Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 8·2-s − 12·3-s + 23·4-s + 17·5-s + 96·6-s − 26·7-s − 15·8-s + 55·9-s − 136·10-s − 5·11-s − 276·12-s − 19·13-s + 208·14-s − 204·15-s − 67·16-s − 14·17-s − 440·18-s − 19·19-s + 391·20-s + 312·21-s + 40·22-s − 25·23-s + 180·24-s + 153·25-s + 152·26-s − 86·27-s − 598·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 5.65·2-s − 6.92·3-s + 23/2·4-s + 7.60·5-s + 39.1·6-s − 9.82·7-s − 5.30·8-s + 55/3·9-s − 43.0·10-s − 1.50·11-s − 79.6·12-s − 5.26·13-s + 55.5·14-s − 52.6·15-s − 16.7·16-s − 3.39·17-s − 103.·18-s − 4.35·19-s + 87.4·20-s + 68.0·21-s + 8.52·22-s − 5.21·23-s + 36.7·24-s + 30.5·25-s + 29.8·26-s − 16.5·27-s − 113.·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{17} \cdot 229^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{17} \cdot 229^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(5^{17} \cdot 229^{17}\) |
| Sign: | $-1$ |
| Analytic conductor: | \(2.17973\times 10^{16}\) |
| Root analytic conductor: | \(3.02371\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(17\) |
| Selberg data: | \((34,\ 5^{17} \cdot 229^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ -1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 5 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| 229 | \( ( 1 - T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 + p^{3} T + 41 T^{2} + 159 T^{3} + 129 p^{2} T^{4} + 1461 T^{5} + 3727 T^{6} + 8723 T^{7} + 19009 T^{8} + 38925 T^{9} + 75459 T^{10} + 139151 T^{11} + 245079 T^{12} + 413331 T^{13} + 334519 p T^{14} + 1040801 T^{15} + 779001 p T^{16} + 2245243 T^{17} + 779001 p^{2} T^{18} + 1040801 p^{2} T^{19} + 334519 p^{4} T^{20} + 413331 p^{4} T^{21} + 245079 p^{5} T^{22} + 139151 p^{6} T^{23} + 75459 p^{7} T^{24} + 38925 p^{8} T^{25} + 19009 p^{9} T^{26} + 8723 p^{10} T^{27} + 3727 p^{11} T^{28} + 1461 p^{12} T^{29} + 129 p^{15} T^{30} + 159 p^{14} T^{31} + 41 p^{15} T^{32} + p^{19} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 3 | \( 1 + 4 p T + 89 T^{2} + 494 T^{3} + 251 p^{2} T^{4} + 8915 T^{5} + 10430 p T^{6} + 99593 T^{7} + 291490 T^{8} + 792446 T^{9} + 672091 p T^{10} + 536557 p^{2} T^{11} + 10934615 T^{12} + 7829210 p T^{13} + 15993452 p T^{14} + 93383827 T^{15} + 57795085 p T^{16} + 307323976 T^{17} + 57795085 p^{2} T^{18} + 93383827 p^{2} T^{19} + 15993452 p^{4} T^{20} + 7829210 p^{5} T^{21} + 10934615 p^{5} T^{22} + 536557 p^{8} T^{23} + 672091 p^{8} T^{24} + 792446 p^{8} T^{25} + 291490 p^{9} T^{26} + 99593 p^{10} T^{27} + 10430 p^{12} T^{28} + 8915 p^{12} T^{29} + 251 p^{15} T^{30} + 494 p^{14} T^{31} + 89 p^{15} T^{32} + 4 p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 + 26 T + 380 T^{2} + 4022 T^{3} + 4878 p T^{4} + 245164 T^{5} + 219648 p T^{6} + 8603284 T^{7} + 43595675 T^{8} + 202235476 T^{9} + 865808949 T^{10} + 3441963268 T^{11} + 12766116324 T^{12} + 6333562085 p T^{13} + 144561480220 T^{14} + 443448095583 T^{15} + 1281468175303 T^{16} + 3491330898864 T^{17} + 1281468175303 p T^{18} + 443448095583 p^{2} T^{19} + 144561480220 p^{3} T^{20} + 6333562085 p^{5} T^{21} + 12766116324 p^{5} T^{22} + 