Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 10·2-s − 2·3-s + 44·4-s − 21·5-s + 20·6-s − 7-s − 110·8-s − 19·9-s + 210·10-s − 24·11-s − 88·12-s + 17·13-s + 10·14-s + 42·15-s + 163·16-s − 17·17-s + 190·18-s − 3·19-s − 924·20-s + 2·21-s + 240·22-s − 12·23-s + 220·24-s + 189·25-s − 170·26-s + 39·27-s − 44·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 7.07·2-s − 1.15·3-s + 22·4-s − 9.39·5-s + 8.16·6-s − 0.377·7-s − 38.8·8-s − 6.33·9-s + 66.4·10-s − 7.23·11-s − 25.4·12-s + 4.71·13-s + 2.67·14-s + 10.8·15-s + 40.7·16-s − 4.12·17-s + 44.7·18-s − 0.688·19-s − 206.·20-s + 0.436·21-s + 51.1·22-s − 2.50·23-s + 44.9·24-s + 37.7·25-s − 33.3·26-s + 7.50·27-s − 8.31·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(13^{17} \cdot 79^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(13^{17} \cdot 79^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(13^{17} \cdot 79^{17}\) |
| Sign: | $-1$ |
| Analytic conductor: | \(3.43090\times 10^{15}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.86367\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(17\) |
| Selberg data: | \((34,\ 13^{17} \cdot 79^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ -1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 13 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| 79 | \( ( 1 - T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 + 5 p T + 7 p^{3} T^{2} + 115 p T^{3} + 773 T^{4} + 2251 T^{5} + 5875 T^{6} + 14039 T^{7} + 31149 T^{8} + 32401 p T^{9} + 127307 T^{10} + 237427 T^{11} + 422023 T^{12} + 179267 p^{2} T^{13} + 583627 p T^{14} + 1823259 T^{15} + 2735791 T^{16} + 986463 p^{2} T^{17} + 2735791 p T^{18} + 1823259 p^{2} T^{19} + 583627 p^{4} T^{20} + 179267 p^{6} T^{21} + 422023 p^{5} T^{22} + 237427 p^{6} T^{23} + 127307 p^{7} T^{24} + 32401 p^{9} T^{25} + 31149 p^{9} T^{26} + 14039 p^{10} T^{27} + 5875 p^{11} T^{28} + 2251 p^{12} T^{29} + 773 p^{13} T^{30} + 115 p^{15} T^{31} + 7 p^{18} T^{32} + 5 p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 3 | \( 1 + 2 T + 23 T^{2} + 5 p^{2} T^{3} + 271 T^{4} + 172 p T^{5} + p^{7} T^{6} + 50 p^{4} T^{7} + 13660 T^{8} + 24505 T^{9} + 70481 T^{10} + 121465 T^{11} + 311228 T^{12} + 56731 p^{2} T^{13} + 399467 p T^{14} + 206597 p^{2} T^{15} + 4063825 T^{16} + 5941664 T^{17} + 4063825 p T^{18} + 206597 p^{4} T^{19} + 399467 p^{4} T^{20} + 56731 p^{6} T^{21} + 311228 p^{5} T^{22} + 121465 p^{6} T^{23} + 70481 p^{7} T^{24} + 24505 p^{8} T^{25} + 13660 p^{9} T^{26} + 50 p^{14} T^{27} + p^{18} T^{28} + 172 p^{13} T^{29} + 271 p^{13} T^{30} + 5 p^{16} T^{31} + 23 p^{15} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 5 | \( 1 + 21 T + 252 T^{2} + 442 p T^{3} + 15634 T^{4} + 93879 T^{5} + 98729 p T^{6} + 464037 p T^{7} + 9889056 T^{8} + 38625047 T^{9} + 139342031 T^{10} + 93416393 p T^{11} + 1461497662 T^{12} + 4283764124 T^{13} + 11793181736 T^{14} + 6110669677 p T^{15} + 74590928326 T^{16} + 171730811836 T^{17} + 74590928326 p T^{18} + 