Properties

Label 26-177e13-1.1-c5e13-0-0
Degree $26$
Conductor $1.674\times 10^{29}$
Sign $1$
Analytic cond. $7.77570\times 10^{18}$
Root an. cond. $5.32803$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 117·3-s − 85·4-s − 14·5-s + 373·7-s + 41·8-s + 7.37e3·9-s + 250·11-s + 9.94e3·12-s + 1.05e3·13-s + 1.63e3·15-s + 1.87e3·16-s + 271·17-s + 671·19-s + 1.19e3·20-s − 4.36e4·21-s + 3.97e3·23-s − 4.79e3·24-s − 1.24e4·25-s − 3.31e5·27-s − 3.17e4·28-s − 1.06e4·29-s + 2.55e4·31-s − 1.07e3·32-s − 2.92e4·33-s − 5.22e3·35-s − 6.26e5·36-s + 1.75e4·37-s + ⋯
L(s)  = 1  − 7.50·3-s − 2.65·4-s − 0.250·5-s + 2.87·7-s + 0.226·8-s + 91/3·9-s + 0.622·11-s + 19.9·12-s + 1.72·13-s + 1.87·15-s + 1.83·16-s + 0.227·17-s + 0.426·19-s + 0.665·20-s − 21.5·21-s + 1.56·23-s − 1.69·24-s − 3.97·25-s − 87.5·27-s − 7.64·28-s − 2.34·29-s + 4.78·31-s − 0.186·32-s − 4.67·33-s − 0.720·35-s − 80.5·36-s + 2.11·37-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{13} \cdot 59^{13}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{13} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{13} \cdot 59^{13}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{13} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(26\)
Conductor: \(3^{13} \cdot 59^{13}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(7.77570\times 10^{18}\)
Root analytic conductor: \(5.32803\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{177} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((26,\ 3^{13} \cdot 59^{13} ,\ ( \ : [5/2]^{13} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(\approx\) \(0.3573657709\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(0.3573657709\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad3 \( ( 1 + p^{2} T )^{13} \)
59 \( ( 1 - p^{2} T )^{13} \)
good2 \( 1 + 85 T^{2} - 41 T^{3} + 2675 p T^{4} - 5891 T^{5} + 57621 p^{2} T^{6} - 87689 p^{2} T^{7} + 72769 p^{7} T^{8} - 551425 p^{5} T^{9} + 5489061 p^{6} T^{10} - 9164669 p^{6} T^{11} + 6201659 p^{11} T^{12} - 82755529 p^{8} T^{13} + 6201659 p^{16} T^{14} - 9164669 p^{16} T^{15} + 5489061 p^{21} T^{16} - 551425 p^{25} T^{17} + 72769 p^{32} T^{18} - 87689 p^{32} T^{19} + 57621 p^{37} T^{20} - 5891 p^{40} T^{21} + 2675 p^{46} T^{22} - 41 p^{50} T^{23} + 85 p^{55} T^{24} + p^{65} T^{26} \)
5 \( 1 + 14 T + 12626 T^{2} + 10916 p T^{3} + 89026834 T^{4} - 631798098 T^{5} + 452982273301 T^{6} - 8600400605708 T^{7} + 1873424646511959 T^{8} - 57147280565311834 T^{9} + 6650418438316126422 T^{10} - 54048383428858739848 p T^{11} + \)\(21\!\cdots\!57\)\( T^{12} - \)\(96\!\cdots\!64\)\( T^{13} + \)\(21\!\cdots\!57\)\( p^{5} T^{14} - 54048383428858739848 p^{11} T^{15} + 6650418438316126422 p^{15} T^{16} - 57147280565311834 p^{20} T^{17} + 1873424646511959 p^{25} T^{18} - 8600400605708 p^{30} T^{19} + 452982273301 p^{35} T^{20} - 631798098 p^{40} T^{21} + 89026834 p^{45} T^{22} + 10916 p^{51} T^{23} + 12626 p^{55} T^{24} + 14 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
