Properties

Label 32-300e16-1.1-c8e16-0-0
Degree $32$
Conductor $4.305\times 10^{39}$
Sign $1$
Analytic cond. $2.47691\times 10^{33}$
Root an. cond. $11.0550$
Motivic weight $8$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 4.22e3·7-s + 2.36e4·11-s + 1.89e4·13-s + 4.49e4·17-s − 1.96e5·23-s + 3.74e6·31-s + 2.14e6·37-s + 1.63e7·41-s − 1.20e7·43-s + 1.49e7·47-s + 8.90e6·49-s − 2.37e7·53-s + 8.54e7·61-s + 9.94e7·67-s + 7.33e7·71-s − 1.24e8·73-s − 9.96e7·77-s − 1.91e7·81-s + 2.20e7·83-s − 7.97e7·91-s − 1.85e8·97-s − 9.67e7·101-s + 2.07e8·103-s − 2.98e8·107-s + 7.51e7·113-s − 1.89e8·119-s − 1.35e9·121-s + ⋯
L(s)  = 1  − 1.75·7-s + 1.61·11-s + 0.661·13-s + 0.538·17-s − 0.701·23-s + 4.05·31-s + 1.14·37-s + 5.78·41-s − 3.53·43-s + 3.06·47-s + 1.54·49-s − 3.01·53-s + 6.16·61-s + 4.93·67-s + 2.88·71-s − 4.36·73-s − 2.83·77-s − 4/9·81-s + 0.464·83-s − 1.16·91-s − 2.09·97-s − 0.929·101-s + 1.84·103-s − 2.27·107-s + 0.460·113-s − 0.945·119-s − 6.31·121-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{32} \cdot 3^{16} \cdot 5^{32}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(9-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{32} \cdot 3^{16} \cdot 5^{32}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+4)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(32\)
Conductor: \(2^{32} \cdot 3^{16} \cdot 5^{32}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(2.47691\times 10^{33}\)
Root analytic conductor: \(11.0550\)
Motivic weight: \(8\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{300} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((32,\ 2^{32} \cdot 3^{16} \cdot 5^{32} ,\ ( \ : [4]^{16} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(\frac{9}{2})\) \(\approx\) \(0.06747583437\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(0.06747583437\)
\(L(5)\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad2 \( 1 \)
3 \( ( 1 + p^{14} T^{4} )^{4} \)
5 \( 1 \)
good7 \( 1 + 4220 T + 8904200 T^{2} + 20907912260 T^{3} - 20094734076324 T^{4} - 17913687169918700 p T^{5} - 2687191638797246600 p^{2} T^{6} - \)\(62\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{7} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{4} T^{8} + \)\(54\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{9} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{10} + \)\(50\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{11} + \)\(78\!\cdots\!64\)\( p^{8} T^{12} + \)\(99\!\cdots\!60\)\( p^{9} T^{13} + \)\(65\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{14} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( p^{11} T^{15} + \)\(69\!\cdots\!34\)\( p^{12} T^{16} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( p^{19} T^{17} + \)\(65\!\cdots\!00\)\( p^{26} T^{18} + \)\(99\!\cdots\!60\)\( p^{33} T^{19} + \)\(78\!\cdots\!64\)\( p^{40} T^{20} + \)\(50\!\cdots\!00\)\( p^{47} T^{21} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{54} T^{22} + \)\(54\!\cdots\!20\)\( p^{61} T^{23} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{68} T^{24} - \)\(62\!\cdots\!20\)\( p^{75} T^{25} - 2687191638797246600 p^{82} T^{26} - 17913687169918700 p^{89} T^{27} - 20094734076324 p^{96} T^{28} + 20907912260 p^{104} T^{29} + 8904200 p^{112} T^{30} + 4220 p^{120} T^{31} + p^{128} T^{32} \)
11 \( ( 1 - 11808 T + 885981526 T^{2} - 755524638672 p T^{3} + 27174596980964276 p T^{4} - \)\(19\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(44\!\cdots\!74\)\( T^{6} - \)\(14\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(46\!\cdots\!62\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!56\)\( p^{8} T^{9} + \)\(44\!\cdots\!74\)\( p^{16} T^{10} - \)\(19\!\cdots\!84\)\( p^{24} T^{11} + 27174596980964276 p^{33} T^{12} - 755524638672 p^{41} T^{13} + 885981526 p^{48} T^{14} - 11808 p^{56} T^{15} + p^{64} T^{16} )^{2} \)
