Properties

Label 30-3549e15-1.1-c1e15-0-0
Degree $30$
Conductor $1.785\times 10^{53}$
Sign $1$
Analytic cond. $6.10585\times 10^{21}$
Root an. cond. $5.32343$
Motivic weight $1$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 2·2-s + 15·3-s + 4-s − 9·5-s + 30·6-s − 15·7-s + 8-s + 120·9-s − 18·10-s + 5·11-s + 15·12-s − 30·14-s − 135·15-s + 16-s − 17-s + 240·18-s + 3·19-s − 9·20-s − 225·21-s + 10·22-s + 4·23-s + 15·24-s + 28·25-s + 680·27-s − 15·28-s + 9·29-s − 270·30-s + ⋯
L(s)  = 1  + 1.41·2-s + 8.66·3-s + 1/2·4-s − 4.02·5-s + 12.2·6-s − 5.66·7-s + 0.353·8-s + 40·9-s − 5.69·10-s + 1.50·11-s + 4.33·12-s − 8.01·14-s − 34.8·15-s + 1/4·16-s − 0.242·17-s + 56.5·18-s + 0.688·19-s − 2.01·20-s − 49.0·21-s + 2.13·22-s + 0.834·23-s + 3.06·24-s + 28/5·25-s + 130.·27-s − 2.83·28-s + 1.67·29-s − 49.2·30-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{15} \cdot 7^{15} \cdot 13^{30}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{15} \cdot 7^{15} \cdot 13^{30}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(30\)
Conductor: \(3^{15} \cdot 7^{15} \cdot 13^{30}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(6.10585\times 10^{21}\)
Root analytic conductor: \(5.32343\)
Motivic weight: \(1\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{3549} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((30,\ 3^{15} \cdot 7^{15} \cdot 13^{30} ,\ ( \ : [1/2]^{15} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(1)\) \(\approx\) \(3478.507470\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(3478.507470\)
\(L(\frac{3}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad3 \( ( 1 - T )^{15} \)
7 \( ( 1 + T )^{15} \)
13 \( 1 \)
good2 \( 1 - p T + 3 T^{2} - 5 T^{3} + p^{3} T^{4} - 7 p T^{5} + 21 T^{6} - 19 p T^{7} + 67 T^{8} - 113 T^{9} + 173 T^{10} - 127 p T^{11} + 193 p T^{12} - 527 T^{13} + 783 T^{14} - 1155 T^{15} + 783 p T^{16} - 527 p^{2} T^{17} + 193 p^{4} T^{18} - 127 p^{5} T^{19} + 173 p^{5} T^{20} - 113 p^{6} T^{21} + 67 p^{7} T^{22} - 19 p^{9} T^{23} + 21 p^{9} T^{24} - 7 p^{11} T^{25} + p^{14} T^{26} - 5 p^{12} T^{27} + 3 p^{13} T^{28} - p^{15} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
5 \( 1 + 9 T + 53 T^{2} + 2 p^{3} T^{3} + 1026 T^{4} + 3756 T^{5} + 12509 T^{6} + 38589 T^{7} + 112252 T^{8} + 310069 T^{9} + 819307 T^{10} + 416792 p T^{11} + 41138 p^{3} T^{12} + 12314198 T^{13} + 28655694 T^{14} + 64896418 T^{15} + 28655694 p T^{16} + 12314198 p^{2} T^{17} + 41138 p^{6} T^{18} + 416792 p^{5} T^{19} + 819307 p^{5} T^{20} + 310069 p^{6} T^{21} + 112252 p^{7} T^{22} + 38589 p^{8} T^{23} + 12509 p^{9} T^{24} + 3756 p^{10} T^{25} + 1026 p^{11} T^{26} + 2 p^{15} T^{27} + 53 p^{13} T^{28} + 9 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
