Properties

Label 24-483e12-1.1-c5e12-0-0
Degree $24$
Conductor $1.612\times 10^{32}$
Sign $1$
Analytic cond. $4.66973\times 10^{22}$
Root an. cond. $8.80144$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $12$

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 2-s + 108·3-s − 115·4-s − 162·5-s − 108·6-s − 588·7-s − 38·8-s + 6.31e3·9-s + 162·10-s − 1.42e3·11-s − 1.24e4·12-s − 70·13-s + 588·14-s − 1.74e4·15-s + 6.50e3·16-s − 398·17-s − 6.31e3·18-s − 1.29e3·19-s + 1.86e4·20-s − 6.35e4·21-s + 1.42e3·22-s + 6.34e3·23-s − 4.10e3·24-s − 2.71e3·25-s + 70·26-s + 2.65e5·27-s + 6.76e4·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 0.176·2-s + 6.92·3-s − 3.59·4-s − 2.89·5-s − 1.22·6-s − 4.53·7-s − 0.209·8-s + 26·9-s + 0.512·10-s − 3.55·11-s − 24.8·12-s − 0.114·13-s + 0.801·14-s − 20.0·15-s + 6.35·16-s − 0.334·17-s − 4.59·18-s − 0.821·19-s + 10.4·20-s − 31.4·21-s + 0.627·22-s + 2.50·23-s − 1.45·24-s − 0.868·25-s + 0.0203·26-s + 70.0·27-s + 16.2·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{12} \cdot 7^{12} \cdot 23^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{12} \cdot 7^{12} \cdot 23^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(24\)
Conductor: \(3^{12} \cdot 7^{12} \cdot 23^{12}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(4.66973\times 10^{22}\)
Root analytic conductor: \(8.80144\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{483} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(12\)
Selberg data: \((24,\ 3^{12} \cdot 7^{12} \cdot 23^{12} ,\ ( \ : [5/2]^{12} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac12)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad3 \( ( 1 - p^{2} T )^{12} \)
7 \( ( 1 + p^{2} T )^{12} \)
23 \( ( 1 - p^{2} T )^{12} \)
good2 \( 1 + T + 29 p^{2} T^{2} + 269 T^{3} + 7139 T^{4} + 13641 p T^{5} + 43349 p^{3} T^{6} + 53405 p^{5} T^{7} + 113623 p^{7} T^{8} + 1234369 p^{6} T^{9} + 8698617 p^{6} T^{10} + 22805703 p^{7} T^{11} + 37572241 p^{9} T^{12} + 22805703 p^{12} T^{13} + 8698617 p^{16} T^{14} + 1234369 p^{21} T^{15} + 113623 p^{27} T^{16} + 53405 p^{30} T^{17} + 43349 p^{33} T^{18} + 13641 p^{36} T^{19} + 7139 p^{40} T^{20} + 269 p^{45} T^{21} + 29 p^{52} T^{22} + p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
5 \( 1 + 162 T + 28957 T^{2} + 3427621 T^{3} + 388482383 T^{4} + 1481595728 p^{2} T^{5} + 3309166578447 T^{6} + 266261266201584 T^{7} + 20086111675895481 T^{8} + 1400952429191644788 T^{9} + 91844208341604917724 T^{10} + \)\(11\!\cdots\!29\)\( p T^{11} + \)\(32\!\cdots\!82\)\( T^{12} + \)\(11\!\cdots\!29\)\( p^{6} T^{13} + 91844208341604917724 p^{10} T^{14} + 1400952429191644788 p^{15} T^{15} + 20086111675895481 p^{20} T^{16} + 266261266201584 p^{25} T^{17} + 3309166578447 p^{30} T^{18} + 1481595728 p^{37} T^{19} + 388482383 p^{40} T^{20} + 3427621 p^{45} T^{21} + 28957 p^{50} T^{22} + 162 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