13 \( 1 - 18900 T + 178605000 T^{2} - 9923970627900 T^{3} - 118782183274202572 T^{4} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( T^{5} - \)\(34\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( T^{7} - \)\(61\!\cdots\!32\)\( T^{8} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( p T^{9} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{10} + \)\(64\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( T^{12} - \)\(77\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( T^{14} - \)\(50\!\cdots\!00\)\( T^{15} + \)\(22\!\cdots\!70\)\( T^{16} - \)\(50\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{17} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{18} - \)\(77\!\cdots\!00\)\( p^{24} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( p^{32} T^{20} + \)\(64\!\cdots\!00\)\( p^{40} T^{21} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{48} T^{22} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( p^{57} T^{23} - \)\(61\!\cdots\!32\)\( p^{64} T^{24} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{72} T^{25} - \)\(34\!\cdots\!00\)\( p^{80} T^{26} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( p^{88} T^{27} - 118782183274202572 p^{96} T^{28} - 9923970627900 p^{104} T^{29} + 178605000 p^{112} T^{30} - 18900 p^{120} T^{31} + p^{128} T^{32} \)
17 \( 1 - 44940 T + 1009801800 T^{2} + 153003810785580 T^{3} - 45000732490795208684 T^{4} + \)\(66\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{5} - \)\(29\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(69\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( T^{8} + \)\(37\!\cdots\!20\)\( T^{9} - \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{10} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{11} - \)\(92\!\cdots\!16\)\( T^{12} - \)\(28\!\cdots\!40\)\( T^{13} + \)\(50\!\cdots\!00\)\( T^{14} - \)\(27\!\cdots\!00\)\( T^{15} + \)\(61\!\cdots\!94\)\( T^{16} - \)\(27\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{17} + \)\(50\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{18} - \)\(28\!\cdots\!40\)\( p^{24} T^{19} - \)\(92\!\cdots\!16\)\( p^{32} T^{20} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{40} T^{21} - \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{48} T^{22} + \)\(37\!\cdots\!20\)\( p^{56} T^{23} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{64} T^{24} + \)\(69\!\cdots\!20\)\( p^{72} T^{25} - \)\(29\!\cdots\!00\)\( p^{80} T^{26} + \)\(66\!\cdots\!00\)\( p^{90} T^{27} - 45000732490795208684 p^{96} T^{28} + 153003810785580 p^{104} T^{29} + 1009801800 p^{112} T^{30} - 44940 p^{120} T^{31} + p^{128} T^{32} \)
19 \( 1 - 196811814056 T^{2} + \)\(18\!\cdots\!20\)\( T^{4} - \)\(10\!\cdots\!60\)\( T^{6} + \)\(46\!\cdots\!20\)\( T^{8} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( T^{10} + \)\(39\!\cdots\!28\)\( T^{12} - \)\(85\!\cdots\!40\)\( T^{14} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( T^{16} - \)\(85\!\cdots\!40\)\( p^{16} T^{18} + \)\(39\!\cdots\!28\)\( p^{32} T^{20} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( p^{48} T^{22} + \)\(46\!\cdots\!20\)\( p^{64} T^{24} - \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{80} T^{26} + \)\(18\!\cdots\!20\)\( p^{96} T^{28} - 196811814056 p^{112} T^{30} + p^{128} T^{32} \)
