# Properties

 Label 16-825e8-1.1-c5e8-0-0 Degree $16$ Conductor $2.146\times 10^{23}$ Sign $1$ Analytic cond. $9.39541\times 10^{16}$ Root an. cond. $11.5028$ Motivic weight $5$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $8$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 9·2-s − 72·3-s − 34·4-s − 648·6-s − 66·7-s − 576·8-s + 2.91e3·9-s − 968·11-s + 2.44e3·12-s + 382·13-s − 594·14-s − 1.14e3·16-s + 288·17-s + 2.62e4·18-s − 988·19-s + 4.75e3·21-s − 8.71e3·22-s + 5.97e3·23-s + 4.14e4·24-s + 3.43e3·26-s − 8.74e4·27-s + 2.24e3·28-s + 1.03e3·29-s − 4.68e3·31-s + 8.34e3·32-s + 6.96e4·33-s + 2.59e3·34-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 1.59·2-s − 4.61·3-s − 1.06·4-s − 7.34·6-s − 0.509·7-s − 3.18·8-s + 12·9-s − 2.41·11-s + 4.90·12-s + 0.626·13-s − 0.809·14-s − 1.12·16-s + 0.241·17-s + 19.0·18-s − 0.627·19-s + 2.35·21-s − 3.83·22-s + 2.35·23-s + 14.6·24-s + 0.997·26-s − 23.0·27-s + 0.540·28-s + 0.227·29-s − 0.875·31-s + 1.44·32-s + 11.1·33-s + 0.384·34-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{8} \cdot 5^{16} \cdot 11^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{8} \cdot 5^{16} \cdot 11^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$16$$ Conductor: $$3^{8} \cdot 5^{16} \cdot 11^{8}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$9.39541\times 10^{16}$$ Root analytic conductor: $$11.5028$$ Motivic weight: $$5$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$8$$ Selberg data: $$(16,\ 3^{8} \cdot 5^{16} \cdot 11^{8} ,\ ( \ : [5/2]^{8} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(3)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{7}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad3 $$( 1 + p^{2} T )^{8}$$
5 $$1$$
11 $$( 1 + p^{2} T )^{8}$$
good2 $$1 - 9 T + 115 T^{2} - 765 T^{3} + 845 p^{3} T^{4} - 19649 p T^{5} + 76865 p^{2} T^{6} - 201789 p^{3} T^{7} + 687203 p^{4} T^{8} - 201789 p^{8} T^{9} + 76865 p^{12} T^{10} - 19649 p^{16} T^{11} + 845 p^{23} T^{12} - 765 p^{25} T^{13} + 115 p^{30} T^{14} - 9 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
7 $$1 + 66 T + 91139 T^{2} + 4771106 T^{3} + 3771081445 T^{4} + 161361060468 T^{5} + 98229992307334 T^{6} + 3591719419739344 T^{7} + 1877203896962388854 T^{8} + 3591719419739344 p^{5} T^{9} + 98229992307334 p^{10} T^{10} + 161361060468 p^{15} T^{11} + 3771081445 p^{20} T^{12} + 4771106 p^{25} T^{13} + 91139 p^{30} T^{14} + 66 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
13 $$1 - 382 T + 1736684 T^{2} - 783427492 T^{3} + 1521185873215 T^{4} - 697738539551720 T^{5} + 910167912756693088 T^{6} -$$$$37\!\cdots\!78$$$$T^{7} +$$$$39\!\cdots\!64$$$$T^{8} -$$$$37\!\cdots\!78$$$$p^{5} T^{9} + 910167912756693088 p^{10} T^{10} - 697738539551720 p^{15} T^{11} + 1521185873215 p^{20} T^{12} - 783427492 p^{25} T^{13} + 1736684 p^{30} T^{14} - 382 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