11 \( 1 + 1425 T + 1915055 T^{2} + 1621512622 T^{3} + 944041911 p^{3} T^{4} + 752791263169809 T^{5} + 418993768607523036 T^{6} + \)\(19\!\cdots\!57\)\( T^{7} + \)\(85\!\cdots\!19\)\( T^{8} + \)\(32\!\cdots\!22\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!81\)\( T^{10} + \)\(45\!\cdots\!41\)\( T^{11} + \)\(18\!\cdots\!02\)\( T^{12} + \)\(45\!\cdots\!41\)\( p^{5} T^{13} + \)\(12\!\cdots\!81\)\( p^{10} T^{14} + \)\(32\!\cdots\!22\)\( p^{15} T^{15} + \)\(85\!\cdots\!19\)\( p^{20} T^{16} + \)\(19\!\cdots\!57\)\( p^{25} T^{17} + 418993768607523036 p^{30} T^{18} + 752791263169809 p^{35} T^{19} + 944041911 p^{43} T^{20} + 1621512622 p^{45} T^{21} + 1915055 p^{50} T^{22} + 1425 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
13 \( 1 + 70 T + 2459321 T^{2} + 353310293 T^{3} + 237351746783 p T^{4} + 46632260385668 p T^{5} + 2625067284313529987 T^{6} + 45862257825016368616 p T^{7} + \)\(16\!\cdots\!21\)\( T^{8} + \)\(30\!\cdots\!84\)\( p T^{9} + \)\(85\!\cdots\!12\)\( T^{10} + \)\(19\!\cdots\!25\)\( T^{11} + \)\(35\!\cdots\!74\)\( T^{12} + \)\(19\!\cdots\!25\)\( p^{5} T^{13} + \)\(85\!\cdots\!12\)\( p^{10} T^{14} + \)\(30\!\cdots\!84\)\( p^{16} T^{15} + \)\(16\!\cdots\!21\)\( p^{20} T^{16} + 45862257825016368616 p^{26} T^{17} + 2625067284313529987 p^{30} T^{18} + 46632260385668 p^{36} T^{19} + 237351746783 p^{41} T^{20} + 353310293 p^{45} T^{21} + 2459321 p^{50} T^{22} + 70 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
17 \( 1 + 398 T + 7507127 T^{2} + 1216216070 T^{3} + 27158653393719 T^{4} - 3822009821619620 T^{5} + 63276143407016477328 T^{6} - \)\(32\!\cdots\!08\)\( T^{7} + \)\(64\!\cdots\!13\)\( p T^{8} - \)\(10\!\cdots\!18\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!81\)\( T^{10} - \)\(21\!\cdots\!98\)\( T^{11} + \)\(22\!\cdots\!26\)\( T^{12} - \)\(21\!\cdots\!98\)\( p^{5} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!81\)\( p^{10} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!18\)\( p^{15} T^{15} + \)\(64\!\cdots\!13\)\( p^{21} T^{16} - \)\(32\!\cdots\!08\)\( p^{25} T^{17} + 63276143407016477328 p^{30} T^{18} - 3822009821619620 p^{35} T^{19} + 27158653393719 p^{40} T^{20} + 1216216070 p^{45} T^{21} + 7507127 p^{50} T^{22} + 398 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
19 \( 1 + 1293 T + 7328707 T^{2} + 4114971326 T^{3} + 1650207992419 p T^{4} + 11099916510691525 T^{5} + \)\(11\!\cdots\!88\)\( T^{6} - \)\(30\!\cdots\!11\)\( T^{7} + \)\(31\!\cdots\!71\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!30\)\( T^{9} + \)\(43\!\cdots\!75\)\( p T^{10} - \)\(14\!\cdots\!95\)\( p^{2} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!82\)\( p^{4} T^{12} - \)\(14\!\cdots\!95\)\( p^{7} T^{13} + \)\(43\!\cdots\!75\)\( p^{11} T^{14} - \)\(13\!\cdots\!30\)\( p^{15} T^{15} + \)\(31\!\cdots\!71\)\( p^{20} T^{16} - \)\(30\!\cdots\!11\)\( p^{25} T^{17} + \)\(11\!\cdots\!88\)\( p^{30} T^{18} + 11099916510691525 p^{35} T^{19} + 1650207992419 p^{41} T^{20} + 4114971326 p^{45} T^{21} + 7328707 p^{50} T^{22} + 1293 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
