Properties

Label 24-177e12-1.1-c5e12-0-1
Degree $24$
Conductor $9.455\times 10^{26}$
Sign $1$
Analytic cond. $2.73908\times 10^{17}$
Root an. cond. $5.32803$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $12$

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 4·2-s − 108·3-s − 85·4-s + 36·5-s + 432·6-s − 411·7-s + 381·8-s + 6.31e3·9-s − 144·10-s + 492·11-s + 9.18e3·12-s − 974·13-s + 1.64e3·14-s − 3.88e3·15-s + 3.52e3·16-s − 1.46e3·17-s − 2.52e4·18-s − 3.18e3·19-s − 3.06e3·20-s + 4.43e4·21-s − 1.96e3·22-s − 2.61e3·23-s − 4.11e4·24-s − 1.37e4·25-s + 3.89e3·26-s − 2.65e5·27-s + 3.49e4·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 0.707·2-s − 6.92·3-s − 2.65·4-s + 0.643·5-s + 4.89·6-s − 3.17·7-s + 2.10·8-s + 26·9-s − 0.455·10-s + 1.22·11-s + 18.4·12-s − 1.59·13-s + 2.24·14-s − 4.46·15-s + 3.43·16-s − 1.22·17-s − 18.3·18-s − 2.02·19-s − 1.71·20-s + 21.9·21-s − 0.866·22-s − 1.03·23-s − 14.5·24-s − 4.40·25-s + 1.13·26-s − 70.0·27-s + 8.42·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{12} \cdot 59^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{12} \cdot 59^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(24\)
Conductor: \(3^{12} \cdot 59^{12}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(2.73908\times 10^{17}\)
Root analytic conductor: \(5.32803\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{177} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(12\)
Selberg data: \((24,\ 3^{12} \cdot 59^{12} ,\ ( \ : [5/2]^{12} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac12)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad3 \( ( 1 + p^{2} T )^{12} \)
59 \( ( 1 + p^{2} T )^{12} \)
good2 \( 1 + p^{2} T + 101 T^{2} + 363 T^{3} + 39 p^{7} T^{4} + 18713 T^{5} + 98821 p T^{6} + 85221 p^{3} T^{7} + 51447 p^{7} T^{8} + 624331 p^{5} T^{9} + 2850213 p^{6} T^{10} + 10156247 p^{6} T^{11} + 41027973 p^{7} T^{12} + 10156247 p^{11} T^{13} + 2850213 p^{16} T^{14} + 624331 p^{20} T^{15} + 51447 p^{27} T^{16} + 85221 p^{28} T^{17} + 98821 p^{31} T^{18} + 18713 p^{35} T^{19} + 39 p^{47} T^{20} + 363 p^{45} T^{21} + 101 p^{50} T^{22} + p^{57} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
5 \( 1 - 36 T + 15077 T^{2} - 676842 T^{3} + 126788733 T^{4} - 6166170762 T^{5} + 767936563888 T^{6} - 38717728450202 T^{7} + 3713564220360803 T^{8} - 183659535723473662 T^{9} + 14987274008582811507 T^{10} - \)\(69\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(50\!\cdots\!66\)\( T^{12} - \)\(69\!\cdots\!96\)\( p^{5} T^{13} + 14987274008582811507 p^{10} T^{14} - 183659535723473662 p^{15} T^{15} + 3713564220360803 p^{20} T^{16} - 38717728450202 p^{25} T^{17} + 767936563888 p^{30} T^{18} - 6166170762 p^{35} T^{19} + 126788733 p^{40} T^{20} - 676842 p^{45} T^{21} + 15077 p^{50} T^{22} - 36 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