17 $$1 - 288 T + 6322210 T^{2} - 3619142824 T^{3} + 20993085706729 T^{4} - 14242701362198736 T^{5} + 47547004006876580182 T^{6} -$$$$31\!\cdots\!64$$$$T^{7} +$$$$78\!\cdots\!64$$$$T^{8} -$$$$31\!\cdots\!64$$$$p^{5} T^{9} + 47547004006876580182 p^{10} T^{10} - 14242701362198736 p^{15} T^{11} + 20993085706729 p^{20} T^{12} - 3619142824 p^{25} T^{13} + 6322210 p^{30} T^{14} - 288 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
19 $$1 + 52 p T + 5959708 T^{2} + 5254912560 T^{3} + 24058425117050 T^{4} + 35113408638958764 T^{5} + 84715734732980301328 T^{6} +$$$$11\!\cdots\!52$$$$T^{7} +$$$$20\!\cdots\!03$$$$T^{8} +$$$$11\!\cdots\!52$$$$p^{5} T^{9} + 84715734732980301328 p^{10} T^{10} + 35113408638958764 p^{15} T^{11} + 24058425117050 p^{20} T^{12} + 5254912560 p^{25} T^{13} + 5959708 p^{30} T^{14} + 52 p^{36} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
23 $$1 - 5972 T + 42122005 T^{2} - 159625929312 T^{3} + 624177713014597 T^{4} - 1641687150293241932 T^{5} +$$$$47\!\cdots\!70$$$$T^{6} -$$$$97\!\cdots\!60$$$$T^{7} +$$$$27\!\cdots\!54$$$$T^{8} -$$$$97\!\cdots\!60$$$$p^{5} T^{9} +$$$$47\!\cdots\!70$$$$p^{10} T^{10} - 1641687150293241932 p^{15} T^{11} + 624177713014597 p^{20} T^{12} - 159625929312 p^{25} T^{13} + 42122005 p^{30} T^{14} - 5972 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
29 $$1 - 1032 T + 83813375 T^{2} - 11786745748 T^{3} + 3065461151481218 T^{4} + 127506026955771500 p T^{5} +$$$$68\!\cdots\!09$$$$T^{6} +$$$$18\!\cdots\!84$$$$T^{7} +$$$$13\!\cdots\!78$$$$T^{8} +$$$$18\!\cdots\!84$$$$p^{5} T^{9} +$$$$68\!\cdots\!09$$$$p^{10} T^{10} + 127506026955771500 p^{16} T^{11} + 3065461151481218 p^{20} T^{12} - 11786745748 p^{25} T^{13} + 83813375 p^{30} T^{14} - 1032 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
31 $$1 + 4682 T + 150951300 T^{2} + 657057123144 T^{3} + 11207508171334879 T^{4} + 44203316458666562564 T^{5} +$$$$54\!\cdots\!68$$$$T^{6} +$$$$18\!\cdots\!46$$$$T^{7} +$$$$18\!\cdots\!76$$$$T^{8} +$$$$18\!\cdots\!46$$$$p^{5} T^{9} +$$$$54\!\cdots\!68$$$$p^{10} T^{10} + 44203316458666562564 p^{15} T^{11} + 11207508171334879 p^{20} T^{12} + 657057123144 p^{25} T^{13} + 150951300 p^{30} T^{14} + 4682 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
37 $$1 + 17200 T + 324566710 T^{2} + 4365298835948 T^{3} + 58828449991718297 T^{4} +$$$$63\!\cdots\!96$$$$T^{5} +$$$$69\!\cdots\!26$$$$T^{6} +$$$$62\!\cdots\!80$$$$T^{7} +$$$$55\!\cdots\!52$$$$T^{8} +$$$$62\!\cdots\!80$$$$p^{5} T^{9} +$$$$69\!\cdots\!26$$$$p^{10} T^{10} +$$$$63\!\cdots\!96$$$$p^{15} T^{11} + 58828449991718297 p^{20} T^{12} + 4365298835948 p^{25} T^{13} + 324566710 p^{30} T^{14} + 17200 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
41 $$1 + 13220 T + 555884974 T^{2} + 5187844762060 T^{3} + 129491274020930057 T^{4} +$$$$85\!\cdots\!96$$$$T^{5} +$$$$17\!\cdots\!58$$$$T^{6} +$$$$87\!\cdots\!96$$$$T^{7} +$$$$20\!\cdots\!52$$$$T^{8} +$$$$87\!\cdots\!96$$$$p^{5} T^{9} +$$$$17\!\cdots\!58$$$$p^{10} T^{10} +$$$$85\!\cdots\!96$$$$p^{15} T^{11} + 129491274020930057 p^{20} T^{12} + 5187844762060 p^{25} T^{13} + 555884974 p^{30} T^{14} + 13220 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
