Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 28·2-s − 8·3-s + 336·4-s + 57·5-s + 224·6-s + 188·7-s − 1.79e3·8-s + 736·9-s − 1.59e3·10-s + 704·11-s − 2.68e3·12-s − 704·13-s − 5.26e3·14-s − 456·15-s − 3.58e3·16-s − 561·17-s − 2.06e4·18-s − 3.74e3·19-s + 1.91e4·20-s − 1.50e3·21-s − 1.97e4·22-s − 5.70e3·23-s + 1.43e4·24-s + 1.13e4·25-s + 1.97e4·26-s − 5.97e3·27-s + 6.31e4·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 4.94·2-s − 0.513·3-s + 21/2·4-s + 1.01·5-s + 2.54·6-s + 1.45·7-s − 9.89·8-s + 3.02·9-s − 5.04·10-s + 1.75·11-s − 5.38·12-s − 1.15·13-s − 7.17·14-s − 0.523·15-s − 7/2·16-s − 0.470·17-s − 14.9·18-s − 2.37·19-s + 10.7·20-s − 0.744·21-s − 8.68·22-s − 2.24·23-s + 5.08·24-s + 3.64·25-s + 5.71·26-s − 1.57·27-s + 15.2·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{14} \cdot 37^{14}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{14} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{14} \cdot 37^{14}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{14} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(28\) |
| Conductor: | \(2^{14} \cdot 37^{14}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.10025\times 10^{15}\) |
| Root analytic conductor: | \(3.44505\) |
| Motivic weight: | \(5\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((28,\ 2^{14} \cdot 37^{14} ,\ ( \ : [5/2]^{14} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(3)\) | \(\approx\) | \(0.2014270009\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.2014270009\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 + p^{2} T + p^{4} T^{2} )^{7} \) |
| 37 | \( 1 - 16941 T + 6091493 p T^{2} - 1376879116 p^{2} T^{3} + 376076480004 p^{3} T^{4} - 2390313963092 p^{5} T^{5} + 16316800912794 p^{7} T^{6} - 93765753339582 p^{9} T^{7} + 16316800912794 p^{12} T^{8} - 2390313963092 p^{15} T^{9} + 376076480004 p^{18} T^{10} - 1376879116 p^{22} T^{11} + 6091493 p^{26} T^{12} - 16941 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} \) | |
| good | 3 | \( 1 + 8 T - 224 p T^{2} - 196 p^{3} T^{3} + 211948 T^{4} + 421672 p T^{5} - 10380526 p T^{6} + 91476700 T^{7} - 1209490475 T^{8} - 6809561228 p^{3} T^{9} + 199889657480 p^{2} T^{10} + 2338910279552 p^{3} T^{11} - 6403207696763 p^{4} T^{12} - 30249537783340 p^{5} T^{13} + 177772788975934 p^{6} T^{14} - 30249537783340 p^{10} T^{15} - 6403207696763 p^{14} T^{16} + 2338910279552 p^{18} T^{17} + 199889657480 p^{22} T^{18} - 6809561228 p^{28} T^{19} - 1209490475 p^{30} T^{20} + 91476700 p^{35} T^{21} - 10380526 p^{41} T^{22} + 421672 p^{46} T^{23} + 211948 p^{50} T^{24} - 196 p^{58} T^{25} - 224 p^{61} T^{26} + 8 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) |