7 \( 1 - 373 T + 131118 T^{2} - 33761232 T^{3} + 8239213709 T^{4} - 1728913600070 T^{5} + 345998172242146 T^{6} - 62575826148827115 T^{7} + 10870914509260267760 T^{8} - \)\(17\!\cdots\!93\)\( T^{9} + \)\(27\!\cdots\!69\)\( T^{10} - \)\(39\!\cdots\!09\)\( T^{11} + \)\(55\!\cdots\!87\)\( T^{12} - \)\(72\!\cdots\!52\)\( T^{13} + \)\(55\!\cdots\!87\)\( p^{5} T^{14} - \)\(39\!\cdots\!09\)\( p^{10} T^{15} + \)\(27\!\cdots\!69\)\( p^{15} T^{16} - \)\(17\!\cdots\!93\)\( p^{20} T^{17} + 10870914509260267760 p^{25} T^{18} - 62575826148827115 p^{30} T^{19} + 345998172242146 p^{35} T^{20} - 1728913600070 p^{40} T^{21} + 8239213709 p^{45} T^{22} - 33761232 p^{50} T^{23} + 131118 p^{55} T^{24} - 373 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
11 \( 1 - 250 T + 1004417 T^{2} - 210640026 T^{3} + 471213481744 T^{4} - 66238775564662 T^{5} + 133809539384116218 T^{6} - 3705354127945268824 T^{7} + \)\(24\!\cdots\!30\)\( T^{8} + \)\(42\!\cdots\!66\)\( T^{9} + \)\(27\!\cdots\!40\)\( p T^{10} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( T^{11} + \)\(27\!\cdots\!56\)\( T^{12} + \)\(36\!\cdots\!84\)\( T^{13} + \)\(27\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{14} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( p^{10} T^{15} + \)\(27\!\cdots\!40\)\( p^{16} T^{16} + \)\(42\!\cdots\!66\)\( p^{20} T^{17} + \)\(24\!\cdots\!30\)\( p^{25} T^{18} - 3705354127945268824 p^{30} T^{19} + 133809539384116218 p^{35} T^{20} - 66238775564662 p^{40} T^{21} + 471213481744 p^{45} T^{22} - 210640026 p^{50} T^{23} + 1004417 p^{55} T^{24} - 250 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
13 \( 1 - 1054 T + 2559277 T^{2} - 2323260574 T^{3} + 3215198186826 T^{4} - 2603261216445598 T^{5} + 2664799864692025928 T^{6} - \)\(19\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( T^{8} - \)\(11\!\cdots\!26\)\( T^{9} + \)\(82\!\cdots\!38\)\( T^{10} - \)\(51\!\cdots\!94\)\( T^{11} + \)\(35\!\cdots\!34\)\( T^{12} - \)\(20\!\cdots\!20\)\( T^{13} + \)\(35\!\cdots\!34\)\( p^{5} T^{14} - \)\(51\!\cdots\!94\)\( p^{10} T^{15} + \)\(82\!\cdots\!38\)\( p^{15} T^{16} - \)\(11\!\cdots\!26\)\( p^{20} T^{17} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{25} T^{18} - \)\(19\!\cdots\!92\)\( p^{30} T^{19} + 2664799864692025928 p^{35} T^{20} - 2603261216445598 p^{40} T^{21} + 3215198186826 p^{45} T^{22} - 2323260574 p^{50} T^{23} + 2559277 p^{55} T^{24} - 1054 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
