Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 3·2-s − 17·3-s − 4-s + 13·5-s − 51·6-s − 12·7-s − 9·8-s + 153·9-s + 39·10-s + 6·11-s + 17·12-s + 14·13-s − 36·14-s − 221·15-s + 17·17-s + 459·18-s − 12·19-s − 13·20-s + 204·21-s + 18·22-s + 15·23-s + 153·24-s + 58·25-s + 42·26-s − 969·27-s + 12·28-s + 41·29-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.12·2-s − 9.81·3-s − 1/2·4-s + 5.81·5-s − 20.8·6-s − 4.53·7-s − 3.18·8-s + 51·9-s + 12.3·10-s + 1.80·11-s + 4.90·12-s + 3.88·13-s − 9.62·14-s − 57.0·15-s + 4.12·17-s + 108.·18-s − 2.75·19-s − 2.90·20-s + 44.5·21-s + 3.83·22-s + 3.12·23-s + 31.2·24-s + 58/5·25-s + 8.23·26-s − 186.·27-s + 2.26·28-s + 7.61·29-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{17} \cdot 337^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{17} \cdot 337^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(3^{17} \cdot 337^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(2.62712\times 10^{15}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.84128\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 3^{17} \cdot 337^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(4.076680026\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(4.076680026\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 + T )^{17} \) |
| 337 | \( ( 1 - T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 - 3 T + 5 p T^{2} - 3 p^{3} T^{3} + 55 T^{4} - 111 T^{5} + 109 p T^{6} - 385 T^{7} + 169 p^{2} T^{8} - 275 p^{2} T^{9} + 221 p^{3} T^{10} - 2705 T^{11} + p^{12} T^{12} - 1481 p^{2} T^{13} + 541 p^{4} T^{14} - 3039 p^{2} T^{15} + 545 p^{5} T^{16} - 763 p^{5} T^{17} + 545 p^{6} T^{18} - 3039 p^{4} T^{19} + 541 p^{7} T^{20} - 1481 p^{6} T^{21} + p^{17} T^{22} - 2705 p^{6} T^{23} + 221 p^{10} T^{24} - 275 p^{10} T^{25} + 169 p^{11} T^{26} - 385 p^{10} T^{27} + 109 p^{12} T^{28} - 111 p^{12} T^{29} + 55 p^{13} T^{30} - 3 p^{17} T^{31} + 5 p^{16} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 5 | \( 1 - 13 T + 111 T^{2} - 697 T^{3} + 3598 T^{4} - 3147 p T^{5} + 60391 T^{6} - 41317 p T^{7} + 642561 T^{8} - 368559 p T^{9} + 993339 p T^{10} - 12798857 T^{11} + 32134478 T^{12} - 79538153 T^{13} + 194927337 T^{14} - 94064167 p T^{15} + 1107095827 T^{16} - 100828198 p^{2} T^{17} + 1107095827 p T^{18} - 94064167 p^{3} T^{19} + 194927337 p^{3} T^{20} - 79538153 p^{4} T^{21} + 32134478 p^{5} T^{22} - 12798857 p^{6} T^{23} + 993339 p^{8} T^{24} - 368559 p^{9} T^{25} + 642561 p^{9} T^{26} - 41317 p^{11} T^{27} + 60391 p^{11} T^{28} - 3147 p^{13} T^{29} + 3598 p^{13} T^{30} - 697 p^{14} T^{31} + 111 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 + 12 T + 111 T^{2} + 755 T^{3} + 4477 T^{4} + 22758 T^{5} + 105598 T^{6} + 443780 T^{7} + 1746741 T^{8} + 6403868 T^{9} + 22353984 T^{10} + 73904650 T^{11} + 235154179 T^{12} + 102298197 p T^{13} + 2113890799 T^{14} + 858921914 p T^{15} + 16654928333 T^{16} + 44612399456 T^{17} + 16654928333 p T^{18} + 858921914 p^{3} T^{19} + 2113890799 p^{3} T^{20} + 102298197 p^{5} T^{21} + 235154179 p^{5} T^{22} + 73904650 p^{6} T^{23} + 22353984 