + 329589560692638045 p T^{18} + 39437003545775738 p^{2} T^{19} + 4733853984560498 p^{3} T^{20} + 500632810459130 p^{4} T^{21} + 57386271657330 p^{5} T^{22} + 5173689007750 p^{6} T^{23} + 581902717529 p^{7} T^{24} + 42557275037 p^{8} T^{25} + 4856364679 p^{9} T^{26} + 267824381 p^{10} T^{27} + 32425570 p^{11} T^{28} + 1200905 p^{12} T^{29} + 164346 p^{13} T^{30} + 3332 p^{14} T^{31} + 567 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 - 13 T + 506 T^{2} - 6324 T^{3} + 136910 T^{4} - 1597435 T^{5} + 25832357 T^{6} - 278428638 T^{7} + 3740515629 T^{8} - 37300595104 T^{9} + 437407428387 T^{10} - 4048862512734 T^{11} + 42599550920917 T^{12} - 366711881308429 T^{13} + 3519133297694972 T^{14} - 28191305905065312 T^{15} + 249197718250624905 T^{16} - 1855867575811388150 T^{17} + 249197718250624905 p T^{18} - 28191305905065312 p^{2} T^{19} + 3519133297694972 p^{3} T^{20} - 366711881308429 p^{4} T^{21} + 42599550920917 p^{5} T^{22} - 4048862512734 p^{6} T^{23} + 437407428387 p^{7} T^{24} - 37300595104 p^{8} T^{25} + 3740515629 p^{9} T^{26} - 278428638 p^{10} T^{27} + 25832357 p^{11} T^{28} - 1597435 p^{12} T^{29} + 136910 p^{13} T^{30} - 6324 p^{14} T^{31} + 506 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 - 30 T + 882 T^{2} - 16329 T^{3} + 298461 T^{4} - 4299120 T^{5} + 62283620 T^{6} - 770388204 T^{7} + 9653617907 T^{8} - 106964878312 T^{9} + 1201985766510 T^{10} - 12169172724599 T^{11} + 125025763008369 T^{12} - 1170353381399008 T^{13} + 11119125582311200 T^{14} - 96837476766529984 T^{15} + 855868238038785633 T^{16} - 6953981382756333700 T^{17} + 855868238038785633 p T^{18} - 96837476766529984 p^{2} T^{19} + 11119125582311200 p^{3} T^{20} - 1170353381399008 p^{4} T^{21} + 125025763008369 p^{5} T^{22} - 12169172724599 p^{6} T^{23} + 1201985766510 p^{7} T^{24} - 106964878312 p^{8} T^{25} + 9653617907 p^{9} T^{26} - 770388204 p^{10} T^{27} + 62283620 p^{11} T^{28} - 4299120 p^{12} T^{29} + 298461 p^{13} T^{30} - 16329 p^{14} T^{31} + 882 p^{15} T^{32} - 30 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 16 T + 672 T^{2} - 8911 T^{3} + 220575 T^{4} - 2550940 T^{5} + 47907645 T^{6} - 495364875 T^{7} + 7781129388 T^{8} - 73245613996 T^{9} + 1012506921112 T^{10} - 123832572953 p T^{11} + 110118706385925 T^{12} - 890024817985258 T^{13} + 10272640083979314 T^{14} - 77648654409791980 T^{15} + 833573942992076003 T^{16} - 5898991144326332418 T^{17} + 833573942992076003 p T^{18} - 77648654409791980 p^{2} T^{19} + 10272640083979314 p^{3} T^{20} - 890024817985258 p^{4} T^{21} + 110118706385925 p^{5} T^{22} - 123832572953 p^{7} T^{23} + 1012506921112 p^{7} T^{24} - 73245613996 p^{8} T^{25} + 7781129388 p^{9} T^{26} - 495364875 p^{10} T^{27} + 47907645 p^{11} T^{28} - 2550940 p^{12} T^{29} + 220575 p^{13} T^{30} - 8911 p^{14} T^{31} + 672 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 + 2 T + 543 T^{2} + 25 T^{3} + 142279 T^{4} - 281553 T^{5} + 