23 \( 1 + 196440 T + 19294336800 T^{2} - 24795563077892040 T^{3} - \)\(84\!\cdots\!88\)\( T^{4} - \)\(82\!\cdots\!80\)\( T^{5} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(32\!\cdots\!20\)\( T^{7} - \)\(26\!\cdots\!44\)\( p T^{8} - \)\(94\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( T^{10} + \)\(24\!\cdots\!60\)\( T^{11} + \)\(35\!\cdots\!64\)\( T^{12} - \)\(94\!\cdots\!00\)\( T^{13} - \)\(32\!\cdots\!00\)\( T^{14} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{15} + \)\(18\!\cdots\!70\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{17} - \)\(32\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{18} - \)\(94\!\cdots\!00\)\( p^{24} T^{19} + \)\(35\!\cdots\!64\)\( p^{32} T^{20} + \)\(24\!\cdots\!60\)\( p^{40} T^{21} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( p^{48} T^{22} - \)\(94\!\cdots\!60\)\( p^{56} T^{23} - \)\(26\!\cdots\!44\)\( p^{65} T^{24} - \)\(32\!\cdots\!20\)\( p^{72} T^{25} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( p^{80} T^{26} - \)\(82\!\cdots\!80\)\( p^{88} T^{27} - \)\(84\!\cdots\!88\)\( p^{96} T^{28} - 24795563077892040 p^{104} T^{29} + 19294336800 p^{112} T^{30} + 196440 p^{120} T^{31} + p^{128} T^{32} \)
29 \( 1 - 3378900968564 T^{2} + \)\(54\!\cdots\!60\)\( T^{4} - \)\(59\!\cdots\!80\)\( T^{6} + \)\(48\!\cdots\!60\)\( T^{8} - \)\(33\!\cdots\!72\)\( T^{10} + \)\(20\!\cdots\!08\)\( T^{12} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{14} + \)\(56\!\cdots\!90\)\( T^{16} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{16} T^{18} + \)\(20\!\cdots\!08\)\( p^{32} T^{20} - \)\(33\!\cdots\!72\)\( p^{48} T^{22} + \)\(48\!\cdots\!60\)\( p^{64} T^{24} - \)\(59\!\cdots\!80\)\( p^{80} T^{26} + \)\(54\!\cdots\!60\)\( p^{96} T^{28} - 3378900968564 p^{112} T^{30} + p^{128} T^{32} \)
31 \( ( 1 - 1871312 T + 131590911936 p T^{2} - 4834324811235482608 T^{3} + \)\(71\!\cdots\!36\)\( T^{4} - \)\(22\!\cdots\!96\)\( p T^{5} + \)\(88\!\cdots\!84\)\( T^{6} - \)\(74\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(82\!\cdots\!62\)\( T^{8} - \)\(74\!\cdots\!04\)\( p^{8} T^{9} + \)\(88\!\cdots\!84\)\( p^{16} T^{10} - \)\(22\!\cdots\!96\)\( p^{25} T^{11} + \)\(71\!\cdots\!36\)\( p^{32} T^{12} - 4834324811235482608 p^{40} T^{13} + 131590911936 p^{49} T^{14} - 1871312 p^{56} T^{15} + p^{64} T^{16} )^{2} \)
37 \( 1 - 2141100 T + 2292154605000 T^{2} + 9239158746994923900 T^{3} - \)\(28\!\cdots\!28\)\( T^{4} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(62\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(75\!\cdots\!68\)\( T^{8} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( T^{9} - \)\(27\!\cdots\!00\)\( T^{10} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(36\!\cdots\!24\)\( T^{12} - \)\(33\!\cdots\!00\)\( p T^{13} - \)\(89\!\cdots\!00\)\( T^{14} + \)\(93\!\cdots\!00\)\( T^{15} - \)\(21\!\cdots\!30\)\( T^{16} + \)\(93\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{17} - \)\(89\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{18} - \)\(33\!\cdots\!00\)\( p^{25} T^{19} + \)\(36\!\cdots\!24\)\( p^{32} T^{20} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( p^{40} T^{21} - \)\(27\!\cdots\!00\)\( p^{48} T^{22} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{56} T^{23} + \)\(75\!\cdots\!68\)\( p^{64} T^{24} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{72} T^{25} + \)\(62\!\cdots\!00\)\( p^{80} T^{26} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{88} T^{27} - \)\(28\!\cdots\!28\)\( p^{96} T^{28} + 9239158746994923900 p^{104} T^{29} + 2292154605000 p^{112} T^{30} - 2141100 p^{120} T^{31} + p^{128} T^{32} \)