| 5 | \( 1 - 57 T - 8143 T^{2} + 425054 T^{3} + 25893908 T^{4} - 820416332 T^{5} - 78474332299 T^{6} + 352844324221 T^{7} + 388437130825884 T^{8} - 8185113861527837 T^{9} - 1486951564131532673 T^{10} + 39810369307960212924 T^{11} + \)\(46\!\cdots\!83\)\( T^{12} - \)\(51\!\cdots\!97\)\( T^{13} - \)\(14\!\cdots\!06\)\( T^{14} - \)\(51\!\cdots\!97\)\( p^{5} T^{15} + \)\(46\!\cdots\!83\)\( p^{10} T^{16} + 39810369307960212924 p^{15} T^{17} - 1486951564131532673 p^{20} T^{18} - 8185113861527837 p^{25} T^{19} + 388437130825884 p^{30} T^{20} + 352844324221 p^{35} T^{21} - 78474332299 p^{40} T^{22} - 820416332 p^{45} T^{23} + 25893908 p^{50} T^{24} + 425054 p^{55} T^{25} - 8143 p^{60} T^{26} - 57 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 7 | \( 1 - 188 T - 5034 p T^{2} + 9808836 T^{3} + 547781324 T^{4} - 326071299660 T^{5} + 3646448498698 T^{6} + 8409647335714224 T^{7} - 568892705569026423 T^{8} - \)\(16\!\cdots\!52\)\( T^{9} + \)\(21\!\cdots\!92\)\( T^{10} + \)\(21\!\cdots\!04\)\( T^{11} - \)\(52\!\cdots\!55\)\( T^{12} - \)\(13\!\cdots\!56\)\( T^{13} + \)\(10\!\cdots\!26\)\( T^{14} - \)\(13\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{15} - \)\(52\!\cdots\!55\)\( p^{10} T^{16} + \)\(21\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!92\)\( p^{20} T^{18} - \)\(16\!\cdots\!52\)\( p^{25} T^{19} - 568892705569026423 p^{30} T^{20} + 8409647335714224 p^{35} T^{21} + 3646448498698 p^{40} T^{22} - 326071299660 p^{45} T^{23} + 547781324 p^{50} T^{24} + 9808836 p^{55} T^{25} - 5034 p^{61} T^{26} - 188 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 11 | \( ( 1 - 32 p T + 530223 T^{2} - 91374160 T^{3} + 92520052395 T^{4} + 14523791437984 T^{5} + 4605815887794717 T^{6} + 6468759055497092384 T^{7} + 4605815887794717 p^{5} T^{8} + 14523791437984 p^{10} T^{9} + 92520052395 p^{15} T^{10} - 91374160 p^{20} T^{11} + 530223 p^{25} T^{12} - 32 p^{31} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} \) | |
| 13 | \( 1 + 704 T - 1088876 T^{2} - 1157702628 T^{3} + 413609330302 T^{4} + 849484046279528 T^{5} - 1076583790947722 T^{6} - \)\(40\!\cdots\!20\)\( T^{7} - \)\(83\!\cdots\!29\)\( T^{8} + \)\(15\!\cdots\!48\)\( T^{9} + \)\(65\!\cdots\!52\)\( T^{10} - \)\(48\!\cdots\!20\)\( T^{11} - \)\(38\!\cdots\!89\)\( T^{12} + \)\(57\!\cdots\!80\)\( p T^{13} + \)\(17\!\cdots\!42\)\( T^{14} + \)\(57\!\cdots\!80\)\( p^{6} T^{15} - \)\(38\!\cdots\!89\)\( p^{10} T^{16} - \)\(48\!\cdots\!20\)\( p^{15} T^{17} + \)\(65\!\cdots\!52\)\( p^{20} T^{18} + \)\(15\!\cdots\!48\)\( p^{25} T^{19} - \)\(83\!\cdots\!29\)\( p^{30} T^{20} - \)\(40\!\cdots\!20\)\( p^{35} T^{21} - 1076583790947722 p^{40} T^{22} + 849484046279528 p^{45} T^{23} + 413609330302 p^{50} T^{24} - 1157702628 p^{55} T^{25} - 1088876 p^{60} T^{26} + 704 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 17 | \( 1 + 33 p T - 6099763 T^{2} - 5303929170 T^{3} + 19748842760740 T^{4} + 22305683977956288 T^{5} - 38203037716227518919 T^{6} - \)\(35\!\cdots\!53\)\( p T^{7} + \)\(41\!\cdots\!76\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!85\)\( T^{9} + \)\(47\!\cdots\!67\)\( T^{10} - \)\(13\!\cdots\!04\)\( T^{11} - \)\(10\!\cdots\!17\)\( T^{12} + \)\(76\!\cdots\!93\)\( T^{13} + \)\(21\!\cdots\!90\)\( T^{14} + \)\(76\!\cdots\!93\)\( p^{5} T^{15} - \)\(10\!\cdots\!17\)\( p^{10} T^{16} - \)\(13\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{17} + \)\(47\!