6110669677 p^{3} T^{19} + 11793181736 p^{3} T^{20} + 4283764124 p^{4} T^{21} + 1461497662 p^{5} T^{22} + 93416393 p^{7} T^{23} + 139342031 p^{7} T^{24} + 38625047 p^{8} T^{25} + 9889056 p^{9} T^{26} + 464037 p^{11} T^{27} + 98729 p^{12} T^{28} + 93879 p^{12} T^{29} + 15634 p^{13} T^{30} + 442 p^{15} T^{31} + 252 p^{15} T^{32} + 21 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 + T + p^{2} T^{2} + 26 T^{3} + 1282 T^{4} + 158 T^{5} + 23389 T^{6} - 5443 T^{7} + 334716 T^{8} - 169282 T^{9} + 3997906 T^{10} - 2729474 T^{11} + 41205406 T^{12} - 31624716 T^{13} + 371898951 T^{14} - 291350300 T^{15} + 2954364165 T^{16} - 2224974693 T^{17} + 2954364165 p T^{18} - 291350300 p^{2} T^{19} + 371898951 p^{3} T^{20} - 31624716 p^{4} T^{21} + 41205406 p^{5} T^{22} - 2729474 p^{6} T^{23} + 3997906 p^{7} T^{24} - 169282 p^{8} T^{25} + 334716 p^{9} T^{26} - 5443 p^{10} T^{27} + 23389 p^{11} T^{28} + 158 p^{12} T^{29} + 1282 p^{13} T^{30} + 26 p^{14} T^{31} + p^{17} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 + 24 T + 379 T^{2} + 4452 T^{3} + 43253 T^{4} + 359983 T^{5} + 2649481 T^{6} + 17529361 T^{7} + 105783742 T^{8} + 587634844 T^{9} + 275392862 p T^{10} + 14573971502 T^{11} + 65756375996 T^{12} + 279225271331 T^{13} + 1119241833478 T^{14} + 4243537522351 T^{15} + 15242271767705 T^{16} + 4718918322990 p T^{17} + 15242271767705 p T^{18} + 4243537522351 p^{2} T^{19} + 1119241833478 p^{3} T^{20} + 279225271331 p^{4} T^{21} + 65756375996 p^{5} T^{22} + 14573971502 p^{6} T^{23} + 275392862 p^{8} T^{24} + 587634844 p^{8} T^{25} + 105783742 p^{9} T^{26} + 17529361 p^{10} T^{27} + 2649481 p^{11} T^{28} + 359983 p^{12} T^{29} + 43253 p^{13} T^{30} + 4452 p^{14} T^{31} + 379 p^{15} T^{32} + 24 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 + p T + 252 T^{2} + 2500 T^{3} + 22154 T^{4} + 9359 p T^{5} + 1046923 T^{6} + 5955242 T^{7} + 31818885 T^{8} + 152679100 T^{9} + 712996940 T^{10} + 3113034403 T^{11} + 13873212027 T^{12} + 59842501385 T^{13} + 268989976852 T^{14} + 1162082427439 T^{15} + 5107612742441 T^{16} + 21052046321302 T^{17} + 5107612742441 p T^{18} + 1162082427439 p^{2} T^{19} + 268989976852 p^{3} T^{20} + 59842501385 p^{4} T^{21} + 13873212027 p^{5} T^{22} + 3113034403 p^{6} T^{23} + 712996940 p^{7} T^{24} + 152679100 p^{8} T^{25} + 31818885 p^{9} T^{26} + 5955242 p^{10} T^{27} + 1046923 p^{11} T^{28} + 9359 p^{13} T^{29} + 22154 p^{13} T^{30} + 2500 p^{14} T^{31} + 252 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + 3 T + 162 T^{2} + 663 T^{3} + 13702 T^{4} + 65262 T^{5} + 814164 T^{6} + 4056213 T^{7} + 37632972 T^{8} + 184396180 T^{9} + 74224809 p T^{10} + 6603737234 T^{11} + 43822987771 T^{12} + 193579294220 T^{13} + 1146722364947 T^{14} + 4738438495970 T^{15} + 25513316122427 T^{16} + 97855041549540 T^{17} + 25513316122427 p T^{18} + 4738438495970 p^{2} T^{19} + 1146722364947 p^{3} T^{20} + 193579294220 p^{4} T^{21} + 43822987771 p^{5} T^{22} + 6603737234 p^{6} T^{23} + 74224809 