11 \( 1 - 5 T + 69 T^{2} - 25 p T^{3} + 2440 T^{4} - 8612 T^{5} + 5584 p T^{6} - 198095 T^{7} + 1222494 T^{8} - 3654932 T^{9} + 20337984 T^{10} - 57096543 T^{11} + 292119792 T^{12} - 771256248 T^{13} + 3661130592 T^{14} - 9072845601 T^{15} + 3661130592 p T^{16} - 771256248 p^{2} T^{17} + 292119792 p^{3} T^{18} - 57096543 p^{4} T^{19} + 20337984 p^{5} T^{20} - 3654932 p^{6} T^{21} + 1222494 p^{7} T^{22} - 198095 p^{8} T^{23} + 5584 p^{10} T^{24} - 8612 p^{10} T^{25} + 2440 p^{11} T^{26} - 25 p^{13} T^{27} + 69 p^{13} T^{28} - 5 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
17 \( 1 + T + 96 T^{2} + 206 T^{3} + 5258 T^{4} + 13852 T^{5} + 212886 T^{6} + 592301 T^{7} + 6815446 T^{8} + 19084431 T^{9} + 180693628 T^{10} + 492037016 T^{11} + 4081493514 T^{12} + 10592560276 T^{13} + 275481203 p^{2} T^{14} + 194558918554 T^{15} + 275481203 p^{3} T^{16} + 10592560276 p^{2} T^{17} + 4081493514 p^{3} T^{18} + 492037016 p^{4} T^{19} + 180693628 p^{5} T^{20} + 19084431 p^{6} T^{21} + 6815446 p^{7} T^{22} + 592301 p^{8} T^{23} + 212886 p^{9} T^{24} + 13852 p^{10} T^{25} + 5258 p^{11} T^{26} + 206 p^{12} T^{27} + 96 p^{13} T^{28} + p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
19 \( 1 - 3 T + 112 T^{2} - 170 T^{3} + 6398 T^{4} - 2264 T^{5} + 263808 T^{6} + 128779 T^{7} + 8885782 T^{8} + 9464037 T^{9} + 253794860 T^{10} + 363004300 T^{11} + 17348554 p^{2} T^{12} + 10004299590 T^{13} + 135306942255 T^{14} + 213763214854 T^{15} + 135306942255 p T^{16} + 10004299590 p^{2} T^{17} + 17348554 p^{5} T^{18} + 363004300 p^{4} T^{19} + 253794860 p^{5} T^{20} + 9464037 p^{6} T^{21} + 8885782 p^{7} T^{22} + 128779 p^{8} T^{23} + 263808 p^{9} T^{24} - 2264 p^{10} T^{25} + 6398 p^{11} T^{26} - 170 p^{12} T^{27} + 112 p^{13} T^{28} - 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
23 \( 1 - 4 T + 128 T^{2} - 337 T^{3} + 7739 T^{4} - 12442 T^{5} + 316315 T^{6} - 317035 T^{7} + 10745415 T^{8} - 9235212 T^{9} + 327541231 T^{10} - 279469093 T^{11} + 8803725447 T^{12} - 6476185830 T^{13} + 212195501803 T^{14} - 136241339883 T^{15} + 212195501803 p T^{16} - 6476185830 p^{2} T^{17} + 8803725447 p^{3} T^{18} - 279469093 p^{4} T^{19} + 327541231 p^{5} T^{20} - 9235212 p^{6} T^{21} + 10745415 p^{7} T^{22} - 317035 p^{8} T^{23} + 316315 p^{9} T^{24} - 12442 p^{10} T^{25} + 7739 p^{11} T^{26} - 337 p^{12} T^{27} + 128 p^{13} T^{28} - 4 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
29 \( 1 - 9 T + 238 T^{2} - 2022 T^{3} + 29550 T^{4} - 230172 T^{5} + 2472490 T^{6} - 17522311 T^{7} + 154591524 T^{8} - 998588725 T^{9} + 7646076162 T^{10} - 45275648484 T^{11} + 310306936666 T^{12} - 1693768605350 T^{13} + 10581272189141 T^{14} - 53352254259550 T^{15} + 10581272189141 p T^{16} - 1693768605350 p^{2} T^{17} + 310306936666 p^{3} T^{18} - 45275648484 p^{4} T^{19} + 7646076162 p^{5} T^{20} - 998588725 p^{6} T^{21} + 154591524 p^{7} T^{22} - 17522311 p^{8} T^{23} + 2472490 p^{9} T^{24} - 230172 p^{10} T^{25} + 29550 p^{11} T^{26} - 2022 p^{12} T^{27} + 238 p^{13} T^{28} - 9 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