24797852 T^{6} - 1353020 p T^{7} + 3358787633 T^{8} - 18996106487 T^{9} + 389418936172 T^{10} - 2564125285815 T^{11} + 40615971536458 T^{12} - 269947782899306 T^{13} + 3830948113839834 T^{14} - 23745786727675026 T^{15} + 320590239993431525 T^{16} - 1832818759681557474 T^{17} + 320590239993431525 p T^{18} - 23745786727675026 p^{2} T^{19} + 3830948113839834 p^{3} T^{20} - 269947782899306 p^{4} T^{21} + 40615971536458 p^{5} T^{22} - 2564125285815 p^{6} T^{23} + 389418936172 p^{7} T^{24} - 18996106487 p^{8} T^{25} + 3358787633 p^{9} T^{26} - 1353020 p^{11} T^{27} + 24797852 p^{11} T^{28} - 281553 p^{12} T^{29} + 142279 p^{13} T^{30} + 25 p^{14} T^{31} + 543 p^{15} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 - 41 T + 1634 T^{2} - 43565 T^{3} + 1073389 T^{4} - 21881243 T^{5} + 413840422 T^{6} - 6938700777 T^{7} + 108886642143 T^{8} - 1562932915207 T^{9} + 21155011174086 T^{10} - 266327189874203 T^{11} + 3179361386890275 T^{12} - 35642645840850187 T^{13} + 380330128320891238 T^{14} - 3831909802762633178 T^{15} + 36828049623956050809 T^{16} - \)\(33\!\cdots\!22\)\( T^{17} + 36828049623956050809 p T^{18} - 3831909802762633178 p^{2} T^{19} + 380330128320891238 p^{3} T^{20} - 35642645840850187 p^{4} T^{21} + 3179361386890275 p^{5} T^{22} - 266327189874203 p^{6} T^{23} + 21155011174086 p^{7} T^{24} - 1562932915207 p^{8} T^{25} + 108886642143 p^{9} T^{26} - 6938700777 p^{10} T^{27} + 413840422 p^{11} T^{28} - 21881243 p^{12} T^{29} + 1073389 p^{13} T^{30} - 43565 p^{14} T^{31} + 1634 p^{15} T^{32} - 41 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 15 T + 861 T^{2} - 9630 T^{3} + 333641 T^{4} - 2858914 T^{5} + 80704667 T^{6} - 530835227 T^{7} + 14201941448 T^{8} - 71295030364 T^{9} + 2005344857110 T^{10} - 7765665768844 T^{11} + 242331733080190 T^{12} - 759495749016539 T^{13} + 25845456269632050 T^{14} - 847014840756456 p T^{15} + 2439804881909606623 T^{16} - 6087020990078327230 T^{17} + 2439804881909606623 p T^{18} - 847014840756456 p^{3} T^{19} + 25845456269632050 p^{3} T^{20} - 759495749016539 p^{4} T^{21} + 242331733080190 p^{5} T^{22} - 7765665768844 p^{6} T^{23} + 2005344857110 p^{7} T^{24} - 71295030364 p^{8} T^{25} + 14201941448 p^{9} T^{26} - 530835227 p^{10} T^{27} + 80704667 p^{11} T^{28} - 2858914 p^{12} T^{29} + 333641 p^{13} T^{30} - 9630 p^{14} T^{31} + 861 p^{15} T^{32} - 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 + 30 T + 1376 T^{2} + 29883 T^{3} + 794380 T^{4} + 13711161 T^{5} + 270537087 T^{6} + 3913022298 T^{7} + 63098792516 T^{8} + 792903898191 T^{9} + 11024237490905 T^{10} + 123760193141475 T^{11} + 1537757507665473 T^{12} + 15772756998721362 T^{13} + 179631394016642132 T^{14} + 1711635143642656778 T^{15} + 18161636971542847939 T^{16} + \)\(16\!