7 \( 1 + 411 T + 201587 T^{2} + 57228595 T^{3} + 2402718788 p T^{4} + 3749246141925 T^{5} + 832472739349026 T^{6} + 154755470113268954 T^{7} + 28246827699770535554 T^{8} + \)\(45\!\cdots\!97\)\( T^{9} + \)\(70\!\cdots\!83\)\( T^{10} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( p T^{11} + \)\(13\!\cdots\!94\)\( T^{12} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( p^{6} T^{13} + \)\(70\!\cdots\!83\)\( p^{10} T^{14} + \)\(45\!\cdots\!97\)\( p^{15} T^{15} + 28246827699770535554 p^{20} T^{16} + 154755470113268954 p^{25} T^{17} + 832472739349026 p^{30} T^{18} + 3749246141925 p^{35} T^{19} + 2402718788 p^{41} T^{20} + 57228595 p^{45} T^{21} + 201587 p^{50} T^{22} + 411 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
11 \( 1 - 492 T + 85160 p T^{2} - 312773916 T^{3} + 420490511836 T^{4} - 115548331819028 T^{5} + 136624881815310968 T^{6} - 33364179857564980324 T^{7} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( T^{8} - \)\(76\!\cdots\!36\)\( T^{9} + \)\(72\!\cdots\!12\)\( T^{10} - \)\(14\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!18\)\( T^{12} - \)\(14\!\cdots\!84\)\( p^{5} T^{13} + \)\(72\!\cdots\!12\)\( p^{10} T^{14} - \)\(76\!\cdots\!36\)\( p^{15} T^{15} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( p^{20} T^{16} - 33364179857564980324 p^{25} T^{17} + 136624881815310968 p^{30} T^{18} - 115548331819028 p^{35} T^{19} + 420490511836 p^{40} T^{20} - 312773916 p^{45} T^{21} + 85160 p^{51} T^{22} - 492 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
13 \( 1 + 974 T + 211134 p T^{2} + 2275165550 T^{3} + 3689359317220 T^{4} + 2705072389026302 T^{5} + 3267530834464590654 T^{6} + \)\(21\!\cdots\!70\)\( T^{7} + \)\(21\!\cdots\!88\)\( T^{8} + \)\(13\!\cdots\!22\)\( T^{9} + \)\(11\!\cdots\!86\)\( T^{10} + \)\(60\!\cdots\!54\)\( T^{11} + \)\(45\!\cdots\!42\)\( T^{12} + \)\(60\!\cdots\!54\)\( p^{5} T^{13} + \)\(11\!\cdots\!86\)\( p^{10} T^{14} + \)\(13\!\cdots\!22\)\( p^{15} T^{15} + \)\(21\!\cdots\!88\)\( p^{20} T^{16} + \)\(21\!\cdots\!70\)\( p^{25} T^{17} + 3267530834464590654 p^{30} T^{18} + 2705072389026302 p^{35} T^{19} + 3689359317220 p^{40} T^{20} + 2275165550 p^{45} T^{21} + 211134 p^{51} T^{22} + 974 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
17 \( 1 + 1463 T + 6702705 T^{2} + 9154042839 T^{3} + 29152572186126 T^{4} + 36909648759621645 T^{5} + 88013884494706045030 T^{6} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(21\!\cdots\!06\)\( T^{8} + \)\(22\!\cdots\!59\)\( T^{9} + \)\(39\!\cdots\!61\)\( T^{10} + \)\(40\!\cdots\!78\)\( T^{11} + \)\(62\!\cdots\!94\)\( T^{12} + \)\(40\!\cdots\!78\)\( p^{5} T^{13} + \)\(39\!\cdots\!61\)\( p^{10} T^{14} + \)\(22\!\cdots\!59\)\( p^{15} T^{15} + \)\(21\!\cdots\!06\)\( p^{20} T^{16} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( p^{25} T^{17} + 88013884494706045030 p^{30} T^{18} + 36909648759621645 p^{35} T^{19} + 29152572186126 p^{40} T^{20} + 9154042839 p^{45} T^{21} + 6702705 p^{50} T^{22} + 1463 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