p^{8} T^{24} + 184396180 p^{8} T^{25} + 37632972 p^{9} T^{26} + 4056213 p^{10} T^{27} + 814164 p^{11} T^{28} + 65262 p^{12} T^{29} + 13702 p^{13} T^{30} + 663 p^{14} T^{31} + 162 p^{15} T^{32} + 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 + 12 T + 258 T^{2} + 2408 T^{3} + 29485 T^{4} + 224325 T^{5} + 1993885 T^{6} + 12555452 T^{7} + 87298783 T^{8} + 446799287 T^{9} + 2433235116 T^{10} + 9076243527 T^{11} + 32707508833 T^{12} + 13100825968 T^{13} - 464868145264 T^{14} - 5739864470635 T^{15} - 34950179758735 T^{16} - 197374339187057 T^{17} - 34950179758735 p T^{18} - 5739864470635 p^{2} T^{19} - 464868145264 p^{3} T^{20} + 13100825968 p^{4} T^{21} + 32707508833 p^{5} T^{22} + 9076243527 p^{6} T^{23} + 2433235116 p^{7} T^{24} + 446799287 p^{8} T^{25} + 87298783 p^{9} T^{26} + 12555452 p^{10} T^{27} + 1993885 p^{11} T^{28} + 224325 p^{12} T^{29} + 29485 p^{13} T^{30} + 2408 p^{14} T^{31} + 258 p^{15} T^{32} + 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 46 T + 1304 T^{2} + 27013 T^{3} + 453369 T^{4} + 6438470 T^{5} + 2757508 p T^{6} + 885848375 T^{7} + 8892648309 T^{8} + 81780940680 T^{9} + 695271980144 T^{10} + 5500130354610 T^{11} + 40706545666357 T^{12} + 282957838935220 T^{13} + 1853179140688081 T^{14} + 11459590860471458 T^{15} + 67013784556908856 T^{16} + 370888302241455794 T^{17} + 67013784556908856 p T^{18} + 11459590860471458 p^{2} T^{19} + 1853179140688081 p^{3} T^{20} + 282957838935220 p^{4} T^{21} + 40706545666357 p^{5} T^{22} + 5500130354610 p^{6} T^{23} + 695271980144 p^{7} T^{24} + 81780940680 p^{8} T^{25} + 8892648309 p^{9} T^{26} + 885848375 p^{10} T^{27} + 2757508 p^{12} T^{28} + 6438470 p^{12} T^{29} + 453369 p^{13} T^{30} + 27013 p^{14} T^{31} + 1304 p^{15} T^{32} + 46 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 + 19 T + 428 T^{2} + 5787 T^{3} + 80876 T^{4} + 878699 T^{5} + 9540607 T^{6} + 88338297 T^{7} + 808303032 T^{8} + 6592597006 T^{9} + 52912622840 T^{10} + 387817863752 T^{11} + 2792568989091 T^{12} + 18621709364696 T^{13} + 121921596681683 T^{14} + 745078877353948 T^{15} + 4469822237558705 T^{16} + 25118597051678020 T^{17} + 4469822237558705 p T^{18} + 745078877353948 p^{2} T^{19} + 121921596681683 p^{3} T^{20} + 18621709364696 p^{4} T^{21} + 2792568989091 p^{5} T^{22} + 387817863752 p^{6} T^{23} + 52912622840 p^{7} T^{24} + 6592597006 p^{8} T^{25} + 808303032 p^{9} T^{26} + 88338297 p^{10} T^{27} + 9540607 p^{11} T^{28} + 878699 p^{12} T^{29} + 80876 p^{13} T^{30} + 5787 p^{14} T^{31} + 428 p^{15} T^{32} + 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 + 18 T + 406 T^{2} + 4684 T^{3} + 61322 T^{4} + 508368 T^{5} + 4865184 T^{6} + 29327638 T^{7} + 226119523 T^{8} + 879416460 T^{9} + 6265498681 T^{10} + 5795755599 T^{11} + 115970405342 T^{12} - 482632353603 T^{13} + 3953395853116 T^{14} - 14525054086164 T^{15} + 236803965714458 T^{16} - 240976098574930 T^{17} + 236803965714458 p T^{18} - 14525054086164 p^{2} T^{19} + 3953395853116 p^{3} T^{20} - 