17 \( 1 - 271 T + 11113680 T^{2} - 4670072228 T^{3} + 63414351862637 T^{4} - 32251054703363032 T^{5} + 14302733388294224070 p T^{6} - \)\(13\!\cdots\!19\)\( T^{7} + \)\(69\!\cdots\!44\)\( T^{8} - \)\(38\!\cdots\!57\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!69\)\( T^{10} - \)\(81\!\cdots\!25\)\( T^{11} + \)\(27\!\cdots\!39\)\( T^{12} - \)\(13\!\cdots\!12\)\( T^{13} + \)\(27\!\cdots\!39\)\( p^{5} T^{14} - \)\(81\!\cdots\!25\)\( p^{10} T^{15} + \)\(15\!\cdots\!69\)\( p^{15} T^{16} - \)\(38\!\cdots\!57\)\( p^{20} T^{17} + \)\(69\!\cdots\!44\)\( p^{25} T^{18} - \)\(13\!\cdots\!19\)\( p^{30} T^{19} + 14302733388294224070 p^{36} T^{20} - 32251054703363032 p^{40} T^{21} + 63414351862637 p^{45} T^{22} - 4670072228 p^{50} T^{23} + 11113680 p^{55} T^{24} - 271 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
19 \( 1 - 671 T + 18772271 T^{2} - 18061061383 T^{3} + 9342426005750 p T^{4} - 206194280190730543 T^{5} + \)\(11\!\cdots\!89\)\( T^{6} - \)\(14\!\cdots\!55\)\( T^{7} + \)\(53\!\cdots\!18\)\( T^{8} - \)\(69\!\cdots\!73\)\( T^{9} + \)\(19\!\cdots\!72\)\( T^{10} - \)\(25\!\cdots\!18\)\( T^{11} + \)\(60\!\cdots\!27\)\( T^{12} - \)\(71\!\cdots\!34\)\( T^{13} + \)\(60\!\cdots\!27\)\( p^{5} T^{14} - \)\(25\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{15} + \)\(19\!\cdots\!72\)\( p^{15} T^{16} - \)\(69\!\cdots\!73\)\( p^{20} T^{17} + \)\(53\!\cdots\!18\)\( p^{25} T^{18} - \)\(14\!\cdots\!55\)\( p^{30} T^{19} + \)\(11\!\cdots\!89\)\( p^{35} T^{20} - 206194280190730543 p^{40} T^{21} + 9342426005750 p^{46} T^{22} - 18061061383 p^{50} T^{23} + 18772271 p^{55} T^{24} - 671 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
23 \( 1 - 3975 T + 1904369 p T^{2} - 158132942939 T^{3} + 978994361951958 T^{4} - 3249410792287685683 T^{5} + \)\(14\!\cdots\!81\)\( T^{6} - \)\(45\!\cdots\!07\)\( T^{7} + \)\(17\!\cdots\!22\)\( T^{8} - \)\(48\!\cdots\!53\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( T^{10} - \)\(42\!\cdots\!82\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!31\)\( T^{12} - \)\(29\!\cdots\!34\)\( T^{13} + \)\(12\!\cdots\!31\)\( p^{5} T^{14} - \)\(42\!\cdots\!82\)\( p^{10} T^{15} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{15} T^{16} - \)\(48\!\cdots\!53\)\( p^{20} T^{17} + \)\(17\!\cdots\!22\)\( p^{25} T^{18} - \)\(45\!\cdots\!07\)\( p^{30} T^{19} + \)\(14\!\cdots\!81\)\( p^{35} T^{20} - 3249410792287685683 p^{40} T^{21} + 978994361951958 p^{45} T^{22} - 158132942939 p^{50} T^{23} + 1904369 p^{56} T^{24} - 3975 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
29 \( 1 + 10613 T + 121182749 T^{2} + 606206250295 T^{3} + 4312419228630852 T^{4} + 18233172844209086859 T^{5} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( T^{6} + \)\(82\!\cdots\!33\)\( T^{7} + \)\(55\!\cdots\!36\)\( T^{8} + \)\(21\!\cdots\!83\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( T^{10} + \)\(49\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(31\!\cdots\!07\)\( T^{12} + \)\(13\!\cdots\!10\)\( T^{13} + \)\(31\!\cdots\!07\)\( p^{5} T^{14} + \)\(49\!\cdots\!96\)\( p^{10} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( p^{15} T^{16} + \)\(21\!\cdots\!83\)\( p^{20} T^{17} + \)\(55\!\cdots\!36\)\( p^{25} T^{18} + \)\(82\!\cdots\!33\)\( p^{30} T^{19} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( p^{35} T^{20} + 18233172844209086859 p^{40} T^{21} + 4312419228630852 p^{45} T^{22} + 606206250295 p^{50} T^{23} + 121182749 p^{55} T^{24} + 10613 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
