LMFDB - L-function 16-31e16-1.1-c5e8-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 7·2^-s + 2·3^-s − 29·4^-s + 128·5^-s + 14·6^-s + 88·7^-s − 84·8^-s − 214·9^-s + 896·10^-s − 574·11^-s − 58·12^-s + 122·13^-s + 616·14^-s + 256·15^-s + 870·16^-s − 1.93e3·17^-s − 1.49e3·18^-s − 1.79e3·19^-s − 3.71e3·20^-s + 176·21^-s − 4.01e3·22^-s + 4.13e3·23^-s − 168·24^-s − 2.65e3·25^-s + 854·26^-s + 282·27^-s − 2.55e3·28^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 1.23·2^-s + 0.128·3^-s − 0.906·4^-s + 2.28·5^-s + 0.158·6^-s + 0.678·7^-s − 0.464·8^-s − 0.880·9^-s + 2.83·10^-s − 1.43·11^-s − 0.116·12^-s + 0.200·13^-s + 0.839·14^-s + 0.293·15^-s + 0.849·16^-s − 1.62·17^-s − 1.08·18^-s − 1.14·19^-s − 2.07·20^-s + 0.0870·21^-s − 1.76·22^-s + 1.63·23^-s − 0.0595·24^-s − 0.849·25^-s + 0.247·26^-s + 0.0744·27^-s − 0.615·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(31^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(31^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$16$
Conductor:	$31^{16}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$3.18472\times 10^{17}$
Root analytic conductor:	$12.4148$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(16,\ 31^{16} ,\ ( \ : [5/2]^{8} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$1.329364764$
$L(\frac12)$	$\approx$	$1.329364764$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	31	$ 1 $
good	2	$ 1 - 7 T + 39 p T^{2} - 665 T^{3} + 5459 T^{4} - 18299 p T^{5} + 16469 p^{4} T^{6} - 199889 p^{3} T^{7} + 569951 p^{4} T^{8} - 199889 p^{8} T^{9} + 16469 p^{14} T^{10} - 18299 p^{16} T^{11} + 5459 p^{20} T^{12} - 665 p^{25} T^{13} + 39 p^{31} T^{14} - 7 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	3	$ 1 - 2 T + 218 T^{2} - 382 p T^{3} + 10712 p^{2} T^{4} - 4586 p^{4} T^{5} + 327254 p^{4} T^{6} - 397270 p^{5} T^{7} + 7515806 p^{6} T^{8} - 397270 p^{10} T^{9} + 327254 p^{14} T^{10} - 4586 p^{19} T^{11} + 10712 p^{22} T^{12} - 382 p^{26} T^{13} + 218 p^{30} T^{14} - 2 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	5	$ 1 - 128 T + 19038 T^{2} - 1736676 T^{3} + 32765109 p T^{4} - 11540799064 T^{5} + 850012037742 T^{6} - 50143317604132 T^{7} + 3090257186233924 T^{8} - 50143317604132 p^{5} T^{9} + 850012037742 p^{10} T^{10} - 11540799064 p^{15} T^{11} + 32765109 p^{21} T^{12} - 1736676 p^{25} T^{13} + 19038 p^{30} T^{14} - 128 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	7	$ 1 - 88 T + 61422 T^{2} - 949260 p T^{3} + 2240365389 T^{4} - 246044886312 T^{5} + 58516079040210 T^{6} - 5861910597630492 T^{7} + 23025748817622084 p^{2} T^{8} - 5861910597630492 p^{5} T^{9} + 58516079040210 p^{10} T^{10} - 246044886312 p^{15} T^{11} + 2240365389 p^{20} T^{12} - 949260 p^{26} T^{13} + 61422 p^{30} T^{14} - 88 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	11	$ 1 + 574 T + 811158 T^{2} + 466187742 T^{3} + 338812822824 T^{4} + 172506210784430 T^{5} + 92432733454486938 T^{6} + 39929786206324687742 T^{7} + $$17\!\cdots\!34$$ T^{8} + 39929786206324687742 p^{5} T^{9} + 92432733454486938 p^{10} T^{10} + 172506210784430 p^{15} T^{11} + 338812822824 p^{20} T^{12} + 466187742 p^{25} T^{13} + 811158 p^{30} T^{14} + 574 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	13	$ 1 - 122 T + 779238 T^{2} - 385436926 T^{3} + 371625400496 T^{4} - 327262022149266 T^{5} + 202036224651714122 T^{6} - $$13\!\cdots\!46$$ T^{7} + $$91\!\cdots\!34$$ T^{8} - $$13\!