Properties

Label 24-177e12-1.1-c5e12-0-0
Degree $24$
Conductor $9.455\times 10^{26}$
Sign $1$
Analytic cond. $2.73908\times 10^{17}$
Root an. cond. $5.32803$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 22·2-s + 108·3-s + 149·4-s + 158·5-s + 2.37e3·6-s + 413·7-s − 265·8-s + 6.31e3·9-s + 3.47e3·10-s + 1.48e3·11-s + 1.60e4·12-s + 472·13-s + 9.08e3·14-s + 1.70e4·15-s − 8.27e3·16-s + 1.56e3·17-s + 1.38e5·18-s + 3.93e3·19-s + 2.35e4·20-s + 4.46e4·21-s + 3.25e4·22-s + 7.24e3·23-s − 2.86e4·24-s − 1.42e3·25-s + 1.03e4·26-s + 2.65e5·27-s + 6.15e4·28-s + ⋯
L(s)  = 1  + 3.88·2-s + 6.92·3-s + 4.65·4-s + 2.82·5-s + 26.9·6-s + 3.18·7-s − 1.46·8-s + 26·9-s + 10.9·10-s + 3.68·11-s + 32.2·12-s + 0.774·13-s + 12.3·14-s + 19.5·15-s − 8.07·16-s + 1.31·17-s + 101.·18-s + 2.50·19-s + 13.1·20-s + 22.0·21-s + 14.3·22-s + 2.85·23-s − 10.1·24-s − 0.455·25-s + 3.01·26-s + 70.0·27-s + 14.8·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{12} \cdot 59^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{12} \cdot 59^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(24\)
Conductor: \(3^{12} \cdot 59^{12}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(2.73908\times 10^{17}\)
Root analytic conductor: \(5.32803\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{177} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((24,\ 3^{12} \cdot 59^{12} ,\ ( \ : [5/2]^{12} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(\approx\) \(189374.9521\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(189374.9521\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad3 \( ( 1 - p^{2} T )^{12} \)
59 \( ( 1 + p^{2} T )^{12} \)
good2 \( 1 - 11 p T + 335 T^{2} - 3827 T^{3} + 18361 p T^{4} - 302763 T^{5} + 1119545 p T^{6} - 1866535 p^{3} T^{7} + 360167 p^{8} T^{8} - 16560215 p^{5} T^{9} + 45837097 p^{6} T^{10} - 249195157 p^{6} T^{11} + 695281385 p^{7} T^{12} - 249195157 p^{11} T^{13} + 45837097 p^{16} T^{14} - 16560215 p^{20} T^{15} + 360167 p^{28} T^{16} - 1866535 p^{28} T^{17} + 1119545 p^{31} T^{18} - 302763 p^{35} T^{19} + 18361 p^{41} T^{20} - 3827 p^{45} T^{21} + 335 p^{50} T^{22} - 11 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
5 \( 1 - 158 T + 26387 T^{2} - 2644468 T^{3} + 285390057 T^{4} - 23212794118 T^{5} + 2017755741412 T^{6} - 142120134090058 T^{7} + 10681370633286987 T^{8} - 674833175450943868 T^{9} + 45296359151851177121 T^{10} - \)\(51\!\cdots\!66\)\( p T^{11} + \)\(31\!\cdots\!82\)\( p T^{12} - \)\(51\!\cdots\!66\)\( p^{6} T^{13} + 45296359151851177121 p^{10} T^{14} - 674833175450943868 p^{15} T^{15} + 10681370633286987 p^{20} T^{16} - 142120134090058 p^{25} T^{17} + 2017755741412 p^{30} T^{18} - 23212794118 p^{35} T^{19} + 285390057 p^{40} T^{20} - 2644468 p^{45} T^{21} + 26387 p^{50} T^{22} - 158 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