41 \( ( 1 - 8173500 T + 66110933231068 T^{2} - \)\(31\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(34\!\cdots\!28\)\( p T^{4} - \)\(45\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(14\!\cdots\!16\)\( T^{6} - \)\(38\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!70\)\( T^{8} - \)\(38\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{9} + \)\(14\!\cdots\!16\)\( p^{16} T^{10} - \)\(45\!\cdots\!00\)\( p^{24} T^{11} + \)\(34\!\cdots\!28\)\( p^{33} T^{12} - \)\(31\!\cdots\!00\)\( p^{40} T^{13} + 66110933231068 p^{48} T^{14} - 8173500 p^{56} T^{15} + p^{64} T^{16} )^{2} \)
43 \( 1 + 12080280 T + 72966582439200 T^{2} + \)\(29\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(65\!\cdots\!92\)\( T^{4} + \)\(40\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(62\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(29\!\cdots\!60\)\( T^{7} + \)\(29\!\cdots\!28\)\( T^{8} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( T^{9} + \)\(44\!\cdots\!00\)\( T^{10} + \)\(84\!\cdots\!20\)\( T^{11} + \)\(65\!\cdots\!08\)\( p T^{12} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(34\!\cdots\!00\)\( T^{14} + \)\(25\!\cdots\!00\)\( T^{15} + \)\(11\!\cdots\!70\)\( T^{16} + \)\(25\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{17} + \)\(34\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{18} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{24} T^{19} + \)\(65\!\cdots\!08\)\( p^{33} T^{20} + \)\(84\!\cdots\!20\)\( p^{40} T^{21} + \)\(44\!\cdots\!00\)\( p^{48} T^{22} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{56} T^{23} + \)\(29\!\cdots\!28\)\( p^{64} T^{24} + \)\(29\!\cdots\!60\)\( p^{72} T^{25} + \)\(62\!\cdots\!00\)\( p^{80} T^{26} + \)\(40\!\cdots\!40\)\( p^{88} T^{27} + \)\(65\!\cdots\!92\)\( p^{96} T^{28} + \)\(29\!\cdots\!20\)\( p^{104} T^{29} + 72966582439200 p^{112} T^{30} + 12080280 p^{120} T^{31} + p^{128} T^{32} \)
47 \( 1 - 14942400 T + 111637658880000 T^{2} - \)\(94\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(81\!\cdots\!56\)\( T^{4} - \)\(48\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(26\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(90\!\cdots\!40\)\( T^{8} - \)\(35\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!00\)\( T^{10} - \)\(82\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(18\!\cdots\!64\)\( T^{12} - \)\(20\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{14} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( T^{15} - \)\(97\!\cdots\!66\)\( T^{16} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{18} - \)\(20\!\cdots\!00\)\( p^{24} T^{19} + \)\(18\!\cdots\!64\)\( p^{32} T^{20} - \)\(82\!\cdots\!00\)\( p^{40} T^{21} + \)\(16\!\cdots\!00\)\( p^{48} T^{22} - \)\(35\!\cdots\!00\)\( p^{56} T^{23} + \)\(90\!\cdots\!40\)\( p^{64} T^{24} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{72} T^{25} + \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{80} T^{26} - \)\(48\!\cdots\!00\)\( p^{88} T^{27} + \)\(81\!\cdots\!56\)\( p^{96} T^{28} - \)\(94\!\cdots\!00\)\( p^{104} T^{29} + 111637658880000 p^{112} T^{30} - 14942400 p^{120} T^{31} + p^{128} T^{32} \)
