# Properties

 Label 16-675e8-1.1-c1e8-0-5 Degree $16$ Conductor $4.310\times 10^{22}$ Sign $1$ Analytic cond. $712273.$ Root an. cond. $2.32161$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 2·2-s + 4·4-s − 7-s − 2·8-s − 11-s + 2·13-s + 2·14-s + 16-s + 22·17-s + 4·19-s + 2·22-s − 15·23-s − 4·26-s − 4·28-s + 29-s + 4·31-s + 6·32-s − 44·34-s + 2·37-s − 8·38-s − 5·41-s − 10·43-s − 4·44-s + 30·46-s − 20·47-s + 16·49-s + 8·52-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 1.41·2-s + 2·4-s − 0.377·7-s − 0.707·8-s − 0.301·11-s + 0.554·13-s + 0.534·14-s + 1/4·16-s + 5.33·17-s + 0.917·19-s + 0.426·22-s − 3.12·23-s − 0.784·26-s − 0.755·28-s + 0.185·29-s + 0.718·31-s + 1.06·32-s − 7.54·34-s + 0.328·37-s − 1.29·38-s − 0.780·41-s − 1.52·43-s − 0.603·44-s + 4.42·46-s − 2.91·47-s + 16/7·49-s + 1.10·52-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{24} \cdot 5^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{24} \cdot 5^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$16$$ Conductor: $$3^{24} \cdot 5^{16}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$712273.$$ Root analytic conductor: $$2.32161$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(16,\ 3^{24} \cdot 5^{16} ,\ ( \ : [1/2]^{8} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$\approx$$ $$7.186959684$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$7.186959684$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad3 $$1$$
5 $$1$$
good2 $$1 + p T - 3 p T^{3} - 9 T^{4} - p T^{5} + 9 T^{6} + 13 T^{7} + 7 T^{8} + 13 p T^{9} + 9 p^{2} T^{10} - p^{4} T^{11} - 9 p^{4} T^{12} - 3 p^{6} T^{13} + p^{8} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
7 $$1 + T - 15 T^{2} + 22 T^{3} + 142 T^{4} - 303 T^{5} - 274 T^{6} + 1448 T^{7} - 633 T^{8} + 1448 p T^{9} - 274 p^{2} T^{10} - 303 p^{3} T^{11} + 142 p^{4} T^{12} + 22 p^{5} T^{13} - 15 p^{6} T^{14} + p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
11 $$1 + T - 18 T^{2} - 129 T^{3} + 120 T^{4} + 1886 T^{5} + 6087 T^{6} - 14944 T^{7} - 88007 T^{8} - 14944 p T^{9} + 6087 p^{2} T^{10} + 1886 p^{3} T^{11} + 120 p^{4} T^{12} - 129 p^{5} T^{13} - 18 p^{6} T^{14} + p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
13 $$1 - 2 T - 18 T^{2} + 102 T^{3} - 3 T^{4} - 1191 T^{5} + 3365 T^{6} + 5033 T^{7} - 45777 T^{8} + 5033 p T^{9} + 3365 p^{2} T^{10} - 1191 p^{3} T^{11} - 3 p^{4} T^{12} + 102 p^{5} T^{13} - 18 p^{6} T^{14} - 2 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
17 $$( 1 - 11 T + 88 T^{2} - 451 T^{3} + 2111 T^{4} - 451 p T^{5} + 88 p^{2} T^{6} - 11 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
19 $$( 1 - 2 T + 49 T^{2} - 34 T^{3} + 1115 T^{4} - 34 p T^{5} + 49 p^{2} T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
23 $$1 + 15 T + 76 T^{2} + 183 T^{3} + 1258 T^{4} + 9882 T^{5} + 28951 T^{6} + 29994 T^{7} + 75241 T^{8} + 29994 p T^{9} + 28951 p^{2} T^{10} + 9882 p^{3} T^{11} + 1258 p^{4} T^{12} + 183 p^{5} T^{13} + 76 p^{6} T^{14} + 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
29 $$1 - T - 75 T^{2} - 186 T^{3} + 3234 T^{4} + 10969 T^{5} - 64920 T^{6} - 187910 T^{7} + 1140565 T^{8} - 187910 p T^{9} - 64920 p^{2} T^{10} + 10969 p^{3} T^{11} + 3234 p^{4} T^{12} - 186 p^{5} T^{13} - 75 p^{6} T^{14} - p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
31 $$1 - 4 T - 66 T^{2} + 362 T^{3} + 1939 T^{4} - 11745 T^{5} - 45361 T^{6} + 144883 T^{7} + 1472277 T^{8} + 144883 p T^{9} - 45361 p^{2} T^{10} - 11745 p^{3} T^{11} + 1939 p^{4} T^{12} + 362 p^{5} T^{13} - 66 p^{6} T^{14} - 4 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
