LMFDB - L-function 26-825e13-1.1-c5e13-0-1

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 13·2^-s + 117·3^-s − 19·4^-s + 1.52e3·6^-s + 304·7^-s − 985·8^-s + 7.37e3·9^-s + 1.57e3·11^-s − 2.22e3·12^-s + 986·13^-s + 3.95e3·14^-s − 3.07e3·16^-s + 1.47e3·17^-s + 9.58e4·18^-s + 270·19^-s + 3.55e4·21^-s + 2.04e4·22^-s + 9.08e3·23^-s − 1.15e5·24^-s + 1.28e4·26^-s + 3.31e5·27^-s − 5.77e3·28^-s + 1.19e4·29^-s + 1.90e4·31^-s + 2.43e4·32^-s + 1.84e5·33^-s + 1.91e4·34^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 2.29·2^-s + 7.50·3^-s − 0.593·4^-s + 17.2·6^-s + 2.34·7^-s − 5.44·8^-s + 91/3·9^-s + 3.91·11^-s − 4.45·12^-s + 1.61·13^-s + 5.38·14^-s − 2.99·16^-s + 1.23·17^-s + 69.7·18^-s + 0.171·19^-s + 17.5·21^-s + 9.00·22^-s + 3.58·23^-s − 40.8·24^-s + 3.71·26^-s + 87.5·27^-s − 1.39·28^-s + 2.63·29^-s + 3.56·31^-s + 4.20·32^-s + 29.4·33^-s + 2.84·34^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{13} \cdot 5^{26} \cdot 11^{13}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{13} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{13} \cdot 5^{26} \cdot 11^{13}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{13} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$26$
Conductor:	$3^{13} \cdot 5^{26} \cdot 11^{13}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$3.81055\times 10^{27}$
Root analytic conductor:	$11.5028$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(26,\ 3^{13} \cdot 5^{26} \cdot 11^{13} ,\ ( \ : [5/2]^{13} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$976253.9603$
$L(\frac12)$	$\approx$	$976253.9603$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	3	$ ( 1 - p^{2} T )^{13} $
	5	$ 1 $
	11	$ ( 1 - p^{2} T )^{13} $
good	2	$ 1 - 13 T + 47 p^{2} T^{2} - 853 p T^{3} + 16015 T^{4} - 119693 T^{5} + 56587 p^{4} T^{6} - 46391 p^{7} T^{7} + 1240073 p^{5} T^{8} - 7379225 p^{5} T^{9} + 5664157 p^{8} T^{10} - 31554979 p^{8} T^{11} + 185606923 p^{8} T^{12} - 1012691925 p^{8} T^{13} + 185606923 p^{13} T^{14} - 31554979 p^{18} T^{15} + 5664157 p^{23} T^{16} - 7379225 p^{25} T^{17} + 1240073 p^{30} T^{18} - 46391 p^{37} T^{19} + 56587 p^{39} T^{20} - 119693 p^{40} T^{21} + 16015 p^{45} T^{22} - 853 p^{51} T^{23} + 47 p^{57} T^{24} - 13 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	7	$ 1 - 304 T + 148175 T^{2} - 5007804 p T^{3} + 10379420630 T^{4} - 2070657148136 T^{5} + 67715580083110 p T^{6} - 82863185149141924 T^{7} + 15911523496088400231 T^{8} - $$24\!\cdots\!28$$ T^{9} + $$41\!\cdots\!61$$ T^{10} - $$82\!\cdots\!16$$ p T^{11} + $$86\!\cdots\!92$$ T^{12} - $$10\!\cdots\!68$$ T^{13} + $$86\!\cdots\!92$$ p^{5} T^{14} - $$82\!\cdots\!16$$ p^{11} T^{15} + $$41\!\cdots\!61$$ p^{15} T^{16} - $$24\!\cdots\!28$$ p^{20} T^{17} + 15911523496088400231 p^{25} T^{18} - 82863185149141924 p^{30} T^{19} + 67715580083110 p^{36} T^{20} - 2070657148136 p^{40} T^{21} + 10379420630 p^{45} T^{22} - 5007804 p^{51} T^{23} + 148175 p^{55} T^{24} - 304 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	13	$ 1 - 986 T + 2671789 T^{2} - 2023899532 T^{3} + 3012394210590 T^{4} - 1765398453965540 T^{5} + 1912928636122212182 T^{6} - $$82\!