LMFDB - L-function 20-825e10-1.1-c5e10-0-1

Dirichlet series

L(s) = 1

− 2^-s + 90·3^-s − 48·4^-s − 90·6^-s + 188·7^-s + 118·8^-s + 4.45e3·9^-s + 1.21e3·11^-s − 4.32e3·12^-s − 1.10e3·13^-s − 188·14^-s + 1.05e3·16^-s + 1.10e3·17^-s − 4.45e3·18^-s + 2.58e3·19^-s + 1.69e4·21^-s − 1.21e3·22^-s + 2.20e3·23^-s + 1.06e4·24^-s + 1.10e3·26^-s + 1.60e5·27^-s − 9.02e3·28^-s + 5.82e3·29^-s − 4.58e3·31^-s − 7.74e3·32^-s + 1.08e5·33^-s − 1.10e3·34^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.176·2^-s + 5.77·3^-s − 3/2·4^-s − 1.02·6^-s + 1.45·7^-s + 0.651·8^-s + 55/3·9^-s + 3.01·11^-s − 8.66·12^-s − 1.80·13^-s − 0.256·14^-s + 1.02·16^-s + 0.928·17^-s − 3.24·18^-s + 1.64·19^-s + 8.37·21^-s − 0.533·22^-s + 0.869·23^-s + 3.76·24^-s + 0.319·26^-s + 42.3·27^-s − 2.17·28^-s + 1.28·29^-s − 0.857·31^-s − 1.33·32^-s + 17.4·33^-s − 0.164·34^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{10} \cdot 5^{20} \cdot 11^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{10} \cdot 5^{20} \cdot 11^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$20$
Conductor:	$3^{10} \cdot 5^{20} \cdot 11^{10}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.64492\times 10^{21}$
Root analytic conductor:	$11.5028$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(20,\ 3^{10} \cdot 5^{20} \cdot 11^{10} ,\ ( \ : [5/2]^{10} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$589.4383713$
$L(\frac12)$	$\approx$	$589.4383713$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	3	$ ( 1 - p^{2} T )^{10} $
	5	$ 1 $
	11	$ ( 1 - p^{2} T )^{10} $
good	2	$ 1 + T + 49 T^{2} - 21 T^{3} + 145 p^{3} T^{4} + 529 p T^{5} + 8849 p^{2} T^{6} + 167 p^{9} T^{7} + 23741 p^{5} T^{8} + 43549 p^{5} T^{9} + 147877 p^{6} T^{10} + 43549 p^{10} T^{11} + 23741 p^{15} T^{12} + 167 p^{24} T^{13} + 8849 p^{22} T^{14} + 529 p^{26} T^{15} + 145 p^{33} T^{16} - 21 p^{35} T^{17} + 49 p^{40} T^{18} + p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	7	$ 1 - 188 T + 67416 T^{2} - 10100696 T^{3} + 2252448197 T^{4} - 272159639540 T^{5} + 53787491320058 T^{6} - 6104708679104920 T^{7} + 164646489361545591 p T^{8} - 2599307046897139724 p^{2} T^{9} + 63182671876300788662 p^{3} T^{10} - 2599307046897139724 p^{7} T^{11} + 164646489361545591 p^{11} T^{12} - 6104708679104920 p^{15} T^{13} + 53787491320058 p^{20} T^{14} - 272159639540 p^{25} T^{15} + 2252448197 p^{30} T^{16} - 10100696 p^{35} T^{17} + 67416 p^{40} T^{18} - 188 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	13	$ 1 + 1102 T + 1850750 T^{2} + 1494358120 T^{3} + 1522345508624 T^{4} + 961224325025934 T^{5} + 828819561161157786 T^{6} + $$46\!\cdots\!70$$ T^{7} + $$38\!\cdots\!83$$ T^{8} + $$20\!\cdots\!82$$ T^{9} + $$15\!\cdots\!40$$ T^{10} + $$20\!\cdots\!82$$ p^{5} T^{11} + $$38\!\cdots\!83$$ p^{10} T^{12} + $$46\!\cdots\!70$$ p^{15} T^{13} + 828819561161157786 p^{20} T^{14} + 961224325025934 p^{25} T^{15} + 1522345508624 p^{30} T^{16} + 1494358120 p^{35} T^{17} + 1850750 p^{40} T^{18} + 1102 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	17	$ 1 - 1106 T + 5794111 T^{2} - 5567890534 T^{3} + 18324129473584 T^{4} - 15977992506943590 T^{5} + 41862609393035657193 T^{6} - $$32\!\cdots\!26$$ T^{7} + $$76\!\cdots\!03$$ T^{8} - $$53\!\cdots\!24$$ T^{9} + $$11\!\cdots\!92$$ T^{10} - $$53\!\cdots\!24$$ p^{5} T^{11} + $$76\!