31 \( 1 - 7 T + 278 T^{2} - 1932 T^{3} + 36486 T^{4} - 248218 T^{5} + 3021066 T^{6} - 19750449 T^{7} + 178218074 T^{8} - 1100129127 T^{9} + 8074308054 T^{10} - 46673948426 T^{11} + 300532880298 T^{12} - 1642660555880 T^{13} + 9902855944213 T^{14} - 52374013933778 T^{15} + 9902855944213 p T^{16} - 1642660555880 p^{2} T^{17} + 300532880298 p^{3} T^{18} - 46673948426 p^{4} T^{19} + 8074308054 p^{5} T^{20} - 1100129127 p^{6} T^{21} + 178218074 p^{7} T^{22} - 19750449 p^{8} T^{23} + 3021066 p^{9} T^{24} - 248218 p^{10} T^{25} + 36486 p^{11} T^{26} - 1932 p^{12} T^{27} + 278 p^{13} T^{28} - 7 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
37 \( 1 - 17 T + 480 T^{2} - 6495 T^{3} + 107185 T^{4} - 1213654 T^{5} + 15020347 T^{6} - 146627685 T^{7} + 1489217733 T^{8} - 12767584956 T^{9} + 111114596943 T^{10} - 846246563299 T^{11} + 6459600119033 T^{12} - 43981277480458 T^{13} + 298287474412285 T^{14} - 1819634668312927 T^{15} + 298287474412285 p T^{16} - 43981277480458 p^{2} T^{17} + 6459600119033 p^{3} T^{18} - 846246563299 p^{4} T^{19} + 111114596943 p^{5} T^{20} - 12767584956 p^{6} T^{21} + 1489217733 p^{7} T^{22} - 146627685 p^{8} T^{23} + 15020347 p^{9} T^{24} - 1213654 p^{10} T^{25} + 107185 p^{11} T^{26} - 6495 p^{12} T^{27} + 480 p^{13} T^{28} - 17 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
41 \( 1 + 22 T + 487 T^{2} + 6655 T^{3} + 90550 T^{4} + 956719 T^{5} + 10167011 T^{6} + 2226964 p T^{7} + 831486452 T^{8} + 6682138316 T^{9} + 54651760645 T^{10} + 403885219115 T^{11} + 3032210815482 T^{12} + 20803861265391 T^{13} + 144433224211508 T^{14} + 920232771054276 T^{15} + 144433224211508 p T^{16} + 20803861265391 p^{2} T^{17} + 3032210815482 p^{3} T^{18} + 403885219115 p^{4} T^{19} + 54651760645 p^{5} T^{20} + 6682138316 p^{6} T^{21} + 831486452 p^{7} T^{22} + 2226964 p^{9} T^{23} + 10167011 p^{9} T^{24} + 956719 p^{10} T^{25} + 90550 p^{11} T^{26} + 6655 p^{12} T^{27} + 487 p^{13} T^{28} + 22 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
43 \( 1 - 36 T + 900 T^{2} - 16676 T^{3} + 261336 T^{4} - 3516688 T^{5} + 42425360 T^{6} - 462265100 T^{7} + 4646593634 T^{8} - 43258279816 T^{9} + 377794613576 T^{10} - 3101535239404 T^{11} + 24139462692460 T^{12} - 178189972483044 T^{13} + 1254672089876207 T^{14} - 8415451305408712 T^{15} + 1254672089876207 p T^{16} - 178189972483044 p^{2} T^{17} + 24139462692460 p^{3} T^{18} - 3101535239404 p^{4} T^{19} + 377794613576 p^{5} T^{20} - 43258279816 p^{6} T^{21} + 4646593634 p^{7} T^{22} - 462265100 p^{8} T^{23} + 42425360 p^{9} T^{24} - 3516688 p^{10} T^{25} + 261336 p^{11} T^{26} - 16676 p^{12} T^{27} + 900 p^{13} T^{28} - 36 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
47 \( 1 + 12 T + 408 T^{2} + 3837 T^{3} + 77884 T^{4} + 610188 T^{5} + 9675801 T^{6} + 65690194 T^{7} + 900919005 T^{8} + 5437485076 T^{9} + 67603883532 T^{10} + 368851290259 T^{11} + 4253659690408 T^{12} + 21270410627668 T^{13} + 229844046473189 T^{14} + 1067159279964860 T^{15} + 229844046473189 p T^{16} + 21270410627668 p^{2} T^{17} + 4253659690408 p^{3} T^{18} + 368851290259 p^{4} T^{19} + 67603883532 p^{5} T^{20} + 5437485076 p^{6} T^{21} + 900919005 p^{7} T^{22} + 65690194 p^{8} T^{23} + 9675801 p^{9} T^{24} + 610188 p^{10} T^{25} + 77884 p^{11} T^{26} + 3837 p^{12} T^{27} + 408 p^{13} T^{28} + 12 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