p^{7} T^{24} + 6403868 p^{8} T^{25} + 1746741 p^{9} T^{26} + 443780 p^{10} T^{27} + 105598 p^{11} T^{28} + 22758 p^{12} T^{29} + 4477 p^{13} T^{30} + 755 p^{14} T^{31} + 111 p^{15} T^{32} + 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 6 T + 90 T^{2} - 526 T^{3} + 4622 T^{4} - 24664 T^{5} + 165454 T^{6} - 805855 T^{7} + 4525318 T^{8} - 20190067 T^{9} + 99250515 T^{10} - 407419448 T^{11} + 1796530122 T^{12} - 6807088547 T^{13} + 27312861724 T^{14} - 95686381239 T^{15} + 352377292572 T^{16} - 1141167279504 T^{17} + 352377292572 p T^{18} - 95686381239 p^{2} T^{19} + 27312861724 p^{3} T^{20} - 6807088547 p^{4} T^{21} + 1796530122 p^{5} T^{22} - 407419448 p^{6} T^{23} + 99250515 p^{7} T^{24} - 20190067 p^{8} T^{25} + 4525318 p^{9} T^{26} - 805855 p^{10} T^{27} + 165454 p^{11} T^{28} - 24664 p^{12} T^{29} + 4622 p^{13} T^{30} - 526 p^{14} T^{31} + 90 p^{15} T^{32} - 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 - 14 T + 192 T^{2} - 136 p T^{3} + 1178 p T^{4} - 110392 T^{5} + 57757 p T^{6} - 4565643 T^{7} + 26370895 T^{8} - 140663925 T^{9} + 716777917 T^{10} - 3430736232 T^{11} + 15752646542 T^{12} - 68578410840 T^{13} + 287204498380 T^{14} - 1146178812968 T^{15} + 4407222973031 T^{16} - 16184535231146 T^{17} + 4407222973031 p T^{18} - 1146178812968 p^{2} T^{19} + 287204498380 p^{3} T^{20} - 68578410840 p^{4} T^{21} + 15752646542 p^{5} T^{22} - 3430736232 p^{6} T^{23} + 716777917 p^{7} T^{24} - 140663925 p^{8} T^{25} + 26370895 p^{9} T^{26} - 4565643 p^{10} T^{27} + 57757 p^{12} T^{28} - 110392 p^{12} T^{29} + 1178 p^{14} T^{30} - 136 p^{15} T^{31} + 192 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 - p T + 233 T^{2} - 2172 T^{3} + 18516 T^{4} - 131657 T^{5} + 902215 T^{6} - 5512548 T^{7} + 32970987 T^{8} - 180377358 T^{9} + 973228153 T^{10} - 4881072479 T^{11} + 24302545412 T^{12} - 113529519798 T^{13} + 527935653119 T^{14} - 2313471094041 T^{15} + 10107222490853 T^{16} - 41717772321558 T^{17} + 10107222490853 p T^{18} - 2313471094041 p^{2} T^{19} + 527935653119 p^{3} T^{20} - 113529519798 p^{4} T^{21} + 24302545412 p^{5} T^{22} - 4881072479 p^{6} T^{23} + 973228153 p^{7} T^{24} - 180377358 p^{8} T^{25} + 32970987 p^{9} T^{26} - 5512548 p^{10} T^{27} + 902215 p^{11} T^{28} - 131657 p^{12} T^{29} + 18516 p^{13} T^{30} - 2172 p^{14} T^{31} + 233 p^{15} T^{32} - p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + 12 T + 207 T^{2} + 1998 T^{3} + 21064 T^{4} + 171112 T^{5} + 1398479 T^{6} + 9872567 T^{7} + 68093721 T^{8} + 427261470 T^{9} + 2593697975 T^{10} + 14701279151 T^{11} + 80481539873 T^{12} + 417061533248 T^{13} + 2090226578262 T^{14} + 9987164989364 T^{15} + 46232185429380 T^{16} + 204658650043932 T^{17} + 46232185429380 p T^{18} + 9987164989364 p^{2} T^{19} + 2090226578262 p^{3} T^{20} + 417061533248 p^{4} T^{21} + 80481539873 p^{5} T^{22} + 14701279151 p^{6} T^{23} + 2593697975 p^{7} T^{24} + 427261470 p^{8} T^{25} + 68093721 p^{9} T^{26} + 9872567 p^{10} T^{27} + 1398479 p^{11} T^{28} + 171112 p^{12} T^{29} + 21064 p^{13} T^{30} + 1998 p^{14} T^{31} + 207 p^{15} T^{32} + 