\cdots\!03$$ p^{10} T^{12} - $$32\!\cdots\!26$$ p^{15} T^{13} + 41862609393035657193 p^{20} T^{14} - 15977992506943590 p^{25} T^{15} + 18324129473584 p^{30} T^{16} - 5567890534 p^{35} T^{17} + 5794111 p^{40} T^{18} - 1106 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	19	$ 1 - 2586 T + 17599501 T^{2} - 37072580350 T^{3} + 146669255583219 T^{4} - 259324712037137348 T^{5} + $$76\!\cdots\!30$$ T^{6} - $$11\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$28\!\cdots\!93$$ T^{8} - $$38\!\cdots\!66$$ T^{9} + $$42\!\cdots\!73$$ p T^{10} - $$38\!\cdots\!66$$ p^{5} T^{11} + $$28\!\cdots\!93$$ p^{10} T^{12} - $$11\!\cdots\!40$$ p^{15} T^{13} + $$76\!\cdots\!30$$ p^{20} T^{14} - 259324712037137348 p^{25} T^{15} + 146669255583219 p^{30} T^{16} - 37072580350 p^{35} T^{17} + 17599501 p^{40} T^{18} - 2586 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	23	$ 1 - 2206 T + 32365060 T^{2} - 37422934540 T^{3} + 478562660099601 T^{4} - 190856851208522416 T^{5} + $$20\!\cdots\!18$$ p T^{6} + $$10\!\cdots\!70$$ T^{7} + $$36\!\cdots\!45$$ T^{8} + $$22\!\cdots\!08$$ T^{9} + $$24\!\cdots\!26$$ T^{10} + $$22\!\cdots\!08$$ p^{5} T^{11} + $$36\!\cdots\!45$$ p^{10} T^{12} + $$10\!\cdots\!70$$ p^{15} T^{13} + $$20\!\cdots\!18$$ p^{21} T^{14} - 190856851208522416 p^{25} T^{15} + 478562660099601 p^{30} T^{16} - 37422934540 p^{35} T^{17} + 32365060 p^{40} T^{18} - 2206 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	29	$ 1 - 5824 T + 64168553 T^{2} - 214081424388 T^{3} + 2001929739096353 T^{4} - 8702181550899311980 T^{5} + $$71\!\cdots\!48$$ T^{6} - $$10\!\cdots\!88$$ p T^{7} + $$17\!\cdots\!90$$ T^{8} - $$69\!\cdots\!52$$ T^{9} + $$36\!\cdots\!10$$ T^{10} - $$69\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{11} + $$17\!\cdots\!90$$ p^{10} T^{12} - $$10\!\cdots\!88$$ p^{16} T^{13} + $$71\!\cdots\!48$$ p^{20} T^{14} - 8702181550899311980 p^{25} T^{15} + 2001929739096353 p^{30} T^{16} - 214081424388 p^{35} T^{17} + 64168553 p^{40} T^{18} - 5824 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	31	$ 1 + 4586 T + 132275714 T^{2} + 668005309756 T^{3} + 9057912002512616 T^{4} + 44674313821027703182 T^{5} + $$44\!\cdots\!26$$ T^{6} + $$19\!\cdots\!22$$ T^{7} + $$17\!\cdots\!23$$ T^{8} + $$69\!\cdots\!62$$ T^{9} + $$53\!\cdots\!24$$ T^{10} + $$69\!\cdots\!62$$ p^{5} T^{11} + $$17\!\cdots\!23$$ p^{10} T^{12} + $$19\!\cdots\!22$$ p^{15} T^{13} + $$44\!\cdots\!26$$ p^{20} T^{14} + 44674313821027703182 p^{25} T^{15} + 9057912002512616 p^{30} T^{16} + 668005309756 p^{35} T^{17} + 132275714 p^{40} T^{18} + 4586 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	37	$ 1 + 18362 T + 487042369 T^{2} + 6928708813522 T^{3} + 110240489601008076 T^{4} + $$12\!\cdots\!14$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!27$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!78$$ T^{7} + $$16\!\cdots\!51$$ T^{8} + $$14\!\cdots\!00$$ T^{9} + $$12\!\cdots\!16$$ T^{10} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{11} + $$16\!\cdots\!51$$ p^{10} T^{12} + $$15\!\cdots\!78$$ p^{15} T^{13} + $$15\!\cdots\!27$$ p^{20} T^{14} + $$12\!\cdots\!14$$ p^{25} T^{15} + 110240489601008076 p^{30} T^{16} + 6928708813522 p^{35} T^{17} + 487042369 p^{40} T^{18} + 18362 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	41	$ 1 + 5474 T + 767046899 T^{2} + 3333121404698 T^{3} + 282163687806661324 T^{4} + $$91\!