53 \( 1 + 5 T + 349 T^{2} + 1842 T^{3} + 62018 T^{4} + 331018 T^{5} + 7548995 T^{6} + 39807523 T^{7} + 718018060 T^{8} + 3698302327 T^{9} + 57183558553 T^{10} + 286670414604 T^{11} + 3939263596140 T^{12} + 19079992556778 T^{13} + 237597554855416 T^{14} + 1092058326591934 T^{15} + 237597554855416 p T^{16} + 19079992556778 p^{2} T^{17} + 3939263596140 p^{3} T^{18} + 286670414604 p^{4} T^{19} + 57183558553 p^{5} T^{20} + 3698302327 p^{6} T^{21} + 718018060 p^{7} T^{22} + 39807523 p^{8} T^{23} + 7548995 p^{9} T^{24} + 331018 p^{10} T^{25} + 62018 p^{11} T^{26} + 1842 p^{12} T^{27} + 349 p^{13} T^{28} + 5 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
59 \( 1 + 29 T + 848 T^{2} + 15941 T^{3} + 289758 T^{4} + 4223607 T^{5} + 59495055 T^{6} + 725262162 T^{7} + 8580017299 T^{8} + 91051082133 T^{9} + 941562108234 T^{10} + 8903332673883 T^{11} + 82288506064228 T^{12} + 702667654953703 T^{13} + 5875105761804597 T^{14} + 45592020253962492 T^{15} + 5875105761804597 p T^{16} + 702667654953703 p^{2} T^{17} + 82288506064228 p^{3} T^{18} + 8903332673883 p^{4} T^{19} + 941562108234 p^{5} T^{20} + 91051082133 p^{6} T^{21} + 8580017299 p^{7} T^{22} + 725262162 p^{8} T^{23} + 59495055 p^{9} T^{24} + 4223607 p^{10} T^{25} + 289758 p^{11} T^{26} + 15941 p^{12} T^{27} + 848 p^{13} T^{28} + 29 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
61 \( 1 - 12 T + 532 T^{2} - 5321 T^{3} + 131060 T^{4} - 1097820 T^{5} + 19987255 T^{6} - 139248026 T^{7} + 2138097713 T^{8} - 12169837892 T^{9} + 174293737460 T^{10} - 792831882103 T^{11} + 11748696286116 T^{12} - 43128181937492 T^{13} + 722207446745807 T^{14} - 2411562044163948 T^{15} + 722207446745807 p T^{16} - 43128181937492 p^{2} T^{17} + 11748696286116 p^{3} T^{18} - 792831882103 p^{4} T^{19} + 174293737460 p^{5} T^{20} - 12169837892 p^{6} T^{21} + 2138097713 p^{7} T^{22} - 139248026 p^{8} T^{23} + 19987255 p^{9} T^{24} - 1097820 p^{10} T^{25} + 131060 p^{11} T^{26} - 5321 p^{12} T^{27} + 532 p^{13} T^{28} - 12 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
67 \( 1 + 12 T + 435 T^{2} + 4927 T^{3} + 98762 T^{4} + 1049313 T^{5} + 15519053 T^{6} + 158567314 T^{7} + 1928434070 T^{8} + 19013479122 T^{9} + 201045808609 T^{10} + 1889728652411 T^{11} + 17905352192638 T^{12} + 158687315599249 T^{13} + 1377062921820906 T^{14} + 11433452239422472 T^{15} + 1377062921820906 p T^{16} + 158687315599249 p^{2} T^{17} + 17905352192638 p^{3} T^{18} + 1889728652411 p^{4} T^{19} + 201045808609 p^{5} T^{20} + 19013479122 p^{6} T^{21} + 1928434070 p^{7} T^{22} + 158567314 p^{8} T^{23} + 15519053 p^{9} T^{24} + 1049313 p^{10} T^{25} + 98762 p^{11} T^{26} + 4927 p^{12} T^{27} + 435 p^{13} T^{28} + 12 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