\cdots\!32$$ T^{7} + $$77\!\cdots\!75$$ T^{8} - $$20\!\cdots\!42$$ T^{9} + $$17\!\cdots\!83$$ p T^{10} - $$13\!\cdots\!64$$ T^{11} + $$61\!\cdots\!72$$ T^{12} + $$57\!\cdots\!08$$ T^{13} + $$61\!\cdots\!72$$ p^{5} T^{14} - $$13\!\cdots\!64$$ p^{10} T^{15} + $$17\!\cdots\!83$$ p^{16} T^{16} - $$20\!\cdots\!42$$ p^{20} T^{17} + $$77\!\cdots\!75$$ p^{25} T^{18} - $$82\!\cdots\!32$$ p^{30} T^{19} + 1912928636122212182 p^{35} T^{20} - 1765398453965540 p^{40} T^{21} + 3012394210590 p^{45} T^{22} - 2023899532 p^{50} T^{23} + 2671789 p^{55} T^{24} - 986 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	17	$ 1 - 1476 T + 7317849 T^{2} - 9821611604 T^{3} + 25436307684050 T^{4} - 31043859533242160 T^{5} + 53783525555433675522 T^{6} - $$57\!\cdots\!76$$ T^{7} + $$71\!\cdots\!19$$ T^{8} - $$58\!\cdots\!80$$ T^{9} + $$49\!\cdots\!83$$ T^{10} - $$10\!\cdots\!92$$ T^{11} - $$16\!\cdots\!92$$ T^{12} + $$39\!\cdots\!32$$ T^{13} - $$16\!\cdots\!92$$ p^{5} T^{14} - $$10\!\cdots\!92$$ p^{10} T^{15} + $$49\!\cdots\!83$$ p^{15} T^{16} - $$58\!\cdots\!80$$ p^{20} T^{17} + $$71\!\cdots\!19$$ p^{25} T^{18} - $$57\!\cdots\!76$$ p^{30} T^{19} + 53783525555433675522 p^{35} T^{20} - 31043859533242160 p^{40} T^{21} + 25436307684050 p^{45} T^{22} - 9821611604 p^{50} T^{23} + 7317849 p^{55} T^{24} - 1476 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	19	$ 1 - 270 T + 758797 p T^{2} + 2426279096 T^{3} + 111917931054446 T^{4} + 2300910280153292 p T^{5} + $$62\!\cdots\!34$$ T^{6} + $$32\!\cdots\!20$$ T^{7} + $$26\!\cdots\!31$$ T^{8} + $$15\!\cdots\!30$$ T^{9} + $$50\!\cdots\!07$$ p T^{10} + $$55\!\cdots\!52$$ T^{11} + $$28\!\cdots\!08$$ T^{12} + $$15\!\cdots\!48$$ T^{13} + $$28\!\cdots\!08$$ p^{5} T^{14} + $$55\!\cdots\!52$$ p^{10} T^{15} + $$50\!\cdots\!07$$ p^{16} T^{16} + $$15\!\cdots\!30$$ p^{20} T^{17} + $$26\!\cdots\!31$$ p^{25} T^{18} + $$32\!\cdots\!20$$ p^{30} T^{19} + $$62\!\cdots\!34$$ p^{35} T^{20} + 2300910280153292 p^{41} T^{21} + 111917931054446 p^{45} T^{22} + 2426279096 p^{50} T^{23} + 758797 p^{56} T^{24} - 270 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	23	$ 1 - 9084 T + 82430095 T^{2} - 509463156256 T^{3} + 2908181073681606 T^{4} - 13950384893685686152 T^{5} + $$61\!\cdots\!38$$ T^{6} - $$24\!\cdots\!20$$ T^{7} + $$91\!\cdots\!63$$ T^{8} - $$31\!\cdots\!36$$ T^{9} + $$99\!\cdots\!85$$ T^{10} - $$12\!\cdots\!56$$ p T^{11} + $$82\!\cdots\!16$$ T^{12} - $$21\!\cdots\!28$$ T^{13} + $$82\!\cdots\!16$$ p^{5} T^{14} - $$12\!\cdots\!56$$ p^{11} T^{15} + $$99\!\cdots\!85$$ p^{15} T^{16} - $$31\!\cdots\!36$$ p^{20} T^{17} + $$91\!\cdots\!63$$ p^{25} T^{18} - $$24\!\cdots\!20$$ p^{30} T^{19} + $$61\!\cdots\!38$$ p^{35} T^{20} - 13950384893685686152 p^{40} T^{21} + 2908181073681606 p^{45} T^{22} - 509463156256 p^{50} T^{23} + 82430095 p^{55} T^{24} - 9084 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	29	$ 1 - 11952 T + 228564481 T^{2} - 2283925450400 T^{3} + 24641310652347350 T^{4} - $$20\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$16\!