31 \( 1 - 25597 T + 459363857 T^{2} - 199320851191 p T^{3} + 70061499399898796 T^{4} - \)\(68\!\cdots\!33\)\( T^{5} + \)\(60\!\cdots\!07\)\( T^{6} - \)\(49\!\cdots\!77\)\( T^{7} + \)\(36\!\cdots\!38\)\( T^{8} - \)\(25\!\cdots\!15\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(10\!\cdots\!38\)\( T^{11} + \)\(59\!\cdots\!35\)\( T^{12} - \)\(32\!\cdots\!78\)\( T^{13} + \)\(59\!\cdots\!35\)\( p^{5} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!38\)\( p^{10} T^{15} + \)\(16\!\cdots\!50\)\( p^{15} T^{16} - \)\(25\!\cdots\!15\)\( p^{20} T^{17} + \)\(36\!\cdots\!38\)\( p^{25} T^{18} - \)\(49\!\cdots\!77\)\( p^{30} T^{19} + \)\(60\!\cdots\!07\)\( p^{35} T^{20} - \)\(68\!\cdots\!33\)\( p^{40} T^{21} + 70061499399898796 p^{45} T^{22} - 199320851191 p^{51} T^{23} + 459363857 p^{55} T^{24} - 25597 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
37 \( 1 - 17585 T + 571097802 T^{2} - 8267227120698 T^{3} + 158401086886237579 T^{4} - \)\(20\!\cdots\!66\)\( T^{5} + \)\(29\!\cdots\!82\)\( T^{6} - \)\(32\!\cdots\!05\)\( T^{7} + \)\(39\!\cdots\!52\)\( T^{8} - \)\(40\!\cdots\!03\)\( T^{9} + \)\(42\!\cdots\!17\)\( T^{10} - \)\(38\!\cdots\!53\)\( T^{11} + \)\(35\!\cdots\!99\)\( T^{12} - \)\(30\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(35\!\cdots\!99\)\( p^{5} T^{14} - \)\(38\!\cdots\!53\)\( p^{10} T^{15} + \)\(42\!\cdots\!17\)\( p^{15} T^{16} - \)\(40\!\cdots\!03\)\( p^{20} T^{17} + \)\(39\!\cdots\!52\)\( p^{25} T^{18} - \)\(32\!\cdots\!05\)\( p^{30} T^{19} + \)\(29\!\cdots\!82\)\( p^{35} T^{20} - \)\(20\!\cdots\!66\)\( p^{40} T^{21} + 158401086886237579 p^{45} T^{22} - 8267227120698 p^{50} T^{23} + 571097802 p^{55} T^{24} - 17585 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
41 \( 1 - 12537 T + 746621988 T^{2} - 10249369441364 T^{3} + 298838618270821497 T^{4} - \)\(41\!\cdots\!16\)\( T^{5} + \)\(83\!\cdots\!94\)\( T^{6} - \)\(11\!\cdots\!85\)\( T^{7} + \)\(18\!\cdots\!72\)\( T^{8} - \)\(22\!\cdots\!83\)\( T^{9} + \)\(31\!\cdots\!93\)\( T^{10} - \)\(34\!\cdots\!59\)\( T^{11} + \)\(44\!\cdots\!99\)\( T^{12} - \)\(44\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(44\!\cdots\!99\)\( p^{5} T^{14} - \)\(34\!\cdots\!59\)\( p^{10} T^{15} + \)\(31\!\cdots\!93\)\( p^{15} T^{16} - \)\(22\!\cdots\!83\)\( p^{20} T^{17} + \)\(18\!\cdots\!72\)\( p^{25} T^{18} - \)\(11\!\cdots\!85\)\( p^{30} T^{19} + \)\(83\!\cdots\!94\)\( p^{35} T^{20} - \)\(41\!\cdots\!16\)\( p^{40} T^{21} + 298838618270821497 p^{45} T^{22} - 10249369441364 p^{50} T^{23} + 746621988 p^{55} T^{24} - 12537 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