482632353603 p^{4} T^{21} + 115970405342 p^{5} T^{22} + 5795755599 p^{6} T^{23} + 6265498681 p^{7} T^{24} + 879416460 p^{8} T^{25} + 226119523 p^{9} T^{26} + 29327638 p^{10} T^{27} + 4865184 p^{11} T^{28} + 508368 p^{12} T^{29} + 61322 p^{13} T^{30} + 4684 p^{14} T^{31} + 406 p^{15} T^{32} + 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 44 T + 1254 T^{2} + 26438 T^{3} + 461311 T^{4} + 6892760 T^{5} + 91308972 T^{6} + 1088895892 T^{7} + 11883105641 T^{8} + 119704702263 T^{9} + 1123896765895 T^{10} + 9891058799783 T^{11} + 82127865023948 T^{12} + 645933318771936 T^{13} + 4834208481845283 T^{14} + 34513849429495509 T^{15} + 235742476677476788 T^{16} + 1541820529397169569 T^{17} + 235742476677476788 p T^{18} + 34513849429495509 p^{2} T^{19} + 4834208481845283 p^{3} T^{20} + 645933318771936 p^{4} T^{21} + 82127865023948 p^{5} T^{22} + 9891058799783 p^{6} T^{23} + 1123896765895 p^{7} T^{24} + 119704702263 p^{8} T^{25} + 11883105641 p^{9} T^{26} + 1088895892 p^{10} T^{27} + 91308972 p^{11} T^{28} + 6892760 p^{12} T^{29} + 461311 p^{13} T^{30} + 26438 p^{14} T^{31} + 1254 p^{15} T^{32} + 44 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 9 T + 334 T^{2} - 2257 T^{3} + 49550 T^{4} - 267289 T^{5} + 4760484 T^{6} - 22360566 T^{7} + 362014580 T^{8} - 1589871618 T^{9} + 23687077548 T^{10} - 98857439980 T^{11} + 1361736864515 T^{12} - 5428268323722 T^{13} + 70533547609652 T^{14} - 271881307419404 T^{15} + 3343025707101379 T^{16} - 12368587386598748 T^{17} + 3343025707101379 p T^{18} - 271881307419404 p^{2} T^{19} + 70533547609652 p^{3} T^{20} - 5428268323722 p^{4} T^{21} + 1361736864515 p^{5} T^{22} - 98857439980 p^{6} T^{23} + 23687077548 p^{7} T^{24} - 1589871618 p^{8} T^{25} + 362014580 p^{9} T^{26} - 22360566 p^{10} T^{27} + 4760484 p^{11} T^{28} - 267289 p^{12} T^{29} + 49550 p^{13} T^{30} - 2257 p^{14} T^{31} + 334 p^{15} T^{32} - 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 + 10 T + 226 T^{2} + 2581 T^{3} + 36057 T^{4} + 351840 T^{5} + 4153360 T^{6} + 37631758 T^{7} + 378521569 T^{8} + 3223915998 T^{9} + 29531498876 T^{10} + 233857114315 T^{11} + 1976113284248 T^{12} + 14838008890856 T^{13} + 116721532411863 T^{14} + 827964154858509 T^{15} + 6141227530003017 T^{16} + 41210307632398525 T^{17} + 6141227530003017 p T^{18} + 827964154858509 p^{2} T^{19} + 116721532411863 p^{3} T^{20} + 14838008890856 p^{4} T^{21} + 1976113284248 p^{5} T^{22} + 233857114315 p^{6} T^{23} + 29531498876 p^{7} T^{24} + 3223915998 p^{8} T^{25} + 378521569 p^{9} T^{26} + 37631758 p^{10} T^{27} + 4153360 p^{11} T^{28} + 351840 p^{12} T^{29} + 36057 p^{13} T^{30} + 2581 p^{14} T^{31} + 226 p^{15} T^{32} + 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 + 45 T + 1560 T^{2} + 38543 T^{3} + 818636 T^{4} + 14679588 T^{5} + 236694198 T^{6} + 3409771371 T^{7} + 45220166990 T^{8} + 550271299869 T^{9} + 6249248477910 T^{10} + 66074820050739 T^{11} + 657448243783610 T^{12} + 6141866809730121 T^{13} + 54266487016499641 