19 \( 1 + 3189 T + 17966848 T^{2} + 131573338 p^{2} T^{3} + 162967213888698 T^{4} + 375442259866152235 T^{5} + \)\(99\!\cdots\!43\)\( T^{6} + \)\(20\!\cdots\!08\)\( T^{7} + \)\(44\!\cdots\!61\)\( T^{8} + \)\(81\!\cdots\!35\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!05\)\( T^{10} + \)\(13\!\cdots\!31\)\( p T^{11} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{2} T^{12} + \)\(13\!\cdots\!31\)\( p^{6} T^{13} + \)\(15\!\cdots\!05\)\( p^{10} T^{14} + \)\(81\!\cdots\!35\)\( p^{15} T^{15} + \)\(44\!\cdots\!61\)\( p^{20} T^{16} + \)\(20\!\cdots\!08\)\( p^{25} T^{17} + \)\(99\!\cdots\!43\)\( p^{30} T^{18} + 375442259866152235 p^{35} T^{19} + 162967213888698 p^{40} T^{20} + 131573338 p^{47} T^{21} + 17966848 p^{50} T^{22} + 3189 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
23 \( 1 + 2617 T + 30575314 T^{2} + 109526490194 T^{3} + 523778972423076 T^{4} + 2025719010437627151 T^{5} + \)\(72\!\cdots\!03\)\( T^{6} + \)\(10\!\cdots\!08\)\( p T^{7} + \)\(81\!\cdots\!37\)\( T^{8} + \)\(23\!\cdots\!63\)\( T^{9} + \)\(30\!\cdots\!17\)\( p T^{10} + \)\(18\!\cdots\!25\)\( T^{11} + \)\(48\!\cdots\!52\)\( T^{12} + \)\(18\!\cdots\!25\)\( p^{5} T^{13} + \)\(30\!\cdots\!17\)\( p^{11} T^{14} + \)\(23\!\cdots\!63\)\( p^{15} T^{15} + \)\(81\!\cdots\!37\)\( p^{20} T^{16} + \)\(10\!\cdots\!08\)\( p^{26} T^{17} + \)\(72\!\cdots\!03\)\( p^{30} T^{18} + 2025719010437627151 p^{35} T^{19} + 523778972423076 p^{40} T^{20} + 109526490194 p^{45} T^{21} + 30575314 p^{50} T^{22} + 2617 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
29 \( 1 + 1963 T + 132146706 T^{2} + 286265611212 T^{3} + 8982419750109858 T^{4} + 671546513898219063 p T^{5} + \)\(41\!\cdots\!17\)\( T^{6} + \)\(85\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!91\)\( T^{8} + \)\(27\!\cdots\!37\)\( T^{9} + \)\(39\!\cdots\!49\)\( T^{10} + \)\(23\!\cdots\!81\)\( p T^{11} + \)\(89\!\cdots\!56\)\( T^{12} + \)\(23\!\cdots\!81\)\( p^{6} T^{13} + \)\(39\!\cdots\!49\)\( p^{10} T^{14} + \)\(27\!\cdots\!37\)\( p^{15} T^{15} + \)\(14\!\cdots\!91\)\( p^{20} T^{16} + \)\(85\!\cdots\!56\)\( p^{25} T^{17} + \)\(41\!\cdots\!17\)\( p^{30} T^{18} + 671546513898219063 p^{36} T^{19} + 8982419750109858 p^{40} T^{20} + 286265611212 p^{45} T^{21} + 132146706 p^{50} T^{22} + 1963 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
31 \( 1 + 11929 T + 249586288 T^{2} + 2427293482138 T^{3} + 29555382061371124 T^{4} + \)\(24\!\cdots\!11\)\( T^{5} + \)\(22\!\cdots\!53\)\( T^{6} + \)\(16\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!27\)\( T^{8} + \)\(79\!\cdots\!95\)\( T^{9} + \)\(51\!\cdots\!39\)\( T^{10} + \)\(29\!\cdots\!73\)\( T^{11} + \)\(16\!\cdots\!56\)\( T^{12} + \)\(29\!\cdots\!73\)\( p^{5} T^{13} + \)\(51\!\cdots\!39\)\( p^{10} T^{14} + \)\(79\!\cdots\!95\)\( p^{15} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!27\)\( p^{20} T^{16} + \)\(16\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{17} + \)\(22\!\cdots\!53\)\( p^{30} T^{18} + \)\(24\!\cdots\!11\)\( p^{35} T^{19} + 29555382061371124 p^{40} T^{20} + 2427293482138 p^{45} T^{21} + 249586288 p^{50} T^{22} + 11929 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