53 \( 1 + 23760300 T + 282275928045000 T^{2} + \)\(34\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(50\!\cdots\!76\)\( T^{4} + \)\(54\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(46\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(36\!\cdots\!80\)\( T^{8} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(95\!\cdots\!00\)\( T^{10} + \)\(20\!\cdots\!00\)\( T^{11} - \)\(76\!\cdots\!16\)\( T^{12} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{13} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{14} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{15} - \)\(11\!\cdots\!06\)\( T^{16} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{17} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{18} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{24} T^{19} - \)\(76\!\cdots\!16\)\( p^{32} T^{20} + \)\(20\!\cdots\!00\)\( p^{40} T^{21} + \)\(95\!\cdots\!00\)\( p^{48} T^{22} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{56} T^{23} + \)\(36\!\cdots\!80\)\( p^{64} T^{24} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{72} T^{25} + \)\(46\!\cdots\!00\)\( p^{80} T^{26} + \)\(54\!\cdots\!00\)\( p^{88} T^{27} + \)\(50\!\cdots\!76\)\( p^{96} T^{28} + \)\(34\!\cdots\!00\)\( p^{104} T^{29} + 282275928045000 p^{112} T^{30} + 23760300 p^{120} T^{31} + p^{128} T^{32} \)
59 \( 1 - 1591699600522124 T^{2} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( T^{4} - \)\(61\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(22\!\cdots\!80\)\( T^{8} - \)\(61\!\cdots\!92\)\( T^{10} + \)\(14\!\cdots\!48\)\( T^{12} - \)\(26\!\cdots\!40\)\( T^{14} + \)\(42\!\cdots\!50\)\( T^{16} - \)\(26\!\cdots\!40\)\( p^{16} T^{18} + \)\(14\!\cdots\!48\)\( p^{32} T^{20} - \)\(61\!\cdots\!92\)\( p^{48} T^{22} + \)\(22\!\cdots\!80\)\( p^{64} T^{24} - \)\(61\!\cdots\!00\)\( p^{80} T^{26} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( p^{96} T^{28} - 1591699600522124 p^{112} T^{30} + p^{128} T^{32} \)
61 \( ( 1 - 42700956 T + 2023529928577820 T^{2} - \)\(55\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( T^{4} - \)\(30\!\cdots\!68\)\( T^{5} + \)\(61\!\cdots\!28\)\( T^{6} - \)\(97\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( T^{8} - \)\(97\!\cdots\!40\)\( p^{8} T^{9} + \)\(61\!\cdots\!28\)\( p^{16} T^{10} - \)\(30\!\cdots\!68\)\( p^{24} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( p^{32} T^{12} - \)\(55\!\cdots\!60\)\( p^{40} T^{13} + 2023529928577820 p^{48} T^{14} - 42700956 p^{56} T^{15} + p^{64} T^{16} )^{2} \)
67 \( 1 - 99451240 T + 4945274568768800 T^{2} - \)\(16\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(45\!\cdots\!56\)\( T^{4} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(19\!\cdots\!80\)\( T^{7} - \)\(13\!\cdots\!80\)\( T^{8} + \)\(13\!\cdots\!20\)\( T^{9} - \)\(40\!\cdots\!00\)\( T^{10} + \)\(86\!\cdots\!00\)\( T^{11} - \)\(13\!\cdots\!76\)\( T^{12} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{13} + \)\(92\!\cdots\!00\)\( T^{14} - \)\(74\!\cdots\!00\)\( T^{15} + \)\(19\!\cdots\!14\)\( T^{16} - \)\(74\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{17} + \)\(92\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{18} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{24} T^{19} - \)\(13\!\cdots\!76\)\( p^{32} T^{20} + \)\(86\!\cdots\!00\)\( p^{40} T^{21} - \)\(40\!\cdots\!00\)\( p^{48} T^{22} + \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{56} T^{23} - \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{64} T^{24} - \)\(19\!\cdots\!80\)\( p^{72} T^{25} + \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{80} T^{26} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{88} T^{27} + \)\(45\!\cdots\!56\)\( p^{96} T^{28} - \)\(16\!\cdots\!20\)\( p^{104} T^{29} + 4945274568768800 p^{112} T^{30} - 99451240 p^{120} T^{31} + p^{128} T^{32} \)