T^{14} + 452307349726218000 T^{15} + 3575193284367306641 T^{16} + 504074085839120306 p T^{17} + 3575193284367306641 p T^{18} + 452307349726218000 p^{2} T^{19} + 54266487016499641 p^{3} T^{20} + 6141866809730121 p^{4} T^{21} + 657448243783610 p^{5} T^{22} + 66074820050739 p^{6} T^{23} + 6249248477910 p^{7} T^{24} + 550271299869 p^{8} T^{25} + 45220166990 p^{9} T^{26} + 3409771371 p^{10} T^{27} + 236694198 p^{11} T^{28} + 14679588 p^{12} T^{29} + 818636 p^{13} T^{30} + 38543 p^{14} T^{31} + 1560 p^{15} T^{32} + 45 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 + 21 T + 603 T^{2} + 9574 T^{3} + 172841 T^{4} + 2308186 T^{5} + 557869 p T^{6} + 386802693 T^{7} + 4714491024 T^{8} + 49917949105 T^{9} + 540032747378 T^{10} + 5224773865841 T^{11} + 51223586890490 T^{12} + 456705677925782 T^{13} + 4107333258618080 T^{14} + 33910907307753160 T^{15} + 281742223164141507 T^{16} + 2158094729882813176 T^{17} + 281742223164141507 p T^{18} + 33910907307753160 p^{2} T^{19} + 4107333258618080 p^{3} T^{20} + 456705677925782 p^{4} T^{21} + 51223586890490 p^{5} T^{22} + 5224773865841 p^{6} T^{23} + 540032747378 p^{7} T^{24} + 49917949105 p^{8} T^{25} + 4714491024 p^{9} T^{26} + 386802693 p^{10} T^{27} + 557869 p^{12} T^{28} + 2308186 p^{12} T^{29} + 172841 p^{13} T^{30} + 9574 p^{14} T^{31} + 603 p^{15} T^{32} + 21 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 - 24 T + 414 T^{2} - 5405 T^{3} + 58018 T^{4} - 544629 T^{5} + 4939394 T^{6} - 41721827 T^{7} + 361550915 T^{8} - 3038549013 T^{9} + 25386334302 T^{10} - 212917164334 T^{11} + 1818197227903 T^{12} - 15021464713531 T^{13} + 125386794790088 T^{14} - 977109023687791 T^{15} + 7601788177905940 T^{16} - 58886824632205886 T^{17} + 7601788177905940 p T^{18} - 977109023687791 p^{2} T^{19} + 125386794790088 p^{3} T^{20} - 15021464713531 p^{4} T^{21} + 1818197227903 p^{5} T^{22} - 212917164334 p^{6} T^{23} + 25386334302 p^{7} T^{24} - 3038549013 p^{8} T^{25} + 361550915 p^{9} T^{26} - 41721827 p^{10} T^{27} + 4939394 p^{11} T^{28} - 544629 p^{12} T^{29} + 58018 p^{13} T^{30} - 5405 p^{14} T^{31} + 414 p^{15} T^{32} - 24 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 + 18 T + 730 T^{2} + 10334 T^{3} + 248519 T^{4} + 2987765 T^{5} + 54872570 T^{6} + 582537012 T^{7} + 8967976781 T^{8} + 85953600411 T^{9} + 1161841033250 T^{10} + 10193343741828 T^{11} + 124217381516328 T^{12} + 1006322591645647 T^{13} + 11231661329783507 T^{14} + 84446120046824000 T^{15} + 871280234240366193 T^{16} + 6091520592091202844 T^{17} + 871280234240366193 p T^{18} + 84446120046824000 p^{2} T^{19} + 11231661329783507 p^{3} T^{20} + 1006322591645647 p^{4} T^{21} + 124217381516328 p^{5} T^{22} + 10193343741828 p^{6} T^{23} + 1161841033250 p^{7} T^{24} + 85953600411 p^{8} T^{25} + 8967976781 p^{9} T^{26} + 582537012 p^{10} T^{27} + 54872570 p^{11} T^{28} + 2987765 p^{12} T^{29} + 248519 p^{13} T^{30} + 10334 p^{14} T^{31} + 730 p^{15} T^{32} + 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 + 18 T + 783 T^{2} + 10164 T^{3} + 270816 T^{4} + 2782480 T^{5} + 59411488 T^{6} + 506063982 T^{7} + 9625862170 T^{8} + 69917639063 T^{9} + 1249764861546 T^{10} + 7923345418031 T^{11} + 136242454455207 T^{12} + 770290026398485 T^{13} + 12772818767806010 T^{14} + 65687784872907129 T^{15} + 1040414794627102720 T^{16} + 4954827442997273456 T^{17} + 1040414794627102720 p T^{18} + 65687784872907129 p^{2} T^{19} + 12772818767806010 p^{3} T^{20} + 770290026398485 p^{4} T^{21} + 136242454455207 p^{5} T^{22} + 7923345418031 p^{6} T^{23} + 1249764861546 p^{7} T^{24} + 69917639063 p^{8} T^{25} + 9625862170 p^{9} T^{26} + 506063982 p^{10} T^{27} + 59411488 p^{11} T^{28} + 2782480 p^{12} T^{29} + 270816 p^{13} T^{30} + 10164 p^{14} T^{31} + 783 p^{15} T^{32} + 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 + 3 T + 656 T^{2} + 1476 T^{3} + 213938 T^{4} + 268243 T^{5} + 46037540 T^{6} + 5243385 T^{7} + 7351163678 T^{8} - 8082978647 T^{9} + 12767999814 p T^{10} - 2141448379615 T^{11} + 98346217178350 T^{12} - 328036687305089 T^{13} + 8956594168578329 T^{14} - 35911556525475573 T^{15} + 724272209277386927 T^{16} - 2985583529470457194 T^{17} + 724272209277386927 p T^{18} - 35911556525475573 p^{2} T^{19} + 8956594168578329 p^{3} T^{20} - 328036687305089 p^{4} T^{21} + 98346217178350 p^{5} T^{22} - 2141448379615 p^{6} T^{23} + 12767999814 p^{8} T^{24} - 8082978647 p^{8} T^{25} + 7351163678 p^{9} T^{26} + 5243385 p^{10} T^{27} + 46037540 p^{11} T^{28} + 268243 p^{12} T^{29} + 213938 p^{13} T^{30} + 1476 p^{14} T^{31} + 656 p^{15} T^{32} + 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 + 17 T + 869 T^{2} + 11800 T^{3} + 343719 T^{4} + 3768235 T^{5} + 82446620 T^{6} + 722151940 T^{7} + 13495260193 T^{8} + 90459250985 T^{9} + 1617328742098 T^{10} + 7421307630769 T^{11} + 151043219767971 T^{12} + 345470768730296 T^{13} + 11952820909014960 T^{14} + 178583317961852 T^{15} + 909697468944820076 T^{16} - 1040495586153780126 T^{17} + 909697468944820076 p T^{18} + 178583317961852 p^{2} T^{19} + 11952820909014960 p^{3} T^{20} + 345470768730296 p^{4} T^{21} + 151043219767971 p^{5} T^{22} + 7421307630769 p^{6} T^{23} + 1617328742098 p^{7} T^{24} + 90459250985 p^{8} T^{25} + 13495260193 p^{9} T^{26} + 722151940 p^{10} T^{27} + 82446620 p^{11} T^{28} + 3768235 p^{12} T^{29} + 343719 p^{13} T^{30} + 11800 p^{14} T^{31} + 869 p^{15} T^{32} + 17 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 + 58 T + 2375 T^{2} + 71128 T^{3} + 1786295 T^{4} + 38252827 T^{5} + 729309455 T^{6} + 12506345928 T^{7} + 196897420578 T^{8} + 2865227029257 T^{9} + 39002558681409 T^{10} + 498868320785530 T^{11} + 6042083618584178 T^{12} + 69483721701451558 T^{13} + 762543565366676135 T^{14} + 7995674499164625647 T^{15} + 80353036550186552991 T^{16} + 8694233707515510570 p T^{17} + 80353036550186552991 p T^{18} + 7995674499164625647 p^{2} T^{19} + 762543565366676135 p^{3} T^{20} + 69483721701451558 p^{4} T^{21} + 6042083618584178 