7 \( 1 - 59 p T + 171967 T^{2} - 45429749 T^{3} + 11919108924 T^{4} - 348560237397 p T^{5} + 495890101816822 T^{6} - 84664206892474270 T^{7} + 14489766671444160086 T^{8} - \)\(21\!\cdots\!39\)\( T^{9} + \)\(32\!\cdots\!51\)\( T^{10} - \)\(43\!\cdots\!60\)\( T^{11} + \)\(59\!\cdots\!82\)\( T^{12} - \)\(43\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{13} + \)\(32\!\cdots\!51\)\( p^{10} T^{14} - \)\(21\!\cdots\!39\)\( p^{15} T^{15} + 14489766671444160086 p^{20} T^{16} - 84664206892474270 p^{25} T^{17} + 495890101816822 p^{30} T^{18} - 348560237397 p^{36} T^{19} + 11919108924 p^{40} T^{20} - 45429749 p^{45} T^{21} + 171967 p^{50} T^{22} - 59 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
11 \( 1 - 1480 T + 2311400 T^{2} - 2192723716 T^{3} + 186372503340 p T^{4} - 1472366693345672 T^{5} + 1034463814547437464 T^{6} - \)\(60\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(34\!\cdots\!44\)\( T^{8} - \)\(15\!\cdots\!84\)\( p T^{9} + \)\(84\!\cdots\!64\)\( T^{10} - \)\(36\!\cdots\!72\)\( T^{11} + \)\(14\!\cdots\!06\)\( p T^{12} - \)\(36\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{13} + \)\(84\!\cdots\!64\)\( p^{10} T^{14} - \)\(15\!\cdots\!84\)\( p^{16} T^{15} + \)\(34\!\cdots\!44\)\( p^{20} T^{16} - \)\(60\!\cdots\!24\)\( p^{25} T^{17} + 1034463814547437464 p^{30} T^{18} - 1472366693345672 p^{35} T^{19} + 186372503340 p^{41} T^{20} - 2192723716 p^{45} T^{21} + 2311400 p^{50} T^{22} - 1480 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
13 \( 1 - 472 T + 2447180 T^{2} - 943194886 T^{3} + 2961281835626 T^{4} - 986168325276204 T^{5} + 2402959025008166058 T^{6} - \)\(72\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!38\)\( p T^{8} - \)\(41\!\cdots\!78\)\( T^{9} + \)\(72\!\cdots\!56\)\( T^{10} - \)\(18\!\cdots\!64\)\( T^{11} + \)\(29\!\cdots\!86\)\( T^{12} - \)\(18\!\cdots\!64\)\( p^{5} T^{13} + \)\(72\!\cdots\!56\)\( p^{10} T^{14} - \)\(41\!\cdots\!78\)\( p^{15} T^{15} + \)\(11\!\cdots\!38\)\( p^{21} T^{16} - \)\(72\!\cdots\!80\)\( p^{25} T^{17} + 2402959025008166058 p^{30} T^{18} - 986168325276204 p^{35} T^{19} + 2961281835626 p^{40} T^{20} - 943194886 p^{45} T^{21} + 2447180 p^{50} T^{22} - 472 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
17 \( 1 - 1565 T + 484327 p T^{2} - 12007236125 T^{3} + 35781141488982 T^{4} - 48562679375872431 T^{5} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( T^{6} - \)\(79\!\cdots\!28\)\( p T^{7} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( T^{8} - \)\(28\!\cdots\!81\)\( T^{9} + \)\(44\!\cdots\!57\)\( T^{10} - \)\(28\!\cdots\!50\)\( p T^{11} + \)\(67\!\cdots\!58\)\( T^{12} - \)\(28\!\cdots\!50\)\( p^{6} T^{13} + \)\(44\!\cdots\!57\)\( p^{10} T^{14} - \)\(28\!\cdots\!81\)\( p^{15} T^{15} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{20} T^{16} - \)\(79\!\cdots\!28\)\( p^{26} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( p^{30} T^{18} - 48562679375872431 p^{35} T^{19} + 35781141488982 p^{40} T^{20} - 12007236125 p^{45} T^{21} + 484327 p^{51} T^{22} - 1565 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
19 \( 1 - 3939 T + 25005660 T^{2} - 78456311430 T^{3} + 291221388172454 T^{4} - 757785475893074077 T^{5} + \)\(21\!\cdots\!75\)\( T^{6} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( p T^{7} + \)\(10\!\cdots\!37\)\( T^{8} - \)\(20\!\cdots\!77\)\( T^{9} + \)\(39\!\cdots\!29\)\( T^{10} - \)\(66\!\cdots\!91\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!88\)\( T^{12} - \)\(66\!\cdots\!91\)\( p^{5} T^{13} + \)\(39\!\cdots\!29\)\( p^{10} T^{14} - \)\(20\!\cdots\!77\)\( p^{15} T^{15} + \)\(10\!\cdots\!37\)\( p^{20} T^{16} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{26} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!75\)\( p^{30} T^{18} - 757785475893074077 p^{35} T^{19} + 291221388172454 p^{40} T^{20} - 78456311430 p^{45} T^{21} + 25005660 p^{50} T^{22} - 3939 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