3441963268 p^{6} T^{23} + 865808949 p^{7} T^{24} + 202235476 p^{8} T^{25} + 43595675 p^{9} T^{26} + 8603284 p^{10} T^{27} + 219648 p^{12} T^{28} + 245164 p^{12} T^{29} + 4878 p^{14} T^{30} + 4022 p^{14} T^{31} + 380 p^{15} T^{32} + 26 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 + 5 T + 98 T^{2} + 443 T^{3} + 4765 T^{4} + 19705 T^{5} + 152022 T^{6} + 577177 T^{7} + 3553391 T^{8} + 12417732 T^{9} + 64802228 T^{10} + 209357868 T^{11} + 967837115 T^{12} + 2919411514 T^{13} + 1130710500 p T^{14} + 35652742847 T^{15} + 145002578216 T^{16} + 402768797074 T^{17} + 145002578216 p T^{18} + 35652742847 p^{2} T^{19} + 1130710500 p^{4} T^{20} + 2919411514 p^{4} T^{21} + 967837115 p^{5} T^{22} + 209357868 p^{6} T^{23} + 64802228 p^{7} T^{24} + 12417732 p^{8} T^{25} + 3553391 p^{9} T^{26} + 577177 p^{10} T^{27} + 152022 p^{11} T^{28} + 19705 p^{12} T^{29} + 4765 p^{13} T^{30} + 443 p^{14} T^{31} + 98 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 + 19 T + 20 p T^{2} + 2705 T^{3} + 24038 T^{4} + 185832 T^{5} + 99706 p T^{6} + 8240600 T^{7} + 3733437 p T^{8} + 266499256 T^{9} + 1376578158 T^{10} + 6714742261 T^{11} + 31096320926 T^{12} + 137029338406 T^{13} + 576407708135 T^{14} + 2316825379723 T^{15} + 8914494275575 T^{16} + 32837028133040 T^{17} + 8914494275575 p T^{18} + 2316825379723 p^{2} T^{19} + 576407708135 p^{3} T^{20} + 137029338406 p^{4} T^{21} + 31096320926 p^{5} T^{22} + 6714742261 p^{6} T^{23} + 1376578158 p^{7} T^{24} + 266499256 p^{8} T^{25} + 3733437 p^{10} T^{26} + 8240600 p^{10} T^{27} + 99706 p^{12} T^{28} + 185832 p^{12} T^{29} + 24038 p^{13} T^{30} + 2705 p^{14} T^{31} + 20 p^{16} T^{32} + 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 + 14 T + 226 T^{2} + 2126 T^{3} + 20781 T^{4} + 151358 T^{5} + 1123295 T^{6} + 6764544 T^{7} + 41575157 T^{8} + 215619147 T^{9} + 1155351203 T^{10} + 5334287369 T^{11} + 25962295834 T^{12} + 6484466919 p T^{13} + 505404356052 T^{14} + 2036178239700 T^{15} + 9037917977423 T^{16} + 35362922955302 T^{17} + 9037917977423 p T^{18} + 2036178239700 p^{2} T^{19} + 505404356052 p^{3} T^{20} + 6484466919 p^{5} T^{21} + 25962295834 p^{5} T^{22} + 5334287369 p^{6} T^{23} + 1155351203 p^{7} T^{24} + 215619147 p^{8} T^{25} + 41575157 p^{9} T^{26} + 6764544 p^{10} T^{27} + 1123295 p^{11} T^{28} + 151358 p^{12} T^{29} + 20781 p^{13} T^{30} + 2126 p^{14} T^{31} + 226 p^{15} T^{32} + 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + p T + 366 T^{2} + 4622 T^{3} + 54857 T^{4} + 535673 T^{5} + 4886726 T^{6} + 39548023 T^{7} + 300228655 T^{8} + 2091958084 T^{9} + 13741787977 T^{10} + 84344551517 T^{11} + 490047138352 T^{12} + 2687076279543 T^{13} + 13987556424926 T^{14} + 69095555018117 T^{15} + 324573686506170 T^{16} + 1450413214124876 T^{17} + 324573686506170 p T^{18} + 69095555018117 p^{2} T^{19} + 13987556424926 p^{3} T^{20} + 2687076279543 p^{4} T^{21} + 490047138352 p^{5} T^{22} + 84344551517 p^{6} T^{23} + 13741787977 p^{7} T^{24} + 2091958084 p^{8} T^{25} + 300228655 p^{9} T^{26} + 39548023 p^{10} T^{27} + 4886726 p^{11} T^{28} + 535673 p^{12} T^{29} + 54857 p^{13} T^{30} + 4622 p^{14} T^{31} + 