Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 17·2-s + 6·3-s + 153·4-s + 10·5-s + 102·6-s + 4·7-s + 969·8-s + 7·9-s + 170·10-s + 6·11-s + 918·12-s + 18·13-s + 68·14-s + 60·15-s + 4.84e3·16-s + 22·17-s + 119·18-s + 7·19-s + 1.53e3·20-s + 24·21-s + 102·22-s + 2·23-s + 5.81e3·24-s + 22·25-s + 306·26-s − 33·27-s + 612·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 12.0·2-s + 3.46·3-s + 76.5·4-s + 4.47·5-s + 41.6·6-s + 1.51·7-s + 342.·8-s + 7/3·9-s + 53.7·10-s + 1.80·11-s + 265.·12-s + 4.99·13-s + 18.1·14-s + 15.4·15-s + 1.21e3·16-s + 5.33·17-s + 28.0·18-s + 1.60·19-s + 342.·20-s + 5.23·21-s + 21.7·22-s + 0.417·23-s + 1.18e3·24-s + 22/5·25-s + 60.0·26-s − 6.35·27-s + 115.·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 569^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 569^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(2^{17} \cdot 569^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.96394\times 10^{16}\) |
| Root analytic conductor: | \(3.01446\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 2^{17} \cdot 569^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(3.058778660\times10^{7}\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(3.058778660\times10^{7}\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| 569 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 3 | \( 1 - 2 p T + 29 T^{2} - 11 p^{2} T^{3} + 313 T^{4} - 277 p T^{5} + 703 p T^{6} - 176 p^{3} T^{7} + 10432 T^{8} - 20842 T^{9} + 4564 p^{2} T^{10} - 8312 p^{2} T^{11} + 136529 T^{12} - 232943 T^{13} + 406349 T^{14} - 672935 T^{15} + 1170052 T^{16} - 1963168 T^{17} + 1170052 p T^{18} - 672935 p^{2} T^{19} + 406349 p^{3} T^{20} - 232943 p^{4} T^{21} + 136529 p^{5} T^{22} - 8312 p^{8} T^{23} + 4564 p^{9} T^{24} - 20842 p^{8} T^{25} + 10432 p^{9} T^{26} - 176 p^{13} T^{27} + 703 p^{12} T^{28} - 277 p^{13} T^{29} + 313 p^{13} T^{30} - 11 p^{16} T^{31} + 29 p^{15} T^{32} - 2 p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 5 | \( 1 - 2 p T + 78 T^{2} - 427 T^{3} + 82 p^{2} T^{4} - 8239 T^{5} + 30443 T^{6} - 100434 T^{7} + 313942 T^{8} - 181868 p T^{9} + 2553904 T^{10} - 6812228 T^{11} + 17878759 T^{12} - 45116189 T^{13} + 112369372 T^{14} - 269300027 T^{15} + 634241343 T^{16} - 1432657748 T^{17} + 634241343 p T^{18} - 269300027 p^{2} T^{19} + 112369372 p^{3} T^{20} - 45116189 p^{4} T^{21} + 17878759 p^{5} T^{22} - 6812228 p^{6} T^{23} + 2553904 p^{7} T^{24} - 181868 p^{9} T^{25} + 313942 p^{9} T^{26} - 100434 p^{10} T^{27} + 30443 p^{11} T^{28} - 8239 p^{12} T^{29} + 82 p^{15} T^{30} - 427 p^{14} T^{31} + 78 p^{15} T^{32} - 2 p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 - 4 T + 8 p T^{2} - 27 p T^{3} + 1570 T^{4} - 702 p T^{5} + 4324 p T^{6} - 91316 T^{7} + 450015 T^{8} - 1335346 T^{9} + 5483607 T^{10} - 2300394 p T^{11} + 56724224 T^{12} - 164101590 T^{13} + 509520790 T^{14} - 1432898105 T^{15} + 4027415975 T^{16} - 1541337948 p T^{17} + 4027415975 p T^{18} - 1432898105 p^{2} T^{19} + 509520790 p^{3} T^{20} - 164101590 p^{4} T^{21} + 56724224 p^{5} T^{22} - 2300394 