\cdots\!46$$ p^{5} T^{9} + 202036224651714122 p^{10} T^{10} - 327262022149266 p^{15} T^{11} + 371625400496 p^{20} T^{12} - 385436926 p^{25} T^{13} + 779238 p^{30} T^{14} - 122 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	17	$ 1 + 1932 T + 4527412 T^{2} + 10088141748 T^{3} + 16591465855204 T^{4} + 27073433961641628 T^{5} + 40127722341350040332 T^{6} + $$52\!\cdots\!32$$ T^{7} + $$66\!\cdots\!70$$ T^{8} + $$52\!\cdots\!32$$ p^{5} T^{9} + 40127722341350040332 p^{10} T^{10} + 27073433961641628 p^{15} T^{11} + 16591465855204 p^{20} T^{12} + 10088141748 p^{25} T^{13} + 4527412 p^{30} T^{14} + 1932 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	19	$ 1 + 1796 T + 10799466 T^{2} + 16300214768 T^{3} + 62616168301933 T^{4} + 86562869216096424 T^{5} + $$24\!\cdots\!38$$ T^{6} + $$30\!\cdots\!76$$ T^{7} + $$71\!\cdots\!24$$ T^{8} + $$30\!\cdots\!76$$ p^{5} T^{9} + $$24\!\cdots\!38$$ p^{10} T^{10} + 86562869216096424 p^{15} T^{11} + 62616168301933 p^{20} T^{12} + 16300214768 p^{25} T^{13} + 10799466 p^{30} T^{14} + 1796 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	23	$ 1 - 4136 T + 36619692 T^{2} - 100991344968 T^{3} + 550011373416948 T^{4} - 1239146279010822952 T^{5} + $$55\!\cdots\!16$$ T^{6} - $$11\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$42\!\cdots\!46$$ T^{8} - $$11\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{9} + $$55\!\cdots\!16$$ p^{10} T^{10} - 1239146279010822952 p^{15} T^{11} + 550011373416948 p^{20} T^{12} - 100991344968 p^{25} T^{13} + 36619692 p^{30} T^{14} - 4136 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	29	$ 1 + 5050 T + 90467766 T^{2} + 364603879022 T^{3} + 3715626651375296 T^{4} + 14491745293364992066 T^{5} + $$10\!\cdots\!26$$ T^{6} + $$42\!\cdots\!62$$ T^{7} + $$25\!\cdots\!22$$ T^{8} + $$42\!\cdots\!62$$ p^{5} T^{9} + $$10\!\cdots\!26$$ p^{10} T^{10} + 14491745293364992066 p^{15} T^{11} + 3715626651375296 p^{20} T^{12} + 364603879022 p^{25} T^{13} + 90467766 p^{30} T^{14} + 5050 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	37	$ 1 + 23674 T + 544449474 T^{2} + 8048930768742 T^{3} + 118375472289956544 T^{4} + $$13\!\cdots\!10$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!98$$ T^{6} + $$14\!\cdots\!74$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!34$$ T^{8} + $$14\!\cdots\!74$$ p^{5} T^{9} + $$15\!\cdots\!98$$ p^{10} T^{10} + $$13\!\cdots\!10$$ p^{15} T^{11} + 118375472289956544 p^{20} T^{12} + 8048930768742 p^{25} T^{13} + 544449474 p^{30} T^{14} + 23674 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	41	$ 1 - 44828 T + 1557462906 T^{2} - 36917248529664 T^{3} + 751693781170842129 T^{4} - $$12\!\cdots\!40$$ T^{5} + $$18\!\cdots\!22$$ T^{6} - $$23\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$26\!\cdots\!48$$ T^{8} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{9} + $$18\!\cdots\!22$$ p^{10} T^{10} - $$12\!\cdots\!40$$ p^{15} T^{11} + 751693781170842129 p^{20} T^{12} - 36917248529664 p^{25} T^{13} + 1557462906 p^{30} T^{14} - 44828 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	43	$ 1 + 21058 T + 895415850 T^{2} + 15146367568490 T^{3} + 380300675841539048 T^{4} + $$52\!\cdots\!34$$ T^{5} + $$98\!\cdots\!38$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!50$$ T^{7} + $$17\!\cdots\!98$$ T^{8} + $$11\!\cdots\!50$$ p^{5} T^{9} + $$98\!\cdots\!38$$ p^{10} T^{10} + $$52\!\cdots\!34$$ p^{15} T^{11} + 380300675841539048 p^{20} T^{12} + 15146367568490 p^{25} T^{13} + 895415850 p^{30} T^{14} + 21058 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	47	$ 1 - 5348 T + 192246348 T^{2} - 9465903527332 T^{3} + 126495599772415844 T^{4} - 34063926470421611308 p T^{5} + $$54\!\cdots\!68$$ T^{6} - $$82\!