37 \( 1 + 28105 T + 758563569 T^{2} + 13216284027871 T^{3} + 214770056302493278 T^{4} + \)\(27\!\cdots\!31\)\( T^{5} + \)\(32\!\cdots\!20\)\( T^{6} + \)\(33\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(31\!\cdots\!52\)\( T^{8} + \)\(26\!\cdots\!37\)\( T^{9} + \)\(22\!\cdots\!49\)\( T^{10} + \)\(17\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(14\!\cdots\!18\)\( T^{12} + \)\(17\!\cdots\!96\)\( p^{5} T^{13} + \)\(22\!\cdots\!49\)\( p^{10} T^{14} + \)\(26\!\cdots\!37\)\( p^{15} T^{15} + \)\(31\!\cdots\!52\)\( p^{20} T^{16} + \)\(33\!\cdots\!84\)\( p^{25} T^{17} + \)\(32\!\cdots\!20\)\( p^{30} T^{18} + \)\(27\!\cdots\!31\)\( p^{35} T^{19} + 214770056302493278 p^{40} T^{20} + 13216284027871 p^{45} T^{21} + 758563569 p^{50} T^{22} + 28105 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
41 \( 1 + 185 p T + 835532757 T^{2} + 6724540824453 T^{3} + 332800579938184542 T^{4} + \)\(28\!\cdots\!79\)\( T^{5} + \)\(85\!\cdots\!30\)\( T^{6} + \)\(77\!\cdots\!36\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!78\)\( T^{8} + \)\(15\!\cdots\!49\)\( T^{9} + \)\(24\!\cdots\!09\)\( T^{10} + \)\(22\!\cdots\!14\)\( T^{11} + \)\(31\!\cdots\!34\)\( T^{12} + \)\(22\!\cdots\!14\)\( p^{5} T^{13} + \)\(24\!\cdots\!09\)\( p^{10} T^{14} + \)\(15\!\cdots\!49\)\( p^{15} T^{15} + \)\(16\!\cdots\!78\)\( p^{20} T^{16} + \)\(77\!\cdots\!36\)\( p^{25} T^{17} + \)\(85\!\cdots\!30\)\( p^{30} T^{18} + \)\(28\!\cdots\!79\)\( p^{35} T^{19} + 332800579938184542 p^{40} T^{20} + 6724540824453 p^{45} T^{21} + 835532757 p^{50} T^{22} + 185 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
43 \( 1 + 33146 T + 1544978238 T^{2} + 36545142145084 T^{3} + 1022617244619138962 T^{4} + \)\(19\!\cdots\!62\)\( T^{5} + \)\(41\!\cdots\!44\)\( T^{6} + \)\(67\!\cdots\!42\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!34\)\( T^{8} + \)\(16\!\cdots\!72\)\( T^{9} + \)\(25\!\cdots\!82\)\( T^{10} + \)\(31\!\cdots\!14\)\( T^{11} + \)\(41\!\cdots\!66\)\( T^{12} + \)\(31\!\cdots\!14\)\( p^{5} T^{13} + \)\(25\!\cdots\!82\)\( p^{10} T^{14} + \)\(16\!\cdots\!72\)\( p^{15} T^{15} + \)\(11\!\cdots\!34\)\( p^{20} T^{16} + \)\(67\!\cdots\!42\)\( p^{25} T^{17} + \)\(41\!\cdots\!44\)\( p^{30} T^{18} + \)\(19\!\cdots\!62\)\( p^{35} T^{19} + 1022617244619138962 p^{40} T^{20} + 36545142145084 p^{45} T^{21} + 1544978238 p^{50} T^{22} + 33146 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
47 \( 1 + 79215 T + 4892667260 T^{2} + 214410921147294 T^{3} + 8069239383147951750 T^{4} + \)\(25\!\cdots\!05\)\( T^{5} + \)\(71\!\cdots\!67\)\( T^{6} + \)\(17\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(40\!\cdots\!29\)\( T^{8} + \)\(81\!\cdots\!13\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!97\)\( T^{10} + \)\(26\!\cdots\!83\)\( T^{11} + \)\(41\!\cdots\!16\)\( T^{12} + \)\(26\!\cdots\!83\)\( p^{5} T^{13} + \)\(15\!\cdots\!97\)\( p^{10} T^{14} + \)\(81\!\cdots\!13\)\( p^{15} T^{15} + \)\(40\!\cdots\!29\)\( p^{20} T^{16} + \)\(17\!\cdots\!32\)\( p^{25} T^{17} + \)\(71\!\cdots\!67\)\( p^{30} T^{18} + \)\(25\!\cdots\!05\)\( p^{35} T^{19} + 8069239383147951750 p^{40} T^{20} + 214410921147294 p^{45} T^{21} + 4892667260 p^{50} T^{22} + 79215 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