p^{7} T^{23} + 5483607 p^{7} T^{24} - 1335346 p^{8} T^{25} + 450015 p^{9} T^{26} - 91316 p^{10} T^{27} + 4324 p^{12} T^{28} - 702 p^{13} T^{29} + 1570 p^{13} T^{30} - 27 p^{15} T^{31} + 8 p^{16} T^{32} - 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 6 T + 112 T^{2} - 512 T^{3} + 5749 T^{4} - 1971 p T^{5} + 191772 T^{6} - 5187 p^{2} T^{7} + 437424 p T^{8} - 14071152 T^{9} + 97357006 T^{10} - 258554341 T^{11} + 1648425772 T^{12} - 4020828469 T^{13} + 23904789151 T^{14} - 54052409646 T^{15} + 301055379771 T^{16} - 635080660268 T^{17} + 301055379771 p T^{18} - 54052409646 p^{2} T^{19} + 23904789151 p^{3} T^{20} - 4020828469 p^{4} T^{21} + 1648425772 p^{5} T^{22} - 258554341 p^{6} T^{23} + 97357006 p^{7} T^{24} - 14071152 p^{8} T^{25} + 437424 p^{10} T^{26} - 5187 p^{12} T^{27} + 191772 p^{11} T^{28} - 1971 p^{13} T^{29} + 5749 p^{13} T^{30} - 512 p^{14} T^{31} + 112 p^{15} T^{32} - 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 - 18 T + 271 T^{2} - 2991 T^{3} + 28936 T^{4} - 240970 T^{5} + 1820534 T^{6} - 12442446 T^{7} + 78682508 T^{8} - 460448542 T^{9} + 194081528 p T^{10} - 12951632740 T^{11} + 62719313214 T^{12} - 286556087998 T^{13} + 1240716034332 T^{14} - 5088752606247 T^{15} + 19827965878768 T^{16} - 73318694718640 T^{17} + 19827965878768 p T^{18} - 5088752606247 p^{2} T^{19} + 1240716034332 p^{3} T^{20} - 286556087998 p^{4} T^{21} + 62719313214 p^{5} T^{22} - 12951632740 p^{6} T^{23} + 194081528 p^{8} T^{24} - 460448542 p^{8} T^{25} + 78682508 p^{9} T^{26} - 12442446 p^{10} T^{27} + 1820534 p^{11} T^{28} - 240970 p^{12} T^{29} + 28936 p^{13} T^{30} - 2991 p^{14} T^{31} + 271 p^{15} T^{32} - 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 - 22 T + 372 T^{2} - 4562 T^{3} + 48653 T^{4} - 443840 T^{5} + 216604 p T^{6} - 27579007 T^{7} + 192070637 T^{8} - 1238304015 T^{9} + 7518695227 T^{10} - 42843148463 T^{11} + 231690544762 T^{12} - 1185169824932 T^{13} + 5780104725397 T^{14} - 26782420227552 T^{15} + 118607249268907 T^{16} - 500028605094638 T^{17} + 118607249268907 p T^{18} - 26782420227552 p^{2} T^{19} + 5780104725397 p^{3} T^{20} - 1185169824932 p^{4} T^{21} + 231690544762 p^{5} T^{22} - 42843148463 p^{6} T^{23} + 7518695227 p^{7} T^{24} - 1238304015 p^{8} T^{25} + 192070637 p^{9} T^{26} - 27579007 p^{10} T^{27} + 216604 p^{12} T^{28} - 443840 p^{12} T^{29} + 48653 p^{13} T^{30} - 4562 p^{14} T^{31} + 372 p^{15} T^{32} - 22 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 - 7 T + 136 T^{2} - 882 T^{3} + 10414 T^{4} - 62779 T^{5} + 563721 T^{6} - 3169609 T^{7} + 23801914 T^{8} - 125042950 T^{9} + 822960358 T^{10} - 4046994987 T^{11} + 24011630121 T^{12} - 110625805695 T^{13} + 601870105428 T^{14} - 2598294329132 T^{15} + 13102312830445 T^{16} - 52930883093878 T^{17} + 13102312830445 p T^{18} - 2598294329132 p^{2} T^{19} + 601870105428 p^{3} T^{20} - 110625805695 p^{4} T^{21} + 24011630121 p^{5} T^{22} - 4046994987 p^{6} T^{23} + 822960358 p^{7} T^{24} - 125042950 p^{8} T^{25} + 23801914 p^{9} T^{26} - 3169609 p^{10} T^{27} + 563721 p^{11} T^{28} - 62779 