29 \( 1 + 5127 T + 115122323 T^{2} + 526169431852 T^{3} + 6903384817373829 T^{4} + 29083307919223600613 T^{5} + \)\(28\!\cdots\!56\)\( T^{6} + \)\(11\!\cdots\!35\)\( T^{7} + \)\(93\!\cdots\!95\)\( T^{8} + \)\(33\!\cdots\!12\)\( T^{9} + \)\(24\!\cdots\!81\)\( T^{10} + \)\(82\!\cdots\!73\)\( T^{11} + \)\(55\!\cdots\!30\)\( T^{12} + \)\(82\!\cdots\!73\)\( p^{5} T^{13} + \)\(24\!\cdots\!81\)\( p^{10} T^{14} + \)\(33\!\cdots\!12\)\( p^{15} T^{15} + \)\(93\!\cdots\!95\)\( p^{20} T^{16} + \)\(11\!\cdots\!35\)\( p^{25} T^{17} + \)\(28\!\cdots\!56\)\( p^{30} T^{18} + 29083307919223600613 p^{35} T^{19} + 6903384817373829 p^{40} T^{20} + 526169431852 p^{45} T^{21} + 115122323 p^{50} T^{22} + 5127 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
31 \( 1 - 6498 T + 193426739 T^{2} - 1181245360194 T^{3} + 19167232110941847 T^{4} - \)\(11\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!96\)\( T^{6} - \)\(70\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(65\!\cdots\!05\)\( T^{8} - \)\(32\!\cdots\!58\)\( T^{9} + \)\(26\!\cdots\!13\)\( T^{10} - \)\(11\!\cdots\!02\)\( T^{11} + \)\(83\!\cdots\!82\)\( T^{12} - \)\(11\!\cdots\!02\)\( p^{5} T^{13} + \)\(26\!\cdots\!13\)\( p^{10} T^{14} - \)\(32\!\cdots\!58\)\( p^{15} T^{15} + \)\(65\!\cdots\!05\)\( p^{20} T^{16} - \)\(70\!\cdots\!92\)\( p^{25} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!96\)\( p^{30} T^{18} - \)\(11\!\cdots\!84\)\( p^{35} T^{19} + 19167232110941847 p^{40} T^{20} - 1181245360194 p^{45} T^{21} + 193426739 p^{50} T^{22} - 6498 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
37 \( 1 + 35545 T + 927347869 T^{2} + 16381373454940 T^{3} + 239792436555865659 T^{4} + \)\(27\!\cdots\!07\)\( T^{5} + \)\(27\!\cdots\!16\)\( T^{6} + \)\(23\!\cdots\!85\)\( T^{7} + \)\(17\!\cdots\!33\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( T^{9} + \)\(75\!\cdots\!39\)\( T^{10} + \)\(48\!\cdots\!39\)\( T^{11} + \)\(38\!\cdots\!66\)\( T^{12} + \)\(48\!\cdots\!39\)\( p^{5} T^{13} + \)\(75\!\cdots\!39\)\( p^{10} T^{14} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( p^{15} T^{15} + \)\(17\!\cdots\!33\)\( p^{20} T^{16} + \)\(23\!\cdots\!85\)\( p^{25} T^{17} + \)\(27\!\cdots\!16\)\( p^{30} T^{18} + \)\(27\!\cdots\!07\)\( p^{35} T^{19} + 239792436555865659 p^{40} T^{20} + 16381373454940 p^{45} T^{21} + 927347869 p^{50} T^{22} + 35545 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
41 \( 1 + 7806 T + 710719030 T^{2} + 5060932434780 T^{3} + 257296954660732514 T^{4} + \)\(17\!\cdots\!06\)\( T^{5} + \)\(63\!\cdots\!20\)\( T^{6} + \)\(41\!\cdots\!62\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!02\)\( T^{8} + \)\(75\!\cdots\!68\)\( T^{9} + \)\(18\!\cdots\!82\)\( T^{10} + \)\(10\!\cdots\!38\)\( T^{11} + \)\(23\!\cdots\!22\)\( T^{12} + \)\(10\!\cdots\!38\)\( p^{5} T^{13} + \)\(18\!\cdots\!82\)\( p^{10} T^{14} + \)\(75\!\cdots\!68\)\( p^{15} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!02\)\( p^{20} T^{16} + \)\(41\!\cdots\!62\)\( p^{25} T^{17} + \)\(63\!\cdots\!20\)\( p^{30} T^{18} + \)\(17\!\cdots\!06\)\( p^{35} T^{19} + 257296954660732514 p^{40} T^{20} + 5060932434780 p^{45} T^{21} + 710719030 p^{50} T^{22} + 7806 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