\cdots\!84$$ T^{7} + $$71\!\cdots\!94$$ T^{8} - $$82\!\cdots\!84$$ p^{5} T^{9} + $$54\!\cdots\!68$$ p^{10} T^{10} - 34063926470421611308 p^{16} T^{11} + 126495599772415844 p^{20} T^{12} - 9465903527332 p^{25} T^{13} + 192246348 p^{30} T^{14} - 5348 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	53	$ 1 + 4926 T + 2017312498 T^{2} + 3352330265250 T^{3} + 2064716005795245472 T^{4} - $$35\!\cdots\!26$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!46$$ T^{6} - $$13\!\cdots\!62$$ T^{7} + $$67\!\cdots\!26$$ T^{8} - $$13\!\cdots\!62$$ p^{5} T^{9} + $$13\!\cdots\!46$$ p^{10} T^{10} - $$35\!\cdots\!26$$ p^{15} T^{11} + 2064716005795245472 p^{20} T^{12} + 3352330265250 p^{25} T^{13} + 2017312498 p^{30} T^{14} + 4926 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	59	$ 1 - 16944 T + 4536090730 T^{2} - 68048119121532 T^{3} + 9669071119320448069 T^{4} - $$12\!\cdots\!88$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!58$$ T^{6} - $$23\!\cdots\!72$$ p T^{7} + $$10\!\cdots\!84$$ T^{8} - $$23\!\cdots\!72$$ p^{6} T^{9} + $$12\!\cdots\!58$$ p^{10} T^{10} - $$12\!\cdots\!88$$ p^{15} T^{11} + 9669071119320448069 p^{20} T^{12} - 68048119121532 p^{25} T^{13} + 4536090730 p^{30} T^{14} - 16944 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	61	$ 1 - 73682 T + 6153695046 T^{2} - 339879559640630 T^{3} + 17174649441944212816 T^{4} - $$73\!\cdots\!66$$ T^{5} + $$28\!\cdots\!66$$ T^{6} - $$95\!\cdots\!98$$ T^{7} + $$29\!\cdots\!90$$ T^{8} - $$95\!\cdots\!98$$ p^{5} T^{9} + $$28\!\cdots\!66$$ p^{10} T^{10} - $$73\!\cdots\!66$$ p^{15} T^{11} + 17174649441944212816 p^{20} T^{12} - 339879559640630 p^{25} T^{13} + 6153695046 p^{30} T^{14} - 73682 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	67	$ 1 + 134768 T + 16468626408 T^{2} + 1292540586031792 T^{3} + 92487312397126829084 T^{4} + $$51\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$26\!\cdots\!40$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!56$$ T^{7} + $$69\!\cdots\!86$$ p T^{8} + $$11\!\cdots\!56$$ p^{5} T^{9} + $$26\!\cdots\!40$$ p^{10} T^{10} + $$51\!\cdots\!68$$ p^{15} T^{11} + 92487312397126829084 p^{20} T^{12} + 1292540586031792 p^{25} T^{13} + 16468626408 p^{30} T^{14} + 134768 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	71	$ 1 - 123724 T + 15593257026 T^{2} - 1246876664863136 T^{3} + 93854838771476816501 T^{4} - $$56\!\cdots\!04$$ T^{5} + $$31\!\cdots\!22$$ T^{6} - $$15\!\cdots\!92$$ T^{7} + $$69\!\cdots\!12$$ T^{8} - $$15\!\cdots\!92$$ p^{5} T^{9} + $$31\!\cdots\!22$$ p^{10} T^{10} - $$56\!\cdots\!04$$ p^{15} T^{11} + 93854838771476816501 p^{20} T^{12} - 1246876664863136 p^{25} T^{13} + 15593257026 p^{30} T^{14} - 123724 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	73	$ 1 + 70792 T + 10957171176 T^{2} + 603415237689240 T^{3} + 59629722172817036220 T^{4} + $$28\!\cdots\!40$$ T^{5} + $$21\!\cdots\!08$$ T^{6} + $$84\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$51\!\cdots\!98$$ T^{8} + $$84\!\cdots\!96$$ p^{5} T^{9} + $$21\!\cdots\!08$$ p^{10} T^{10} + $$28\!\cdots\!40$$ p^{15} T^{11} + 59629722172817036220 p^{20} T^{12} + 603415237689240 p^{25} T^{13} + 10957171176 p^{30} T^{14} + 70792 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	79	$ 1 - 26036 T + 18084607980 T^{2} - 389836431579348 T^{3} + $$15\!\cdots\!36$$ T^{4} - $$28\!\cdots\!76$$ T^{5} + $$84\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$13\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$30\!\cdots\!66$$ T^{8} - $$13\!\cdots\!80$$ p^{5} T^{9} + $$84\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{10} - $$28\!