p^{12} T^{29} + 10414 p^{13} T^{30} - 882 p^{14} T^{31} + 136 p^{15} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 2 T + 182 T^{2} - 290 T^{3} + 17258 T^{4} - 21837 T^{5} + 1131546 T^{6} - 1154258 T^{7} + 57370296 T^{8} - 48373007 T^{9} + 2381122042 T^{10} - 1709870346 T^{11} + 83517672352 T^{12} - 52568415543 T^{13} + 2522273906406 T^{14} - 62134955422 p T^{15} + 66304313246327 T^{16} - 34710552530876 T^{17} + 66304313246327 p T^{18} - 62134955422 p^{3} T^{19} + 2522273906406 p^{3} T^{20} - 52568415543 p^{4} T^{21} + 83517672352 p^{5} T^{22} - 1709870346 p^{6} T^{23} + 2381122042 p^{7} T^{24} - 48373007 p^{8} T^{25} + 57370296 p^{9} T^{26} - 1154258 p^{10} T^{27} + 1131546 p^{11} T^{28} - 21837 p^{12} T^{29} + 17258 p^{13} T^{30} - 290 p^{14} T^{31} + 182 p^{15} T^{32} - 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 - 13 T + 351 T^{2} - 3788 T^{3} + 59000 T^{4} - 548550 T^{5} + 6378145 T^{6} - 52324788 T^{7} + 500321363 T^{8} - 3682574261 T^{9} + 30409553575 T^{10} - 203226083588 T^{11} + 1491306779689 T^{12} - 9124593293382 T^{13} + 60572478244178 T^{14} - 341042689699132 T^{15} + 2070794286942606 T^{16} - 10748226054467076 T^{17} + 2070794286942606 p T^{18} - 341042689699132 p^{2} T^{19} + 60572478244178 p^{3} T^{20} - 9124593293382 p^{4} T^{21} + 1491306779689 p^{5} T^{22} - 203226083588 p^{6} T^{23} + 30409553575 p^{7} T^{24} - 3682574261 p^{8} T^{25} + 500321363 p^{9} T^{26} - 52324788 p^{10} T^{27} + 6378145 p^{11} T^{28} - 548550 p^{12} T^{29} + 59000 p^{13} T^{30} - 3788 p^{14} T^{31} + 351 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 + 13 T + 11 p T^{2} + 3936 T^{3} + 59683 T^{4} + 604532 T^{5} + 6922196 T^{6} + 62123245 T^{7} + 590966121 T^{8} + 4754364234 T^{9} + 39318208667 T^{10} + 286340277287 T^{11} + 2110217509926 T^{12} + 14009022403976 T^{13} + 93343867279131 T^{14} + 567267312710390 T^{15} + 3446389992022916 T^{16} + 19202823174669190 T^{17} + 3446389992022916 p T^{18} + 567267312710390 p^{2} T^{19} + 93343867279131 p^{3} T^{20} + 14009022403976 p^{4} T^{21} + 2110217509926 p^{5} T^{22} + 286340277287 p^{6} T^{23} + 39318208667 p^{7} T^{24} + 4754364234 p^{8} T^{25} + 590966121 p^{9} T^{26} + 62123245 p^{10} T^{27} + 6922196 p^{11} T^{28} + 604532 p^{12} T^{29} + 59683 p^{13} T^{30} + 3936 p^{14} T^{31} + 11 p^{16} T^{32} + 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 3 T + 256 T^{2} - 865 T^{3} + 35078 T^{4} - 123299 T^{5} + 3355398 T^{6} - 11790370 T^{7} + 249853381 T^{8} - 856156660 T^{9} + 15345608107 T^{10} - 50552901332 T^{11} + 806321554698 T^{12} - 2534918455509 T^{13} + 37157791976938 T^{14} - 111196986408225 T^{15} + 1527460586085131 T^{16} - 4345399594133826 T^{17} + 1527460586085131 p T^{18} - 111196986408225 p^{2} T^{19} + 37157791976938 p^{3} T^{20} - 2534918455509 p^{4} T^{21} + 806321554698 p^{5} T^{22} - 50552901332 p^{6} T^{23} + 15345608107 p^{7} T^{24} - 856156660 p^{8} T^{25} + 249853381 p^{9} T^{26} - 11790370 p^{10} T^{27} + 3355398 p^{11} T^{28} - 123299 p^{12} T^{29} + 35078 p^{13} T^{30} - 865 p^{14} T^{31} + 