43 \( 1 + 66142 T + 3453427401 T^{2} + 125797893867065 T^{3} + 3918061818929139503 T^{4} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( T^{5} + \)\(23\!\cdots\!15\)\( T^{6} + \)\(46\!\cdots\!58\)\( T^{7} + \)\(85\!\cdots\!01\)\( T^{8} + \)\(13\!\cdots\!94\)\( T^{9} + \)\(21\!\cdots\!88\)\( T^{10} + \)\(28\!\cdots\!15\)\( T^{11} + \)\(36\!\cdots\!70\)\( T^{12} + \)\(28\!\cdots\!15\)\( p^{5} T^{13} + \)\(21\!\cdots\!88\)\( p^{10} T^{14} + \)\(13\!\cdots\!94\)\( p^{15} T^{15} + \)\(85\!\cdots\!01\)\( p^{20} T^{16} + \)\(46\!\cdots\!58\)\( p^{25} T^{17} + \)\(23\!\cdots\!15\)\( p^{30} T^{18} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( p^{35} T^{19} + 3918061818929139503 p^{40} T^{20} + 125797893867065 p^{45} T^{21} + 3453427401 p^{50} T^{22} + 66142 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
47 \( 1 + 16432 T + 1521354477 T^{2} + 27883575320642 T^{3} + 1183712929100572968 T^{4} + \)\(22\!\cdots\!22\)\( T^{5} + \)\(62\!\cdots\!61\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!83\)\( T^{8} + \)\(46\!\cdots\!20\)\( T^{9} + \)\(80\!\cdots\!50\)\( T^{10} + \)\(13\!\cdots\!28\)\( T^{11} + \)\(20\!\cdots\!56\)\( T^{12} + \)\(13\!\cdots\!28\)\( p^{5} T^{13} + \)\(80\!\cdots\!50\)\( p^{10} T^{14} + \)\(46\!\cdots\!20\)\( p^{15} T^{15} + \)\(25\!\cdots\!83\)\( p^{20} T^{16} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( p^{25} T^{17} + \)\(62\!\cdots\!61\)\( p^{30} T^{18} + \)\(22\!\cdots\!22\)\( p^{35} T^{19} + 1183712929100572968 p^{40} T^{20} + 27883575320642 p^{45} T^{21} + 1521354477 p^{50} T^{22} + 16432 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
53 \( 1 + 67456 T + 5211566359 T^{2} + 4376728496699 p T^{3} + 10573642583030285529 T^{4} + \)\(35\!\cdots\!42\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!11\)\( T^{6} + \)\(33\!\cdots\!16\)\( T^{7} + \)\(92\!\cdots\!77\)\( T^{8} + \)\(21\!\cdots\!22\)\( T^{9} + \)\(52\!\cdots\!42\)\( T^{10} + \)\(11\!\cdots\!69\)\( T^{11} + \)\(24\!\cdots\!38\)\( T^{12} + \)\(11\!\cdots\!69\)\( p^{5} T^{13} + \)\(52\!\cdots\!42\)\( p^{10} T^{14} + \)\(21\!\cdots\!22\)\( p^{15} T^{15} + \)\(92\!\cdots\!77\)\( p^{20} T^{16} + \)\(33\!\cdots\!16\)\( p^{25} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!11\)\( p^{30} T^{18} + \)\(35\!\cdots\!42\)\( p^{35} T^{19} + 10573642583030285529 p^{40} T^{20} + 4376728496699 p^{46} T^{21} + 5211566359 p^{50} T^{22} + 67456 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
59 \( 1 + 36346 T + 4795811681 T^{2} + 133317300002903 T^{3} + 10545527304868711799 T^{4} + \)\(23\!\cdots\!98\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!35\)\( T^{6} + \)\(27\!\cdots\!82\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( T^{8} + \)\(27\!\cdots\!38\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!16\)\( T^{10} + \)\(23\!\cdots\!73\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!82\)\( T^{12} + \)\(23\!\cdots\!73\)\( p^{5} T^{13} + \)\(15\!\cdots\!16\)\( p^{10} T^{14} + \)\(27\!\cdots\!38\)\( p^{15} T^{15} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( p^{20} T^{16} + \)\(27\!\cdots\!82\)\( p^{25} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!35\)\( p^{30} T^{18} + \)\(23\!\cdots\!98\)\( p^{35} T^{19} + 10545527304868711799 p^{40} T^{20} + 133317300002903 p^{45} T^{21} + 4795811681 p^{50} T^{22} + 36346 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