\cdots\!67\)\( p^{20} T^{18} + \)\(11\!\cdots\!85\)\( p^{25} T^{19} + \)\(41\!\cdots\!76\)\( p^{30} T^{20} - \)\(35\!\cdots\!53\)\( p^{36} T^{21} - 38203037716227518919 p^{40} T^{22} + 22305683977956288 p^{45} T^{23} + 19748842760740 p^{50} T^{24} - 5303929170 p^{55} T^{25} - 6099763 p^{60} T^{26} + 33 p^{66} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 19 | \( 1 + 3742 T - 2375664 T^{2} - 21770938920 T^{3} + 2193499279112 T^{4} + 69443802767476322 T^{5} - 33167806806633573530 T^{6} - \)\(22\!\cdots\!70\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!61\)\( T^{8} + \)\(51\!\cdots\!34\)\( T^{9} - \)\(26\!\cdots\!60\)\( p T^{10} - \)\(85\!\cdots\!78\)\( T^{11} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{12} + \)\(87\!\cdots\!22\)\( T^{13} - \)\(48\!\cdots\!50\)\( T^{14} + \)\(87\!\cdots\!22\)\( p^{5} T^{15} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( p^{10} T^{16} - \)\(85\!\cdots\!78\)\( p^{15} T^{17} - \)\(26\!\cdots\!60\)\( p^{21} T^{18} + \)\(51\!\cdots\!34\)\( p^{25} T^{19} + \)\(12\!\cdots\!61\)\( p^{30} T^{20} - \)\(22\!\cdots\!70\)\( p^{35} T^{21} - 33167806806633573530 p^{40} T^{22} + 69443802767476322 p^{45} T^{23} + 2193499279112 p^{50} T^{24} - 21770938920 p^{55} T^{25} - 2375664 p^{60} T^{26} + 3742 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 23 | \( ( 1 + 2850 T + 33743479 T^{2} + 94587085820 T^{3} + 540320751031175 T^{4} + 1379493106158866870 T^{5} + \)\(53\!\cdots\!89\)\( T^{6} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( T^{7} + \)\(53\!\cdots\!89\)\( p^{5} T^{8} + 1379493106158866870 p^{10} T^{9} + 540320751031175 p^{15} T^{10} + 94587085820 p^{20} T^{11} + 33743479 p^{25} T^{12} + 2850 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} \) | |
| 29 | \( ( 1 + 8827 T + 140441953 T^{2} + 947285346596 T^{3} + 8505402966905748 T^{4} + 44851505552362165388 T^{5} + \)\(28\!\cdots\!22\)\( T^{6} + \)\(11\!\cdots\!02\)\( T^{7} + \)\(28\!\cdots\!22\)\( p^{5} T^{8} + 44851505552362165388 p^{10} T^{9} + 8505402966905748 p^{15} T^{10} + 947285346596 p^{20} T^{11} + 140441953 p^{25} T^{12} + 8827 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} \) | |
| 31 | \( ( 1 - 5944 T + 111335771 T^{2} - 722603234992 T^{3} + 7569865214585131 T^{4} - 40772399912393793800 T^{5} + \)\(31\!\cdots\!65\)\( T^{6} - \)\(14\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(31\!\cdots\!65\)\( p^{5} T^{8} - 40772399912393793800 p^{10} T^{9} + 7569865214585131 p^{15} T^{10} - 722603234992 p^{20} T^{11} + 111335771 p^{25} T^{12} - 5944 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} \) | |
