# Properties

 Label 16-4598e8-1.1-c1e8-0-0 Degree $16$ Conductor $1.998\times 10^{29}$ Sign $1$ Analytic cond. $3.30193\times 10^{12}$ Root an. cond. $6.05930$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 8·2-s + 8·3-s + 36·4-s + 64·6-s + 4·7-s + 120·8-s + 31·9-s + 288·12-s − 12·13-s + 32·14-s + 330·16-s − 4·17-s + 248·18-s − 8·19-s + 32·21-s + 14·23-s + 960·24-s − 2·25-s − 96·26-s + 80·27-s + 144·28-s − 2·29-s + 792·32-s − 32·34-s + 1.11e3·36-s + 24·37-s − 64·38-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 5.65·2-s + 4.61·3-s + 18·4-s + 26.1·6-s + 1.51·7-s + 42.4·8-s + 31/3·9-s + 83.1·12-s − 3.32·13-s + 8.55·14-s + 82.5·16-s − 0.970·17-s + 58.4·18-s − 1.83·19-s + 6.98·21-s + 2.91·23-s + 195.·24-s − 2/5·25-s − 18.8·26-s + 15.3·27-s + 27.2·28-s − 0.371·29-s + 140.·32-s − 5.48·34-s + 186·36-s + 3.94·37-s − 10.3·38-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 11^{16} \cdot 19^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 11^{16} \cdot 19^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$16$$ Conductor: $$2^{8} \cdot 11^{16} \cdot 19^{8}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$3.30193\times 10^{12}$$ Root analytic conductor: $$6.05930$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: induced by $\chi_{4598} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(16,\ 2^{8} \cdot 11^{16} \cdot 19^{8} ,\ ( \ : [1/2]^{8} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$\approx$$ $$4807.299730$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$4807.299730$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad2 $$( 1 - T )^{8}$$
11 $$1$$
19 $$( 1 + T )^{8}$$
good3 $$1 - 8 T + 11 p T^{2} - 32 p T^{3} + 77 p T^{4} - 512 T^{5} + 1088 T^{6} - 2168 T^{7} + 3946 T^{8} - 2168 p T^{9} + 1088 p^{2} T^{10} - 512 p^{3} T^{11} + 77 p^{5} T^{12} - 32 p^{6} T^{13} + 11 p^{7} T^{14} - 8 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
5 $$1 + 2 T^{2} + 12 T^{3} + 6 p T^{4} + 12 T^{5} + 166 T^{6} + 216 T^{7} + 818 T^{8} + 216 p T^{9} + 166 p^{2} T^{10} + 12 p^{3} T^{11} + 6 p^{5} T^{12} + 12 p^{5} T^{13} + 2 p^{6} T^{14} + p^{8} T^{16}$$
7 $$1 - 4 T + 19 T^{2} - 44 T^{3} + 205 T^{4} - 512 T^{5} + 1982 T^{6} - 4168 T^{7} + 14502 T^{8} - 4168 p T^{9} + 1982 p^{2} T^{10} - 512 p^{3} T^{11} + 205 p^{4} T^{12} - 44 p^{5} T^{13} + 19 p^{6} T^{14} - 4 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
13 $$1 + 12 T + 138 T^{2} + 1008 T^{3} + 6933 T^{4} + 37056 T^{5} + 186858 T^{6} + 778068 T^{7} + 3063836 T^{8} + 778068 p T^{9} + 186858 p^{2} T^{10} + 37056 p^{3} T^{11} + 6933 p^{4} T^{12} + 1008 p^{5} T^{13} + 138 p^{6} T^{14} + 12 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
17 $$1 + 4 T + 90 T^{2} + 348 T^{3} + 4013 T^{4} + 14472 T^{5} + 115490 T^{6} + 371296 T^{7} + 2324352 T^{8} + 371296 p T^{9} + 115490 p^{2} T^{10} + 14472 p^{3} T^{11} + 4013 p^{4} T^{12} + 348 p^{5} T^{13} + 90 p^{6} T^{14} + 4 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
23 $$1 - 14 T + 155 T^{2} - 1274 T^{3} + 9097 T^{4} - 55896 T^{5} + 309446 T^{6} - 1612204 T^{7} + 7857274 T^{8} - 1612204 p T^{9} + 309446 p^{2} T^{10} - 55896 p^{3} T^{11} + 9097 p^{4} T^{12} - 1274 p^{5} T^{13} + 155 p^{6} T^{14} - 14 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
29 $$1 + 2 T + 109 T^{2} + 258 T^{3} + 6979 T^{4} + 13888 T^{5} + 311904 T^{6} + 557248 T^{7} + 10254958 T^{8} + 557248 p T^{9} + 311904 p^{2} T^{10} + 13888 p^{3} T^{11} + 6979 p^{4} T^{12} + 258 p^{5} T^{13} + 109 p^{6} T^{14} + 2 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
31 $$1 + 116 T^{2} - 368 T^{3} + 6620 T^{4} - 32944 T^{5} + 332140 T^{6} - 1283904 T^{7} + 12924166 T^{8} - 1283904 p T^{9} + 332140 p^{2} T^{10} - 32944 p^{3} T^{11} + 6620 p^{4} T^{12} - 368 p^{5} T^{13} + 116 p^{6} T^{14} + p^{8} T^{16}$$
37 $$1 - 24 T + 430 T^{2} - 5264 T^{3} + 54850 T^{4} - 464736 T^{5} + 3574616 T^{6} - 24087208 T^{7} + 154185111 T^{8} - 24087208 p T^{9} + 3574616 p^{2} T^{10} - 464736 p^{3} T^{11} + 54850 p^{4} T^{12} - 5264 p^{5} T^{13} + 430 p^{6} T^{14} - 24 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