61 \( 1 + 8768 T + 3479757155 T^{2} + 22789019758265 T^{3} + 6300676802636023611 T^{4} - \)\(82\!\cdots\!06\)\( T^{5} + \)\(81\!\cdots\!25\)\( T^{6} - \)\(81\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(85\!\cdots\!35\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!62\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( p T^{10} - \)\(15\!\cdots\!93\)\( T^{11} + \)\(74\!\cdots\!90\)\( T^{12} - \)\(15\!\cdots\!93\)\( p^{5} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{11} T^{14} - \)\(13\!\cdots\!62\)\( p^{15} T^{15} + \)\(85\!\cdots\!35\)\( p^{20} T^{16} - \)\(81\!\cdots\!40\)\( p^{25} T^{17} + \)\(81\!\cdots\!25\)\( p^{30} T^{18} - \)\(82\!\cdots\!06\)\( p^{35} T^{19} + 6300676802636023611 p^{40} T^{20} + 22789019758265 p^{45} T^{21} + 3479757155 p^{50} T^{22} + 8768 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
67 \( 1 + 123617 T + 17064661686 T^{2} + 1388464913288628 T^{3} + 1729908833242267668 p T^{4} + \)\(72\!\cdots\!27\)\( T^{5} + \)\(46\!\cdots\!15\)\( T^{6} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!89\)\( T^{8} + \)\(55\!\cdots\!99\)\( T^{9} + \)\(25\!\cdots\!47\)\( T^{10} + \)\(97\!\cdots\!99\)\( T^{11} + \)\(38\!\cdots\!76\)\( T^{12} + \)\(97\!\cdots\!99\)\( p^{5} T^{13} + \)\(25\!\cdots\!47\)\( p^{10} T^{14} + \)\(55\!\cdots\!99\)\( p^{15} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!89\)\( p^{20} T^{16} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{25} T^{17} + \)\(46\!\cdots\!15\)\( p^{30} T^{18} + \)\(72\!\cdots\!27\)\( p^{35} T^{19} + 1729908833242267668 p^{41} T^{20} + 1388464913288628 p^{45} T^{21} + 17064661686 p^{50} T^{22} + 123617 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
71 \( 1 + 108667 T + 21098236218 T^{2} + 1858945945177748 T^{3} + \)\(20\!\cdots\!80\)\( T^{4} + \)\(14\!\cdots\!17\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!47\)\( T^{6} + \)\(74\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(48\!\cdots\!49\)\( T^{8} + \)\(25\!\cdots\!33\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!91\)\( T^{10} + \)\(62\!\cdots\!29\)\( T^{11} + \)\(28\!\cdots\!76\)\( T^{12} + \)\(62\!\cdots\!29\)\( p^{5} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!91\)\( p^{10} T^{14} + \)\(25\!\cdots\!33\)\( p^{15} T^{15} + \)\(48\!\cdots\!49\)\( p^{20} T^{16} + \)\(74\!\cdots\!20\)\( p^{25} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!47\)\( p^{30} T^{18} + \)\(14\!\cdots\!17\)\( p^{35} T^{19} + \)\(20\!\cdots\!80\)\( p^{40} T^{20} + 1858945945177748 p^{45} T^{21} + 21098236218 p^{50} T^{22} + 108667 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