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 15 T + 308 T^{2} - 3344 T^{3} + 40223 T^{4} - 350569 T^{5} + 3174747 T^{6} - 23675731 T^{7} + 178556273 T^{8} - 1189026612 T^{9} + 7877057405 T^{10} - 48004358087 T^{11} + 287268905951 T^{12} - 1619291619919 T^{13} + 386087801989 p T^{14} - 46502103904262 T^{15} + 235832463249655 T^{16} - 1149946310108234 T^{17} + 235832463249655 p T^{18} - 46502103904262 p^{2} T^{19} + 386087801989 p^{4} T^{20} - 1619291619919 p^{4} T^{21} + 287268905951 p^{5} T^{22} - 48004358087 p^{6} T^{23} + 7877057405 p^{7} T^{24} - 1189026612 p^{8} T^{25} + 178556273 p^{9} T^{26} - 23675731 p^{10} T^{27} + 3174747 p^{11} T^{28} - 350569 p^{12} T^{29} + 40223 p^{13} T^{30} - 3344 p^{14} T^{31} + 308 p^{15} T^{32} - 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 - 41 T + 1035 T^{2} - 19426 T^{3} + 299430 T^{4} - 3957293 T^{5} + 46239825 T^{6} - 486540108 T^{7} + 4676574111 T^{8} - 41466800294 T^{9} + 341909047109 T^{10} - 2636830003019 T^{11} + 19111941772582 T^{12} - 130649502052760 T^{13} + 844767851171877 T^{14} - 5176668956654045 T^{15} + 30108598157085719 T^{16} - 166336648682530162 T^{17} + 30108598157085719 p T^{18} - 5176668956654045 p^{2} T^{19} + 844767851171877 p^{3} T^{20} - 130649502052760 p^{4} T^{21} + 19111941772582 p^{5} T^{22} - 2636830003019 p^{6} T^{23} + 341909047109 p^{7} T^{24} - 41466800294 p^{8} T^{25} + 4676574111 p^{9} T^{26} - 486540108 p^{10} T^{27} + 46239825 p^{11} T^{28} - 3957293 p^{12} T^{29} + 299430 p^{13} T^{30} - 19426 p^{14} T^{31} + 1035 p^{15} T^{32} - 41 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 + 18 T + 428 T^{2} + 5248 T^{3} + 74699 T^{4} + 717163 T^{5} + 7809744 T^{6} + 63016523 T^{7} + 577710848 T^{8} + 4083440312 T^{9} + 33119891058 T^{10} + 210500457919 T^{11} + 50202034978 p T^{12} + 9063668554301 T^{13} + 62287095518681 T^{14} + 337364565436598 T^{15} + 2179578877889341 T^{16} + 11089307959445020 T^{17} + 2179578877889341 p T^{18} + 337364565436598 p^{2} T^{19} + 62287095518681 p^{3} T^{20} + 9063668554301 p^{4} T^{21} + 50202034978 p^{6} T^{22} + 210500457919 p^{6} T^{23} + 33119891058 p^{7} T^{24} + 4083440312 p^{8} T^{25} + 577710848 p^{9} T^{26} + 63016523 p^{10} T^{27} + 7809744 p^{11} T^{28} + 717163 p^{12} T^{29} + 74699 p^{13} T^{30} + 5248 p^{14} T^{31} + 428 p^{15} T^{32} + 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 15 T + 13 p T^{2} - 5558 T^{3} + 102502 T^{4} - 983825 T^{5} + 13554723 T^{6} - 113397672 T^{7} + 1290199195 T^{8} - 9702826902 T^{9} + 95794171989 T^{10} - 659475982551 T^{11} + 5807026220774 T^{12} - 998549366458 p T^{13} + 295081759389727 T^{14} - 1741529179098025 T^{15} + 12754089955700553 T^{16} - 69781996119133290 T^{17} + 12754089955700553 p T^{18} - 1741529179098025 p^{2} T^{19} + 295081759389727 p^{3} T^{20} - 998549366458 p^{5} T^{21} + 5807026220774 p^{5} T^{22} - 659475982551 p^{6} T^{23} + 95794171989 p^{7} T^{24} - 9702826902 p^{8} T^{25} + 1290199195 p^{9} T^{26} - 113397672 p^{10} T^{27} + 13554723 p^{11} T^{28} - 983825 p^{12} T^{29} + 102502 p^{13} T^{30} - 5558 