53 \( 1 + 12220 T + 2521250833 T^{2} + 23274291686014 T^{3} + 3094678382841714357 T^{4} + \)\(22\!\cdots\!30\)\( T^{5} + \)\(25\!\cdots\!44\)\( T^{6} + \)\(15\!\cdots\!34\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!59\)\( T^{8} + \)\(90\!\cdots\!26\)\( T^{9} + \)\(86\!\cdots\!83\)\( T^{10} + \)\(45\!\cdots\!80\)\( T^{11} + \)\(38\!\cdots\!06\)\( T^{12} + \)\(45\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{13} + \)\(86\!\cdots\!83\)\( p^{10} T^{14} + \)\(90\!\cdots\!26\)\( p^{15} T^{15} + \)\(16\!\cdots\!59\)\( p^{20} T^{16} + \)\(15\!\cdots\!34\)\( p^{25} T^{17} + \)\(25\!\cdots\!44\)\( p^{30} T^{18} + \)\(22\!\cdots\!30\)\( p^{35} T^{19} + 3094678382841714357 p^{40} T^{20} + 23274291686014 p^{45} T^{21} + 2521250833 p^{50} T^{22} + 12220 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
61 \( 1 + 54195 T + 5440145848 T^{2} + 229387759345252 T^{3} + 14824173442887087124 T^{4} + \)\(53\!\cdots\!79\)\( T^{5} + \)\(27\!\cdots\!93\)\( T^{6} + \)\(87\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(38\!\cdots\!47\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!49\)\( T^{9} + \)\(43\!\cdots\!27\)\( T^{10} + \)\(11\!\cdots\!53\)\( T^{11} + \)\(66\!\cdots\!32\)\( p T^{12} + \)\(11\!\cdots\!53\)\( p^{5} T^{13} + \)\(43\!\cdots\!27\)\( p^{10} T^{14} + \)\(11\!\cdots\!49\)\( p^{15} T^{15} + \)\(38\!\cdots\!47\)\( p^{20} T^{16} + \)\(87\!\cdots\!56\)\( p^{25} T^{17} + \)\(27\!\cdots\!93\)\( p^{30} T^{18} + \)\(53\!\cdots\!79\)\( p^{35} T^{19} + 14824173442887087124 p^{40} T^{20} + 229387759345252 p^{45} T^{21} + 5440145848 p^{50} T^{22} + 54195 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
67 \( 1 - 24224 T + 8393893969 T^{2} - 177127423965012 T^{3} + 37756641125565993187 T^{4} - \)\(72\!\cdots\!72\)\( T^{5} + \)\(11\!\cdots\!96\)\( T^{6} - \)\(20\!\cdots\!12\)\( T^{7} + \)\(27\!\cdots\!69\)\( T^{8} - \)\(42\!\cdots\!28\)\( T^{9} + \)\(50\!\cdots\!79\)\( T^{10} - \)\(71\!\cdots\!60\)\( T^{11} + \)\(75\!\cdots\!94\)\( T^{12} - \)\(71\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{13} + \)\(50\!\cdots\!79\)\( p^{10} T^{14} - \)\(42\!\cdots\!28\)\( p^{15} T^{15} + \)\(27\!\cdots\!69\)\( p^{20} T^{16} - \)\(20\!\cdots\!12\)\( p^{25} T^{17} + \)\(11\!\cdots\!96\)\( p^{30} T^{18} - \)\(72\!\cdots\!72\)\( p^{35} T^{19} + 37756641125565993187 p^{40} T^{20} - 177127423965012 p^{45} T^{21} + 8393893969 p^{50} T^{22} - 24224 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
71 \( 1 - 60254 T + 17761671062 T^{2} - 1030750271426618 T^{3} + \)\(15\!\cdots\!96\)\( T^{4} - \)\(81\!\cdots\!22\)\( T^{5} + \)\(82\!\cdots\!54\)\( T^{6} - \)\(40\!\cdots\!26\)\( T^{7} + \)\(31\!\cdots\!48\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!30\)\( T^{9} + \)\(86\!\cdots\!70\)\( T^{10} - \)\(33\!\cdots\!50\)\( T^{11} + \)\(18\!\cdots\!38\)\( T^{12} - \)\(33\!\cdots\!50\)\( p^{5} T^{13} + \)\(86\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{14} - \)\(13\!\cdots\!30\)\( p^{15} T^{15} + \)\(31\!\cdots\!48\)\( p^{20} T^{16} - \)\(40\!\cdots\!26\)\( p^{25} T^{17} + \)\(82\!\cdots\!54\)\( p^{30} T^{18} - \)\(81\!\cdots\!22\)\( p^{35} T^{19} + \)\(15\!\cdots\!96\)\( p^{40} T^{20} - 1030750271426618 p^{45} T^{21} + 17761671062 p^{50} T^{22} - 60254 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