41 $$1 - 8 T + 198 T^{2} - 852 T^{3} + 12926 T^{4} - 1068 T^{5} + 277058 T^{6} + 3129640 T^{7} + 898866 T^{8} + 3129640 p T^{9} + 277058 p^{2} T^{10} - 1068 p^{3} T^{11} + 12926 p^{4} T^{12} - 852 p^{5} T^{13} + 198 p^{6} T^{14} - 8 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
43 $$1 - 8 T + 248 T^{2} - 1608 T^{3} + 28740 T^{4} - 158760 T^{5} + 2105992 T^{6} - 10010536 T^{7} + 107365334 T^{8} - 10010536 p T^{9} + 2105992 p^{2} T^{10} - 158760 p^{3} T^{11} + 28740 p^{4} T^{12} - 1608 p^{5} T^{13} + 248 p^{6} T^{14} - 8 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
47 $$1 + 16 T + 204 T^{2} + 1056 T^{3} + 4438 T^{4} - 28352 T^{5} - 174344 T^{6} - 2301168 T^{7} - 6054281 T^{8} - 2301168 p T^{9} - 174344 p^{2} T^{10} - 28352 p^{3} T^{11} + 4438 p^{4} T^{12} + 1056 p^{5} T^{13} + 204 p^{6} T^{14} + 16 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
53 $$1 - 36 T + 837 T^{2} - 14100 T^{3} + 192639 T^{4} - 2217024 T^{5} + 22084800 T^{6} - 193426104 T^{7} + 1494952850 T^{8} - 193426104 p T^{9} + 22084800 p^{2} T^{10} - 2217024 p^{3} T^{11} + 192639 p^{4} T^{12} - 14100 p^{5} T^{13} + 837 p^{6} T^{14} - 36 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
59 $$1 + 24 T + 473 T^{2} + 6240 T^{3} + 80511 T^{4} + 846312 T^{5} + 8622712 T^{6} + 73234296 T^{7} + 606983642 T^{8} + 73234296 p T^{9} + 8622712 p^{2} T^{10} + 846312 p^{3} T^{11} + 80511 p^{4} T^{12} + 6240 p^{5} T^{13} + 473 p^{6} T^{14} + 24 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
61 $$1 - 12 T + 294 T^{2} - 2352 T^{3} + 30846 T^{4} - 146496 T^{5} + 1421514 T^{6} - 2025300 T^{7} + 49658114 T^{8} - 2025300 p T^{9} + 1421514 p^{2} T^{10} - 146496 p^{3} T^{11} + 30846 p^{4} T^{12} - 2352 p^{5} T^{13} + 294 p^{6} T^{14} - 12 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
67 $$1 - 16 T + 410 T^{2} - 4040 T^{3} + 59905 T^{4} - 392832 T^{5} + 4733890 T^{6} - 22797384 T^{7} + 303294756 T^{8} - 22797384 p T^{9} + 4733890 p^{2} T^{10} - 392832 p^{3} T^{11} + 59905 p^{4} T^{12} - 4040 p^{5} T^{13} + 410 p^{6} T^{14} - 16 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
71 $$1 - 4 T + 286 T^{2} - 744 T^{3} + 43006 T^{4} - 75896 T^{5} + 4508514 T^{6} - 6235412 T^{7} + 364330690 T^{8} - 6235412 p T^{9} + 4508514 p^{2} T^{10} - 75896 p^{3} T^{11} + 43006 p^{4} T^{12} - 744 p^{5} T^{13} + 286 p^{6} T^{14} - 4 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
73 $$1 + 20 T + 314 T^{2} + 3372 T^{3} + 37293 T^{4} + 349560 T^{5} + 3454306 T^{6} + 28436704 T^{7} + 256983872 T^{8} + 28436704 p T^{9} + 3454306 p^{2} T^{10} + 349560 p^{3} T^{11} + 37293 p^{4} T^{12} + 3372 p^{5} T^{13} + 314 p^{6} T^{14} + 20 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
79 $$1 + 12 T + 554 T^{2} + 4648 T^{3} + 125246 T^{4} + 753944 T^{5} + 16321006 T^{6} + 950532 p T^{7} + 1483837234 T^{8} + 950532 p^{2} T^{9} + 16321006 p^{2} T^{10} + 753944 p^{3} T^{11} + 125246 p^{4} T^{12} + 4648 p^{5} T^{13} + 554 p^{6} T^{14} + 12 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
83 $$1 - 20 T + 430 T^{2} - 5176 T^{3} + 61270 T^{4} - 430904 T^{5} + 3223458 T^{6} - 8701540 T^{7} + 87484498 T^{8} - 8701540 p T^{9} + 3223458 p^{2} T^{10} - 430904 p^{3} T^{11} + 61270 p^{4} T^{12} - 5176 p^{5} T^{13} + 430 p^{6} T^{14} - 20 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
89 $$1 - 8 T + 502 T^{2} - 2452 T^{3} + 109054 T^{4} - 285836 T^{5} + 14578098 T^{6} - 18689656 T^{7} + 1449251698 T^{8} - 18689656 p T^{9} + 14578098 p^{2} T^{10} - 285836 p^{3} T^{11} + 109054 p^{4} T^{12} - 2452 p^{5} T^{13} + 502 p^{6} T^{14} - 8 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
97 $$1 - 4 T + 324 T^{2} + 180 T^{3} + 38956 T^{4} + 288316 T^{5} + 2398812 T^{6} + 52347924 T^{7} + 144727398 T^{8} + 52347924 p T^{9} + 2398812 p^{2} T^{10} + 288316 p^{3} T^{11} + 38956 p^{4} T^{12} + 180 p^{5} T^{13} + 324 p^{6} T^{14} - 4 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$