p^{14} T^{31} + 13 p^{16} T^{32} - 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 - 18 T + 485 T^{2} - 6952 T^{3} + 111450 T^{4} - 1336008 T^{5} + 16351717 T^{6} - 169356905 T^{7} + 1732722629 T^{8} - 15875077182 T^{9} + 142047622121 T^{10} - 1172487108037 T^{11} + 9425138659621 T^{12} - 71113253947232 T^{13} + 522738931723828 T^{14} - 3644427619003962 T^{15} + 24780534859123212 T^{16} - 160630078966083984 T^{17} + 24780534859123212 p T^{18} - 3644427619003962 p^{2} T^{19} + 522738931723828 p^{3} T^{20} - 71113253947232 p^{4} T^{21} + 9425138659621 p^{5} T^{22} - 1172487108037 p^{6} T^{23} + 142047622121 p^{7} T^{24} - 15875077182 p^{8} T^{25} + 1732722629 p^{9} T^{26} - 169356905 p^{10} T^{27} + 16351717 p^{11} T^{28} - 1336008 p^{12} T^{29} + 111450 p^{13} T^{30} - 6952 p^{14} T^{31} + 485 p^{15} T^{32} - 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 + 2 T + 6 p T^{2} + 1124 T^{3} + 34260 T^{4} + 225680 T^{5} + 3346395 T^{6} + 26320147 T^{7} + 277998365 T^{8} + 2191172423 T^{9} + 20137301687 T^{10} + 147382315446 T^{11} + 1256812142626 T^{12} + 8581777927402 T^{13} + 67935799407212 T^{14} + 442772532752514 T^{15} + 3247666302513575 T^{16} + 20246048212992744 T^{17} + 3247666302513575 p T^{18} + 442772532752514 p^{2} T^{19} + 67935799407212 p^{3} T^{20} + 8581777927402 p^{4} T^{21} + 1256812142626 p^{5} T^{22} + 147382315446 p^{6} T^{23} + 20137301687 p^{7} T^{24} + 2191172423 p^{8} T^{25} + 277998365 p^{9} T^{26} + 26320147 p^{10} T^{27} + 3346395 p^{11} T^{28} + 225680 p^{12} T^{29} + 34260 p^{13} T^{30} + 1124 p^{14} T^{31} + 6 p^{16} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 2 T + 453 T^{2} - 1102 T^{3} + 102395 T^{4} - 272234 T^{5} + 15383979 T^{6} - 41888271 T^{7} + 1723624540 T^{8} - 4613789370 T^{9} + 3261382240 p T^{10} - 393086663583 T^{11} + 11259940359887 T^{12} - 27249750210174 T^{13} + 702096612588911 T^{14} - 1592743288335268 T^{15} + 37834263097756968 T^{16} - 80289861913734328 T^{17} + 37834263097756968 p T^{18} - 1592743288335268 p^{2} T^{19} + 702096612588911 p^{3} T^{20} - 27249750210174 p^{4} T^{21} + 11259940359887 p^{5} T^{22} - 393086663583 p^{6} T^{23} + 3261382240 p^{8} T^{24} - 4613789370 p^{8} T^{25} + 1723624540 p^{9} T^{26} - 41888271 p^{10} T^{27} + 15383979 p^{11} T^{28} - 272234 p^{12} T^{29} + 102395 p^{13} T^{30} - 1102 p^{14} T^{31} + 453 p^{15} T^{32} - 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 70 T + 2693 T^{2} - 74049 T^{3} + 1613327 T^{4} - 29432643 T^{5} + 465433798 T^{6} - 6534073146 T^{7} + 82892752027 T^{8} - 963542212472 T^{9} + 10377369840632 T^{10} - 104496071768759 T^{11} + 990982193680849 T^{12} - 8900899303688933 T^{13} + 76033280553347509 T^{14} - 619446178783665504 T^{15} + 4821629769329384287 T^{16} - 35890118350219122682 T^{17} + 4821629769329384287 p T^{18} - 619446178783665504 p^{2} T^{19} + 76033280553347509 p^{3} T^{20} - 8900899303688933 p^{4} T^{21} + 990982193680849 p^{5} T^{22} - 104496071768759 p^{6} T^{23} + 10377369840632 p^{7} T^{24} - 963542212472 p^{8} T^{25} + 82892752027 p^{9} T^{26} - 6534073146 