\cdots\!14\)\( T^{17} + 18161636971542847939 p T^{18} + 1711635143642656778 p^{2} T^{19} + 179631394016642132 p^{3} T^{20} + 15772756998721362 p^{4} T^{21} + 1537757507665473 p^{5} T^{22} + 123760193141475 p^{6} T^{23} + 11024237490905 p^{7} T^{24} + 792903898191 p^{8} T^{25} + 63098792516 p^{9} T^{26} + 3913022298 p^{10} T^{27} + 270537087 p^{11} T^{28} + 13711161 p^{12} T^{29} + 794380 p^{13} T^{30} + 29883 p^{14} T^{31} + 1376 p^{15} T^{32} + 30 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 46 T + 1817 T^{2} + 49398 T^{3} + 12592 p T^{4} + 25214883 T^{5} + 486690059 T^{6} + 8364423020 T^{7} + 136319157104 T^{8} + 2037496634689 T^{9} + 29115440591369 T^{10} + 387681239099314 T^{11} + 4960236955272552 T^{12} + 59676531037977888 T^{13} + 691989553661315456 T^{14} + 7583341509998144466 T^{15} + 80227769061297496447 T^{16} + \)\(80\!\cdots\!98\)\( T^{17} + 80227769061297496447 p T^{18} + 7583341509998144466 p^{2} T^{19} + 691989553661315456 p^{3} T^{20} + 59676531037977888 p^{4} T^{21} + 4960236955272552 p^{5} T^{22} + 387681239099314 p^{6} T^{23} + 29115440591369 p^{7} T^{24} + 2037496634689 p^{8} T^{25} + 136319157104 p^{9} T^{26} + 8364423020 p^{10} T^{27} + 486690059 p^{11} T^{28} + 25214883 p^{12} T^{29} + 12592 p^{14} T^{30} + 49398 p^{14} T^{31} + 1817 p^{15} T^{32} + 46 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.64466035754140933368382154761, −2.55346586057652336165091969551, −2.45507704762670071498711149126, −2.32089388335984526953819560343, −2.30258559639318147654683240545, −2.29895367626513529930099361186, −2.29727875853708035807491678960, −2.20722301490020043557401960909, −2.02260228667388209822404207988, −1.89416214440606779630624318523, −1.71788817060255628474118135934, −1.66937537000079478879896725425, −1.64569629717846624568806027769, −1.60184525298646465066405171848, −1.56404901479525190510812151439, −1.47286056503477716180998877093, −1.38563911224944126871575194576, −1.30468266604824882056259557484, −1.24621479427163898687253199295, −1.18320054236412017239480882727, −1.11550558965961158819202442859, −1.09675679692005351058446143712, −0.936711313871026832488339498899, −0.64891275944340344490239533356, −0.60866295848980093984922823205, 0.60866295848980093984922823205, 0.64891275944340344490239533356, 0.936711313871026832488339498899, 1.09675679692005351058446143712, 1.11550558965961158819202442859, 1.18320054236412017239480882727, 1.24621479427163898687253199295, 1.30468266604824882056259557484, 1.38563911224944126871575194576, 1.47286056503477716180998877093, 1.56404901479525190510812151439, 1.60184525298646465066405171848, 1.64569629717846624568806027769, 1.66937537000079478879896725425, 1.71788817060255628474118135934, 1.89416214440606779630624318523, 2.02260228667388209822404207988, 2.20722301490020043557401960909, 2.29727875853708035807491678960, 2.29895367626513529930099361186, 2.30258559639318147654683240545, 2.32089388335984526953819560343, 2.45507704762670071498711149126, 2.55346586057652336165091969551, 2.64466035754140933368382154761
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.