\cdots\!66$$ T^{6} - $$11\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$27\!\cdots\!63$$ p T^{8} - $$48\!\cdots\!12$$ T^{9} + $$27\!\cdots\!83$$ T^{10} - $$14\!\cdots\!92$$ T^{11} + $$74\!\cdots\!00$$ T^{12} - $$34\!\cdots\!72$$ T^{13} + $$74\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{14} - $$14\!\cdots\!92$$ p^{10} T^{15} + $$27\!\cdots\!83$$ p^{15} T^{16} - $$48\!\cdots\!12$$ p^{20} T^{17} + $$27\!\cdots\!63$$ p^{26} T^{18} - $$11\!\cdots\!40$$ p^{30} T^{19} + $$16\!\cdots\!66$$ p^{35} T^{20} - $$20\!\cdots\!68$$ p^{40} T^{21} + 24641310652347350 p^{45} T^{22} - 2283925450400 p^{50} T^{23} + 228564481 p^{55} T^{24} - 11952 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	31	$ 1 - 616 p T + 407544523 T^{2} - 5100813612176 T^{3} + 64106317678732454 T^{4} - $$60\!\cdots\!20$$ T^{5} + $$55\!\cdots\!26$$ T^{6} - $$42\!\cdots\!84$$ T^{7} + $$31\!\cdots\!83$$ T^{8} - $$19\!\cdots\!56$$ T^{9} + $$41\!\cdots\!31$$ p T^{10} - $$71\!\cdots\!72$$ T^{11} + $$42\!\cdots\!88$$ T^{12} - $$21\!\cdots\!64$$ T^{13} + $$42\!\cdots\!88$$ p^{5} T^{14} - $$71\!\cdots\!72$$ p^{10} T^{15} + $$41\!\cdots\!31$$ p^{16} T^{16} - $$19\!\cdots\!56$$ p^{20} T^{17} + $$31\!\cdots\!83$$ p^{25} T^{18} - $$42\!\cdots\!84$$ p^{30} T^{19} + $$55\!\cdots\!26$$ p^{35} T^{20} - $$60\!\cdots\!20$$ p^{40} T^{21} + 64106317678732454 p^{45} T^{22} - 5100813612176 p^{50} T^{23} + 407544523 p^{55} T^{24} - 616 p^{61} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	37	$ 1 - 39964 T + 1135425177 T^{2} - 22868960014288 T^{3} + 377171933788233702 T^{4} - $$51\!\cdots\!80$$ T^{5} + $$61\!\cdots\!66$$ T^{6} - $$65\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$65\!\cdots\!83$$ T^{8} - $$62\!\cdots\!96$$ T^{9} + $$59\!\cdots\!55$$ T^{10} - $$55\!\cdots\!48$$ T^{11} + $$49\!\cdots\!48$$ T^{12} - $$42\!\cdots\!36$$ T^{13} + $$49\!\cdots\!48$$ p^{5} T^{14} - $$55\!\cdots\!48$$ p^{10} T^{15} + $$59\!\cdots\!55$$ p^{15} T^{16} - $$62\!\cdots\!96$$ p^{20} T^{17} + $$65\!\cdots\!83$$ p^{25} T^{18} - $$65\!\cdots\!60$$ p^{30} T^{19} + $$61\!\cdots\!66$$ p^{35} T^{20} - $$51\!\cdots\!80$$ p^{40} T^{21} + 377171933788233702 p^{45} T^{22} - 22868960014288 p^{50} T^{23} + 1135425177 p^{55} T^{24} - 39964 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	41	$ 1 - 35184 T + 1548060853 T^{2} - 37586637775328 T^{3} + 991257406888164398 T^{4} - $$18\!\cdots\!96$$ T^{5} + $$37\!\cdots\!62$$ T^{6} - $$60\!\cdots\!36$$ T^{7} + $$98\!\cdots\!79$$ T^{8} - $$13\!\cdots\!52$$ T^{9} + $$19\!\cdots\!75$$ T^{10} - $$23\!\cdots\!68$$ T^{11} + $$28\!\cdots\!32$$ T^{12} - $$30\!\cdots\!72$$ T^{13} + $$28\!\cdots\!32$$ p^{5} T^{14} - $$23\!\cdots\!68$$ p^{10} T^{15} + $$19\!\cdots\!75$$ p^{15} T^{16} - $$13\!\cdots\!52$$ p^{20} T^{17} + $$98\!\cdots\!79$$ p^{25} T^{18} - $$60\!\cdots\!36$$ p^{30} T^{19} + $$37\!\cdots\!62$$ p^{35} T^{20} - $$18\!