p^{10} T^{27} + 465433798 p^{11} T^{28} - 29432643 p^{12} T^{29} + 1613327 p^{13} T^{30} - 74049 p^{14} T^{31} + 2693 p^{15} T^{32} - 70 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 11 T + 660 T^{2} - 5839 T^{3} + 201835 T^{4} - 1429364 T^{5} + 38201018 T^{6} - 208760065 T^{7} + 5025660097 T^{8} - 19254682771 T^{9} + 489720510100 T^{10} - 1003670882806 T^{11} + 37114120401311 T^{12} - 2303647094597 T^{13} + 2329766452097736 T^{14} + 4397481152272095 T^{15} + 134250486957320219 T^{16} + 385561252590339972 T^{17} + 134250486957320219 p T^{18} + 4397481152272095 p^{2} T^{19} + 2329766452097736 p^{3} T^{20} - 2303647094597 p^{4} T^{21} + 37114120401311 p^{5} T^{22} - 1003670882806 p^{6} T^{23} + 489720510100 p^{7} T^{24} - 19254682771 p^{8} T^{25} + 5025660097 p^{9} T^{26} - 208760065 p^{10} T^{27} + 38201018 p^{11} T^{28} - 1429364 p^{12} T^{29} + 201835 p^{13} T^{30} - 5839 p^{14} T^{31} + 660 p^{15} T^{32} - 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 - 10 T + 678 T^{2} - 6706 T^{3} + 232861 T^{4} - 2229559 T^{5} + 53256694 T^{6} - 486532663 T^{7} + 9020395282 T^{8} - 77819116860 T^{9} + 1194757808148 T^{10} - 9656896422935 T^{11} + 127687174316208 T^{12} - 960528602516913 T^{13} + 11219776761265761 T^{14} - 78046288919932648 T^{15} + 819383378495645835 T^{16} - 5232741080290981316 T^{17} + 819383378495645835 p T^{18} - 78046288919932648 p^{2} T^{19} + 11219776761265761 p^{3} T^{20} - 960528602516913 p^{4} T^{21} + 127687174316208 p^{5} T^{22} - 9656896422935 p^{6} T^{23} + 1194757808148 p^{7} T^{24} - 77819116860 p^{8} T^{25} + 9020395282 p^{9} T^{26} - 486532663 p^{10} T^{27} + 53256694 p^{11} T^{28} - 2229559 p^{12} T^{29} + 232861 p^{13} T^{30} - 6706 p^{14} T^{31} + 678 p^{15} T^{32} - 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 + 11 T + 627 T^{2} + 4562 T^{3} + 166833 T^{4} + 630222 T^{5} + 25304806 T^{6} - 8058885 T^{7} + 2559269533 T^{8} - 14551968686 T^{9} + 215408062475 T^{10} - 2348910516309 T^{11} + 20285824032276 T^{12} - 219740717612470 T^{13} + 2097986312877003 T^{14} - 15281682721231856 T^{15} + 185458262345838696 T^{16} - 990781430117899818 T^{17} + 185458262345838696 p T^{18} - 15281682721231856 p^{2} T^{19} + 2097986312877003 p^{3} T^{20} - 219740717612470 p^{4} T^{21} + 20285824032276 p^{5} T^{22} - 2348910516309 p^{6} T^{23} + 215408062475 p^{7} T^{24} - 14551968686 p^{8} T^{25} + 2559269533 p^{9} T^{26} - 8058885 p^{10} T^{27} + 25304806 p^{11} T^{28} + 630222 p^{12} T^{29} + 166833 p^{13} T^{30} + 4562 p^{14} T^{31} + 627 p^{15} T^{32} + 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 37 T + 1200 T^{2} - 26679 T^{3} + 536657 T^{4} - 8911229 T^{5} + 136866266 T^{6} - 1842971255 T^{7} + 23278527533 T^{8} - 264861752389 T^{9} + 2858314785506 T^{10} - 28224758568405 T^{11} + 267913508222489 T^{12} - 2362442714852217 T^{13} + 20496053649452588 T^{14} - 169231689985856031 T^{15} + 1425503993585847037 T^{16} - 11760221541345434192 T^{17} + 1425503993585847037 p T^{18} - 169231689985856031 p^{2} T^{19} + 20496053649452588 p^{3} T^{20} - 2362442714852217 