366 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 + 25 T + 464 T^{2} + 6353 T^{3} + 74530 T^{4} + 32812 p T^{5} + 6914435 T^{6} + 57627483 T^{7} + 446502435 T^{8} + 3225040942 T^{9} + 21976890091 T^{10} + 141454707177 T^{11} + 866372987299 T^{12} + 5050238098618 T^{13} + 28156282994079 T^{14} + 150049348295304 T^{15} + 766907205840752 T^{16} + 3754007655461104 T^{17} + 766907205840752 p T^{18} + 150049348295304 p^{2} T^{19} + 28156282994079 p^{3} T^{20} + 5050238098618 p^{4} T^{21} + 866372987299 p^{5} T^{22} + 141454707177 p^{6} T^{23} + 21976890091 p^{7} T^{24} + 3225040942 p^{8} T^{25} + 446502435 p^{9} T^{26} + 57627483 p^{10} T^{27} + 6914435 p^{11} T^{28} + 32812 p^{13} T^{29} + 74530 p^{13} T^{30} + 6353 p^{14} T^{31} + 464 p^{15} T^{32} + 25 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 2 T + 255 T^{2} + 412 T^{3} + 31934 T^{4} + 33153 T^{5} + 2635498 T^{6} + 997440 T^{7} + 163222975 T^{8} - 39381882 T^{9} + 8220844113 T^{10} - 5799746406 T^{11} + 354285424776 T^{12} - 337720209588 T^{13} + 13372431960748 T^{14} - 13601534510535 T^{15} + 443286219694760 T^{16} - 434345727655864 T^{17} + 443286219694760 p T^{18} - 13601534510535 p^{2} T^{19} + 13372431960748 p^{3} T^{20} - 337720209588 p^{4} T^{21} + 354285424776 p^{5} T^{22} - 5799746406 p^{6} T^{23} + 8220844113 p^{7} T^{24} - 39381882 p^{8} T^{25} + 163222975 p^{9} T^{26} + 997440 p^{10} T^{27} + 2635498 p^{11} T^{28} + 33153 p^{12} T^{29} + 31934 p^{13} T^{30} + 412 p^{14} T^{31} + 255 p^{15} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 + 37 T + 916 T^{2} + 16679 T^{3} + 250744 T^{4} + 3206167 T^{5} + 36134564 T^{6} + 364357602 T^{7} + 3343870334 T^{8} + 28193576542 T^{9} + 220748783650 T^{10} + 1616525055571 T^{11} + 11164409864358 T^{12} + 73184314525374 T^{13} + 458694340728752 T^{14} + 2764123716436327 T^{15} + 16104737230040049 T^{16} + 90982673187293374 T^{17} + 16104737230040049 p T^{18} + 2764123716436327 p^{2} T^{19} + 458694340728752 p^{3} T^{20} + 73184314525374 p^{4} T^{21} + 11164409864358 p^{5} T^{22} + 1616525055571 p^{6} T^{23} + 220748783650 p^{7} T^{24} + 28193576542 p^{8} T^{25} + 3343870334 p^{9} T^{26} + 364357602 p^{10} T^{27} + 36134564 p^{11} T^{28} + 3206167 p^{12} T^{29} + 250744 p^{13} T^{30} + 16679 p^{14} T^{31} + 916 p^{15} T^{32} + 37 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 + 7 T + 399 T^{2} + 2620 T^{3} + 78332 T^{4} + 487842 T^{5} + 10111208 T^{6} + 60017017 T^{7} + 965535802 T^{8} + 5460234241 T^{9} + 72607763087 T^{10} + 389629972148 T^{11} + 4461241222398 T^{12} + 22577356568156 T^{13} + 229036920178291 T^{14} + 1084989488108838 T^{15} + 268994239622306 p T^{16} + 43746121643010134 T^{17} + 268994239622306 p^{2} T^{18} + 1084989488108838 p^{2} T^{19} + 229036920178291 p^{3} T^{20} + 22577356568156 p^{4} T^{21} + 4461241222398 p^{5} T^{22} + 389629972148 p^{6} T^{23} + 72607763087 p^{7} T^{24} + 5460234241 p^{8} T^{25} + 965535802 p^{9} T^{26} + 60017017 p^{10} T^{27} + 10111208 p^{11} T^{28} + 487842 p^{12} T^{29} + 78332 p^{13} T^{30} + 2620 p^{14} T^{31} + 399 p^{15} T^{32} + 