43 $$1 - 22872 T + 679666126 T^{2} - 12782109184832 T^{3} + 228475137913008017 T^{4} -$$$$33\!\cdots\!16$$$$T^{5} +$$$$47\!\cdots\!70$$$$T^{6} -$$$$59\!\cdots\!48$$$$T^{7} +$$$$75\!\cdots\!88$$$$T^{8} -$$$$59\!\cdots\!48$$$$p^{5} T^{9} +$$$$47\!\cdots\!70$$$$p^{10} T^{10} -$$$$33\!\cdots\!16$$$$p^{15} T^{11} + 228475137913008017 p^{20} T^{12} - 12782109184832 p^{25} T^{13} + 679666126 p^{30} T^{14} - 22872 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
47 $$1 - 6700 T + 733454934 T^{2} - 7406404346624 T^{3} + 284982370032782849 T^{4} -$$$$41\!\cdots\!28$$$$T^{5} +$$$$81\!\cdots\!74$$$$T^{6} -$$$$14\!\cdots\!08$$$$T^{7} +$$$$19\!\cdots\!56$$$$T^{8} -$$$$14\!\cdots\!08$$$$p^{5} T^{9} +$$$$81\!\cdots\!74$$$$p^{10} T^{10} -$$$$41\!\cdots\!28$$$$p^{15} T^{11} + 284982370032782849 p^{20} T^{12} - 7406404346624 p^{25} T^{13} + 733454934 p^{30} T^{14} - 6700 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
53 $$1 - 6224 T + 1555305004 T^{2} + 9428770082944 T^{3} + 1170969803856514292 T^{4} +$$$$14\!\cdots\!24$$$$T^{5} +$$$$77\!\cdots\!84$$$$T^{6} +$$$$80\!\cdots\!40$$$$T^{7} +$$$$39\!\cdots\!18$$$$T^{8} +$$$$80\!\cdots\!40$$$$p^{5} T^{9} +$$$$77\!\cdots\!84$$$$p^{10} T^{10} +$$$$14\!\cdots\!24$$$$p^{15} T^{11} + 1170969803856514292 p^{20} T^{12} + 9428770082944 p^{25} T^{13} + 1555305004 p^{30} T^{14} - 6224 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
59 $$1 + 77556 T + 6103413850 T^{2} + 267415908844496 T^{3} + 11785473752724346233 T^{4} +$$$$35\!\cdots\!08$$$$T^{5} +$$$$11\!\cdots\!14$$$$T^{6} +$$$$26\!\cdots\!64$$$$T^{7} +$$$$81\!\cdots\!04$$$$T^{8} +$$$$26\!\cdots\!64$$$$p^{5} T^{9} +$$$$11\!\cdots\!14$$$$p^{10} T^{10} +$$$$35\!\cdots\!08$$$$p^{15} T^{11} + 11785473752724346233 p^{20} T^{12} + 267415908844496 p^{25} T^{13} + 6103413850 p^{30} T^{14} + 77556 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
61 $$1 - 11554 T + 2291818845 T^{2} - 28011632085862 T^{3} + 2733788446130425422 T^{4} -$$$$37\!\cdots\!70$$$$T^{5} +$$$$31\!\cdots\!47$$$$T^{6} -$$$$47\!\cdots\!98$$$$T^{7} +$$$$31\!\cdots\!38$$$$T^{8} -$$$$47\!\cdots\!98$$$$p^{5} T^{9} +$$$$31\!\cdots\!47$$$$p^{10} T^{10} -$$$$37\!\cdots\!70$$$$p^{15} T^{11} + 2733788446130425422 p^{20} T^{12} - 28011632085862 p^{25} T^{13} + 2291818845 p^{30} T^{14} - 11554 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
67 $$1 - 20894 T + 2388080605 T^{2} - 98102161763574 T^{3} + 5643738854296309154 T^{4} -$$$$25\!\cdots\!94$$$$T^{5} +$$$$10\!\cdots\!03$$$$T^{6} -$$$$39\!\cdots\!78$$$$T^{7} +$$$$17\!\cdots\!78$$$$T^{8} -$$$$39\!\cdots\!78$$$$p^{5} T^{9} +$$$$10\!\cdots\!03$$$$p^{10} T^{10} -$$$$25\!\cdots\!94$$$$p^{15} T^{11} + 5643738854296309154 p^{20} T^{12} - 98102161763574 p^{25} T^{13} + 2388080605 p^{30} T^{14} - 20894 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