73 \( 1 + 107406 T + 16448756379 T^{2} + 1431509116980986 T^{3} + \)\(13\!\cdots\!11\)\( T^{4} + \)\(95\!\cdots\!44\)\( T^{5} + \)\(68\!\cdots\!52\)\( T^{6} + \)\(42\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(26\!\cdots\!25\)\( T^{8} + \)\(14\!\cdots\!30\)\( T^{9} + \)\(76\!\cdots\!33\)\( T^{10} + \)\(36\!\cdots\!90\)\( T^{11} + \)\(17\!\cdots\!90\)\( T^{12} + \)\(36\!\cdots\!90\)\( p^{5} T^{13} + \)\(76\!\cdots\!33\)\( p^{10} T^{14} + \)\(14\!\cdots\!30\)\( p^{15} T^{15} + \)\(26\!\cdots\!25\)\( p^{20} T^{16} + \)\(42\!\cdots\!92\)\( p^{25} T^{17} + \)\(68\!\cdots\!52\)\( p^{30} T^{18} + \)\(95\!\cdots\!44\)\( p^{35} T^{19} + \)\(13\!\cdots\!11\)\( p^{40} T^{20} + 1431509116980986 p^{45} T^{21} + 16448756379 p^{50} T^{22} + 107406 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
79 \( 1 + 39470 T + 22213654057 T^{2} + 480804236876860 T^{3} + \)\(23\!\cdots\!55\)\( T^{4} + \)\(20\!\cdots\!02\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!36\)\( T^{6} - \)\(13\!\cdots\!10\)\( T^{7} + \)\(84\!\cdots\!53\)\( T^{8} - \)\(49\!\cdots\!68\)\( T^{9} + \)\(35\!\cdots\!31\)\( T^{10} - \)\(28\!\cdots\!54\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!34\)\( T^{12} - \)\(28\!\cdots\!54\)\( p^{5} T^{13} + \)\(35\!\cdots\!31\)\( p^{10} T^{14} - \)\(49\!\cdots\!68\)\( p^{15} T^{15} + \)\(84\!\cdots\!53\)\( p^{20} T^{16} - \)\(13\!\cdots\!10\)\( p^{25} T^{17} + \)\(16\!\cdots\!36\)\( p^{30} T^{18} + \)\(20\!\cdots\!02\)\( p^{35} T^{19} + \)\(23\!\cdots\!55\)\( p^{40} T^{20} + 480804236876860 p^{45} T^{21} + 22213654057 p^{50} T^{22} + 39470 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
83 \( 1 + 181838 T + 33993556427 T^{2} + 3966732512957554 T^{3} + \)\(45\!\cdots\!87\)\( T^{4} + \)\(41\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(38\!\cdots\!12\)\( T^{6} + \)\(30\!\cdots\!96\)\( T^{7} + \)\(24\!\cdots\!09\)\( T^{8} + \)\(17\!\cdots\!14\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!81\)\( T^{10} + \)\(84\!\cdots\!10\)\( T^{11} + \)\(55\!\cdots\!82\)\( T^{12} + \)\(84\!\cdots\!10\)\( p^{5} T^{13} + \)\(12\!\cdots\!81\)\( p^{10} T^{14} + \)\(17\!\cdots\!14\)\( p^{15} T^{15} + \)\(24\!\cdots\!09\)\( p^{20} T^{16} + \)\(30\!\cdots\!96\)\( p^{25} T^{17} + \)\(38\!\cdots\!12\)\( p^{30} T^{18} + \)\(41\!\cdots\!00\)\( p^{35} T^{19} + \)\(45\!\cdots\!87\)\( p^{40} T^{20} + 3966732512957554 p^{45} T^{21} + 33993556427 p^{50} T^{22} + 181838 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
89 \( 1 + 277361 T + 79003270936 T^{2} + 13951696301394724 T^{3} + \)\(23\!\cdots\!50\)\( T^{4} + \)\(30\!\cdots\!33\)\( T^{5} + \)\(38\!\cdots\!79\)\( T^{6} + \)\(40\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(41\!\cdots\!13\)\( T^{8} + \)\(37\!\cdots\!31\)\( T^{9} + \)\(32\!\cdots\!97\)\( T^{10} + \)\(25\!\cdots\!83\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!48\)\( T^{12} + \)\(25\!\cdots\!83\)\( p^{5} T^{13} + \)\(32\!\cdots\!97\)\( p^{10} T^{14} + \)\(37\!\cdots\!31\)\( p^{15} T^{15} + \)\(41\!\cdots\!13\)\( p^{20} T^{16} + \)\(40\!\cdots\!40\)\( p^{25} T^{17} + \)\(38\!\cdots\!79\)\( p^{30} T^{18} + \)\(30\!\cdots\!33\)\( p^{35} T^{19} + \)\(23\!\cdots\!50\)\( p^{40} T^{20} + 13951696301394724 p^{45} T^{21} + 79003270936 p^{50} T^{22} + 277361 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