23 \( 1 - 315 p T + 83453354 T^{2} - 463516617130 T^{3} + 3063847406080028 T^{4} - 13759198119523508835 T^{5} + \)\(66\!\cdots\!27\)\( T^{6} - \)\(25\!\cdots\!76\)\( T^{7} + \)\(42\!\cdots\!59\)\( p T^{8} - \)\(30\!\cdots\!99\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( T^{10} - \)\(27\!\cdots\!41\)\( T^{11} + \)\(75\!\cdots\!48\)\( T^{12} - \)\(27\!\cdots\!41\)\( p^{5} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( p^{10} T^{14} - \)\(30\!\cdots\!99\)\( p^{15} T^{15} + \)\(42\!\cdots\!59\)\( p^{21} T^{16} - \)\(25\!\cdots\!76\)\( p^{25} T^{17} + \)\(66\!\cdots\!27\)\( p^{30} T^{18} - 13759198119523508835 p^{35} T^{19} + 3063847406080028 p^{40} T^{20} - 463516617130 p^{45} T^{21} + 83453354 p^{50} T^{22} - 315 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
29 \( 1 - 10003 T + 191676308 T^{2} - 1514491788392 T^{3} + 16179163170384868 T^{4} - \)\(10\!\cdots\!07\)\( T^{5} + \)\(80\!\cdots\!89\)\( T^{6} - \)\(43\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(27\!\cdots\!51\)\( T^{8} - \)\(12\!\cdots\!97\)\( T^{9} + \)\(71\!\cdots\!99\)\( T^{10} - \)\(29\!\cdots\!29\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( T^{12} - \)\(29\!\cdots\!29\)\( p^{5} T^{13} + \)\(71\!\cdots\!99\)\( p^{10} T^{14} - \)\(12\!\cdots\!97\)\( p^{15} T^{15} + \)\(27\!\cdots\!51\)\( p^{20} T^{16} - \)\(43\!\cdots\!00\)\( p^{25} T^{17} + \)\(80\!\cdots\!89\)\( p^{30} T^{18} - \)\(10\!\cdots\!07\)\( p^{35} T^{19} + 16179163170384868 p^{40} T^{20} - 1514491788392 p^{45} T^{21} + 191676308 p^{50} T^{22} - 10003 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
31 \( 1 - 7295 T + 242698066 T^{2} - 1656290065814 T^{3} + 28784145770614918 T^{4} - \)\(17\!\cdots\!05\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!93\)\( T^{6} - \)\(12\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( T^{8} - \)\(58\!\cdots\!69\)\( T^{9} + \)\(48\!\cdots\!65\)\( T^{10} - \)\(21\!\cdots\!51\)\( T^{11} + \)\(50\!\cdots\!12\)\( p T^{12} - \)\(21\!\cdots\!51\)\( p^{5} T^{13} + \)\(48\!\cdots\!65\)\( p^{10} T^{14} - \)\(58\!\cdots\!69\)\( p^{15} T^{15} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( p^{20} T^{16} - \)\(12\!\cdots\!52\)\( p^{25} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!93\)\( p^{30} T^{18} - \)\(17\!\cdots\!05\)\( p^{35} T^{19} + 28784145770614918 p^{40} T^{20} - 1656290065814 p^{45} T^{21} + 242698066 p^{50} T^{22} - 7295 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