p^{4} T^{21} + 267913508222489 p^{5} T^{22} - 28224758568405 p^{6} T^{23} + 2858314785506 p^{7} T^{24} - 264861752389 p^{8} T^{25} + 23278527533 p^{9} T^{26} - 1842971255 p^{10} T^{27} + 136866266 p^{11} T^{28} - 8911229 p^{12} T^{29} + 536657 p^{13} T^{30} - 26679 p^{14} T^{31} + 1200 p^{15} T^{32} - 37 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 - 5 T + 606 T^{2} - 1101 T^{3} + 180845 T^{4} + 107572 T^{5} + 37502867 T^{6} + 87476216 T^{7} + 6113954745 T^{8} + 21536867994 T^{9} + 820639967623 T^{10} + 3516132154950 T^{11} + 93048917290889 T^{12} + 434599346268180 T^{13} + 9053562810956407 T^{14} + 42853877511282655 T^{15} + 761652002455019545 T^{16} + 3451027069901428294 T^{17} + 761652002455019545 p T^{18} + 42853877511282655 p^{2} T^{19} + 9053562810956407 p^{3} T^{20} + 434599346268180 p^{4} T^{21} + 93048917290889 p^{5} T^{22} + 3516132154950 p^{6} T^{23} + 820639967623 p^{7} T^{24} + 21536867994 p^{8} T^{25} + 6113954745 p^{9} T^{26} + 87476216 p^{10} T^{27} + 37502867 p^{11} T^{28} + 107572 p^{12} T^{29} + 180845 p^{13} T^{30} - 1101 p^{14} T^{31} + 606 p^{15} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 - T + 467 T^{2} - 1047 T^{3} + 116016 T^{4} - 439416 T^{5} + 20912927 T^{6} - 106162477 T^{7} + 3112723341 T^{8} - 17893089665 T^{9} + 402313828337 T^{10} - 2373514013396 T^{11} + 45599240746264 T^{12} - 266574360289289 T^{13} + 4538966339115587 T^{14} - 26038345150135529 T^{15} + 400352069237503575 T^{16} - 2210561992440722312 T^{17} + 400352069237503575 p T^{18} - 26038345150135529 p^{2} T^{19} + 4538966339115587 p^{3} T^{20} - 266574360289289 p^{4} T^{21} + 45599240746264 p^{5} T^{22} - 2373514013396 p^{6} T^{23} + 402313828337 p^{7} T^{24} - 17893089665 p^{8} T^{25} + 3112723341 p^{9} T^{26} - 106162477 p^{10} T^{27} + 20912927 p^{11} T^{28} - 439416 p^{12} T^{29} + 116016 p^{13} T^{30} - 1047 p^{14} T^{31} + 467 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 25 T + 979 T^{2} - 18975 T^{3} + 445566 T^{4} - 7234024 T^{5} + 130181567 T^{6} - 1847517309 T^{7} + 27876990327 T^{8} - 4273590227 p T^{9} + 4689181802439 T^{10} - 54310136964770 T^{11} + 644508085395934 T^{12} - 6854460952473819 T^{13} + 74071536458200673 T^{14} - 726719686256216259 T^{15} + 7212342658346843889 T^{16} - 65376631097763154508 T^{17} + 7212342658346843889 p T^{18} - 726719686256216259 p^{2} T^{19} + 74071536458200673 p^{3} T^{20} - 6854460952473819 p^{4} T^{21} + 644508085395934 p^{5} T^{22} - 54310136964770 p^{6} T^{23} + 4689181802439 p^{7} T^{24} - 4273590227 p^{9} T^{25} + 27876990327 p^{9} T^{26} - 1847517309 p^{10} T^{27} + 130181567 p^{11} T^{28} - 7234024 p^{12} T^{29} + 445566 p^{13} T^{30} - 18975 p^{14} T^{31} + 979 p^{15} T^{32} - 25 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 - 40 T + 1448 T^{2} - 37337 T^{3} + 877910 T^{4} - 17619536 T^{5} + 327365909 T^{6} - 5498643664 T^{7} + 86561128057 T^{8} - 1263617256700 T^{9} + 17435306876629 T^{10} - 226084409303636 T^{11} + 2786912981900262 T^{12} - 32529521343527621 T^{13} + 362268183633848122 T^{14} - 3836243111842100932 T^{15} + 38839147621116616415 T^{16} - \)\(37\!