Properties

 Label 16-5e32-1.1-c1e8-0-10 Degree $16$ Conductor $2.328\times 10^{22}$ Sign $1$ Analytic cond. $384819.$ Root an. cond. $2.23397$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

Origins of factors

Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 5·3-s + 10·9-s − 4·11-s − 5·13-s − 16-s + 15·17-s + 10·19-s + 15·23-s − 15·27-s + 15·29-s + 31-s + 20·33-s − 5·37-s + 25·39-s − 9·41-s − 15·47-s + 5·48-s + 35·49-s − 75·51-s + 35·53-s − 50·57-s + 15·59-s + 6·61-s − 5·64-s − 75·69-s − 29·71-s + 10·73-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2.88·3-s + 10/3·9-s − 1.20·11-s − 1.38·13-s − 1/4·16-s + 3.63·17-s + 2.29·19-s + 3.12·23-s − 2.88·27-s + 2.78·29-s + 0.179·31-s + 3.48·33-s − 0.821·37-s + 4.00·39-s − 1.40·41-s − 2.18·47-s + 0.721·48-s + 5·49-s − 10.5·51-s + 4.80·53-s − 6.62·57-s + 1.95·59-s + 0.768·61-s − 5/8·64-s − 9.02·69-s − 3.44·71-s + 1.17·73-s + ⋯

Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{32}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{32}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

Invariants

 Degree: $$16$$ Conductor: $$5^{32}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$384819.$$ Root analytic conductor: $$2.23397$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(16,\ 5^{32} ,\ ( \ : [1/2]^{8} ),\ 1 )$$