97 \( 1 + 169005 T + 761832071 p T^{2} + 11064707711075708 T^{3} + \)\(27\!\cdots\!69\)\( T^{4} + \)\(35\!\cdots\!87\)\( T^{5} + \)\(64\!\cdots\!48\)\( T^{6} + \)\(74\!\cdots\!37\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!99\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!24\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!93\)\( T^{10} + \)\(12\!\cdots\!23\)\( T^{11} + \)\(13\!\cdots\!90\)\( T^{12} + \)\(12\!\cdots\!23\)\( p^{5} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!93\)\( p^{10} T^{14} + \)\(11\!\cdots\!24\)\( p^{15} T^{15} + \)\(10\!\cdots\!99\)\( p^{20} T^{16} + \)\(74\!\cdots\!37\)\( p^{25} T^{17} + \)\(64\!\cdots\!48\)\( p^{30} T^{18} + \)\(35\!\cdots\!87\)\( p^{35} T^{19} + \)\(27\!\cdots\!69\)\( p^{40} T^{20} + 11064707711075708 p^{45} T^{21} + 761832071 p^{51} T^{22} + 169005 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
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   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{24} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.21136733030023676843168622898, −3.20806372899656070395424029609, −3.19592027900177903187588875644, −3.05714227861489446275859284505, −3.01203196028875347131407307677, −2.95828245804976525229275489423, −2.93799953458970624436610269433, −2.83035975309459679926479131352, −2.68465949991149247074733263357, −2.66590208833874356034089013621, −2.59825888790961377775924871147, −2.28341825021582844320464626912, −2.27250638054181594253119916272, −2.25040458206572099702436470947, −1.94892612683673059583657404880, −1.91610625785787309935725355395, −1.82094754585833354544008394360, −1.47070886595957380941866996230, −1.45574821237892590960279107501, −1.43204055630892588742907962460, −1.34183928224729720870646765172, −1.24263830600308206816454817302, −1.11088164582476387494277733894, −1.02032749395752641931971447583, −0.859475189417492961563328612813, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.859475189417492961563328612813, 1.02032749395752641931971447583, 1.11088164582476387494277733894, 1.24263830600308206816454817302, 1.34183928224729720870646765172, 1.43204055630892588742907962460, 1.45574821237892590960279107501, 1.47070886595957380941866996230, 1.82094754585833354544008394360, 1.91610625785787309935725355395, 1.94892612683673059583657404880, 2.25040458206572099702436470947, 2.27250638054181594253119916272, 2.28341825021582844320464626912, 2.59825888790961377775924871147, 2.66590208833874356034089013621, 2.68465949991149247074733263357, 2.83035975309459679926479131352, 2.93799953458970624436610269433, 2.95828245804976525229275489423, 3.01203196028875347131407307677, 3.05714227861489446275859284505, 3.19592027900177903187588875644, 3.20806372899656070395424029609, 3.21136733030023676843168622898

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.