71 $$1 + 21648 T + 6518390945 T^{2} + 220930253468240 T^{3} + 25873218849782626409 T^{4} +$$$$92\!\cdots\!36$$$$T^{5} +$$$$73\!\cdots\!54$$$$T^{6} +$$$$23\!\cdots\!68$$$$T^{7} +$$$$15\!\cdots\!66$$$$T^{8} +$$$$23\!\cdots\!68$$$$p^{5} T^{9} +$$$$73\!\cdots\!54$$$$p^{10} T^{10} +$$$$92\!\cdots\!36$$$$p^{15} T^{11} + 25873218849782626409 p^{20} T^{12} + 220930253468240 p^{25} T^{13} + 6518390945 p^{30} T^{14} + 21648 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
73 $$1 - 64660 T + 10635628104 T^{2} - 635848241546940 T^{3} + 60609372752114860812 T^{4} -$$$$31\!\cdots\!84$$$$T^{5} +$$$$21\!\cdots\!28$$$$T^{6} -$$$$96\!\cdots\!24$$$$T^{7} +$$$$54\!\cdots\!42$$$$T^{8} -$$$$96\!\cdots\!24$$$$p^{5} T^{9} +$$$$21\!\cdots\!28$$$$p^{10} T^{10} -$$$$31\!\cdots\!84$$$$p^{15} T^{11} + 60609372752114860812 p^{20} T^{12} - 635848241546940 p^{25} T^{13} + 10635628104 p^{30} T^{14} - 64660 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
79 $$1 + 22660 T + 10725095318 T^{2} + 278108395968756 T^{3} + 60112235538086853849 T^{4} +$$$$21\!\cdots\!76$$$$T^{5} +$$$$24\!\cdots\!54$$$$T^{6} +$$$$10\!\cdots\!96$$$$T^{7} +$$$$82\!\cdots\!68$$$$T^{8} +$$$$10\!\cdots\!96$$$$p^{5} T^{9} +$$$$24\!\cdots\!54$$$$p^{10} T^{10} +$$$$21\!\cdots\!76$$$$p^{15} T^{11} + 60112235538086853849 p^{20} T^{12} + 278108395968756 p^{25} T^{13} + 10725095318 p^{30} T^{14} + 22660 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
83 $$1 - 100390 T + 26540290069 T^{2} - 2307308067513778 T^{3} +$$$$32\!\cdots\!74$$$$T^{4} -$$$$24\!\cdots\!86$$$$T^{5} +$$$$24\!\cdots\!39$$$$T^{6} -$$$$15\!\cdots\!54$$$$T^{7} +$$$$11\!\cdots\!66$$$$T^{8} -$$$$15\!\cdots\!54$$$$p^{5} T^{9} +$$$$24\!\cdots\!39$$$$p^{10} T^{10} -$$$$24\!\cdots\!86$$$$p^{15} T^{11} +$$$$32\!\cdots\!74$$$$p^{20} T^{12} - 2307308067513778 p^{25} T^{13} + 26540290069 p^{30} T^{14} - 100390 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
89 $$1 + 25578 T + 22967459957 T^{2} - 192904433310934 T^{3} +$$$$21\!\cdots\!98$$$$T^{4} -$$$$12\!\cdots\!58$$$$T^{5} +$$$$11\!\cdots\!95$$$$T^{6} -$$$$15\!\cdots\!30$$$$T^{7} +$$$$51\!\cdots\!30$$$$T^{8} -$$$$15\!\cdots\!30$$$$p^{5} T^{9} +$$$$11\!\cdots\!95$$$$p^{10} T^{10} -$$$$12\!\cdots\!58$$$$p^{15} T^{11} +$$$$21\!\cdots\!98$$$$p^{20} T^{12} - 192904433310934 p^{25} T^{13} + 22967459957 p^{30} T^{14} + 25578 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
97 $$1 - 142828 T + 47536469444 T^{2} - 5581613659915992 T^{3} +$$$$10\!\cdots\!62$$$$T^{4} -$$$$10\!\cdots\!56$$$$T^{5} +$$$$13\!\cdots\!76$$$$T^{6} -$$$$13\!\cdots\!84$$$$T^{7} +$$$$13\!\cdots\!95$$$$T^{8} -$$$$13\!\cdots\!84$$$$p^{5} T^{9} +$$$$13\!\cdots\!76$$$$p^{10} T^{10} -$$$$10\!\cdots\!56$$$$p^{15} T^{11} +$$$$10\!\cdots\!62$$$$p^{20} T^{12} - 5581613659915992 p^{25} T^{13} + 47536469444 p^{30} T^{14} - 142828 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$