256 p^{15} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 - 27 T + 840 T^{2} - 14703 T^{3} + 266354 T^{4} - 3472608 T^{5} + 46020600 T^{6} - 475139810 T^{7} + 5010851612 T^{8} - 42228264399 T^{9} + 370758869298 T^{10} - 2587548034620 T^{11} + 19616346388412 T^{12} - 114613772506268 T^{13} + 793385687604374 T^{14} - 4048457341134175 T^{15} + 28667264414582353 T^{16} - 147061875585693568 T^{17} + 28667264414582353 p T^{18} - 4048457341134175 p^{2} T^{19} + 793385687604374 p^{3} T^{20} - 114613772506268 p^{4} T^{21} + 19616346388412 p^{5} T^{22} - 2587548034620 p^{6} T^{23} + 370758869298 p^{7} T^{24} - 42228264399 p^{8} T^{25} + 5010851612 p^{9} T^{26} - 475139810 p^{10} T^{27} + 46020600 p^{11} T^{28} - 3472608 p^{12} T^{29} + 266354 p^{13} T^{30} - 14703 p^{14} T^{31} + 840 p^{15} T^{32} - 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - T + 360 T^{2} + 82 T^{3} + 63321 T^{4} + 89643 T^{5} + 7389254 T^{6} + 18698729 T^{7} + 652687113 T^{8} + 2307107267 T^{9} + 46887130029 T^{10} + 205657005705 T^{11} + 2862241237288 T^{12} + 14360592890385 T^{13} + 152966774696007 T^{14} + 816053570638596 T^{15} + 7298273377197663 T^{16} + 38434757029106628 T^{17} + 7298273377197663 p T^{18} + 816053570638596 p^{2} T^{19} + 152966774696007 p^{3} T^{20} + 14360592890385 p^{4} T^{21} + 2862241237288 p^{5} T^{22} + 205657005705 p^{6} T^{23} + 46887130029 p^{7} T^{24} + 2307107267 p^{8} T^{25} + 652687113 p^{9} T^{26} + 18698729 p^{10} T^{27} + 7389254 p^{11} T^{28} + 89643 p^{12} T^{29} + 63321 p^{13} T^{30} + 82 p^{14} T^{31} + 360 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 22 T + 519 T^{2} - 7859 T^{3} + 113122 T^{4} - 1340364 T^{5} + 14945090 T^{6} - 148938247 T^{7} + 1412360469 T^{8} - 12407767047 T^{9} + 105095577749 T^{10} - 840239906565 T^{11} + 6548369860210 T^{12} - 48812692495730 T^{13} + 358132221530244 T^{14} - 2542817428509237 T^{15} + 17913106729180738 T^{16} - 2618868755512796 p T^{17} + 17913106729180738 p T^{18} - 2542817428509237 p^{2} T^{19} + 358132221530244 p^{3} T^{20} - 48812692495730 p^{4} T^{21} + 6548369860210 p^{5} T^{22} - 840239906565 p^{6} T^{23} + 105095577749 p^{7} T^{24} - 12407767047 p^{8} T^{25} + 1412360469 p^{9} T^{26} - 148938247 p^{10} T^{27} + 14945090 p^{11} T^{28} - 1340364 p^{12} T^{29} + 113122 p^{13} T^{30} - 7859 p^{14} T^{31} + 519 p^{15} T^{32} - 22 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 15 T + 526 T^{2} - 6948 T^{3} + 137913 T^{4} - 1639647 T^{5} + 24164106 T^{6} - 262125421 T^{7} + 3181762825 T^{8} - 31731235441 T^{9} + 334169002919 T^{10} - 3077217291809 T^{11} + 28946625100000 T^{12} - 246753313903333 T^{13} + 2109129940913953 T^{14} - 16660532404264838 T^{15} + 130726881180492749 T^{16} - 956272542644418552 T^{17} + 130726881180492749 p T^{18} - 16660532404264838 p^{2} T^{19} + 2109129940913953 p^{3} T^{20} - 246753313903333 p^{4} T^{21} + 28946625100000 p^{5} T^{22} - 3077217291809 p^{6} T^{23} + 334169002919 p^{7} T^{24} - 31731235441 p^{8} T^{25} + 3181762825 p^{9} T^{26} - 262125421 p^{10} T^{27} + 24164106 