\cdots\!96$$ p^{40} T^{21} + 991257406888164398 p^{45} T^{22} - 37586637775328 p^{50} T^{23} + 1548060853 p^{55} T^{24} - 35184 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	43	$ 1 + 96 T + 889829231 T^{2} + 2468588488300 T^{3} + 375368995071502382 T^{4} + $$16\!\cdots\!28$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!02$$ T^{6} + $$48\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$23\!\cdots\!23$$ T^{8} + $$81\!\cdots\!68$$ T^{9} + $$43\!\cdots\!41$$ T^{10} + $$10\!\cdots\!00$$ T^{11} + $$68\!\cdots\!40$$ T^{12} + $$15\!\cdots\!32$$ T^{13} + $$68\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{14} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{15} + $$43\!\cdots\!41$$ p^{15} T^{16} + $$81\!\cdots\!68$$ p^{20} T^{17} + $$23\!\cdots\!23$$ p^{25} T^{18} + $$48\!\cdots\!40$$ p^{30} T^{19} + $$10\!\cdots\!02$$ p^{35} T^{20} + $$16\!\cdots\!28$$ p^{40} T^{21} + 375368995071502382 p^{45} T^{22} + 2468588488300 p^{50} T^{23} + 889829231 p^{55} T^{24} + 96 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	47	$ 1 - 34984 T + 2528568823 T^{2} - 75327395182912 T^{3} + 3058881329739106070 T^{4} - $$77\!\cdots\!36$$ T^{5} + $$23\!\cdots\!78$$ T^{6} - $$51\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!39$$ T^{8} - $$23\!\cdots\!12$$ T^{9} + $$48\!\cdots\!09$$ T^{10} - $$81\!\cdots\!20$$ T^{11} + $$14\!\cdots\!60$$ T^{12} - $$21\!\cdots\!36$$ T^{13} + $$14\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{14} - $$81\!\cdots\!20$$ p^{10} T^{15} + $$48\!\cdots\!09$$ p^{15} T^{16} - $$23\!\cdots\!12$$ p^{20} T^{17} + $$12\!\cdots\!39$$ p^{25} T^{18} - $$51\!\cdots\!80$$ p^{30} T^{19} + $$23\!\cdots\!78$$ p^{35} T^{20} - $$77\!\cdots\!36$$ p^{40} T^{21} + 3058881329739106070 p^{45} T^{22} - 75327395182912 p^{50} T^{23} + 2528568823 p^{55} T^{24} - 34984 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	53	$ 1 - 22984 T + 3071325421 T^{2} - 1066420163840 p T^{3} + 4745257757977091606 T^{4} - $$76\!\cdots\!88$$ T^{5} + $$50\!\cdots\!74$$ T^{6} - $$71\!\cdots\!52$$ T^{7} + $$39\!\cdots\!91$$ T^{8} - $$51\!\cdots\!04$$ T^{9} + $$24\!\cdots\!75$$ T^{10} - $$29\!\cdots\!56$$ T^{11} + $$12\!\cdots\!40$$ T^{12} - $$13\!\cdots\!16$$ T^{13} + $$12\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{14} - $$29\!\cdots\!56$$ p^{10} T^{15} + $$24\!\cdots\!75$$ p^{15} T^{16} - $$51\!\cdots\!04$$ p^{20} T^{17} + $$39\!\cdots\!91$$ p^{25} T^{18} - $$71\!\cdots\!52$$ p^{30} T^{19} + $$50\!\cdots\!74$$ p^{35} T^{20} - $$76\!\cdots\!88$$ p^{40} T^{21} + 4745257757977091606 p^{45} T^{22} - 1066420163840 p^{51} T^{23} + 3071325421 p^{55} T^{24} - 22984 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	59	$ 1 + 9192 T + 5651032607 T^{2} + 68244331570480 T^{3} + 16132746466152260142 T^{4} + $$22\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$30\!\cdots\!70$$ T^{6} + $$44\!\cdots\!20$$ T^{7} + $$43\!\cdots\!19$$ T^{8} + $$62\!\cdots\!64$$ T^{9} + $$48\!\cdots\!33$$ T^{10} + $$65\!\cdots\!00$$ T^{11} + $$42\!\cdots\!48$$ T^{12} + $$52\!