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 2 T + 402 T^{2} + 603 T^{3} + 80859 T^{4} + 83617 T^{5} + 10852347 T^{6} + 6840859 T^{7} + 1091927068 T^{8} + 331588702 T^{9} + 87564646477 T^{10} + 5170548478 T^{11} + 5799251189055 T^{12} - 14762234588 p T^{13} + 324029798496414 T^{14} - 61782498438189 T^{15} + 15464450164550957 T^{16} - 3198892329209216 T^{17} + 15464450164550957 p T^{18} - 61782498438189 p^{2} T^{19} + 324029798496414 p^{3} T^{20} - 14762234588 p^{5} T^{21} + 5799251189055 p^{5} T^{22} + 5170548478 p^{6} T^{23} + 87564646477 p^{7} T^{24} + 331588702 p^{8} T^{25} + 1091927068 p^{9} T^{26} + 6840859 p^{10} T^{27} + 10852347 p^{11} T^{28} + 83617 p^{12} T^{29} + 80859 p^{13} T^{30} + 603 p^{14} T^{31} + 402 p^{15} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 + 30 T + 752 T^{2} + 12971 T^{3} + 202338 T^{4} + 2625067 T^{5} + 31909170 T^{6} + 344496138 T^{7} + 3551734110 T^{8} + 33551021761 T^{9} + 305935270828 T^{10} + 2599092129021 T^{11} + 21450420010521 T^{12} + 166528229014841 T^{13} + 1260721224977047 T^{14} + 9026418317796641 T^{15} + 63147509195820243 T^{16} + 418783315169593808 T^{17} + 63147509195820243 p T^{18} + 9026418317796641 p^{2} T^{19} + 1260721224977047 p^{3} T^{20} + 166528229014841 p^{4} T^{21} + 21450420010521 p^{5} T^{22} + 2599092129021 p^{6} T^{23} + 305935270828 p^{7} T^{24} + 33551021761 p^{8} T^{25} + 3551734110 p^{9} T^{26} + 344496138 p^{10} T^{27} + 31909170 p^{11} T^{28} + 2625067 p^{12} T^{29} + 202338 p^{13} T^{30} + 12971 p^{14} T^{31} + 752 p^{15} T^{32} + 30 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 + 31 T + 778 T^{2} + 13550 T^{3} + 203952 T^{4} + 2529725 T^{5} + 28040502 T^{6} + 270934714 T^{7} + 2399119744 T^{8} + 19223400640 T^{9} + 146926843945 T^{10} + 1075681733982 T^{11} + 8037511594668 T^{12} + 60883495888408 T^{13} + 477448086282611 T^{14} + 3677458155371315 T^{15} + 27633183544238171 T^{16} + 194441532269182778 T^{17} + 27633183544238171 p T^{18} + 3677458155371315 p^{2} T^{19} + 477448086282611 p^{3} T^{20} + 60883495888408 p^{4} T^{21} + 8037511594668 p^{5} T^{22} + 1075681733982 p^{6} T^{23} + 146926843945 p^{7} T^{24} + 19223400640 p^{8} T^{25} + 2399119744 p^{9} T^{26} + 270934714 p^{10} T^{27} + 28040502 p^{11} T^{28} + 2529725 p^{12} T^{29} + 203952 p^{13} T^{30} + 13550 p^{14} T^{31} + 778 p^{15} T^{32} + 31 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 + 3 T + 400 T^{2} + 520 T^{3} + 82058 T^{4} + 14794 T^{5} + 11775362 T^{6} - 7073289 T^{7} + 1317908194 T^{8} - 1556007604 T^{9} + 121509771370 T^{10} - 193602406881 T^{11} + 9544019188021 T^{12} - 332303347453 p T^{13} + 651352221097219 T^{14} - 1266114389663289 T^{15} + 737127293651019 p T^{16} - 74080877335902218 T^{17} + 737127293651019 p^{2} T^{18} - 1266114389663289 p^{2} T^{19} + 651352221097219 p^{3} T^{20} - 332303347453 p^{5} T^{21} + 9544019188021 p^{5} T^{22} - 193602406881 p^{6} T^{23} + 121509771370 p^{7} T^{24} - 1556007604 p^{8} T^{25} + 1317908194 p^{9} T^{26} - 7073289 p^{10} T^{27} + 11775362 p^{11} T^{28} + 14794 p^{12} T^{29} + 82058 p^{13} T^{30} + 520 p^{14} T^{31} + 400 p^{15} T^{32} + 