43 \( 1 - 26644 T + 1437788183 T^{2} - 32920802581868 T^{3} + 1001410342203442712 T^{4} - \)\(19\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(44\!\cdots\!28\)\( T^{6} - \)\(76\!\cdots\!12\)\( T^{7} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( T^{8} - \)\(21\!\cdots\!56\)\( T^{9} + \)\(33\!\cdots\!36\)\( T^{10} - \)\(44\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(61\!\cdots\!30\)\( T^{12} - \)\(73\!\cdots\!88\)\( T^{13} + \)\(61\!\cdots\!30\)\( p^{5} T^{14} - \)\(44\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{15} + \)\(33\!\cdots\!36\)\( p^{15} T^{16} - \)\(21\!\cdots\!56\)\( p^{20} T^{17} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( p^{25} T^{18} - \)\(76\!\cdots\!12\)\( p^{30} T^{19} + \)\(44\!\cdots\!28\)\( p^{35} T^{20} - \)\(19\!\cdots\!40\)\( p^{40} T^{21} + 1001410342203442712 p^{45} T^{22} - 32920802581868 p^{50} T^{23} + 1437788183 p^{55} T^{24} - 26644 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
47 \( 1 - 52087 T + 3079982325 T^{2} - 106952797740611 T^{3} + 3794671645013060134 T^{4} - \)\(10\!\cdots\!95\)\( T^{5} + \)\(26\!\cdots\!07\)\( T^{6} - \)\(58\!\cdots\!11\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!14\)\( T^{8} - \)\(23\!\cdots\!49\)\( T^{9} + \)\(45\!\cdots\!66\)\( T^{10} - \)\(74\!\cdots\!74\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!05\)\( T^{12} - \)\(18\!\cdots\!18\)\( T^{13} + \)\(12\!\cdots\!05\)\( p^{5} T^{14} - \)\(74\!\cdots\!74\)\( p^{10} T^{15} + \)\(45\!\cdots\!66\)\( p^{15} T^{16} - \)\(23\!\cdots\!49\)\( p^{20} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!14\)\( p^{25} T^{18} - \)\(58\!\cdots\!11\)\( p^{30} T^{19} + \)\(26\!\cdots\!07\)\( p^{35} T^{20} - \)\(10\!\cdots\!95\)\( p^{40} T^{21} + 3794671645013060134 p^{45} T^{22} - 106952797740611 p^{50} T^{23} + 3079982325 p^{55} T^{24} - 52087 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
53 \( 1 - 20014 T + 2548443378 T^{2} - 49668802214508 T^{3} + 3508573265227611074 T^{4} - \)\(65\!\cdots\!98\)\( T^{5} + \)\(33\!\cdots\!53\)\( T^{6} - \)\(60\!\cdots\!96\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!91\)\( T^{8} - \)\(42\!\cdots\!02\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!94\)\( T^{10} - \)\(23\!\cdots\!44\)\( T^{11} + \)\(75\!\cdots\!97\)\( T^{12} - \)\(11\!\cdots\!20\)\( T^{13} + \)\(75\!\cdots\!97\)\( p^{5} T^{14} - \)\(23\!\cdots\!44\)\( p^{10} T^{15} + \)\(15\!\cdots\!94\)\( p^{15} T^{16} - \)\(42\!\cdots\!02\)\( p^{20} T^{17} + \)\(25\!\cdots\!91\)\( p^{25} T^{18} - \)\(60\!\cdots\!96\)\( p^{30} T^{19} + \)\(33\!\cdots\!53\)\( p^{35} T^{20} - \)\(65\!\cdots\!98\)\( p^{40} T^{21} + 3508573265227611074 p^{45} T^{22} - 49668802214508 p^{50} T^{23} + 2548443378 p^{55} T^{24} - 20014 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