\cdots\!44$$ T^{13} + $$42\!\cdots\!48$$ p^{5} T^{14} + $$65\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{15} + $$48\!\cdots\!33$$ p^{15} T^{16} + $$62\!\cdots\!64$$ p^{20} T^{17} + $$43\!\cdots\!19$$ p^{25} T^{18} + $$44\!\cdots\!20$$ p^{30} T^{19} + $$30\!\cdots\!70$$ p^{35} T^{20} + $$22\!\cdots\!72$$ p^{40} T^{21} + 16132746466152260142 p^{45} T^{22} + 68244331570480 p^{50} T^{23} + 5651032607 p^{55} T^{24} + 9192 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	61	$ 1 - 5438 T + 5725645109 T^{2} - 44760935121648 T^{3} + 15911991944583058454 T^{4} - $$13\!\cdots\!84$$ T^{5} + $$29\!\cdots\!02$$ T^{6} - $$21\!\cdots\!08$$ T^{7} + $$40\!\cdots\!27$$ T^{8} - $$23\!\cdots\!34$$ T^{9} + $$44\!\cdots\!27$$ T^{10} - $$19\!\cdots\!28$$ T^{11} + $$42\!\cdots\!44$$ T^{12} - $$15\!\cdots\!48$$ T^{13} + $$42\!\cdots\!44$$ p^{5} T^{14} - $$19\!\cdots\!28$$ p^{10} T^{15} + $$44\!\cdots\!27$$ p^{15} T^{16} - $$23\!\cdots\!34$$ p^{20} T^{17} + $$40\!\cdots\!27$$ p^{25} T^{18} - $$21\!\cdots\!08$$ p^{30} T^{19} + $$29\!\cdots\!02$$ p^{35} T^{20} - $$13\!\cdots\!84$$ p^{40} T^{21} + 15911991944583058454 p^{45} T^{22} - 44760935121648 p^{50} T^{23} + 5725645109 p^{55} T^{24} - 5438 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	67	$ 1 - 71508 T + 10373805919 T^{2} - 486912193719824 T^{3} + 42594134053536929622 T^{4} - $$14\!\cdots\!44$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!66$$ T^{6} - $$24\!\cdots\!44$$ T^{7} + $$18\!\cdots\!19$$ T^{8} - $$33\!\cdots\!72$$ T^{9} + $$29\!\cdots\!61$$ T^{10} - $$40\!\cdots\!16$$ T^{11} + $$42\!\cdots\!28$$ T^{12} - $$50\!\cdots\!68$$ T^{13} + $$42\!\cdots\!28$$ p^{5} T^{14} - $$40\!\cdots\!16$$ p^{10} T^{15} + $$29\!\cdots\!61$$ p^{15} T^{16} - $$33\!\cdots\!72$$ p^{20} T^{17} + $$18\!\cdots\!19$$ p^{25} T^{18} - $$24\!\cdots\!44$$ p^{30} T^{19} + $$10\!\cdots\!66$$ p^{35} T^{20} - $$14\!\cdots\!44$$ p^{40} T^{21} + 42594134053536929622 p^{45} T^{22} - 486912193719824 p^{50} T^{23} + 10373805919 p^{55} T^{24} - 71508 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	71	$ 1 - 101700 T + 15607483407 T^{2} - 1070479982775744 T^{3} + 96719658134156434070 T^{4} - $$49\!\cdots\!32$$ T^{5} + $$33\!\cdots\!94$$ T^{6} - $$13\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$81\!\cdots\!43$$ T^{8} - $$26\!\cdots\!72$$ T^{9} + $$16\!\cdots\!61$$ T^{10} - $$49\!\cdots\!84$$ T^{11} + $$30\!\cdots\!60$$ T^{12} - $$89\!\cdots\!28$$ T^{13} + $$30\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{14} - $$49\!\cdots\!84$$ p^{10} T^{15} + $$16\!\cdots\!61$$ p^{15} T^{16} - $$26\!\cdots\!72$$ p^{20} T^{17} + $$81\!\cdots\!43$$ p^{25} T^{18} - $$13\!\cdots\!40$$ p^{30} T^{19} + $$33\!\cdots\!94$$ p^{35} T^{20} - $$49\!\cdots\!32$$ p^{40} T^{21} + 96719658134156434070 p^{45} T^{22} - 1070479982775744 p^{50} T^{23} + 15607483407 p^{55} T^{24} - 101700 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	73	$ 1 - 77390 T + 13858326365 T^{2} - 752995043500156 T^{3} + 83136418272537378278 T^{4} - $$32\!