73 \( 1 + 15385 T + 10750924236 T^{2} + 168142998083884 T^{3} + 58592246770293888554 T^{4} + \)\(11\!\cdots\!93\)\( T^{5} + \)\(22\!\cdots\!75\)\( T^{6} + \)\(53\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(67\!\cdots\!09\)\( T^{8} + \)\(18\!\cdots\!67\)\( T^{9} + \)\(17\!\cdots\!93\)\( T^{10} + \)\(49\!\cdots\!19\)\( T^{11} + \)\(38\!\cdots\!92\)\( T^{12} + \)\(49\!\cdots\!19\)\( p^{5} T^{13} + \)\(17\!\cdots\!93\)\( p^{10} T^{14} + \)\(18\!\cdots\!67\)\( p^{15} T^{15} + \)\(67\!\cdots\!09\)\( p^{20} T^{16} + \)\(53\!\cdots\!52\)\( p^{25} T^{17} + \)\(22\!\cdots\!75\)\( p^{30} T^{18} + \)\(11\!\cdots\!93\)\( p^{35} T^{19} + 58592246770293888554 p^{40} T^{20} + 168142998083884 p^{45} T^{21} + 10750924236 p^{50} T^{22} + 15385 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
79 \( 1 + 27054 T + 10258362418 T^{2} + 279697966562828 T^{3} + 76674819814484588342 T^{4} + \)\(17\!\cdots\!58\)\( T^{5} + \)\(43\!\cdots\!48\)\( T^{6} + \)\(99\!\cdots\!50\)\( T^{7} + \)\(19\!\cdots\!94\)\( T^{8} + \)\(40\!\cdots\!16\)\( T^{9} + \)\(77\!\cdots\!14\)\( T^{10} + \)\(15\!\cdots\!50\)\( T^{11} + \)\(25\!\cdots\!26\)\( T^{12} + \)\(15\!\cdots\!50\)\( p^{5} T^{13} + \)\(77\!\cdots\!14\)\( p^{10} T^{14} + \)\(40\!\cdots\!16\)\( p^{15} T^{15} + \)\(19\!\cdots\!94\)\( p^{20} T^{16} + \)\(99\!\cdots\!50\)\( p^{25} T^{17} + \)\(43\!\cdots\!48\)\( p^{30} T^{18} + \)\(17\!\cdots\!58\)\( p^{35} T^{19} + 76674819814484588342 p^{40} T^{20} + 279697966562828 p^{45} T^{21} + 10258362418 p^{50} T^{22} + 27054 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
83 \( 1 + 117595 T + 33281566613 T^{2} + 3187997322362049 T^{3} + \)\(51\!\cdots\!22\)\( T^{4} + \)\(42\!\cdots\!77\)\( T^{5} + \)\(50\!\cdots\!38\)\( T^{6} + \)\(36\!\cdots\!90\)\( T^{7} + \)\(35\!\cdots\!18\)\( T^{8} + \)\(23\!\cdots\!93\)\( T^{9} + \)\(19\!\cdots\!09\)\( T^{10} + \)\(11\!\cdots\!06\)\( T^{11} + \)\(86\!\cdots\!78\)\( T^{12} + \)\(11\!\cdots\!06\)\( p^{5} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!09\)\( p^{10} T^{14} + \)\(23\!\cdots\!93\)\( p^{15} T^{15} + \)\(35\!\cdots\!18\)\( p^{20} T^{16} + \)\(36\!\cdots\!90\)\( p^{25} T^{17} + \)\(50\!\cdots\!38\)\( p^{30} T^{18} + \)\(42\!\cdots\!77\)\( p^{35} T^{19} + \)\(51\!\cdots\!22\)\( p^{40} T^{20} + 3187997322362049 p^{45} T^{21} + 33281566613 p^{50} T^{22} + 117595 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
89 \( 1 + 36033 T + 32300445446 T^{2} + 1367992935460184 T^{3} + \)\(49\!\cdots\!12\)\( T^{4} + \)\(21\!\cdots\!53\)\( T^{5} + \)\(48\!\cdots\!35\)\( T^{6} + \)\(20\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(34\!\cdots\!97\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!03\)\( T^{9} + \)\(20\!\cdots\!19\)\( T^{10} + \)\(58\!\cdots\!31\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!80\)\( T^{12} + \)\(58\!\cdots\!31\)\( p^{5} T^{13} + \)\(20\!\cdots\!19\)\( p^{10} T^{14} + \)\(12\!\cdots\!03\)\( p^{15} T^{15} + \)\(34\!\cdots\!97\)\( p^{20} T^{16} + \)\(20\!\cdots\!84\)\( p^{25} T^{17} + \)\(48\!\cdots\!35\)\( p^{30} T^{18} + \)\(21\!\cdots\!53\)\( p^{35} T^{19} + \)\(49\!\cdots\!12\)\( p^{40} T^{20} + 1367992935460184 p^{45} T^{21} + 32300445446 p^{50} T^{22} + 36033 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