\cdots\!10\)\( T^{17} + 38839147621116616415 p T^{18} - 3836243111842100932 p^{2} T^{19} + 362268183633848122 p^{3} T^{20} - 32529521343527621 p^{4} T^{21} + 2786912981900262 p^{5} T^{22} - 226084409303636 p^{6} T^{23} + 17435306876629 p^{7} T^{24} - 1263617256700 p^{8} T^{25} + 86561128057 p^{9} T^{26} - 5498643664 p^{10} T^{27} + 327365909 p^{11} T^{28} - 17619536 p^{12} T^{29} + 877910 p^{13} T^{30} - 37337 p^{14} T^{31} + 1448 p^{15} T^{32} - 40 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 6 T + 566 T^{2} + 3932 T^{3} + 155237 T^{4} + 1218465 T^{5} + 28989116 T^{6} + 237906963 T^{7} + 4319136134 T^{8} + 33515658872 T^{9} + 542969985656 T^{10} + 3758950926639 T^{11} + 58377258902806 T^{12} + 365404764876727 T^{13} + 5623078139469241 T^{14} + 33428983694132642 T^{15} + 5438857195915611 p T^{16} + 3133649156511102804 T^{17} + 5438857195915611 p^{2} T^{18} + 33428983694132642 p^{2} T^{19} + 5623078139469241 p^{3} T^{20} + 365404764876727 p^{4} T^{21} + 58377258902806 p^{5} T^{22} + 3758950926639 p^{6} T^{23} + 542969985656 p^{7} T^{24} + 33515658872 p^{8} T^{25} + 4319136134 p^{9} T^{26} + 237906963 p^{10} T^{27} + 28989116 p^{11} T^{28} + 1218465 p^{12} T^{29} + 155237 p^{13} T^{30} + 3932 p^{14} T^{31} + 566 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.45628159342271431560000647606, −2.30961104633834952775957441826, −2.18619652281124846277871131435, −2.15641266557703439217236143773, −2.08135325730306108814712871848, −2.04296379239835105243911226978, −1.94118316724015792073861809552, −1.72773605212804134226224984864, −1.68279655385863421117282476834, −1.67693619343444444085573957362, −1.62344837401249331964055130076, −1.54032660611352088065664183901, −1.23360458558845698351317152377, −1.19078089847043805012787564451, −1.10214349118665150572847834572, −1.05622644794045377234369468932, −1.02753448617056416280170040537, −0.951697168228332359468669290783, −0.902910447452920413855601970444, −0.821712744803235210035949939544, −0.69282918851342699678700786882, −0.60708201068270727899074538467, −0.47712770297803375046216277706, −0.45712757370915662049862897878, −0.15937198561330985792122450754, 0.15937198561330985792122450754, 0.45712757370915662049862897878, 0.47712770297803375046216277706, 0.60708201068270727899074538467, 0.69282918851342699678700786882, 0.821712744803235210035949939544, 0.902910447452920413855601970444, 0.951697168228332359468669290783, 1.02753448617056416280170040537, 1.05622644794045377234369468932, 1.10214349118665150572847834572, 1.19078089847043805012787564451, 1.23360458558845698351317152377, 1.54032660611352088065664183901, 1.62344837401249331964055130076, 1.67693619343444444085573957362, 1.68279655385863421117282476834, 1.72773605212804134226224984864, 1.94118316724015792073861809552, 2.04296379239835105243911226978, 2.08135325730306108814712871848, 2.15641266557703439217236143773, 2.18619652281124846277871131435, 2.30961104633834952775957441826, 2.45628159342271431560000647606
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.