p^{11} T^{28} - 1639647 p^{12} T^{29} + 137913 p^{13} T^{30} - 6948 p^{14} T^{31} + 526 p^{15} T^{32} - 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 20 T + 770 T^{2} - 12584 T^{3} + 284369 T^{4} - 3970611 T^{5} + 67502076 T^{6} - 827225635 T^{7} + 11589142230 T^{8} - 126781712016 T^{9} + 1530915180524 T^{10} - 15114271380957 T^{11} + 161346974824464 T^{12} - 1447279438165463 T^{13} + 13868633621031079 T^{14} - 113426892409446310 T^{15} + 984723699342885573 T^{16} - 7348810468498578888 T^{17} + 984723699342885573 p T^{18} - 113426892409446310 p^{2} T^{19} + 13868633621031079 p^{3} T^{20} - 1447279438165463 p^{4} T^{21} + 161346974824464 p^{5} T^{22} - 15114271380957 p^{6} T^{23} + 1530915180524 p^{7} T^{24} - 126781712016 p^{8} T^{25} + 11589142230 p^{9} T^{26} - 827225635 p^{10} T^{27} + 67502076 p^{11} T^{28} - 3970611 p^{12} T^{29} + 284369 p^{13} T^{30} - 12584 p^{14} T^{31} + 770 p^{15} T^{32} - 20 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 - 18 T + 568 T^{2} - 6956 T^{3} + 133756 T^{4} - 1258450 T^{5} + 19390847 T^{6} - 147955019 T^{7} + 2063669314 T^{8} - 13106846250 T^{9} + 179527359920 T^{10} - 973277014127 T^{11} + 13807208729415 T^{12} - 66294797969990 T^{13} + 982151665338022 T^{14} - 4350848962561630 T^{15} + 65091274161328905 T^{16} - 273412249413277776 T^{17} + 65091274161328905 p T^{18} - 4350848962561630 p^{2} T^{19} + 982151665338022 p^{3} T^{20} - 66294797969990 p^{4} T^{21} + 13807208729415 p^{5} T^{22} - 973277014127 p^{6} T^{23} + 179527359920 p^{7} T^{24} - 13106846250 p^{8} T^{25} + 2063669314 p^{9} T^{26} - 147955019 p^{10} T^{27} + 19390847 p^{11} T^{28} - 1258450 p^{12} T^{29} + 133756 p^{13} T^{30} - 6956 p^{14} T^{31} + 568 p^{15} T^{32} - 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 + T + 701 T^{2} + 605 T^{3} + 241559 T^{4} + 193991 T^{5} + 54619251 T^{6} + 44056327 T^{7} + 136180042 p T^{8} + 7782248993 T^{9} + 1201243373634 T^{10} + 1099020664829 T^{11} + 129723129146751 T^{12} + 124968736386877 T^{13} + 11791048266064731 T^{14} + 11479990191936079 T^{15} + 916584272382176412 T^{16} + 854185583076569012 T^{17} + 916584272382176412 p T^{18} + 11479990191936079 p^{2} T^{19} + 11791048266064731 p^{3} T^{20} + 124968736386877 p^{4} T^{21} + 129723129146751 p^{5} T^{22} + 1099020664829 p^{6} T^{23} + 1201243373634 p^{7} T^{24} + 7782248993 p^{8} T^{25} + 136180042 p^{10} T^{26} + 44056327 p^{10} T^{27} + 54619251 p^{11} T^{28} + 193991 p^{12} T^{29} + 241559 p^{13} T^{30} + 605 p^{14} T^{31} + 701 p^{15} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 + 16 T + 625 T^{2} + 8654 T^{3} + 193892 T^{4} + 2366516 T^{5} + 39965643 T^{6} + 437032445 T^{7} + 6170960333 T^{8} + 61306844662 T^{9} + 762582478731 T^{10} + 6969238024661 T^{11} + 78816275468921 T^{12} + 670304770786932 T^{13} + 7041474070471674 T^{14} + 56299770235949872 T^{15} + 557085388661500798 T^{16} + 4216946372607839268 T^{17} + 557085388661500798 p T^{18} + 56299770235949872 p^{2} T^{19} + 7041474070471674 p^{3} T^{20} + 670304770786932 p^{4} T^{21} + 78816275468921 