| 41 | \( 1 + 9813 T - 487806855 T^{2} - 1518631668918 T^{3} + 164327222062054140 T^{4} - \)\(15\!\cdots\!08\)\( T^{5} - \)\(32\!\cdots\!19\)\( T^{6} + \)\(18\!\cdots\!79\)\( T^{7} + \)\(45\!\cdots\!88\)\( T^{8} - \)\(41\!\cdots\!99\)\( T^{9} - \)\(33\!\cdots\!17\)\( T^{10} + \)\(56\!\cdots\!28\)\( T^{11} + \)\(59\!\cdots\!75\)\( T^{12} - \)\(26\!\cdots\!95\)\( T^{13} + \)\(17\!\cdots\!74\)\( T^{14} - \)\(26\!\cdots\!95\)\( p^{5} T^{15} + \)\(59\!\cdots\!75\)\( p^{10} T^{16} + \)\(56\!\cdots\!28\)\( p^{15} T^{17} - \)\(33\!\cdots\!17\)\( p^{20} T^{18} - \)\(41\!\cdots\!99\)\( p^{25} T^{19} + \)\(45\!\cdots\!88\)\( p^{30} T^{20} + \)\(18\!\cdots\!79\)\( p^{35} T^{21} - \)\(32\!\cdots\!19\)\( p^{40} T^{22} - \)\(15\!\cdots\!08\)\( p^{45} T^{23} + 164327222062054140 p^{50} T^{24} - 1518631668918 p^{55} T^{25} - 487806855 p^{60} T^{26} + 9813 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 43 | \( ( 1 - 2862 T + 714964349 T^{2} - 1080557170464 T^{3} + 245497157828564941 T^{4} - \)\(21\!\cdots\!70\)\( T^{5} + \)\(53\!\cdots\!37\)\( T^{6} - \)\(33\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(53\!\cdots\!37\)\( p^{5} T^{8} - \)\(21\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{9} + 245497157828564941 p^{15} T^{10} - 1080557170464 p^{20} T^{11} + 714964349 p^{25} T^{12} - 2862 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} \) | |
| 47 | \( ( 1 - 11660 T + 1021618907 T^{2} - 10124113227088 T^{3} + 11087046748596789 p T^{4} - \)\(43\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( T^{6} - \)\(12\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( p^{5} T^{8} - \)\(43\!\cdots\!88\)\( p^{10} T^{9} + 11087046748596789 p^{16} T^{10} - 10124113227088 p^{20} T^{11} + 1021618907 p^{25} T^{12} - 11660 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} \) | |
| 53 | \( 1 - 16856 T - 1476850132 T^{2} + 5640869494972 T^{3} + 1345560545659197182 T^{4} + \)\(62\!\cdots\!92\)\( T^{5} - \)\(71\!\cdots\!86\)\( T^{6} - \)\(52\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(23\!\cdots\!43\)\( T^{8} + \)\(43\!\cdots\!84\)\( T^{9} - \)\(10\!\cdots\!92\)\( T^{10} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( T^{11} + \)\(74\!\cdots\!31\)\( T^{12} - \)\(37\!\cdots\!52\)\( T^{13} - \)\(39\!\cdots\!14\)\( T^{14} - \)\(37\!\cdots\!52\)\( p^{5} T^{15} + \)\(74\!\cdots\!31\)\( p^{10} T^{16} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( p^{15} T^{17} - \)\(10\!\cdots\!92\)\( p^{20} T^{18} + \)\(43\!\cdots\!84\)\( p^{25} T^{19} + \)\(23\!\cdots\!43\)\( p^{30} T^{20} - \)\(52\!\cdots\!84\)\( p^{35} T^{21} - \)\(71\!\cdots\!86\)\( p^{40} T^{22} + \)\(62\!\cdots\!92\)\( p^{45} T^{23} + 1345560545659197182 p^{50} T^{24} + 5640869494972 p^{55} T^{25} - 1476850132 p^{60} T^{26} - 16856 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 59 | \( 1 - 50886 T - 818775102 T^{2} + 51332674450524 T^{3} + 1650538111274494140 T^{4} - \)\(47\!\cdots\!90\)\( T^{5} - \)\(85\!\cdots\!82\)\( T^{6} - \)\(28\!\cdots\!62\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!77\)\( T^{8} + \)\(38\!\cdots\!38\)\( T^{9} + \)\(33\!\cdots\!96\)\( T^{10} - \)\(48\!\cdots\!90\)\( T^{11} - \)\(49\!\cdots\!27\)\( T^{12} + \)\(62\!\cdots\!10\)\( T^{13} + \)\(94\!\cdots\!58\)\( T^{14} + \)\(62\!\cdots\!10\)\( p^{5} T^{15} - \)\(49\!\cdots\!27\)\( p^{10} T^{16} - \)\(48\!\cdots\!90\)\( p^{15} T^{17} + \)\(33\!