71 \( 1 - 36 T + 1172 T^{2} - 26857 T^{3} + 552345 T^{4} - 9667122 T^{5} + 154717259 T^{6} - 2232197155 T^{7} + 29905443279 T^{8} - 370179777794 T^{9} + 4299452013787 T^{10} - 46718446607895 T^{11} + 479401213398733 T^{12} - 4633140201047140 T^{13} + 42431800436433811 T^{14} - 367083215788453237 T^{15} + 42431800436433811 p T^{16} - 4633140201047140 p^{2} T^{17} + 479401213398733 p^{3} T^{18} - 46718446607895 p^{4} T^{19} + 4299452013787 p^{5} T^{20} - 370179777794 p^{6} T^{21} + 29905443279 p^{7} T^{22} - 2232197155 p^{8} T^{23} + 154717259 p^{9} T^{24} - 9667122 p^{10} T^{25} + 552345 p^{11} T^{26} - 26857 p^{12} T^{27} + 1172 p^{13} T^{28} - 36 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
73 \( 1 + 29 T + 1027 T^{2} + 20769 T^{3} + 439641 T^{4} + 6967135 T^{5} + 111325523 T^{6} + 1468938986 T^{7} + 19365136681 T^{8} + 221184952037 T^{9} + 2526156314027 T^{10} + 25688418459407 T^{11} + 262371648366729 T^{12} + 2424478466450559 T^{13} + 22601212788584979 T^{14} + 192086889951585804 T^{15} + 22601212788584979 p T^{16} + 2424478466450559 p^{2} T^{17} + 262371648366729 p^{3} T^{18} + 25688418459407 p^{4} T^{19} + 2526156314027 p^{5} T^{20} + 221184952037 p^{6} T^{21} + 19365136681 p^{7} T^{22} + 1468938986 p^{8} T^{23} + 111325523 p^{9} T^{24} + 6967135 p^{10} T^{25} + 439641 p^{11} T^{26} + 20769 p^{12} T^{27} + 1027 p^{13} T^{28} + 29 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
79 \( 1 - 35 T + 1204 T^{2} - 28074 T^{3} + 597624 T^{4} - 10716656 T^{5} + 176179676 T^{6} - 2607564705 T^{7} + 35832805918 T^{8} - 456092256927 T^{9} + 5449240459380 T^{10} - 61205484079384 T^{11} + 650344366380544 T^{12} - 6550385228018142 T^{13} + 62708354246550467 T^{14} - 571253750196140122 T^{15} + 62708354246550467 p T^{16} - 6550385228018142 p^{2} T^{17} + 650344366380544 p^{3} T^{18} - 61205484079384 p^{4} T^{19} + 5449240459380 p^{5} T^{20} - 456092256927 p^{6} T^{21} + 35832805918 p^{7} T^{22} - 2607564705 p^{8} T^{23} + 176179676 p^{9} T^{24} - 10716656 p^{10} T^{25} + 597624 p^{11} T^{26} - 28074 p^{12} T^{27} + 1204 p^{13} T^{28} - 35 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
83 \( 1 + 10 T + 552 T^{2} + 6227 T^{3} + 158466 T^{4} + 1800422 T^{5} + 32070603 T^{6} + 340608286 T^{7} + 5068415871 T^{8} + 49776731138 T^{9} + 657467790918 T^{10} + 6067672255021 T^{11} + 72652892724244 T^{12} + 630990609906734 T^{13} + 6959428091286325 T^{14} + 56392899377015716 T^{15} + 6959428091286325 p T^{16} + 630990609906734 p^{2} T^{17} + 72652892724244 p^{3} T^{18} + 6067672255021 p^{4} T^{19} + 657467790918 p^{5} T^{20} + 49776731138 p^{6} T^{21} + 5068415871 p^{7} T^{22} + 340608286 p^{8} T^{23} + 32070603 p^{9} T^{24} + 1800422 p^{10} T^{25} + 158466 p^{11} T^{26} + 6227 p^{12} T^{27} + 552 p^{13} T^{28} + 10 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