\cdots\!40$$ T^{5} + $$30\!\cdots\!78$$ T^{6} - $$80\!\cdots\!88$$ T^{7} + $$74\!\cdots\!51$$ T^{8} - $$87\!\cdots\!42$$ T^{9} + $$13\!\cdots\!79$$ T^{10} + $$98\!\cdots\!44$$ T^{11} + $$21\!\cdots\!16$$ T^{12} + $$49\!\cdots\!44$$ T^{13} + $$21\!\cdots\!16$$ p^{5} T^{14} + $$98\!\cdots\!44$$ p^{10} T^{15} + $$13\!\cdots\!79$$ p^{15} T^{16} - $$87\!\cdots\!42$$ p^{20} T^{17} + $$74\!\cdots\!51$$ p^{25} T^{18} - $$80\!\cdots\!88$$ p^{30} T^{19} + $$30\!\cdots\!78$$ p^{35} T^{20} - $$32\!\cdots\!40$$ p^{40} T^{21} + 83136418272537378278 p^{45} T^{22} - 752995043500156 p^{50} T^{23} + 13858326365 p^{55} T^{24} - 77390 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	79	$ 1 - 93954 T + 28347949367 T^{2} - 2720572293016912 T^{3} + 5146005739018291690 p T^{4} - $$36\!\cdots\!28$$ T^{5} + $$38\!\cdots\!14$$ T^{6} - $$31\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$26\!\cdots\!75$$ T^{8} - $$19\!\cdots\!54$$ T^{9} + $$13\!\cdots\!45$$ T^{10} - $$86\!\cdots\!56$$ T^{11} + $$53\!\cdots\!52$$ T^{12} - $$30\!\cdots\!44$$ T^{13} + $$53\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{14} - $$86\!\cdots\!56$$ p^{10} T^{15} + $$13\!\cdots\!45$$ p^{15} T^{16} - $$19\!\cdots\!54$$ p^{20} T^{17} + $$26\!\cdots\!75$$ p^{25} T^{18} - $$31\!\cdots\!24$$ p^{30} T^{19} + $$38\!\cdots\!14$$ p^{35} T^{20} - $$36\!\cdots\!28$$ p^{40} T^{21} + 5146005739018291690 p^{46} T^{22} - 2720572293016912 p^{50} T^{23} + 28347949367 p^{55} T^{24} - 93954 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	83	$ 1 - 185918 T + 51932524135 T^{2} - 7074572781792356 T^{3} + $$11\!\cdots\!78$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!80$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!66$$ T^{6} - $$13\!\cdots\!08$$ T^{7} + $$13\!\cdots\!83$$ T^{8} - $$10\!\cdots\!70$$ T^{9} + $$86\!\cdots\!17$$ T^{10} - $$59\!\cdots\!12$$ T^{11} + $$43\!\cdots\!48$$ T^{12} - $$26\!\cdots\!80$$ T^{13} + $$43\!\cdots\!48$$ p^{5} T^{14} - $$59\!\cdots\!12$$ p^{10} T^{15} + $$86\!\cdots\!17$$ p^{15} T^{16} - $$10\!\cdots\!70$$ p^{20} T^{17} + $$13\!\cdots\!83$$ p^{25} T^{18} - $$13\!\cdots\!08$$ p^{30} T^{19} + $$15\!\cdots\!66$$ p^{35} T^{20} - $$12\!\cdots\!80$$ p^{40} T^{21} + $$11\!\cdots\!78$$ p^{45} T^{22} - 7074572781792356 p^{50} T^{23} + 51932524135 p^{55} T^{24} - 185918 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	89	$ 1 + 18418 T + 29814178389 T^{2} + 176697032177160 T^{3} + $$47\!\cdots\!30$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!32$$ T^{5} + $$54\!\cdots\!62$$ T^{6} - $$44\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$50\!\cdots\!67$$ T^{8} - $$57\!\cdots\!66$$ T^{9} + $$38\!\cdots\!87$$ T^{10} - $$49\!\cdots\!92$$ T^{11} + $$24\!\cdots\!08$$ T^{12} - $$31\!\cdots\!16$$ T^{13} + $$24\!\cdots\!08$$ p^{5} T^{14} - $$49\!\cdots\!92$$ p^{10} T^{15} + $$38\!\cdots\!87$$ p^{15} T^{16} - $$57\!\cdots\!66$$ p^{20} T^{17} + $$50\!\cdots\!67$$ p^{25} T^{18} - $$44\!\cdots\!80$$ p^{30} T^{19} + $$54\!\cdots\!62$$ p^{35} T^{20} - $$12\!