\cdots\!96\)\( p^{20} T^{18} + \)\(38\!\cdots\!38\)\( p^{25} T^{19} + \)\(11\!\cdots\!77\)\( p^{30} T^{20} - \)\(28\!\cdots\!62\)\( p^{35} T^{21} - \)\(85\!\cdots\!82\)\( p^{40} T^{22} - \)\(47\!\cdots\!90\)\( p^{45} T^{23} + 1650538111274494140 p^{50} T^{24} + 51332674450524 p^{55} T^{25} - 818775102 p^{60} T^{26} - 50886 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 61 | \( 1 + 6247 T - 3196964351 T^{2} - 3246770907698 T^{3} + 5782340959565700244 T^{4} - \)\(25\!\cdots\!44\)\( T^{5} - \)\(60\!\cdots\!83\)\( T^{6} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( T^{7} + \)\(32\!\cdots\!64\)\( T^{8} - \)\(26\!\cdots\!93\)\( p T^{9} + \)\(12\!\cdots\!59\)\( T^{10} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( T^{11} - \)\(43\!\cdots\!37\)\( T^{12} - \)\(54\!\cdots\!41\)\( T^{13} + \)\(50\!\cdots\!98\)\( T^{14} - \)\(54\!\cdots\!41\)\( p^{5} T^{15} - \)\(43\!\cdots\!37\)\( p^{10} T^{16} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( p^{15} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!59\)\( p^{20} T^{18} - \)\(26\!\cdots\!93\)\( p^{26} T^{19} + \)\(32\!\cdots\!64\)\( p^{30} T^{20} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( p^{35} T^{21} - \)\(60\!\cdots\!83\)\( p^{40} T^{22} - \)\(25\!\cdots\!44\)\( p^{45} T^{23} + 5782340959565700244 p^{50} T^{24} - 3246770907698 p^{55} T^{25} - 3196964351 p^{60} T^{26} + 6247 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 67 | \( 1 + 28570 T - 3902799672 T^{2} - 7957382692992 T^{3} + 10496017041402732536 T^{4} - \)\(21\!\cdots\!70\)\( T^{5} - \)\(16\!\cdots\!38\)\( T^{6} + \)\(92\!\cdots\!54\)\( T^{7} + \)\(13\!\cdots\!97\)\( T^{8} - \)\(18\!\cdots\!26\)\( T^{9} + \)\(21\!\cdots\!72\)\( T^{10} + \)\(23\!\cdots\!22\)\( T^{11} - \)\(87\!\cdots\!95\)\( T^{12} - \)\(12\!\cdots\!58\)\( T^{13} + \)\(16\!\cdots\!78\)\( T^{14} - \)\(12\!\cdots\!58\)\( p^{5} T^{15} - \)\(87\!\cdots\!95\)\( p^{10} T^{16} + \)\(23\!\cdots\!22\)\( p^{15} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!72\)\( p^{20} T^{18} - \)\(18\!\cdots\!26\)\( p^{25} T^{19} + \)\(13\!\cdots\!97\)\( p^{30} T^{20} + \)\(92\!\cdots\!54\)\( p^{35} T^{21} - \)\(16\!\cdots\!38\)\( p^{40} T^{22} - \)\(21\!\cdots\!70\)\( p^{45} T^{23} + 10496017041402732536 p^{50} T^{24} - 7957382692992 p^{55} T^{25} - 3902799672 p^{60} T^{26} + 28570 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 71 | \( 1 + 8580 T - 3049355470 T^{2} - 226709899825932 T^{3} - 1749290286976446596 T^{4} + \)\(46\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(30\!\cdots\!26\)\( T^{6} + \)\(62\!\cdots\!72\)\( T^{7} - \)\(32\!\cdots\!23\)\( T^{8} - \)\(28\!\cdots\!04\)\( T^{9} - \)\(66\!\cdots\!56\)\( T^{10} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!29\)\( T^{12} + \)\(22\!\cdots\!20\)\( T^{13} - \)\(11\!\cdots\!70\)\( T^{14} + \)\(22\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{15} + \)\(10\!\cdots\!29\)\( p^{10} T^{16} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{17} - \)\(66\!