\cdots\!34$$ T^{5} + $$66\!\cdots\!81$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!30$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!11$$ T^{8} + $$20\!\cdots\!64$$ T^{9} + $$14\!\cdots\!68$$ T^{10} + $$20\!\cdots\!64$$ p^{5} T^{11} + $$11\!\cdots\!11$$ p^{10} T^{12} + $$15\!\cdots\!30$$ p^{15} T^{13} + $$66\!\cdots\!81$$ p^{20} T^{14} + $$91\!\cdots\!34$$ p^{25} T^{15} + 282163687806661324 p^{30} T^{16} + 3333121404698 p^{35} T^{17} + 767046899 p^{40} T^{18} + 5474 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	43	$ 1 - 20496 T + 1180446184 T^{2} - 18591100152028 T^{3} + 14635098273903618 p T^{4} - $$82\!\cdots\!80$$ T^{5} + $$20\!\cdots\!66$$ T^{6} - $$23\!\cdots\!12$$ T^{7} + $$48\!\cdots\!01$$ T^{8} - $$46\!\cdots\!56$$ T^{9} + $$82\!\cdots\!72$$ T^{10} - $$46\!\cdots\!56$$ p^{5} T^{11} + $$48\!\cdots\!01$$ p^{10} T^{12} - $$23\!\cdots\!12$$ p^{15} T^{13} + $$20\!\cdots\!66$$ p^{20} T^{14} - $$82\!\cdots\!80$$ p^{25} T^{15} + 14635098273903618 p^{31} T^{16} - 18591100152028 p^{35} T^{17} + 1180446184 p^{40} T^{18} - 20496 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	47	$ 1 + 14970 T + 1168035829 T^{2} + 16946152573978 T^{3} + 759257371301274548 T^{4} + $$96\!\cdots\!06$$ T^{5} + $$33\!\cdots\!87$$ T^{6} + $$38\!\cdots\!86$$ T^{7} + $$10\!\cdots\!71$$ T^{8} + $$11\!\cdots\!72$$ T^{9} + $$28\!\cdots\!68$$ T^{10} + $$11\!\cdots\!72$$ p^{5} T^{11} + $$10\!\cdots\!71$$ p^{10} T^{12} + $$38\!\cdots\!86$$ p^{15} T^{13} + $$33\!\cdots\!87$$ p^{20} T^{14} + $$96\!\cdots\!06$$ p^{25} T^{15} + 759257371301274548 p^{30} T^{16} + 16946152573978 p^{35} T^{17} + 1168035829 p^{40} T^{18} + 14970 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	53	$ 1 - 61980 T + 5238138690 T^{2} - 230304961147532 T^{3} + 11191476035686259205 T^{4} - $$38\!\cdots\!20$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!16$$ T^{6} - $$36\!\cdots\!12$$ T^{7} + $$10\!\cdots\!10$$ T^{8} - $$43\!\cdots\!20$$ p T^{9} + $$51\!\cdots\!96$$ T^{10} - $$43\!\cdots\!20$$ p^{6} T^{11} + $$10\!\cdots\!10$$ p^{10} T^{12} - $$36\!\cdots\!12$$ p^{15} T^{13} + $$13\!\cdots\!16$$ p^{20} T^{14} - $$38\!\cdots\!20$$ p^{25} T^{15} + 11191476035686259205 p^{30} T^{16} - 230304961147532 p^{35} T^{17} + 5238138690 p^{40} T^{18} - 61980 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	59	$ 1 - 61190 T + 4531368849 T^{2} - 185749072676294 T^{3} + 8992352159870334976 T^{4} - $$30\!\cdots\!74$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!27$$ T^{6} - $$59\!\cdots\!02$$ p T^{7} + $$12\!\cdots\!23$$ T^{8} - $$32\!\cdots\!48$$ T^{9} + $$97\!\cdots\!48$$ T^{10} - $$32\!\cdots\!48$$ p^{5} T^{11} + $$12\!\cdots\!23$$ p^{10} T^{12} - $$59\!\cdots\!02$$ p^{16} T^{13} + $$11\!\cdots\!27$$ p^{20} T^{14} - $$30\!\cdots\!74$$ p^{25} T^{15} + 8992352159870334976 p^{30} T^{16} - 185749072676294 p^{35} T^{17} + 4531368849 p^{40} T^{18} - 61190 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	61	$ 1 - 8230 T + 3297811083 T^{2} - 19489017366706 T^{3} + 5483173361138413117 T^{4} - $$35\!\cdots\!60$$ T^{5} + $$69\!\cdots\!68$$ T^{6} - $$44\!\cdots\!28$$ T^{7} + $$75\!\cdots\!82$$ T^{8} - $$33\!\cdots\!04$$ T^{9} + $$68\!\cdots\!54$$ T^{10} - $$33\!\cdots\!04$$ p^{5} T^{11} + $$75\!\cdots\!82$$ p^{10} T^{12} - $$44\!