# Properties

 Label 16-26e8-1.1-c2e8-0-0 Degree $16$ Conductor $208827064576$ Sign $1$ Analytic cond. $0.0634551$ Root an. cond. $0.841693$ Motivic weight $2$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 4·2-s + 8·4-s + 6·5-s − 2·7-s − 16·8-s − 3·9-s − 24·10-s − 18·11-s + 36·13-s + 8·14-s + 36·16-s − 42·17-s + 12·18-s + 46·19-s + 48·20-s + 72·22-s − 36·23-s + 18·25-s − 144·26-s + 24·27-s − 16·28-s − 6·29-s + 32·31-s − 64·32-s + 168·34-s − 12·35-s − 24·36-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2·2-s + 2·4-s + 6/5·5-s − 2/7·7-s − 2·8-s − 1/3·9-s − 2.39·10-s − 1.63·11-s + 2.76·13-s + 4/7·14-s + 9/4·16-s − 2.47·17-s + 2/3·18-s + 2.42·19-s + 12/5·20-s + 3.27·22-s − 1.56·23-s + 0.719·25-s − 5.53·26-s + 8/9·27-s − 4/7·28-s − 0.206·29-s + 1.03·31-s − 2·32-s + 4.94·34-s − 0.342·35-s − 2/3·36-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 13^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(3-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 13^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$16$$ Conductor: $$2^{8} \cdot 13^{8}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$0.0634551$$ Root analytic conductor: $$0.841693$$ Motivic weight: $$2$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(16,\ 2^{8} \cdot 13^{8} ,\ ( \ : [1]^{8} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(\frac{3}{2})$$ $$\approx$$ $$0.2493713384$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$0.2493713384$$ $$L(2)$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad2 $$( 1 + p T + p T^{2} + p^{2} T^{3} + p^{2} T^{4} )^{2}$$
13 $$1 - 36 T + 589 T^{2} - 7824 T^{3} + 8172 p T^{4} - 7824 p^{2} T^{5} + 589 p^{4} T^{6} - 36 p^{6} T^{7} + p^{8} T^{8}$$
good3 $$1 + p T^{2} - 8 p T^{3} - 29 p T^{4} + 8 p^{2} T^{5} - 2 p^{3} T^{6} + 200 p^{2} T^{7} + 70 p^{2} T^{8} + 200 p^{4} T^{9} - 2 p^{7} T^{10} + 8 p^{8} T^{11} - 29 p^{9} T^{12} - 8 p^{11} T^{13} + p^{13} T^{14} + p^{16} T^{16}$$
5 $$1 - 6 T + 18 T^{2} - 48 p T^{3} + 89 p T^{4} + 2988 T^{5} + 2862 T^{6} + 36666 T^{7} - 716556 T^{8} + 36666 p^{2} T^{9} + 2862 p^{4} T^{10} + 2988 p^{6} T^{11} + 89 p^{9} T^{12} - 48 p^{11} T^{13} + 18 p^{12} T^{14} - 6 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
7 $$1 + 2 T - 127 T^{2} - 62 p T^{3} + 8255 T^{4} + 22156 T^{5} - 385248 T^{6} - 453708 T^{7} + 19028482 T^{8} - 453708 p^{2} T^{9} - 385248 p^{4} T^{10} + 22156 p^{6} T^{11} + 8255 p^{8} T^{12} - 62 p^{11} T^{13} - 127 p^{12} T^{14} + 2 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
11 $$1 + 18 T + 105 T^{2} - 3114 T^{3} - 59393 T^{4} - 565908 T^{5} + 897792 T^{6} + 64810956 T^{7} + 1103342370 T^{8} + 64810956 p^{2} T^{9} + 897792 p^{4} T^{10} - 565908 p^{6} T^{11} - 59393 p^{8} T^{12} - 3114 p^{10} T^{13} + 105 p^{12} T^{14} + 18 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
17 $$1 + 42 T + 1726 T^{2} + 47796 T^{3} + 1303465 T^{4} + 30227796 T^{5} + 646060522 T^{6} + 12441458526 T^{7} + 218725843324 T^{8} + 12441458526 p^{2} T^{9} + 646060522 p^{4} T^{10} + 30227796 p^{6} T^{11} + 1303465 p^{8} T^{12} + 47796 p^{10} T^{13} + 1726 p^{12} T^{14} + 42 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