71 \( ( 1 - 36651240 T + 3474509608622488 T^{2} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{3} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( T^{4} - \)\(13\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(45\!\cdots\!36\)\( T^{6} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(31\!\cdots\!70\)\( T^{8} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{9} + \)\(45\!\cdots\!36\)\( p^{16} T^{10} - \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{24} T^{11} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( p^{32} T^{12} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{40} T^{13} + 3474509608622488 p^{48} T^{14} - 36651240 p^{56} T^{15} + p^{64} T^{16} )^{2} \)
73 \( 1 + 124097320 T + 7700072415591200 T^{2} + \)\(35\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(14\!\cdots\!76\)\( T^{4} + \)\(46\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!60\)\( T^{9} - \)\(76\!\cdots\!00\)\( T^{10} - \)\(26\!\cdots\!00\)\( T^{11} - \)\(64\!\cdots\!76\)\( T^{12} - \)\(96\!\cdots\!80\)\( T^{13} + \)\(27\!\cdots\!00\)\( T^{14} + \)\(82\!\cdots\!00\)\( T^{15} + \)\(32\!\cdots\!14\)\( T^{16} + \)\(82\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{17} + \)\(27\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{18} - \)\(96\!\cdots\!80\)\( p^{24} T^{19} - \)\(64\!\cdots\!76\)\( p^{32} T^{20} - \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{40} T^{21} - \)\(76\!\cdots\!00\)\( p^{48} T^{22} - \)\(13\!\cdots\!60\)\( p^{56} T^{23} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{64} T^{24} + \)\(24\!\cdots\!40\)\( p^{72} T^{25} + \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{80} T^{26} + \)\(46\!\cdots\!00\)\( p^{88} T^{27} + \)\(14\!\cdots\!76\)\( p^{96} T^{28} + \)\(35\!\cdots\!60\)\( p^{104} T^{29} + 7700072415591200 p^{112} T^{30} + 124097320 p^{120} T^{31} + p^{128} T^{32} \)
79 \( 1 - 4824778998527008 T^{2} + \)\(12\!\cdots\!96\)\( T^{4} - \)\(22\!\cdots\!32\)\( T^{6} + \)\(32\!\cdots\!96\)\( T^{8} - \)\(39\!\cdots\!24\)\( T^{10} + \)\(61\!\cdots\!44\)\( T^{12} - \)\(11\!\cdots\!76\)\( T^{14} + \)\(19\!\cdots\!02\)\( T^{16} - \)\(11\!\cdots\!76\)\( p^{16} T^{18} + \)\(61\!\cdots\!44\)\( p^{32} T^{20} - \)\(39\!\cdots\!24\)\( p^{48} T^{22} + \)\(32\!\cdots\!96\)\( p^{64} T^{24} - \)\(22\!\cdots\!32\)\( p^{80} T^{26} + \)\(12\!\cdots\!96\)\( p^{96} T^{28} - 4824778998527008 p^{112} T^{30} + p^{128} T^{32} \)
83 \( 1 - 22058160 T + 243281211292800 T^{2} - \)\(23\!\cdots\!40\)\( T^{3} + \)\(16\!\cdots\!52\)\( T^{4} + \)\(35\!\cdots\!20\)\( T^{5} + \)\(20\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(67\!\cdots\!80\)\( T^{7} - \)\(31\!\cdots\!92\)\( T^{8} - \)\(40\!\cdots\!60\)\( T^{9} - \)\(65\!\cdots\!00\)\( T^{10} - \)\(56\!\cdots\!40\)\( T^{11} + \)\(58\!\cdots\!04\)\( T^{12} + \)\(97\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(45\!\cdots\!00\)\( T^{14} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{15} - \)\(29\!\cdots\!30\)\( T^{16} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{17} + \)\(45\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{18} + \)\(97\!\cdots\!00\)\( p^{24} T^{19} + \)\(58\!\cdots\!04\)\( p^{32} T^{20} - \)\(56\!\cdots\!40\)\( p^{40} T^{21} - \)\(65\!\cdots\!00\)\( p^{48} T^{22} - \)\(40\!\cdots\!60\)\( p^{56} T^{23} - \)\(31\!\cdots\!92\)\( p^{64} T^{24} + \)\(67\!\cdots\!80\)\( p^{72} T^{25} + \)\(20\!\cdots\!00\)\( p^{80} T^{26} + \)\(35\!\cdots\!20\)\( p^{88} T^{27} + \)\(16\!\cdots\!52\)\( p^{96} T^{28} - \)\(23\!\cdots\!40\)\( p^{104} T^{29} + 243281211292800 p^{112} T^{30} - 22058160 p^{120} T^{31} + p^{128} T^{32} \)