\cdots\!28$$ p^{15} T^{13} + $$69\!\cdots\!68$$ p^{20} T^{14} - $$35\!\cdots\!60$$ p^{25} T^{15} + 5483173361138413117 p^{30} T^{16} - 19489017366706 p^{35} T^{17} + 3297811083 p^{40} T^{18} - 8230 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	67	$ 1 + 11930 T + 8013703879 T^{2} + 134724221760354 T^{3} + 32899032963176424549 T^{4} + $$60\!\cdots\!24$$ T^{5} + $$91\!\cdots\!84$$ T^{6} + $$16\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$18\!\cdots\!34$$ T^{8} + $$30\!\cdots\!60$$ T^{9} + $$28\!\cdots\!82$$ T^{10} + $$30\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{11} + $$18\!\cdots\!34$$ p^{10} T^{12} + $$16\!\cdots\!80$$ p^{15} T^{13} + $$91\!\cdots\!84$$ p^{20} T^{14} + $$60\!\cdots\!24$$ p^{25} T^{15} + 32899032963176424549 p^{30} T^{16} + 134724221760354 p^{35} T^{17} + 8013703879 p^{40} T^{18} + 11930 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	71	$ 1 - 59822 T + 12713598104 T^{2} - 585604283801968 T^{3} + 74752525165203803761 T^{4} - $$28\!\cdots\!96$$ T^{5} + $$28\!\cdots\!14$$ T^{6} - $$93\!\cdots\!46$$ T^{7} + $$77\!\cdots\!97$$ T^{8} - $$22\!\cdots\!36$$ T^{9} + $$15\!\cdots\!82$$ T^{10} - $$22\!\cdots\!36$$ p^{5} T^{11} + $$77\!\cdots\!97$$ p^{10} T^{12} - $$93\!\cdots\!46$$ p^{15} T^{13} + $$28\!\cdots\!14$$ p^{20} T^{14} - $$28\!\cdots\!96$$ p^{25} T^{15} + 74752525165203803761 p^{30} T^{16} - 585604283801968 p^{35} T^{17} + 12713598104 p^{40} T^{18} - 59822 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	73	$ 1 + 20680 T + 9699842910 T^{2} + 329929468103016 T^{3} + 53486424483246018493 T^{4} + $$21\!\cdots\!40$$ T^{5} + $$20\!\cdots\!08$$ T^{6} + $$86\!\cdots\!68$$ T^{7} + $$62\!\cdots\!66$$ T^{8} + $$24\!\cdots\!92$$ T^{9} + $$14\!\cdots\!64$$ T^{10} + $$24\!\cdots\!92$$ p^{5} T^{11} + $$62\!\cdots\!66$$ p^{10} T^{12} + $$86\!\cdots\!68$$ p^{15} T^{13} + $$20\!\cdots\!08$$ p^{20} T^{14} + $$21\!\cdots\!40$$ p^{25} T^{15} + 53486424483246018493 p^{30} T^{16} + 329929468103016 p^{35} T^{17} + 9699842910 p^{40} T^{18} + 20680 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	79	$ 1 - 234494 T + 46513402567 T^{2} - 6272183732333602 T^{3} + $$75\!\cdots\!60$$ T^{4} - $$73\!\cdots\!78$$ T^{5} + $$65\!\cdots\!65$$ T^{6} - $$50\!\cdots\!38$$ T^{7} + $$36\!\cdots\!67$$ T^{8} - $$22\!\cdots\!76$$ T^{9} + $$13\!\cdots\!80$$ T^{10} - $$22\!\cdots\!76$$ p^{5} T^{11} + $$36\!\cdots\!67$$ p^{10} T^{12} - $$50\!\cdots\!38$$ p^{15} T^{13} + $$65\!\cdots\!65$$ p^{20} T^{14} - $$73\!\cdots\!78$$ p^{25} T^{15} + $$75\!\cdots\!60$$ p^{30} T^{16} - 6272183732333602 p^{35} T^{17} + 46513402567 p^{40} T^{18} - 234494 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	83	$ 1 - 185478 T + 34896456251 T^{2} - 4282063568026038 T^{3} + $$51\!\cdots\!09$$ T^{4} - $$49\!\cdots\!36$$ T^{5} + $$46\!\cdots\!68$$ T^{6} - $$37\!\cdots\!28$$ T^{7} + $$28\!\cdots\!10$$ T^{8} - $$19\!\cdots\!52$$ T^{9} + $$13\!\cdots\!30$$ T^{10} - $$19\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{11} + $$28\!\cdots\!10$$ p^{10} T^{12} - $$37\!\cdots\!28$$ p^{15} T^{13} + $$46\!\cdots\!68$$ p^{20} T^{14} - $$49\!\cdots\!36$$ p^{25} T^{15} + $$51\!\cdots\!09$$ p^{30} T^{16} - 4282063568026038 p^{35} T^{17} + 34896456251 p^{40} T^{18} - 185478 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	89	$ 1 - 181834 T + 29952755267 T^{2} - 3050003221466730 T^{3} + $$31\!