37 \( 1 - 6741 T + 648231291 T^{2} - 3856538597667 T^{3} + 197118580412296678 T^{4} - \)\(10\!\cdots\!31\)\( T^{5} + \)\(37\!\cdots\!34\)\( T^{6} - \)\(17\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(50\!\cdots\!74\)\( T^{8} - \)\(20\!\cdots\!57\)\( T^{9} + \)\(50\!\cdots\!37\)\( T^{10} - \)\(18\!\cdots\!76\)\( T^{11} + \)\(39\!\cdots\!30\)\( T^{12} - \)\(18\!\cdots\!76\)\( p^{5} T^{13} + \)\(50\!\cdots\!37\)\( p^{10} T^{14} - \)\(20\!\cdots\!57\)\( p^{15} T^{15} + \)\(50\!\cdots\!74\)\( p^{20} T^{16} - \)\(17\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{17} + \)\(37\!\cdots\!34\)\( p^{30} T^{18} - \)\(10\!\cdots\!31\)\( p^{35} T^{19} + 197118580412296678 p^{40} T^{20} - 3856538597667 p^{45} T^{21} + 648231291 p^{50} T^{22} - 6741 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
41 \( 1 - 34025 T + 1170498963 T^{2} - 26544945044877 T^{3} + 588230567898254394 T^{4} - \)\(10\!\cdots\!67\)\( T^{5} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( T^{6} - \)\(28\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(41\!\cdots\!20\)\( T^{8} - \)\(54\!\cdots\!69\)\( T^{9} + \)\(69\!\cdots\!01\)\( T^{10} - \)\(81\!\cdots\!78\)\( T^{11} + \)\(91\!\cdots\!18\)\( T^{12} - \)\(81\!\cdots\!78\)\( p^{5} T^{13} + \)\(69\!\cdots\!01\)\( p^{10} T^{14} - \)\(54\!\cdots\!69\)\( p^{15} T^{15} + \)\(41\!\cdots\!20\)\( p^{20} T^{16} - \)\(28\!\cdots\!32\)\( p^{25} T^{17} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( p^{30} T^{18} - \)\(10\!\cdots\!67\)\( p^{35} T^{19} + 588230567898254394 p^{40} T^{20} - 26544945044877 p^{45} T^{21} + 1170498963 p^{50} T^{22} - 34025 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
43 \( 1 + 6336 T + 830752832 T^{2} + 5161562653352 T^{3} + 347050331477093328 T^{4} + \)\(22\!\cdots\!76\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( T^{6} + \)\(68\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(22\!\cdots\!96\)\( T^{8} + \)\(16\!\cdots\!44\)\( T^{9} + \)\(42\!\cdots\!36\)\( T^{10} + \)\(30\!\cdots\!48\)\( T^{11} + \)\(68\!\cdots\!46\)\( T^{12} + \)\(30\!\cdots\!48\)\( p^{5} T^{13} + \)\(42\!\cdots\!36\)\( p^{10} T^{14} + \)\(16\!\cdots\!44\)\( p^{15} T^{15} + \)\(22\!\cdots\!96\)\( p^{20} T^{16} + \)\(68\!\cdots\!32\)\( p^{25} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( p^{30} T^{18} + \)\(22\!\cdots\!76\)\( p^{35} T^{19} + 347050331477093328 p^{40} T^{20} + 5161562653352 p^{45} T^{21} + 830752832 p^{50} T^{22} + 6336 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
47 \( 1 - 66167 T + 3131402968 T^{2} - 108953702277726 T^{3} + 3331594538156491010 T^{4} - \)\(88\!\cdots\!61\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!47\)\( T^{6} - \)\(46\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(95\!\cdots\!69\)\( T^{8} - \)\(18\!\cdots\!53\)\( T^{9} + \)\(32\!\cdots\!49\)\( T^{10} - \)\(53\!\cdots\!79\)\( T^{11} + \)\(83\!\cdots\!20\)\( T^{12} - \)\(53\!\cdots\!79\)\( p^{5} T^{13} + \)\(32\!\cdots\!49\)\( p^{10} T^{14} - \)\(18\!\cdots\!53\)\( p^{15} T^{15} + \)\(95\!\cdots\!69\)\( p^{20} T^{16} - \)\(46\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!47\)\( p^{30} T^{18} - \)\(88\!\cdots\!61\)\( p^{35} T^{19} + 3331594538156491010 p^{40} T^{20} - 108953702277726 p^{45} T^{21} + 3131402968 p^{50} T^{22} - 66167 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