37 $$( 1 - T + 49 T^{2} + 392 T^{3} + 241 T^{4} + 392 p T^{5} + 49 p^{2} T^{6} - p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
41 $$1 + 5 T - 114 T^{2} - 213 T^{3} + 9222 T^{4} + 3430 T^{5} - 12387 p T^{6} - 107426 T^{7} + 20984173 T^{8} - 107426 p T^{9} - 12387 p^{3} T^{10} + 3430 p^{3} T^{11} + 9222 p^{4} T^{12} - 213 p^{5} T^{13} - 114 p^{6} T^{14} + 5 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
43 $$1 + 10 T - 24 T^{2} - 168 T^{3} + 2043 T^{4} - 8292 T^{5} - 128884 T^{6} + 10646 T^{7} + 2342736 T^{8} + 10646 p T^{9} - 128884 p^{2} T^{10} - 8292 p^{3} T^{11} + 2043 p^{4} T^{12} - 168 p^{5} T^{13} - 24 p^{6} T^{14} + 10 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
47 $$1 + 20 T + 105 T^{2} + 120 T^{3} + 6294 T^{4} + 71140 T^{5} + 174165 T^{6} + 1240450 T^{7} + 19222555 T^{8} + 1240450 p T^{9} + 174165 p^{2} T^{10} + 71140 p^{3} T^{11} + 6294 p^{4} T^{12} + 120 p^{5} T^{13} + 105 p^{6} T^{14} + 20 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
53 $$( 1 - 20 T + 298 T^{2} - 3001 T^{3} + 25499 T^{4} - 3001 p T^{5} + 298 p^{2} T^{6} - 20 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
59 $$1 - 17 T + 51 T^{2} + 144 T^{3} + 2220 T^{4} + 17291 T^{5} - 531846 T^{6} + 1855556 T^{7} + 4239943 T^{8} + 1855556 p T^{9} - 531846 p^{2} T^{10} + 17291 p^{3} T^{11} + 2220 p^{4} T^{12} + 144 p^{5} T^{13} + 51 p^{6} T^{14} - 17 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
61 $$1 - 13 T - 72 T^{2} + 1443 T^{3} + 6378 T^{4} - 120042 T^{5} - 78037 T^{6} + 2420938 T^{7} + 9620433 T^{8} + 2420938 p T^{9} - 78037 p^{2} T^{10} - 120042 p^{3} T^{11} + 6378 p^{4} T^{12} + 1443 p^{5} T^{13} - 72 p^{6} T^{14} - 13 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
67 $$1 - 17 T - 15 T^{2} + 1066 T^{3} + 7426 T^{4} - 68373 T^{5} - 833566 T^{6} - 1085128 T^{7} + 111947307 T^{8} - 1085128 p T^{9} - 833566 p^{2} T^{10} - 68373 p^{3} T^{11} + 7426 p^{4} T^{12} + 1066 p^{5} T^{13} - 15 p^{6} T^{14} - 17 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
71 $$( 1 - 8 T + 244 T^{2} - 1441 T^{3} + 24947 T^{4} - 1441 p T^{5} + 244 p^{2} T^{6} - 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
73 $$( 1 + 2 T + 196 T^{2} + 679 T^{3} + 18071 T^{4} + 679 p T^{5} + 196 p^{2} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
79 $$1 - 7 T - 234 T^{2} + 1199 T^{3} + 36520 T^{4} - 121434 T^{5} - 3999001 T^{6} + 3702556 T^{7} + 362101113 T^{8} + 3702556 p T^{9} - 3999001 p^{2} T^{10} - 121434 p^{3} T^{11} + 36520 p^{4} T^{12} + 1199 p^{5} T^{13} - 234 p^{6} T^{14} - 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
83 $$1 + 30 T + 280 T^{2} + 1770 T^{3} + 42079 T^{4} + 523485 T^{5} + 2681215 T^{6} + 35481675 T^{7} + 533008645 T^{8} + 35481675 p T^{9} + 2681215 p^{2} T^{10} + 523485 p^{3} T^{11} + 42079 p^{4} T^{12} + 1770 p^{5} T^{13} + 280 p^{6} T^{14} + 30 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
89 $$( 1 - 9 T + 257 T^{2} - 1998 T^{3} + 31929 T^{4} - 1998 p T^{5} + 257 p^{2} T^{6} - 9 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
97 $$1 + 19 T - 108 T^{2} - 1825 T^{3} + 482 p T^{4} + 332118 T^{5} - 5651993 T^{6} - 4946342 T^{7} + 777287673 T^{8} - 4946342 p T^{9} - 5651993 p^{2} T^{10} + 332118 p^{3} T^{11} + 482 p^{5} T^{12} - 1825 p^{5} T^{13} - 108 p^{6} T^{14} + 19 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$