\cdots\!89$$ T^{4} - $$23\!\cdots\!84$$ T^{5} + $$21\!\cdots\!64$$ T^{6} - $$16\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$15\!\cdots\!98$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!84$$ T^{9} + $$11\!\cdots\!58$$ p T^{10} - $$12\!\cdots\!84$$ p^{5} T^{11} + $$15\!\cdots\!98$$ p^{10} T^{12} - $$16\!\cdots\!40$$ p^{15} T^{13} + $$21\!\cdots\!64$$ p^{20} T^{14} - $$23\!\cdots\!84$$ p^{25} T^{15} + $$31\!\cdots\!89$$ p^{30} T^{16} - 3050003221466730 p^{35} T^{17} + 29952755267 p^{40} T^{18} - 181834 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	97	$ 1 - 304358 T + 71052508415 T^{2} - 10598086203494238 T^{3} + $$13\!\cdots\!43$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!24$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!30$$ T^{6} - $$10\!\cdots\!36$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!97$$ T^{8} - $$11\!\cdots\!94$$ T^{9} + $$12\!\cdots\!21$$ T^{10} - $$11\!\cdots\!94$$ p^{5} T^{11} + $$11\!\cdots\!97$$ p^{10} T^{12} - $$10\!\cdots\!36$$ p^{15} T^{13} + $$11\!\cdots\!30$$ p^{20} T^{14} - $$12\!\cdots\!24$$ p^{25} T^{15} + $$13\!\cdots\!43$$ p^{30} T^{16} - 10598086203494238 p^{35} T^{17} + 71052508415 p^{40} T^{18} - 304358 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{20} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.06085858167437547892041310405, −2.94846580172537922880551802982, −2.71216773403368465731758227605, −2.65967792702599822114412530642, −2.50559906696440746850094637465, −2.40991948531466121625052493945, −2.21801751132365068554016567357, −2.10786032024725582277639122027, −2.09067181139442454560177791483, −1.89742806351895710883190383341, −1.81372353844638734716453055318, −1.76131292021094790208671385078, −1.62120819705667717891804985475, −1.62100240914570564198536896943, −1.52961194932198781301557134126, −1.49436508690192305595830191955, −1.02918147679256438828060744589, −0.915380392256430909111065632050, −0.813300461132641414589890166832, −0.77528591908715692995858870871, −0.77224476984590258132901426727, −0.66430779616719198199258674748, −0.65167956155758774407417436991, −0.41852828881075049549548697306, −0.088457532648890269672105361518, 0.088457532648890269672105361518, 0.41852828881075049549548697306, 0.65167956155758774407417436991, 0.66430779616719198199258674748, 0.77224476984590258132901426727, 0.77528591908715692995858870871, 0.813300461132641414589890166832, 0.915380392256430909111065632050, 1.02918147679256438828060744589, 1.49436508690192305595830191955, 1.52961194932198781301557134126, 1.62100240914570564198536896943, 1.62120819705667717891804985475, 1.76131292021094790208671385078, 1.81372353844638734716453055318, 1.89742806351895710883190383341, 2.09067181139442454560177791483, 2.10786032024725582277639122027, 2.21801751132365068554016567357, 2.40991948531466121625052493945, 2.50559906696440746850094637465, 2.65967792702599822114412530642, 2.71216773403368465731758227605, 2.94846580172537922880551802982, 3.06085858167437547892041310405

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(589.4383713\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(589.4383713\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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