p^{5} T^{22} + 6969238024661 p^{6} T^{23} + 762582478731 p^{7} T^{24} + 61306844662 p^{8} T^{25} + 6170960333 p^{9} T^{26} + 437032445 p^{10} T^{27} + 39965643 p^{11} T^{28} + 2366516 p^{12} T^{29} + 193892 p^{13} T^{30} + 8654 p^{14} T^{31} + 625 p^{15} T^{32} + 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 - T + 487 T^{2} - 1719 T^{3} + 113748 T^{4} - 664772 T^{5} + 18383447 T^{6} - 132915308 T^{7} + 2447581515 T^{8} - 18293765082 T^{9} + 281822568283 T^{10} - 2068592026466 T^{11} + 28298035575619 T^{12} - 205854326300868 T^{13} + 2547876607464042 T^{14} - 17973977280800587 T^{15} + 208281928475143570 T^{16} - 1386867316986173498 T^{17} + 208281928475143570 p T^{18} - 17973977280800587 p^{2} T^{19} + 2547876607464042 p^{3} T^{20} - 205854326300868 p^{4} T^{21} + 28298035575619 p^{5} T^{22} - 2068592026466 p^{6} T^{23} + 281822568283 p^{7} T^{24} - 18293765082 p^{8} T^{25} + 2447581515 p^{9} T^{26} - 132915308 p^{10} T^{27} + 18383447 p^{11} T^{28} - 664772 p^{12} T^{29} + 113748 p^{13} T^{30} - 1719 p^{14} T^{31} + 487 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 37 T + 968 T^{2} + 18240 T^{3} + 303833 T^{4} + 4316877 T^{5} + 56598031 T^{6} + 660179047 T^{7} + 7292904495 T^{8} + 73425601116 T^{9} + 710024037527 T^{10} + 6276643258715 T^{11} + 54074882696071 T^{12} + 426036549074411 T^{13} + 3360795176959057 T^{14} + 24585428664684958 T^{15} + 198040471108168671 T^{16} + 1600383554273249038 T^{17} + 198040471108168671 p T^{18} + 24585428664684958 p^{2} T^{19} + 3360795176959057 p^{3} T^{20} + 426036549074411 p^{4} T^{21} + 54074882696071 p^{5} T^{22} + 6276643258715 p^{6} T^{23} + 710024037527 p^{7} T^{24} + 73425601116 p^{8} T^{25} + 7292904495 p^{9} T^{26} + 660179047 p^{10} T^{27} + 56598031 p^{11} T^{28} + 4316877 p^{12} T^{29} + 303833 p^{13} T^{30} + 18240 p^{14} T^{31} + 968 p^{15} T^{32} + 37 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 43 T + 1366 T^{2} - 31350 T^{3} + 624423 T^{4} - 10633665 T^{5} + 164863815 T^{6} - 2300710389 T^{7} + 29872870105 T^{8} - 358081848862 T^{9} + 4053616195869 T^{10} - 43072349782513 T^{11} + 438191192169857 T^{12} - 4253698509709137 T^{13} + 40250443006154205 T^{14} - 370773433348642998 T^{15} + 3398833394261227313 T^{16} - 30872497361464202822 T^{17} + 3398833394261227313 p T^{18} - 370773433348642998 p^{2} T^{19} + 40250443006154205 p^{3} T^{20} - 4253698509709137 p^{4} T^{21} + 438191192169857 p^{5} T^{22} - 43072349782513 p^{6} T^{23} + 4053616195869 p^{7} T^{24} - 358081848862 p^{8} T^{25} + 29872870105 p^{9} T^{26} - 2300710389 p^{10} T^{27} + 164863815 p^{11} T^{28} - 10633665 p^{12} T^{29} + 624423 p^{13} T^{30} - 31350 p^{14} T^{31} + 1366 p^{15} T^{32} - 43 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 - 26 T + 1184 T^{2} - 23720 T^{3} + 623098 T^{4} - 10319350 T^{5} + 202577607 T^{6} - 2901438825 T^{7} + 47082485192 T^{8} - 601110849162 T^{9} + 8490922840510 T^{10} - 98486882367285 T^{11} + 1245974589401431 T^{12} - 13270950206609202 T^{13} + 152827834232278016 T^{14} - 1503019252190055850 T^{15} + 15908725689992998233 T^{16} - \)\(14\!