53 \( 1 - 62290 T + 4778008183 T^{2} - 200635499101304 T^{3} + 9028427603162895313 T^{4} - \)\(29\!\cdots\!74\)\( T^{5} + \)\(99\!\cdots\!12\)\( T^{6} - \)\(27\!\cdots\!46\)\( T^{7} + \)\(75\!\cdots\!55\)\( T^{8} - \)\(18\!\cdots\!84\)\( T^{9} + \)\(43\!\cdots\!05\)\( T^{10} - \)\(92\!\cdots\!22\)\( T^{11} + \)\(20\!\cdots\!54\)\( T^{12} - \)\(92\!\cdots\!22\)\( p^{5} T^{13} + \)\(43\!\cdots\!05\)\( p^{10} T^{14} - \)\(18\!\cdots\!84\)\( p^{15} T^{15} + \)\(75\!\cdots\!55\)\( p^{20} T^{16} - \)\(27\!\cdots\!46\)\( p^{25} T^{17} + \)\(99\!\cdots\!12\)\( p^{30} T^{18} - \)\(29\!\cdots\!74\)\( p^{35} T^{19} + 9028427603162895313 p^{40} T^{20} - 200635499101304 p^{45} T^{21} + 4778008183 p^{50} T^{22} - 62290 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
61 \( 1 - 68469 T + 10978850506 T^{2} - 607449849898880 T^{3} + 53634234787556451094 T^{4} - \)\(24\!\cdots\!89\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!93\)\( T^{6} - \)\(60\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(30\!\cdots\!59\)\( T^{8} - \)\(10\!\cdots\!11\)\( T^{9} + \)\(41\!\cdots\!45\)\( T^{10} - \)\(11\!\cdots\!67\)\( T^{11} + \)\(40\!\cdots\!08\)\( T^{12} - \)\(11\!\cdots\!67\)\( p^{5} T^{13} + \)\(41\!\cdots\!45\)\( p^{10} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!11\)\( p^{15} T^{15} + \)\(30\!\cdots\!59\)\( p^{20} T^{16} - \)\(60\!\cdots\!24\)\( p^{25} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!93\)\( p^{30} T^{18} - \)\(24\!\cdots\!89\)\( p^{35} T^{19} + 53634234787556451094 p^{40} T^{20} - 607449849898880 p^{45} T^{21} + 10978850506 p^{50} T^{22} - 68469 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
67 \( 1 - 113310 T + 14000694859 T^{2} - 1079594991304622 T^{3} + 81341913680809688763 T^{4} - \)\(49\!\cdots\!48\)\( T^{5} + \)\(28\!\cdots\!44\)\( T^{6} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{7} + \)\(70\!\cdots\!89\)\( T^{8} - \)\(31\!\cdots\!58\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!57\)\( T^{10} - \)\(52\!\cdots\!74\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!18\)\( T^{12} - \)\(52\!\cdots\!74\)\( p^{5} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!57\)\( p^{10} T^{14} - \)\(31\!\cdots\!58\)\( p^{15} T^{15} + \)\(70\!\cdots\!89\)\( p^{20} T^{16} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{25} T^{17} + \)\(28\!\cdots\!44\)\( p^{30} T^{18} - \)\(49\!\cdots\!48\)\( p^{35} T^{19} + 81341913680809688763 p^{40} T^{20} - 1079594991304622 p^{45} T^{21} + 14000694859 p^{50} T^{22} - 113310 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
71 \( 1 - 84520 T + 11515754452 T^{2} - 9588639909014 p T^{3} + 56269316770714688870 T^{4} - \)\(24\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!54\)\( T^{6} - \)\(44\!\cdots\!76\)\( T^{7} + \)\(23\!\cdots\!94\)\( T^{8} - \)\(18\!\cdots\!38\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!36\)\( T^{10} + \)\(89\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(57\!\cdots\!94\)\( T^{12} + \)\(89\!\cdots\!96\)\( p^{5} T^{13} + \)\(15\!\cdots\!36\)\( p^{10} T^{14} - \)\(18\!\cdots\!38\)\( p^{15} T^{15} + \)\(23\!\cdots\!94\)\( p^{20} T^{16} - \)\(44\!\cdots\!76\)\( p^{25} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!54\)\( p^{30} T^{18} - \)\(24\!\cdots\!36\)\( p^{35} T^{19} + 56269316770714688870 p^{40} T^{20} - 9588639909014 p^{46} T^{21} + 11515754452 p^{50} T^{22} - 84520 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