\cdots\!76$$ p^{15} T^{11} + $$15\!\cdots\!36$$ p^{20} T^{12} - 389836431579348 p^{25} T^{13} + 18084607980 p^{30} T^{14} - 26036 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	83	$ 1 + 21882 T + 21720537310 T^{2} + 620176079191386 T^{3} + $$23\!\cdots\!20$$ T^{4} + $$68\!\cdots\!34$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!54$$ T^{6} + $$43\!\cdots\!34$$ T^{7} + $$74\!\cdots\!66$$ T^{8} + $$43\!\cdots\!34$$ p^{5} T^{9} + $$15\!\cdots\!54$$ p^{10} T^{10} + $$68\!\cdots\!34$$ p^{15} T^{11} + $$23\!\cdots\!20$$ p^{20} T^{12} + 620176079191386 p^{25} T^{13} + 21720537310 p^{30} T^{14} + 21882 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	89	$ 1 + 164392 T + 38176750620 T^{2} + 4198562888600808 T^{3} + $$55\!\cdots\!28$$ T^{4} + $$50\!\cdots\!24$$ p T^{5} + $$43\!\cdots\!32$$ T^{6} + $$29\!\cdots\!28$$ T^{7} + $$25\!\cdots\!38$$ T^{8} + $$29\!\cdots\!28$$ p^{5} T^{9} + $$43\!\cdots\!32$$ p^{10} T^{10} + $$50\!\cdots\!24$$ p^{16} T^{11} + $$55\!\cdots\!28$$ p^{20} T^{12} + 4198562888600808 p^{25} T^{13} + 38176750620 p^{30} T^{14} + 164392 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	97	$ 1 + 131948 T + 58030194978 T^{2} + 6366126598749688 T^{3} + $$15\!\cdots\!97$$ T^{4} + $$14\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$24\!\cdots\!42$$ T^{6} + $$18\!\cdots\!84$$ T^{7} + $$25\!\cdots\!24$$ T^{8} + $$18\!\cdots\!84$$ p^{5} T^{9} + $$24\!\cdots\!42$$ p^{10} T^{10} + $$14\!\cdots\!68$$ p^{15} T^{11} + $$15\!\cdots\!97$$ p^{20} T^{12} + 6366126598749688 p^{25} T^{13} + 58030194978 p^{30} T^{14} + 131948 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.60286942185175713345113529701, −3.27644445150239392442605184134, −3.21194649708267888104959966576, −3.18214986957959922356212954439, −2.96120154640691596048947510269, −2.91484835467919756671323301638, −2.69500567222825276066924716278, −2.56765677946544542019501182998, −2.44100374754635615159886353914, −2.23540150663250048601863226982, −2.19484715644795673794336959795, −2.01329922471774249959334401503, −1.83717676995801136197326551073, −1.80004481847164585149745328581, −1.69433408922754219739172066078, −1.58548015575894198586637842520, −1.56878196441892804992234809552, −1.15410720498146799709839756594, −1.13277394133815436278612611506, −0.891083123561401479904533124862, −0.56305713692423889506057756388, −0.50034272482587823491688362074, −0.30831883603703168676745328725, −0.27041493901335641798634498389, −0.05777419518966691848331850731, 0.05777419518966691848331850731, 0.27041493901335641798634498389, 0.30831883603703168676745328725, 0.50034272482587823491688362074, 0.56305713692423889506057756388, 0.891083123561401479904533124862, 1.13277394133815436278612611506, 1.15410720498146799709839756594, 1.56878196441892804992234809552, 1.58548015575894198586637842520, 1.69433408922754219739172066078, 1.80004481847164585149745328581, 1.83717676995801136197326551073, 2.01329922471774249959334401503, 2.19484715644795673794336959795, 2.23540150663250048601863226982, 2.44100374754635615159886353914, 2.56765677946544542019501182998, 2.69500567222825276066924716278, 2.91484835467919756671323301638, 2.96120154640691596048947510269, 3.18214986957959922356212954439, 3.21194649708267888104959966576, 3.27644445150239392442605184134, 3.60286942185175713345113529701

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(1.329364764\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(1.329364764\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more