\cdots\!80\)\( T^{17} + 15908725689992998233 p T^{18} - 1503019252190055850 p^{2} T^{19} + 152827834232278016 p^{3} T^{20} - 13270950206609202 p^{4} T^{21} + 1245974589401431 p^{5} T^{22} - 98486882367285 p^{6} T^{23} + 8490922840510 p^{7} T^{24} - 601110849162 p^{8} T^{25} + 47082485192 p^{9} T^{26} - 2901438825 p^{10} T^{27} + 202577607 p^{11} T^{28} - 10319350 p^{12} T^{29} + 623098 p^{13} T^{30} - 23720 p^{14} T^{31} + 1184 p^{15} T^{32} - 26 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 853 T^{2} + 272 T^{3} + 370606 T^{4} + 205886 T^{5} + 109162739 T^{6} + 79209795 T^{7} + 24457581903 T^{8} + 20510338382 T^{9} + 4426201771779 T^{10} + 3999211318055 T^{11} + 669895960277915 T^{12} + 621293092938426 T^{13} + 86564400738972724 T^{14} + 79207497034543046 T^{15} + 9664928201549977864 T^{16} + 8404353756705548660 T^{17} + 9664928201549977864 p T^{18} + 79207497034543046 p^{2} T^{19} + 86564400738972724 p^{3} T^{20} + 621293092938426 p^{4} T^{21} + 669895960277915 p^{5} T^{22} + 3999211318055 p^{6} T^{23} + 4426201771779 p^{7} T^{24} + 20510338382 p^{8} T^{25} + 24457581903 p^{9} T^{26} + 79209795 p^{10} T^{27} + 109162739 p^{11} T^{28} + 205886 p^{12} T^{29} + 370606 p^{13} T^{30} + 272 p^{14} T^{31} + 853 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.52249108680070177803421067591, −2.52164293509613994623132091617, −2.51957562724424116009954607965, −2.46480099182199440292960564987, −2.41699613964447022462132701662, −2.29206093163977254718140447623, −2.29168273530228533500111187597, −2.18154972873359958839333723569, −1.98929791503556422594366783505, −1.81272401193720578493403292058, −1.80124741505625159028474523648, −1.77867470701409450053769246910, −1.66651454580160995633213557777, −1.65956760950918414937633019780, −1.57424114128803085432134968811, −1.45001059097661793177153912865, −1.42810899447322055079845230441, −1.38063948639580368302844650823, −1.29507259648599469297159716362, −1.17981351875206920284817826185, −1.13748743925885564345874510952, −1.06660144872913147711004154056, −1.04559328678589059260780866703, −0.68019931144847283402667287310, −0.62757707640868617609310971685, 0.62757707640868617609310971685, 0.68019931144847283402667287310, 1.04559328678589059260780866703, 1.06660144872913147711004154056, 1.13748743925885564345874510952, 1.17981351875206920284817826185, 1.29507259648599469297159716362, 1.38063948639580368302844650823, 1.42810899447322055079845230441, 1.45001059097661793177153912865, 1.57424114128803085432134968811, 1.65956760950918414937633019780, 1.66651454580160995633213557777, 1.77867470701409450053769246910, 1.80124741505625159028474523648, 1.81272401193720578493403292058, 1.98929791503556422594366783505, 2.18154972873359958839333723569, 2.29168273530228533500111187597, 2.29206093163977254718140447623, 2.41699613964447022462132701662, 2.46480099182199440292960564987, 2.51957562724424116009954607965, 2.52164293509613994623132091617, 2.52249108680070177803421067591
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.