Particular Values

 $$L(1)$$ $$\approx$$ $$2.455501360$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$2.455501360$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad5 $$1$$
good2 $$1 + T^{4} + 5 T^{6} + 5 T^{7} - 9 T^{8} + 5 p T^{9} + 5 p^{2} T^{10} + p^{4} T^{12} + p^{8} T^{16}$$
3 $$1 + 5 T + 5 p T^{2} + 40 T^{3} + 32 p T^{4} + 205 T^{5} + 430 T^{6} + 850 T^{7} + 1531 T^{8} + 850 p T^{9} + 430 p^{2} T^{10} + 205 p^{3} T^{11} + 32 p^{5} T^{12} + 40 p^{5} T^{13} + 5 p^{7} T^{14} + 5 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
7 $$1 - 5 p T^{2} + 611 T^{4} - 7045 T^{6} + 57976 T^{8} - 7045 p^{2} T^{10} + 611 p^{4} T^{12} - 5 p^{7} T^{14} + p^{8} T^{16}$$
11 $$( 1 + 2 T - 7 T^{2} - 36 T^{3} + 5 T^{4} - 36 p T^{5} - 7 p^{2} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
13 $$1 + 5 T + 40 T^{2} + 200 T^{3} + 956 T^{4} + 4155 T^{5} + 15835 T^{6} + 61940 T^{7} + 217296 T^{8} + 61940 p T^{9} + 15835 p^{2} T^{10} + 4155 p^{3} T^{11} + 956 p^{4} T^{12} + 200 p^{5} T^{13} + 40 p^{6} T^{14} + 5 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
17 $$1 - 15 T + 120 T^{2} - 570 T^{3} + 1786 T^{4} - 4065 T^{5} + 17855 T^{6} - 123410 T^{7} + 652356 T^{8} - 123410 p T^{9} + 17855 p^{2} T^{10} - 4065 p^{3} T^{11} + 1786 p^{4} T^{12} - 570 p^{5} T^{13} + 120 p^{6} T^{14} - 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
19 $$1 - 10 T + 12 T^{2} + 150 T^{3} - 197 T^{4} - 1210 T^{5} - 5166 T^{6} + 23900 T^{7} + 31275 T^{8} + 23900 p T^{9} - 5166 p^{2} T^{10} - 1210 p^{3} T^{11} - 197 p^{4} T^{12} + 150 p^{5} T^{13} + 12 p^{6} T^{14} - 10 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
23 $$1 - 15 T + 155 T^{2} - 1270 T^{3} + 8906 T^{4} - 55565 T^{5} + 314590 T^{6} - 1661560 T^{7} + 8221031 T^{8} - 1661560 p T^{9} + 314590 p^{2} T^{10} - 55565 p^{3} T^{11} + 8906 p^{4} T^{12} - 1270 p^{5} T^{13} + 155 p^{6} T^{14} - 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
29 $$1 - 15 T + 92 T^{2} - 380 T^{3} + 1868 T^{4} - 5065 T^{5} - 16861 T^{6} + 71400 T^{7} + 212600 T^{8} + 71400 p T^{9} - 16861 p^{2} T^{10} - 5065 p^{3} T^{11} + 1868 p^{4} T^{12} - 380 p^{5} T^{13} + 92 p^{6} T^{14} - 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
31 $$1 - T - 65 T^{2} - 150 T^{3} + 860 T^{4} + 15887 T^{5} + 66068 T^{6} - 319870 T^{7} - 3557825 T^{8} - 319870 p T^{9} + 66068 p^{2} T^{10} + 15887 p^{3} T^{11} + 860 p^{4} T^{12} - 150 p^{5} T^{13} - 65 p^{6} T^{14} - p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
37 $$1 + 5 T + 75 T^{2} - 360 T^{3} - 994 T^{4} - 42345 T^{5} + 70860 T^{6} - 186740 T^{7} + 11831221 T^{8} - 186740 p T^{9} + 70860 p^{2} T^{10} - 42345 p^{3} T^{11} - 994 p^{4} T^{12} - 360 p^{5} T^{13} + 75 p^{6} T^{14} + 5 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
41 $$1 + 9 T - 20 T^{2} - 520 T^{3} - 1320 T^{4} + 22927 T^{5} + 153103 T^{6} - 256460 T^{7} - 5290960 T^{8} - 256460 p T^{9} + 153103 p^{2} T^{10} + 22927 p^{3} T^{11} - 1320 p^{4} T^{12} - 520 p^{5} T^{13} - 20 p^{6} T^{14} + 9 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
43 $$1 - 5 p T^{2} + 22911 T^{4} - 1578205 T^{6} + 78597176 T^{8} - 1578205 p^{2} T^{10} + 22911 p^{4} T^{12} - 5 p^{7} T^{14} + p^{8} T^{16}$$
47 $$1 + 15 T + 120 T^{2} + 960 T^{3} + 9636 T^{4} + 80865 T^{5} + 573845 T^{6} + 3818880 T^{7} + 26386476 T^{8} + 3818880 p T^{9} + 573845 p^{2} T^{10} + 80865 p^{3} T^{11} + 9636 p^{4} T^{12} + 960 p^{5} T^{13} + 120 p^{6} T^{14} + 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
53 $$1 - 35 T + 655 T^{2} - 8020 T^{3} + 67266 T^{4} - 345785 T^{5} + 173700 T^{6} + 16131620 T^{7} - 171061659 T^{8} + 16131620 p T^{9} + 173700 p^{2} T^{10} - 345785 p^{3} T^{11} + 67266 p^{4} T^{12} - 8020 p^{5} T^{13} + 655 p^{6} T^{14} - 35 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
59 $$1 - 15 T + 102 T^{2} - 840 T^{3} + 9468 T^{4} - 65115 T^{5} + 401879 T^{6} - 4632450 T^{7} + 44690100 T^{8} - 4632450 p T^{9} + 401879 p^{2} T^{10} - 65115 p^{3} T^{11} + 9468 p^{4} T^{12} - 840 p^{5} T^{13} + 102 p^{6} T^{14} - 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
61 $$1 - 6 T + 130 T^{2} - 135 T^{3} + 11205 T^{4} + 15672 T^{5} + 635993 T^{6} + 3243465 T^{7} + 39830270 T^{8} + 3243465 p T^{9} + 635993 p^{2} T^{10} + 15672 p^{3} T^{11} + 11205 p^{4} T^{12} - 135 p^{5} T^{13} + 130 p^{6} T^{14} - 6 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
67 $$1 + 130 T^{2} - 460 T^{3} + 6651 T^{4} - 59800 T^{5} + 247100 T^{6} - 6229960 T^{7} + 6681701 T^{8} - 6229960 p T^{9} + 247100 p^{2} T^{10} - 59800 p^{3} T^{11} + 6651 p^{4} T^{12} - 460 p^{5} T^{13} + 130 p^{6} T^{14} + p^{8} T^{16}$$
71 $$1 + 29 T + 320 T^{2} + 1480 T^{3} - 1630 T^{4} - 56363 T^{5} - 3597 T^{6} + 7019210 T^{7} + 88563540 T^{8} + 7019210 p T^{9} - 3597 p^{2} T^{10} - 56363 p^{3} T^{11} - 1630 p^{4} T^{12} + 1480 p^{5} T^{13} + 320 p^{6} T^{14} + 29 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
73 $$1 - 10 T + 220 T^{2} - 2525 T^{3} + 28471 T^{4} - 303710 T^{5} + 2569015 T^{6} - 24707575 T^{7} + 202533026 T^{8} - 24707575 p T^{9} + 2569015 p^{2} T^{10} - 303710 p^{3} T^{11} + 28471 p^{4} T^{12} - 2525 p^{5} T^{13} + 220 p^{6} T^{14} - 10 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
79 $$1 + 10 T + 112 T^{2} - 20 T^{3} - 2177 T^{4} - 102490 T^{5} - 216986 T^{6} - 1018300 T^{7} + 47464475 T^{8} - 1018300 p T^{9} - 216986 p^{2} T^{10} - 102490 p^{3} T^{11} - 2177 p^{4} T^{12} - 20 p^{5} T^{13} + 112 p^{6} T^{14} + 10 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
83 $$1 - 15 T + 155 T^{2} + 60 T^{3} - 11364 T^{4} + 155385 T^{5} - 467570 T^{6} - 4330590 T^{7} + 97045931 T^{8} - 4330590 p T^{9} - 467570 p^{2} T^{10} + 155385 p^{3} T^{11} - 11364 p^{4} T^{12} + 60 p^{5} T^{13} + 155 p^{6} T^{14} - 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
89 $$1 - 40 T + 562 T^{2} - 2590 T^{3} - 7557 T^{4} + 41760 T^{5} + 1856844 T^{6} - 44856200 T^{7} + 566687025 T^{8} - 44856200 p T^{9} + 1856844 p^{2} T^{10} + 41760 p^{3} T^{11} - 7557 p^{4} T^{12} - 2590 p^{5} T^{13} + 562 p^{6} T^{14} - 40 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
97 $$1 + 10 T + 75 T^{2} + 1560 T^{3} + 3371 T^{4} - 6540 T^{5} + 92385 T^{6} - 7411990 T^{7} - 78500144 T^{8} - 7411990 p T^{9} + 92385 p^{2} T^{10} - 6540 p^{3} T^{11} + 3371 p^{4} T^{12} + 1560 p^{5} T^{13} + 75 p^{6} T^{14} + 10 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$