p^{5} T^{22} + 498868320785530 p^{6} T^{23} + 39002558681409 p^{7} T^{24} + 2865227029257 p^{8} T^{25} + 196897420578 p^{9} T^{26} + 12506345928 p^{10} T^{27} + 729309455 p^{11} T^{28} + 38252827 p^{12} T^{29} + 1786295 p^{13} T^{30} + 71128 p^{14} T^{31} + 2375 p^{15} T^{32} + 58 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 - 6 T + 1116 T^{2} - 5433 T^{3} + 611219 T^{4} - 2422180 T^{5} + 219256861 T^{6} - 711342830 T^{7} + 57855593640 T^{8} - 155155810180 T^{9} + 11930217493857 T^{10} - 26837175974917 T^{11} + 1990941271269410 T^{12} - 3834002788053282 T^{13} + 274572535346899395 T^{14} - 464404461839386582 T^{15} + 31670091175848078890 T^{16} - 48427443408316226474 T^{17} + 31670091175848078890 p T^{18} - 464404461839386582 p^{2} T^{19} + 274572535346899395 p^{3} T^{20} - 3834002788053282 p^{4} T^{21} + 1990941271269410 p^{5} T^{22} - 26837175974917 p^{6} T^{23} + 11930217493857 p^{7} T^{24} - 155155810180 p^{8} T^{25} + 57855593640 p^{9} T^{26} - 711342830 p^{10} T^{27} + 219256861 p^{11} T^{28} - 2422180 p^{12} T^{29} + 611219 p^{13} T^{30} - 5433 p^{14} T^{31} + 1116 p^{15} T^{32} - 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.14389711794794807545481190750, −3.08142788595485815145384767713, −3.04395991145615174798193619109, −2.99826062736442058744044075020, −2.85142704919134043549460456738, −2.68960230882220600557109986372, −2.62923684326011075201462409752, −2.47645597341617101650548445337, −2.41947111859688078655308590360, −2.34039543211002361660192642088, −2.28184809886301369365056067918, −2.24666587991645931134052040357, −2.03896874730257237582545508863, −1.94921819908593279176529014066, −1.88432726246303029333236727799, −1.86847378284943956331751786943, −1.86755071152319499783297996756, −1.71591269728763589972714583033, −1.66045997903324791343451806748, −1.53043895706036122340266576402, −1.42740835386902538296936637496, −1.22866033851835373515191519156, −1.21950247562447366382982070793, −1.06607912910334698597131021998, −0.875824639127901261608604632820, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.875824639127901261608604632820, 1.06607912910334698597131021998, 1.21950247562447366382982070793, 1.22866033851835373515191519156, 1.42740835386902538296936637496, 1.53043895706036122340266576402, 1.66045997903324791343451806748, 1.71591269728763589972714583033, 1.86755071152319499783297996756, 1.86847378284943956331751786943, 1.88432726246303029333236727799, 1.94921819908593279176529014066, 2.03896874730257237582545508863, 2.24666587991645931134052040357, 2.28184809886301369365056067918, 2.34039543211002361660192642088, 2.41947111859688078655308590360, 2.47645597341617101650548445337, 2.62923684326011075201462409752, 2.68960230882220600557109986372, 2.85142704919134043549460456738, 2.99826062736442058744044075020, 3.04395991145615174798193619109, 3.08142788595485815145384767713, 3.14389711794794807545481190750
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.