61 \( 1 + 11667 T + 5635380341 T^{2} + 15161797559645 T^{3} + 15583808544458459400 T^{4} - \)\(72\!\cdots\!15\)\( T^{5} + \)\(29\!\cdots\!41\)\( T^{6} - \)\(28\!\cdots\!73\)\( T^{7} + \)\(44\!\cdots\!32\)\( T^{8} - \)\(53\!\cdots\!91\)\( T^{9} + \)\(54\!\cdots\!98\)\( T^{10} - \)\(68\!\cdots\!36\)\( T^{11} + \)\(54\!\cdots\!43\)\( T^{12} - \)\(66\!\cdots\!98\)\( T^{13} + \)\(54\!\cdots\!43\)\( p^{5} T^{14} - \)\(68\!\cdots\!36\)\( p^{10} T^{15} + \)\(54\!\cdots\!98\)\( p^{15} T^{16} - \)\(53\!\cdots\!91\)\( p^{20} T^{17} + \)\(44\!\cdots\!32\)\( p^{25} T^{18} - \)\(28\!\cdots\!73\)\( p^{30} T^{19} + \)\(29\!\cdots\!41\)\( p^{35} T^{20} - \)\(72\!\cdots\!15\)\( p^{40} T^{21} + 15583808544458459400 p^{45} T^{22} + 15161797559645 p^{50} T^{23} + 5635380341 p^{55} T^{24} + 11667 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
67 \( 1 - 1106 T + 10447152334 T^{2} + 2264979082808 T^{3} + 54300752215438721116 T^{4} + \)\(10\!\cdots\!30\)\( T^{5} + \)\(18\!\cdots\!65\)\( T^{6} + \)\(68\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(70\!\cdots\!43\)\( p T^{8} + \)\(24\!\cdots\!06\)\( T^{9} + \)\(93\!\cdots\!64\)\( T^{10} + \)\(56\!\cdots\!56\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!85\)\( T^{12} + \)\(90\!\cdots\!64\)\( T^{13} + \)\(15\!\cdots\!85\)\( p^{5} T^{14} + \)\(56\!\cdots\!56\)\( p^{10} T^{15} + \)\(93\!\cdots\!64\)\( p^{15} T^{16} + \)\(24\!\cdots\!06\)\( p^{20} T^{17} + \)\(70\!\cdots\!43\)\( p^{26} T^{18} + \)\(68\!\cdots\!80\)\( p^{30} T^{19} + \)\(18\!\cdots\!65\)\( p^{35} T^{20} + \)\(10\!\cdots\!30\)\( p^{40} T^{21} + 54300752215438721116 p^{45} T^{22} + 2264979082808 p^{50} T^{23} + 10447152334 p^{55} T^{24} - 1106 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
71 \( 1 - 21230 T + 11461806093 T^{2} - 242258586588828 T^{3} + 65224206004973252338 T^{4} - \)\(15\!\cdots\!80\)\( T^{5} + \)\(24\!\cdots\!70\)\( T^{6} - \)\(67\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(66\!\cdots\!26\)\( T^{8} - \)\(22\!\cdots\!64\)\( T^{9} + \)\(14\!\cdots\!94\)\( T^{10} - \)\(58\!\cdots\!48\)\( T^{11} + \)\(27\!\cdots\!84\)\( T^{12} - \)\(12\!\cdots\!84\)\( T^{13} + \)\(27\!\cdots\!84\)\( p^{5} T^{14} - \)\(58\!\cdots\!48\)\( p^{10} T^{15} + \)\(14\!\cdots\!94\)\( p^{15} T^{16} - \)\(22\!\cdots\!64\)\( p^{20} T^{17} + \)\(66\!\cdots\!26\)\( p^{25} T^{18} - \)\(67\!\cdots\!84\)\( p^{30} T^{19} + \)\(24\!\cdots\!70\)\( p^{35} T^{20} - \)\(15\!\cdots\!80\)\( p^{40} T^{21} + 65224206004973252338 p^{45} T^{22} - 242258586588828 p^{50} T^{23} + 11461806093 p^{55} T^{24} - 21230 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
73 \( 1 - 81131 T + 14066455653 T^{2} - 1046279254288485 T^{3} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( T^{4} - \)\(71\!\cdots\!41\)\( T^{5} + \)\(56\!\cdots\!13\)\( T^{6} - \)\(33\!\cdots\!91\)\( T^{7} + \)\(22\!\cdots\!84\)\( T^{8} - \)\(12\!\cdots\!77\)\( T^{9} + \)\(71\!\cdots\!66\)\( T^{10} - \)\(34\!\cdots\!60\)\( T^{11} + \)\(18\!\cdots\!57\)\( T^{12} - \)\(79\!\cdots\!78\)\( T^{13} + \)\(18\!\cdots\!57\)\( p^{5} T^{14} - \)\(34\!\cdots\!60\)\( p^{10} T^{15} + \)\(71\!\cdots\!66\)\( p^{15} T^{16} - \)\(12\!\cdots\!77\)\( p^{20} T^{17} + \)\(22\!\cdots\!84\)\( p^{25} T^{18} - \)\(33\!\cdots\!91\)\( p^{30} T^{19} + \)\(56\!\cdots\!13\)\( p^{35} T^{20} - \)\(71\!\cdots\!41\)\( p^{40} T^{21} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( p^{45} T^{22} - 1046279254288485 p^{50} T^{23} + 14066455653 p^{55} T^{24} - 81131 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