\cdots\!32$$ p^{40} T^{21} + $$47\!\cdots\!30$$ p^{45} T^{22} + 176697032177160 p^{50} T^{23} + 29814178389 p^{55} T^{24} + 18418 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	97	$ 1 - 94312 T + 73187679013 T^{2} - 5766958801631264 T^{3} + $$25\!\cdots\!46$$ T^{4} - $$17\!\cdots\!36$$ T^{5} + $$58\!\cdots\!34$$ T^{6} - $$34\!\cdots\!44$$ T^{7} + $$98\!\cdots\!67$$ T^{8} - $$51\!\cdots\!88$$ T^{9} + $$12\!\cdots\!55$$ T^{10} - $$60\!\cdots\!36$$ T^{11} + $$13\!\cdots\!08$$ T^{12} - $$57\!\cdots\!64$$ T^{13} + $$13\!\cdots\!08$$ p^{5} T^{14} - $$60\!\cdots\!36$$ p^{10} T^{15} + $$12\!\cdots\!55$$ p^{15} T^{16} - $$51\!\cdots\!88$$ p^{20} T^{17} + $$98\!\cdots\!67$$ p^{25} T^{18} - $$34\!\cdots\!44$$ p^{30} T^{19} + $$58\!\cdots\!34$$ p^{35} T^{20} - $$17\!\cdots\!36$$ p^{40} T^{21} + $$25\!\cdots\!46$$ p^{45} T^{22} - 5766958801631264 p^{50} T^{23} + 73187679013 p^{55} T^{24} - 94312 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
show more
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{26} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.35747004406896197428414827142, −2.31629596320909887117205713364, −2.26418626274941352210762176696, −2.26210101027825062205978438853, −2.02552505856185953283847959589, −1.98683395979185323760915482646, −1.92800345538882350535471115198, −1.70733469467946204101653446186, −1.59460467851108882611484848166, −1.56789029136306637902983738139, −1.56004984908802056305050724872, −1.36460481638896279307194559772, −1.28787034865605385716716951962, −1.17457296588602887316471906788, −1.12630357207077386271308885524, −0.952802378600297660443546801841, −0.918966766439278514611563003644, −0.884452402298638085814471200814, −0.78062203901852461632972930591, −0.70634298584810316347685686403, −0.64924553301945875929470892059, −0.57237827489796841002637860026, −0.51588955211323301310764933248, −0.49791808227505764499553871835, −0.48558607229114015980491567568, 0.48558607229114015980491567568, 0.49791808227505764499553871835, 0.51588955211323301310764933248, 0.57237827489796841002637860026, 0.64924553301945875929470892059, 0.70634298584810316347685686403, 0.78062203901852461632972930591, 0.884452402298638085814471200814, 0.918966766439278514611563003644, 0.952802378600297660443546801841, 1.12630357207077386271308885524, 1.17457296588602887316471906788, 1.28787034865605385716716951962, 1.36460481638896279307194559772, 1.56004984908802056305050724872, 1.56789029136306637902983738139, 1.59460467851108882611484848166, 1.70733469467946204101653446186, 1.92800345538882350535471115198, 1.98683395979185323760915482646, 2.02552505856185953283847959589, 2.26210101027825062205978438853, 2.26418626274941352210762176696, 2.31629596320909887117205713364, 2.35747004406896197428414827142

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(976253.9603\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(976253.9603\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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