89 \( 1 - 25 T + 937 T^{2} - 18084 T^{3} + 423976 T^{4} - 6870264 T^{5} + 124703935 T^{6} - 1757137753 T^{7} + 26753907660 T^{8} - 334819710987 T^{9} + 4441661541919 T^{10} - 49970445624198 T^{11} + 589971886269252 T^{12} - 6008083400917156 T^{13} + 63875673272391512 T^{14} - 590202658310179834 T^{15} + 63875673272391512 p T^{16} - 6008083400917156 p^{2} T^{17} + 589971886269252 p^{3} T^{18} - 49970445624198 p^{4} T^{19} + 4441661541919 p^{5} T^{20} - 334819710987 p^{6} T^{21} + 26753907660 p^{7} T^{22} - 1757137753 p^{8} T^{23} + 124703935 p^{9} T^{24} - 6870264 p^{10} T^{25} + 423976 p^{11} T^{26} - 18084 p^{12} T^{27} + 937 p^{13} T^{28} - 25 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
97 \( 1 + 26 T + 1104 T^{2} + 21725 T^{3} + 542188 T^{4} + 8704578 T^{5} + 164471127 T^{6} + 2262929338 T^{7} + 35710981437 T^{8} + 435846412318 T^{9} + 6040627516724 T^{10} + 66839899361491 T^{11} + 834939257122128 T^{12} + 8460842155203974 T^{13} + 96361165402527595 T^{14} + 896016846586740780 T^{15} + 96361165402527595 p T^{16} + 8460842155203974 p^{2} T^{17} + 834939257122128 p^{3} T^{18} + 66839899361491 p^{4} T^{19} + 6040627516724 p^{5} T^{20} + 435846412318 p^{6} T^{21} + 35710981437 p^{7} T^{22} + 2262929338 p^{8} T^{23} + 164471127 p^{9} T^{24} + 8704578 p^{10} T^{25} + 542188 p^{11} T^{26} + 21725 p^{12} T^{27} + 1104 p^{13} T^{28} + 26 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{30} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.30049224857753068982409524250, −2.29408377158861586124821213803, −2.01853902290070429038940148680, −1.99926795703766382000004245444, −1.96905325788666759024025288416, −1.89591726546386100534520123236, −1.89445839593021344095608396491, −1.70318741793399890171852194183, −1.67948834385617012803870102819, −1.64935594051970030073865179125, −1.61927155887409746827601164631, −1.58772784844415169439332878941, −1.46670342261174121861042560300, −1.31600049400441345545571918451, −1.05749624545199054279569237558, −0.899446938114066303266602622585, −0.834278871010852081893995281506, −0.74995212947272138731747924491, −0.74698543513622965215428588044, −0.68538453661684091483890945868, −0.67235505030017457566014391051, −0.58292636246237153998982297317, −0.51343836395352507040208715666, −0.33999575021588458312404706749, −0.23321418418762523549860123498, 0.23321418418762523549860123498, 0.33999575021588458312404706749, 0.51343836395352507040208715666, 0.58292636246237153998982297317, 0.67235505030017457566014391051, 0.68538453661684091483890945868, 0.74698543513622965215428588044, 0.74995212947272138731747924491, 0.834278871010852081893995281506, 0.899446938114066303266602622585, 1.05749624545199054279569237558, 1.31600049400441345545571918451, 1.46670342261174121861042560300, 1.58772784844415169439332878941, 1.61927155887409746827601164631, 1.64935594051970030073865179125, 1.67948834385617012803870102819, 1.70318741793399890171852194183, 1.89445839593021344095608396491, 1.89591726546386100534520123236, 1.96905325788666759024025288416, 1.99926795703766382000004245444, 2.01853902290070429038940148680, 2.29408377158861586124821213803, 2.30049224857753068982409524250

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.