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 + 7 T + 685 T^{2} + 3940 T^{3} + 225471 T^{4} + 1074776 T^{5} + 47980734 T^{6} + 191213545 T^{7} + 7467709352 T^{8} + 25159554164 T^{9} + 908495981397 T^{10} + 2626327632380 T^{11} + 89861534577366 T^{12} + 227088966404371 T^{13} + 7400131307191033 T^{14} + 16696947051084896 T^{15} + 514251797524691763 T^{16} + 1058588769060760934 T^{17} + 514251797524691763 p T^{18} + 16696947051084896 p^{2} T^{19} + 7400131307191033 p^{3} T^{20} + 227088966404371 p^{4} T^{21} + 89861534577366 p^{5} T^{22} + 2626327632380 p^{6} T^{23} + 908495981397 p^{7} T^{24} + 25159554164 p^{8} T^{25} + 7467709352 p^{9} T^{26} + 191213545 p^{10} T^{27} + 47980734 p^{11} T^{28} + 1074776 p^{12} T^{29} + 225471 p^{13} T^{30} + 3940 p^{14} T^{31} + 685 p^{15} T^{32} + 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 16 T + 753 T^{2} + 9765 T^{3} + 258924 T^{4} + 2835962 T^{5} + 55474625 T^{6} + 529438746 T^{7} + 8504357712 T^{8} + 72580144605 T^{9} + 1013026577947 T^{10} + 7894396201963 T^{11} + 98840865243766 T^{12} + 713128814765456 T^{13} + 8148910271703581 T^{14} + 54749097978795793 T^{15} + 576341243325883695 T^{16} + 3603522424551038908 T^{17} + 576341243325883695 p T^{18} + 54749097978795793 p^{2} T^{19} + 8148910271703581 p^{3} T^{20} + 713128814765456 p^{4} T^{21} + 98840865243766 p^{5} T^{22} + 7894396201963 p^{6} T^{23} + 1013026577947 p^{7} T^{24} + 72580144605 p^{8} T^{25} + 8504357712 p^{9} T^{26} + 529438746 p^{10} T^{27} + 55474625 p^{11} T^{28} + 2835962 p^{12} T^{29} + 258924 p^{13} T^{30} + 9765 p^{14} T^{31} + 753 p^{15} T^{32} + 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 + 48 T + 1762 T^{2} + 46513 T^{3} + 1054436 T^{4} + 20284989 T^{5} + 351068155 T^{6} + 5449058854 T^{7} + 77975616809 T^{8} + 1027580645505 T^{9} + 12669284921725 T^{10} + 146019635858798 T^{11} + 1589260518883753 T^{12} + 16316712920311349 T^{13} + 159129213780880869 T^{14} + 1471745164740122884 T^{15} + 12972676803009233000 T^{16} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{17} + 12972676803009233000 p T^{18} + 1471745164740122884 p^{2} T^{19} + 159129213780880869 p^{3} T^{20} + 16316712920311349 p^{4} T^{21} + 1589260518883753 p^{5} T^{22} + 146019635858798 p^{6} T^{23} + 12669284921725 p^{7} T^{24} + 1027580645505 p^{8} T^{25} + 77975616809 p^{9} T^{26} + 5449058854 p^{10} T^{27} + 351068155 p^{11} T^{28} + 20284989 p^{12} T^{29} + 1054436 p^{13} T^{30} + 46513 p^{14} T^{31} + 1762 p^{15} T^{32} + 48 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 10 T + 603 T^{2} - 5244 T^{3} + 183533 T^{4} - 1463967 T^{5} + 38321692 T^{6} - 287569712 T^{7} + 86940584 p T^{8} - 43924789366 T^{9} + 810966922308 T^{10} - 5471371811768 T^{11} + 89562984205831 T^{12} - 571302508086100 T^{13} + 8466109623653093 T^{14} - 50843602120332069 T^{15} + 692030526586326415 T^{16} - 3889111218289695752 T^{17} + 692030526586326415 p T^{18} - 50843602120332069 p^{2} T^{19} + 8466109623653093 p^{3} T^{20} - 571302508086100 p^{4} T^{21} + 89562984205831 p^{5} T^{22} - 5471371811768 p^{6} T^{23} + 810966922308 p^{7} T^{24} - 43924789366 