73 \( 1 - 135895 T + 24142218074 T^{2} - 2311960218166328 T^{3} + \)\(24\!\cdots\!16\)\( T^{4} - \)\(18\!\cdots\!35\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!87\)\( T^{6} - \)\(87\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(55\!\cdots\!85\)\( T^{8} - \)\(29\!\cdots\!13\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!35\)\( T^{10} - \)\(78\!\cdots\!25\)\( T^{11} + \)\(37\!\cdots\!52\)\( T^{12} - \)\(78\!\cdots\!25\)\( p^{5} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!35\)\( p^{10} T^{14} - \)\(29\!\cdots\!13\)\( p^{15} T^{15} + \)\(55\!\cdots\!85\)\( p^{20} T^{16} - \)\(87\!\cdots\!64\)\( p^{25} T^{17} + \)\(13\!\cdots\!87\)\( p^{30} T^{18} - \)\(18\!\cdots\!35\)\( p^{35} T^{19} + \)\(24\!\cdots\!16\)\( p^{40} T^{20} - 2311960218166328 p^{45} T^{21} + 24142218074 p^{50} T^{22} - 135895 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
79 \( 1 - 14122 T + 18765864138 T^{2} - 237961705776148 T^{3} + \)\(18\!\cdots\!26\)\( T^{4} - \)\(21\!\cdots\!58\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{6} - \)\(13\!\cdots\!18\)\( T^{7} + \)\(68\!\cdots\!62\)\( T^{8} - \)\(59\!\cdots\!44\)\( T^{9} + \)\(28\!\cdots\!18\)\( T^{10} - \)\(22\!\cdots\!86\)\( T^{11} + \)\(97\!\cdots\!14\)\( T^{12} - \)\(22\!\cdots\!86\)\( p^{5} T^{13} + \)\(28\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{14} - \)\(59\!\cdots\!44\)\( p^{15} T^{15} + \)\(68\!\cdots\!62\)\( p^{20} T^{16} - \)\(13\!\cdots\!18\)\( p^{25} T^{17} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{30} T^{18} - \)\(21\!\cdots\!58\)\( p^{35} T^{19} + \)\(18\!\cdots\!26\)\( p^{40} T^{20} - 237961705776148 p^{45} T^{21} + 18765864138 p^{50} T^{22} - 14122 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
83 \( 1 - 114463 T + 20561526157 T^{2} - 1563211555394141 T^{3} + \)\(19\!\cdots\!54\)\( T^{4} - \)\(13\!\cdots\!61\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!86\)\( T^{6} - \)\(93\!\cdots\!74\)\( T^{7} + \)\(90\!\cdots\!34\)\( T^{8} - \)\(51\!\cdots\!21\)\( T^{9} + \)\(45\!\cdots\!89\)\( T^{10} - \)\(23\!\cdots\!82\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!54\)\( T^{12} - \)\(23\!\cdots\!82\)\( p^{5} T^{13} + \)\(45\!\cdots\!89\)\( p^{10} T^{14} - \)\(51\!\cdots\!21\)\( p^{15} T^{15} + \)\(90\!\cdots\!34\)\( p^{20} T^{16} - \)\(93\!\cdots\!74\)\( p^{25} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!86\)\( p^{30} T^{18} - \)\(13\!\cdots\!61\)\( p^{35} T^{19} + \)\(19\!\cdots\!54\)\( p^{40} T^{20} - 1563211555394141 p^{45} T^{21} + 20561526157 p^{50} T^{22} - 114463 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
89 \( 1 - 189109 T + 45282838494 T^{2} - 6016230952816032 T^{3} + \)\(88\!\cdots\!36\)\( T^{4} - \)\(90\!\cdots\!29\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!91\)\( T^{6} - \)\(81\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(75\!\cdots\!29\)\( T^{8} - \)\(50\!\cdots\!99\)\( T^{9} + \)\(42\!\cdots\!39\)\( T^{10} - \)\(26\!\cdots\!99\)\( T^{11} + \)\(22\!\cdots\!64\)\( T^{12} - \)\(26\!\cdots\!99\)\( p^{5} T^{13} + \)\(42\!\cdots\!39\)\( p^{10} T^{14} - \)\(50\!\cdots\!99\)\( p^{15} T^{15} + \)\(75\!\cdots\!29\)\( p^{20} T^{16} - \)\(81\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!91\)\( p^{30} T^{18} - \)\(90\!\cdots\!29\)\( p^{35} T^{19} + \)\(88\!\cdots\!36\)\( p^{40} T^{20} - 6016230952816032 p^{45} T^{21} + 45282838494 p^{50} T^{22} - 189109 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