79 \( 1 + 13470 T + 24370665969 T^{2} + 420389288231950 T^{3} + \)\(29\!\cdots\!28\)\( T^{4} + \)\(62\!\cdots\!50\)\( T^{5} + \)\(22\!\cdots\!22\)\( T^{6} + \)\(58\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!22\)\( T^{8} + \)\(37\!\cdots\!06\)\( T^{9} + \)\(57\!\cdots\!04\)\( T^{10} + \)\(17\!\cdots\!66\)\( T^{11} + \)\(21\!\cdots\!60\)\( T^{12} + \)\(62\!\cdots\!92\)\( T^{13} + \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{14} + \)\(17\!\cdots\!66\)\( p^{10} T^{15} + \)\(57\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{16} + \)\(37\!\cdots\!06\)\( p^{20} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!22\)\( p^{25} T^{18} + \)\(58\!\cdots\!00\)\( p^{30} T^{19} + \)\(22\!\cdots\!22\)\( p^{35} T^{20} + \)\(62\!\cdots\!50\)\( p^{40} T^{21} + \)\(29\!\cdots\!28\)\( p^{45} T^{22} + 420389288231950 p^{50} T^{23} + 24370665969 p^{55} T^{24} + 13470 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
83 \( 1 + 76149 T + 38765187478 T^{2} + 29834321210614 p T^{3} + \)\(69\!\cdots\!91\)\( T^{4} + \)\(37\!\cdots\!08\)\( T^{5} + \)\(78\!\cdots\!66\)\( T^{6} + \)\(35\!\cdots\!43\)\( T^{7} + \)\(62\!\cdots\!92\)\( T^{8} + \)\(24\!\cdots\!13\)\( T^{9} + \)\(37\!\cdots\!29\)\( T^{10} + \)\(13\!\cdots\!95\)\( T^{11} + \)\(18\!\cdots\!33\)\( T^{12} + \)\(56\!\cdots\!16\)\( T^{13} + \)\(18\!\cdots\!33\)\( p^{5} T^{14} + \)\(13\!\cdots\!95\)\( p^{10} T^{15} + \)\(37\!\cdots\!29\)\( p^{15} T^{16} + \)\(24\!\cdots\!13\)\( p^{20} T^{17} + \)\(62\!\cdots\!92\)\( p^{25} T^{18} + \)\(35\!\cdots\!43\)\( p^{30} T^{19} + \)\(78\!\cdots\!66\)\( p^{35} T^{20} + \)\(37\!\cdots\!08\)\( p^{40} T^{21} + \)\(69\!\cdots\!91\)\( p^{45} T^{22} + 29834321210614 p^{51} T^{23} + 38765187478 p^{55} T^{24} + 76149 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
89 \( 1 + 190205 T + 77936657319 T^{2} + 11782260058841127 T^{3} + \)\(27\!\cdots\!30\)\( T^{4} + \)\(33\!\cdots\!31\)\( T^{5} + \)\(56\!\cdots\!87\)\( T^{6} + \)\(60\!\cdots\!37\)\( T^{7} + \)\(79\!\cdots\!52\)\( T^{8} + \)\(72\!\cdots\!35\)\( T^{9} + \)\(80\!\cdots\!08\)\( T^{10} + \)\(63\!\cdots\!08\)\( T^{11} + \)\(59\!\cdots\!83\)\( T^{12} + \)\(41\!\cdots\!22\)\( T^{13} + \)\(59\!\cdots\!83\)\( p^{5} T^{14} + \)\(63\!\cdots\!08\)\( p^{10} T^{15} + \)\(80\!\cdots\!08\)\( p^{15} T^{16} + \)\(72\!\cdots\!35\)\( p^{20} T^{17} + \)\(79\!\cdots\!52\)\( p^{25} T^{18} + \)\(60\!\cdots\!37\)\( p^{30} T^{19} + \)\(56\!\cdots\!87\)\( p^{35} T^{20} + \)\(33\!\cdots\!31\)\( p^{40} T^{21} + \)\(27\!\cdots\!30\)\( p^{45} T^{22} + 11782260058841127 p^{50} T^{23} + 77936657319 p^{55} T^{24} + 190205 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