97 \( 1 + 196914 T + 82016719807 T^{2} + 13965147484277854 T^{3} + \)\(32\!\cdots\!87\)\( T^{4} + \)\(47\!\cdots\!28\)\( T^{5} + \)\(83\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!37\)\( T^{8} + \)\(16\!\cdots\!58\)\( T^{9} + \)\(19\!\cdots\!65\)\( T^{10} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( T^{11} + \)\(18\!\cdots\!50\)\( T^{12} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( p^{5} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!65\)\( p^{10} T^{14} + \)\(16\!\cdots\!58\)\( p^{15} T^{15} + \)\(14\!\cdots\!37\)\( p^{20} T^{16} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{25} T^{17} + \)\(83\!\cdots\!00\)\( p^{30} T^{18} + \)\(47\!\cdots\!28\)\( p^{35} T^{19} + \)\(32\!\cdots\!87\)\( p^{40} T^{20} + 13965147484277854 p^{45} T^{21} + 82016719807 p^{50} T^{22} + 196914 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
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   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{24} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.30191080897895582535347416008, −3.92979710507895581360082710614, −3.90668952206246203434348161009, −3.74941518126695962832085135375, −3.64197115376387266212205742914, −3.63027831436270921371114883529, −3.62407186945185970731829578793, −3.56553671675757864951153626798, −3.51281369855920537011636280744, −3.25979847504843219389997226897, −3.16413302579209302962500184764, −2.72526690044383936691500616946, −2.48553402020588528185654317513, −2.30381454022528759045812443170, −2.30085111527069423611777125621, −2.19858337587210411237660967552, −1.87190997829875665314687028645, −1.64825052274665905681361866588, −1.58418288688224332054055992137, −1.53298621313985742549708516419, −1.42824967717719035529577203089, −1.32417028460337714389596590970, −1.18000841938274987069524701550, −1.17231383859425890714673088570, −0.962566036084114351544376178999, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.962566036084114351544376178999, 1.17231383859425890714673088570, 1.18000841938274987069524701550, 1.32417028460337714389596590970, 1.42824967717719035529577203089, 1.53298621313985742549708516419, 1.58418288688224332054055992137, 1.64825052274665905681361866588, 1.87190997829875665314687028645, 2.19858337587210411237660967552, 2.30085111527069423611777125621, 2.30381454022528759045812443170, 2.48553402020588528185654317513, 2.72526690044383936691500616946, 3.16413302579209302962500184764, 3.25979847504843219389997226897, 3.51281369855920537011636280744, 3.56553671675757864951153626798, 3.62407186945185970731829578793, 3.63027831436270921371114883529, 3.64197115376387266212205742914, 3.74941518126695962832085135375, 3.90668952206246203434348161009, 3.92979710507895581360082710614, 4.30191080897895582535347416008

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.