89 \( 1 - 24631134882368696 T^{2} + \)\(34\!\cdots\!20\)\( T^{4} - \)\(34\!\cdots\!60\)\( T^{6} + \)\(26\!\cdots\!20\)\( T^{8} - \)\(17\!\cdots\!68\)\( T^{10} + \)\(95\!\cdots\!48\)\( T^{12} - \)\(45\!\cdots\!40\)\( T^{14} + \)\(19\!\cdots\!70\)\( T^{16} - \)\(45\!\cdots\!40\)\( p^{16} T^{18} + \)\(95\!\cdots\!48\)\( p^{32} T^{20} - \)\(17\!\cdots\!68\)\( p^{48} T^{22} + \)\(26\!\cdots\!20\)\( p^{64} T^{24} - \)\(34\!\cdots\!60\)\( p^{80} T^{26} + \)\(34\!\cdots\!20\)\( p^{96} T^{28} - 24631134882368696 p^{112} T^{30} + p^{128} T^{32} \)
97 \( 1 + 185269800 T + 17162449396020000 T^{2} + \)\(26\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(23\!\cdots\!32\)\( T^{4} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{5} - \)\(74\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( T^{7} - \)\(42\!\cdots\!52\)\( T^{8} - \)\(37\!\cdots\!00\)\( T^{9} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( T^{10} - \)\(28\!\cdots\!00\)\( T^{11} - \)\(95\!\cdots\!16\)\( T^{12} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{14} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{15} + \)\(30\!\cdots\!70\)\( T^{16} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{17} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{18} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{24} T^{19} - \)\(95\!\cdots\!16\)\( p^{32} T^{20} - \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{40} T^{21} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{48} T^{22} - \)\(37\!\cdots\!00\)\( p^{56} T^{23} - \)\(42\!\cdots\!52\)\( p^{64} T^{24} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{72} T^{25} - \)\(74\!\cdots\!00\)\( p^{80} T^{26} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{88} T^{27} + \)\(23\!\cdots\!32\)\( p^{96} T^{28} + \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{104} T^{29} + 17162449396020000 p^{112} T^{30} + 185269800 p^{120} T^{31} + p^{128} T^{32} \)
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   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{32} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.02488795119526871911360079827, −1.96305132701535086649464093404, −1.86270908089322276099547480468, −1.77324047619569829880648011119, −1.63012541789907490049798585908, −1.35088217981057368314026180806, −1.29896010282164829420887538834, −1.26575307372709982282899536206, −1.22350808843452348609355266301, −1.22276292459379056402265492204, −1.14814352762267615776199555666, −1.13300909447270509708568965429, −1.12403650109249900909594914682, −0.952348276526806160289634325284, −0.937873856905661595028289915752, −0.858570638317533064212278560599, −0.808563843609518263756074386382, −0.60688380413803788586281932634, −0.59207104201329062643715940255, −0.46094714595421779977141652114, −0.36119087161379950836120067639, −0.22314784991820490975707546590, −0.10802433022475047190381873203, −0.081092779207097675407643719895, −0.02151888259604066918583419361, 0.02151888259604066918583419361, 0.081092779207097675407643719895, 0.10802433022475047190381873203, 0.22314784991820490975707546590, 0.36119087161379950836120067639, 0.46094714595421779977141652114, 0.59207104201329062643715940255, 0.60688380413803788586281932634, 0.808563843609518263756074386382, 0.858570638317533064212278560599, 0.937873856905661595028289915752, 0.952348276526806160289634325284, 1.12403650109249900909594914682, 1.13300909447270509708568965429, 1.14814352762267615776199555666, 1.22276292459379056402265492204, 1.22350808843452348609355266301, 1.26575307372709982282899536206, 1.29896010282164829420887538834, 1.35088217981057368314026180806, 1.63012541789907490049798585908, 1.77324047619569829880648011119, 1.86270908089322276099547480468, 1.96305132701535086649464093404, 2.02488795119526871911360079827

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.