p^{8} T^{25} + 86940584 p^{10} T^{26} - 287569712 p^{10} T^{27} + 38321692 p^{11} T^{28} - 1463967 p^{12} T^{29} + 183533 p^{13} T^{30} - 5244 p^{14} T^{31} + 603 p^{15} T^{32} - 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 + 31 T + 702 T^{2} + 12361 T^{3} + 199967 T^{4} + 2775207 T^{5} + 35166270 T^{6} + 398958157 T^{7} + 4190589485 T^{8} + 38977656492 T^{9} + 326655343686 T^{10} + 2306274238304 T^{11} + 12654976111579 T^{12} + 20975986946503 T^{13} - 589893662031569 T^{14} - 11239268971601367 T^{15} - 131038713258349029 T^{16} - 1247900533811561868 T^{17} - 131038713258349029 p T^{18} - 11239268971601367 p^{2} T^{19} - 589893662031569 p^{3} T^{20} + 20975986946503 p^{4} T^{21} + 12654976111579 p^{5} T^{22} + 2306274238304 p^{6} T^{23} + 326655343686 p^{7} T^{24} + 38977656492 p^{8} T^{25} + 4190589485 p^{9} T^{26} + 398958157 p^{10} T^{27} + 35166270 p^{11} T^{28} + 2775207 p^{12} T^{29} + 199967 p^{13} T^{30} + 12361 p^{14} T^{31} + 702 p^{15} T^{32} + 31 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 70 T + 3209 T^{2} + 109296 T^{3} + 3065384 T^{4} + 73422879 T^{5} + 1548797243 T^{6} + 29253694593 T^{7} + 501730332394 T^{8} + 7884454878340 T^{9} + 114393796912194 T^{10} + 1540497595203865 T^{11} + 19341895862646099 T^{12} + 227136625430139256 T^{13} + 2501319423998836710 T^{14} + 25876145288905956255 T^{15} + \)\(25\!\cdots\!58\)\( T^{16} + \)\(23\!\cdots\!76\)\( T^{17} + \)\(25\!\cdots\!58\)\( p T^{18} + 25876145288905956255 p^{2} T^{19} + 2501319423998836710 p^{3} T^{20} + 227136625430139256 p^{4} T^{21} + 19341895862646099 p^{5} T^{22} + 1540497595203865 p^{6} T^{23} + 114393796912194 p^{7} T^{24} + 7884454878340 p^{8} T^{25} + 501730332394 p^{9} T^{26} + 29253694593 p^{10} T^{27} + 1548797243 p^{11} T^{28} + 73422879 p^{12} T^{29} + 3065384 p^{13} T^{30} + 109296 p^{14} T^{31} + 3209 p^{15} T^{32} + 70 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 + 49 T + 1802 T^{2} + 47282 T^{3} + 1062172 T^{4} + 20209854 T^{5} + 348027358 T^{6} + 5402580514 T^{7} + 78217921882 T^{8} + 1052034042053 T^{9} + 13408460233873 T^{10} + 161215794176287 T^{11} + 1852700319369658 T^{12} + 20260672866837556 T^{13} + 212890247645826923 T^{14} + 2139351252052836384 T^{15} + 20712719297848645647 T^{16} + \)\(19\!\cdots\!66\)\( T^{17} + 20712719297848645647 p T^{18} + 2139351252052836384 p^{2} T^{19} + 212890247645826923 p^{3} T^{20} + 20260672866837556 p^{4} T^{21} + 1852700319369658 p^{5} T^{22} + 161215794176287 p^{6} T^{23} + 13408460233873 p^{7} T^{24} + 1052034042053 p^{8} T^{25} + 78217921882 p^{9} T^{26} + 5402580514 p^{10} T^{27} + 348027358 p^{11} T^{28} + 20209854 p^{12} T^{29} + 1062172 p^{13} T^{30} + 47282 p^{14} T^{31} + 1802 p^{15} T^{32} + 49 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 - 9 T + 784 T^{2} - 7181 T^{3} + 311991 T^{4} - 2825411 T^{5} + 83988939 T^{6} - 737443356 T^{7} + 17175217201 T^{8} - 144493751128 T^{9} + 2837011516781 T^{10} - 22718519774079 T^{11} + 392408679429176 T^{12} - 2977804966169815 T^{13} + 46421966267953600 T^{14} - 332210019505680897 T^{15} + 4751423405312012643 T^{16} - 