\cdots\!56\)\( p^{20} T^{18} - \)\(28\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{19} - \)\(32\!\cdots\!23\)\( p^{30} T^{20} + \)\(62\!\cdots\!72\)\( p^{35} T^{21} + \)\(30\!\cdots\!26\)\( p^{40} T^{22} + \)\(46\!\cdots\!84\)\( p^{45} T^{23} - 1749290286976446596 p^{50} T^{24} - 226709899825932 p^{55} T^{25} - 3049355470 p^{60} T^{26} + 8580 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 73 | \( ( 1 + 4626 T + 13185840575 T^{2} + 56971079676156 T^{3} + 76789404161604786901 T^{4} + \)\(29\!\cdots\!18\)\( T^{5} + \)\(25\!\cdots\!27\)\( T^{6} + \)\(80\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!27\)\( p^{5} T^{8} + \)\(29\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{9} + 76789404161604786901 p^{15} T^{10} + 56971079676156 p^{20} T^{11} + 13185840575 p^{25} T^{12} + 4626 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} \) | |
| 79 | \( 1 - 26930 T - 6402680980 T^{2} + 433735246313264 T^{3} + 6893528313538024220 T^{4} - \)\(19\!\cdots\!42\)\( T^{5} + \)\(49\!\cdots\!66\)\( T^{6} + \)\(28\!\cdots\!50\)\( T^{7} - \)\(18\!\cdots\!03\)\( T^{8} - \)\(65\!\cdots\!82\)\( T^{9} + \)\(33\!\cdots\!04\)\( T^{10} + \)\(50\!\cdots\!58\)\( T^{11} - \)\(32\!\cdots\!51\)\( T^{12} - \)\(93\!\cdots\!74\)\( T^{13} + \)\(17\!\cdots\!54\)\( T^{14} - \)\(93\!\cdots\!74\)\( p^{5} T^{15} - \)\(32\!\cdots\!51\)\( p^{10} T^{16} + \)\(50\!\cdots\!58\)\( p^{15} T^{17} + \)\(33\!\cdots\!04\)\( p^{20} T^{18} - \)\(65\!\cdots\!82\)\( p^{25} T^{19} - \)\(18\!\cdots\!03\)\( p^{30} T^{20} + \)\(28\!\cdots\!50\)\( p^{35} T^{21} + \)\(49\!\cdots\!66\)\( p^{40} T^{22} - \)\(19\!\cdots\!42\)\( p^{45} T^{23} + 6893528313538024220 p^{50} T^{24} + 433735246313264 p^{55} T^{25} - 6402680980 p^{60} T^{26} - 26930 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 83 | \( 1 + 137412 T - 1257782472 T^{2} - 622804475759484 T^{3} + 5132284307318262276 T^{4} - \)\(22\!\cdots\!80\)\( T^{5} - \)\(21\!\cdots\!74\)\( T^{6} - \)\(45\!\cdots\!36\)\( T^{7} + \)\(79\!\cdots\!97\)\( T^{8} + \)\(19\!\cdots\!04\)\( T^{9} - \)\(17\!\cdots\!64\)\( T^{10} - \)\(67\!\cdots\!88\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!45\)\( T^{12} + \)\(12\!\cdots\!48\)\( T^{13} - \)\(55\!\cdots\!46\)\( T^{14} + \)\(12\!\cdots\!48\)\( p^{5} T^{15} + \)\(10\!\cdots\!45\)\( p^{10} T^{16} - \)\(67\!\cdots\!88\)\( p^{15} T^{17} - \)\(17\!\cdots\!64\)\( p^{20} T^{18} + \)\(19\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{19} + \)\(79\!\cdots\!97\)\( p^{30} T^{20} - \)\(45\!\cdots\!36\)\( p^{35} T^{21} - \)\(21\!\cdots\!74\)\( p^{40} T^{22} - \)\(22\!\cdots\!80\)\( p^{45} T^{23} + 5132284307318262276 p^{50} T^{24} - 622804475759484 p^{55} T^{25} - 1257782472 p^{60} T^{26} + 137412 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 89 | \( 1 + 27961 T - 9064843347 T^{2} - 923794866838914 T^{3} - 5181629421218701876 T^{4} + \)\(65\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(35\!\cdots\!49\)\( T^{6} - \)\(25\!\cdots\!13\)\( T^{7} - \)\(13\!