19 $$1 - 46 T + 977 T^{2} - 19730 T^{3} + 483311 T^{4} - 8783612 T^{5} + 6242688 p T^{6} - 1680839364 T^{7} + 28608116338 T^{8} - 1680839364 p^{2} T^{9} + 6242688 p^{5} T^{10} - 8783612 p^{6} T^{11} + 483311 p^{8} T^{12} - 19730 p^{10} T^{13} + 977 p^{12} T^{14} - 46 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
23 $$1 + 36 T + 2131 T^{2} + 61164 T^{3} + 2152429 T^{4} + 44226000 T^{5} + 1303450510 T^{6} + 22452294672 T^{7} + 648751140166 T^{8} + 22452294672 p^{2} T^{9} + 1303450510 p^{4} T^{10} + 44226000 p^{6} T^{11} + 2152429 p^{8} T^{12} + 61164 p^{10} T^{13} + 2131 p^{12} T^{14} + 36 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
29 $$1 + 6 T - 2398 T^{2} - 14772 T^{3} + 2997253 T^{4} + 14035500 T^{5} - 3325399546 T^{6} - 4535559294 T^{7} + 3230740374436 T^{8} - 4535559294 p^{2} T^{9} - 3325399546 p^{4} T^{10} + 14035500 p^{6} T^{11} + 2997253 p^{8} T^{12} - 14772 p^{10} T^{13} - 2398 p^{12} T^{14} + 6 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
31 $$1 - 32 T + 512 T^{2} - 24592 T^{3} + 1881968 T^{4} - 48317872 T^{5} + 884987520 T^{6} - 50977297056 T^{7} + 2940963189598 T^{8} - 50977297056 p^{2} T^{9} + 884987520 p^{4} T^{10} - 48317872 p^{6} T^{11} + 1881968 p^{8} T^{12} - 24592 p^{10} T^{13} + 512 p^{12} T^{14} - 32 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
37 $$1 + 106 T + 8342 T^{2} + 393068 T^{3} + 15188585 T^{4} + 276977564 T^{5} - 1726711374 T^{6} - 651456022674 T^{7} - 28349233687076 T^{8} - 651456022674 p^{2} T^{9} - 1726711374 p^{4} T^{10} + 276977564 p^{6} T^{11} + 15188585 p^{8} T^{12} + 393068 p^{10} T^{13} + 8342 p^{12} T^{14} + 106 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
41 $$1 - 132 T + 10686 T^{2} - 13512 p T^{3} + 19988317 T^{4} - 213687144 T^{5} - 26569998546 T^{6} + 2518966024308 T^{7} - 124070043071700 T^{8} + 2518966024308 p^{2} T^{9} - 26569998546 p^{4} T^{10} - 213687144 p^{6} T^{11} + 19988317 p^{8} T^{12} - 13512 p^{11} T^{13} + 10686 p^{12} T^{14} - 132 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
43 $$1 + 108 T + 253 p T^{2} + 755028 T^{3} + 48271669 T^{4} + 2548436904 T^{5} + 130030600102 T^{6} + 5877290089008 T^{7} + 263654368009582 T^{8} + 5877290089008 p^{2} T^{9} + 130030600102 p^{4} T^{10} + 2548436904 p^{6} T^{11} + 48271669 p^{8} T^{12} + 755028 p^{10} T^{13} + 253 p^{13} T^{14} + 108 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
47 $$1 - 60 T + 1800 T^{2} - 154932 T^{3} + 21951088 T^{4} - 867532140 T^{5} + 24541932312 T^{6} - 2003115348324 T^{7} + 163148147612766 T^{8} - 2003115348324 p^{2} T^{9} + 24541932312 p^{4} T^{10} - 867532140 p^{6} T^{11} + 21951088 p^{8} T^{12} - 154932 p^{10} T^{13} + 1800 p^{12} T^{14} - 60 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
53 $$( 1 + 66 T + 5917 T^{2} + 184818 T^{3} + 12226368 T^{4} + 184818 p^{2} T^{5} + 5917 p^{4} T^{6} + 66 p^{6} T^{7} + p^{8} T^{8} )^{2}$$