97 \( 1 - 160850 T + 58923506362 T^{2} - 8037330347561998 T^{3} + \)\(17\!\cdots\!28\)\( T^{4} - \)\(21\!\cdots\!42\)\( T^{5} + \)\(36\!\cdots\!23\)\( T^{6} - \)\(41\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(56\!\cdots\!09\)\( T^{8} - \)\(60\!\cdots\!34\)\( T^{9} + \)\(71\!\cdots\!16\)\( T^{10} - \)\(69\!\cdots\!82\)\( T^{11} + \)\(73\!\cdots\!29\)\( T^{12} - \)\(66\!\cdots\!36\)\( T^{13} + \)\(73\!\cdots\!29\)\( p^{5} T^{14} - \)\(69\!\cdots\!82\)\( p^{10} T^{15} + \)\(71\!\cdots\!16\)\( p^{15} T^{16} - \)\(60\!\cdots\!34\)\( p^{20} T^{17} + \)\(56\!\cdots\!09\)\( p^{25} T^{18} - \)\(41\!\cdots\!92\)\( p^{30} T^{19} + \)\(36\!\cdots\!23\)\( p^{35} T^{20} - \)\(21\!\cdots\!42\)\( p^{40} T^{21} + \)\(17\!\cdots\!28\)\( p^{45} T^{22} - 8037330347561998 p^{50} T^{23} + 58923506362 p^{55} T^{24} - 160850 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \)
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   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{26} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.23878009590516716951553053936, −3.15998221580713747043873213140, −3.10935645830598113267951476901, −2.86278985379174049968612595519, −2.66371843491709283406620422300, −2.55176692878869075136933253748, −2.15578377093210361030676336905, −2.15243772184414270060510925282, −2.02102192882851117687702967181, −1.95843377023923889517315112176, −1.80591707110677906970293135019, −1.70137145366776843658678035656, −1.51410512353981281761610422527, −1.36482185231700456205618119316, −1.26620540903332943478637594112, −1.01810232019338471843676685262, −0.893729549963620601188906258580, −0.884651381840147443018739709513, −0.850422553592304083520457174587, −0.78284424529553755152661852041, −0.63458487426939331091532222526, −0.49011152935370269740145836495, −0.43853937049258350782184085579, −0.16061467988902900320233417912, −0.14071825729615920649905622193, 0.14071825729615920649905622193, 0.16061467988902900320233417912, 0.43853937049258350782184085579, 0.49011152935370269740145836495, 0.63458487426939331091532222526, 0.78284424529553755152661852041, 0.850422553592304083520457174587, 0.884651381840147443018739709513, 0.893729549963620601188906258580, 1.01810232019338471843676685262, 1.26620540903332943478637594112, 1.36482185231700456205618119316, 1.51410512353981281761610422527, 1.70137145366776843658678035656, 1.80591707110677906970293135019, 1.95843377023923889517315112176, 2.02102192882851117687702967181, 2.15243772184414270060510925282, 2.15578377093210361030676336905, 2.55176692878869075136933253748, 2.66371843491709283406620422300, 2.86278985379174049968612595519, 3.10935645830598113267951476901, 3.15998221580713747043873213140, 3.23878009590516716951553053936

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.