\cdots\!48\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!29\)\( T^{9} - \)\(15\!\cdots\!09\)\( T^{10} - \)\(10\!\cdots\!60\)\( T^{11} - \)\(59\!\cdots\!85\)\( T^{12} + \)\(38\!\cdots\!33\)\( T^{13} + \)\(82\!\cdots\!98\)\( T^{14} + \)\(38\!\cdots\!33\)\( p^{5} T^{15} - \)\(59\!\cdots\!85\)\( p^{10} T^{16} - \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{15} T^{17} - \)\(15\!\cdots\!09\)\( p^{20} T^{18} + \)\(10\!\cdots\!29\)\( p^{25} T^{19} - \)\(13\!\cdots\!48\)\( p^{30} T^{20} - \)\(25\!\cdots\!13\)\( p^{35} T^{21} + \)\(35\!\cdots\!49\)\( p^{40} T^{22} + \)\(65\!\cdots\!40\)\( p^{45} T^{23} - 5181629421218701876 p^{50} T^{24} - 923794866838914 p^{55} T^{25} - 9064843347 p^{60} T^{26} + 27961 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 97 | \( ( 1 - 95603 T + 42780726977 T^{2} - 4042273012081412 T^{3} + \)\(90\!\cdots\!32\)\( T^{4} - \)\(76\!\cdots\!96\)\( T^{5} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( T^{6} - \)\(84\!\cdots\!26\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( p^{5} T^{8} - \)\(76\!\cdots\!96\)\( p^{10} T^{9} + \)\(90\!\cdots\!32\)\( p^{15} T^{10} - 4042273012081412 p^{20} T^{11} + 42780726977 p^{25} T^{12} - 95603 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{28} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.89228063894803999500099389969, −3.87974789989071438016310119014, −3.72057731357905379440615462636, −3.25847525308038659857005515979, −2.96828577359639086561082984613, −2.86459474797528825995946916992, −2.79951733908432248989984285189, −2.50879476689416530487143629576, −2.34504725773821361425940427240, −2.30179188829408901251389137627, −2.29339925761120361068335914737, −1.85784901341971559769380227502, −1.84857923931898051970927585586, −1.78605179087740941222787576189, −1.73012815642939559835941841973, −1.40093011144933923827582700690, −1.24834374333585548732921422124, −1.16956439084179187926443978206, −1.11077013170304568531310100922, −1.02927484016629755838064900031, −0.70764642561292983541485761588, −0.61768030535056651542446413039, −0.52143508444244976787130954395, −0.19495538812578204086266330916, −0.12399109249345153597382941822, 0.12399109249345153597382941822, 0.19495538812578204086266330916, 0.52143508444244976787130954395, 0.61768030535056651542446413039, 0.70764642561292983541485761588, 1.02927484016629755838064900031, 1.11077013170304568531310100922, 1.16956439084179187926443978206, 1.24834374333585548732921422124, 1.40093011144933923827582700690, 1.73012815642939559835941841973, 1.78605179087740941222787576189, 1.84857923931898051970927585586, 1.85784901341971559769380227502, 2.29339925761120361068335914737, 2.30179188829408901251389137627, 2.34504725773821361425940427240, 2.50879476689416530487143629576, 2.79951733908432248989984285189, 2.86459474797528825995946916992, 2.96828577359639086561082984613, 3.25847525308038659857005515979, 3.72057731357905379440615462636, 3.87974789989071438016310119014, 3.89228063894803999500099389969
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.