59 $$1 - 18 T + 5565 T^{2} - 318294 T^{3} + 23254759 T^{4} - 1693659348 T^{5} + 98133474288 T^{6} - 8885846915100 T^{7} + 327983542866810 T^{8} - 8885846915100 p^{2} T^{9} + 98133474288 p^{4} T^{10} - 1693659348 p^{6} T^{11} + 23254759 p^{8} T^{12} - 318294 p^{10} T^{13} + 5565 p^{12} T^{14} - 18 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
61 $$1 - 36 T - 11878 T^{2} + 285336 T^{3} + 88972381 T^{4} - 1311266160 T^{5} - 475974647662 T^{6} + 1883345164380 T^{7} + 2030181383859340 T^{8} + 1883345164380 p^{2} T^{9} - 475974647662 p^{4} T^{10} - 1311266160 p^{6} T^{11} + 88972381 p^{8} T^{12} + 285336 p^{10} T^{13} - 11878 p^{12} T^{14} - 36 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
67 $$1 + 74 T + 15917 T^{2} + 695782 T^{3} + 97615703 T^{4} + 493359916 T^{5} + 227553513504 T^{6} - 21342931471668 T^{7} + 178591314167674 T^{8} - 21342931471668 p^{2} T^{9} + 227553513504 p^{4} T^{10} + 493359916 p^{6} T^{11} + 97615703 p^{8} T^{12} + 695782 p^{10} T^{13} + 15917 p^{12} T^{14} + 74 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
71 $$1 + 174 T + 14793 T^{2} + 561450 T^{3} - 2330369 T^{4} - 584834196 T^{5} + 83898109968 T^{6} + 14951669162460 T^{7} + 1250020614182514 T^{8} + 14951669162460 p^{2} T^{9} + 83898109968 p^{4} T^{10} - 584834196 p^{6} T^{11} - 2330369 p^{8} T^{12} + 561450 p^{10} T^{13} + 14793 p^{12} T^{14} + 174 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
73 $$1 - 166 T + 13778 T^{2} - 1402664 T^{3} + 172017437 T^{4} - 14047512068 T^{5} + 945563904750 T^{6} - 1139077533150 p T^{7} + 1353169547476 p^{2} T^{8} - 1139077533150 p^{3} T^{9} + 945563904750 p^{4} T^{10} - 14047512068 p^{6} T^{11} + 172017437 p^{8} T^{12} - 1402664 p^{10} T^{13} + 13778 p^{12} T^{14} - 166 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
79 $$( 1 + 48 T + 10084 T^{2} + 724368 T^{3} + 50280774 T^{4} + 724368 p^{2} T^{5} + 10084 p^{4} T^{6} + 48 p^{6} T^{7} + p^{8} T^{8} )^{2}$$
83 $$1 + 240 T + 28800 T^{2} + 2896512 T^{3} + 298194640 T^{4} + 338245056 p T^{5} + 2344726766592 T^{6} + 177350340390480 T^{7} + 13560551099314782 T^{8} + 177350340390480 p^{2} T^{9} + 2344726766592 p^{4} T^{10} + 338245056 p^{7} T^{11} + 298194640 p^{8} T^{12} + 2896512 p^{10} T^{13} + 28800 p^{12} T^{14} + 240 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
89 $$1 - 294 T + 63735 T^{2} - 10176306 T^{3} + 1386303445 T^{4} - 163006886868 T^{5} + 17292939386730 T^{6} - 1689166620371832 T^{7} + 154185854226666234 T^{8} - 1689166620371832 p^{2} T^{9} + 17292939386730 p^{4} T^{10} - 163006886868 p^{6} T^{11} + 1386303445 p^{8} T^{12} - 10176306 p^{10} T^{13} + 63735 p^{12} T^{14} - 294 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
97 $$1 + 58 T + 14363 T^{2} + 998 T^{3} - 4472611 T^{4} - 1301881588 T^{5} - 229071912798 T^{6} + 178692170625312 T^{7} + 7600464823934194 T^{8} + 178692170625312 p^{2} T^{9} - 229071912798 p^{4} T^{10} - 1301881588 p^{6} T^{11} - 4472611 p^{8} T^{12} + 998 p^{10} T^{13} + 14363 p^{12} T^{14} + 58 p^{14} T^{15} + p^{16} T^{16}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$