31850826421036528624 T^{17} + 4751423405312012643 p T^{18} - 332210019505680897 p^{2} T^{19} + 46421966267953600 p^{3} T^{20} - 2977804966169815 p^{4} T^{21} + 392408679429176 p^{5} T^{22} - 22718519774079 p^{6} T^{23} + 2837011516781 p^{7} T^{24} - 144493751128 p^{8} T^{25} + 17175217201 p^{9} T^{26} - 737443356 p^{10} T^{27} + 83988939 p^{11} T^{28} - 2825411 p^{12} T^{29} + 311991 p^{13} T^{30} - 7181 p^{14} T^{31} + 784 p^{15} T^{32} - 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 27 T + 923 T^{2} + 17452 T^{3} + 365594 T^{4} + 5629086 T^{5} + 92891190 T^{6} + 1260558299 T^{7} + 18101343822 T^{8} + 226351472968 T^{9} + 2961246638423 T^{10} + 34671610553396 T^{11} + 419728703961091 T^{12} + 4604389366416412 T^{13} + 51906216302273590 T^{14} + 534305968366630096 T^{15} + 5653178832599274890 T^{16} + 54883315541146268600 T^{17} + 5653178832599274890 p T^{18} + 534305968366630096 p^{2} T^{19} + 51906216302273590 p^{3} T^{20} + 4604389366416412 p^{4} T^{21} + 419728703961091 p^{5} T^{22} + 34671610553396 p^{6} T^{23} + 2961246638423 p^{7} T^{24} + 226351472968 p^{8} T^{25} + 18101343822 p^{9} T^{26} + 1260558299 p^{10} T^{27} + 92891190 p^{11} T^{28} + 5629086 p^{12} T^{29} + 365594 p^{13} T^{30} + 17452 p^{14} T^{31} + 923 p^{15} T^{32} + 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.93124892662427607775147375942, −2.78354120978881777503593776808, −2.75006304493154575871222774588, −2.71915621403806193554605046700, −2.60702719912273253894091974903, −2.54597125618873290820543217549, −2.54455665646511952815468613978, −2.50488774228943997608383775803, −2.37662321200972053179513510254, −2.32619109216108768758550894099, −2.31820988538055206049070416805, −2.29229489404356301146066920700, −1.96482136486508995072929261049, −1.86960135841843111942775088666, −1.81252361627114858508963859600, −1.78304652249399823166130765009, −1.73516506652713912063195947884, −1.71013709686041224624943949520, −1.65670445383297946043051079797, −1.38255357425902325770390508042, −1.35082764359668376502557053644, −1.28530638906027417607604731891, −1.25293885964389060449227651707, −1.23177797995513205928771745956, −0.986639984024081510350510270608, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.986639984024081510350510270608, 1.23177797995513205928771745956, 1.25293885964389060449227651707, 1.28530638906027417607604731891, 1.35082764359668376502557053644, 1.38255357425902325770390508042, 1.65670445383297946043051079797, 1.71013709686041224624943949520, 1.73516506652713912063195947884, 1.78304652249399823166130765009, 1.81252361627114858508963859600, 1.86960135841843111942775088666, 1.96482136486508995072929261049, 2.29229489404356301146066920700, 2.31820988538055206049070416805, 2.32619109216108768758550894099, 2.37662321200972053179513510254, 2.50488774228943997608383775803, 2.54455665646511952815468613978, 2.54597125618873290820543217549, 2.60702719912273253894091974903, 2.71915621403806193554605046700, 2.75006304493154575871222774588, 2.78354120978881777503593776808, 2.93124892662427607775147375942
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.