97 \( 1 + 76192 T + 29374731329 T^{2} + 418540280747692 T^{3} + \)\(47\!\cdots\!51\)\( T^{4} - \)\(53\!\cdots\!32\)\( T^{5} + \)\(69\!\cdots\!32\)\( T^{6} - \)\(16\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(88\!\cdots\!89\)\( T^{8} - \)\(24\!\cdots\!80\)\( T^{9} + \)\(92\!\cdots\!15\)\( T^{10} - \)\(29\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(84\!\cdots\!54\)\( T^{12} - \)\(29\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{13} + \)\(92\!\cdots\!15\)\( p^{10} T^{14} - \)\(24\!\cdots\!80\)\( p^{15} T^{15} + \)\(88\!\cdots\!89\)\( p^{20} T^{16} - \)\(16\!\cdots\!24\)\( p^{25} T^{17} + \)\(69\!\cdots\!32\)\( p^{30} T^{18} - \)\(53\!\cdots\!32\)\( p^{35} T^{19} + \)\(47\!\cdots\!51\)\( p^{40} T^{20} + 418540280747692 p^{45} T^{21} + 29374731329 p^{50} T^{22} + 76192 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \)
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   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{24} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.47441571646836258728613302216, −3.34464174502548026475166253483, −3.25187533875933838619423325117, −2.98175022519739424329568927292, −2.88142861647599151177250001050, −2.87837749579245887162341745406, −2.83310834183008786614299267827, −2.78708458736810344394279393370, −2.51246152752769520170686628833, −2.38463552422994502808857675954, −2.17107758571453173882624091204, −2.09147037149266073019168229759, −2.03692070308396394438693293033, −1.97859293909277273559541661128, −1.75789693841219144223883818994, −1.62590268383434929200191830188, −1.53364351533271335449056059127, −1.23781975604350924910722443042, −1.19122934070908360872753927334, −1.17858681667078262042467960945, −0.936215857751623622924571040945, −0.930176398529957473961550683274, −0.848080708115706036144041214948, −0.75301853343308106950638934007, −0.44571073449456441806621265176, 0.44571073449456441806621265176, 0.75301853343308106950638934007, 0.848080708115706036144041214948, 0.930176398529957473961550683274, 0.936215857751623622924571040945, 1.17858681667078262042467960945, 1.19122934070908360872753927334, 1.23781975604350924910722443042, 1.53364351533271335449056059127, 1.62590268383434929200191830188, 1.75789693841219144223883818994, 1.97859293909277273559541661128, 2.03692070308396394438693293033, 2.09147037149266073019168229759, 2.17107758571453173882624091204, 2.38463552422994502808857675954, 2.51246152752769520170686628833, 2.78708458736810344394279393370, 2.83310834183008786614299267827, 2.87837749579245887162341745406, 2.88142861647599151177250001050, 2.98175022519739424329568927292, 3.25187533875933838619423325117, 3.34464174502548026475166253483, 3.47441571646836258728613302216

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.