LMFDB - L-function 16-162e8-1.1-c9e8-0-1

Dirichlet series

L(s) = 1

− 64·2^-s + 1.53e3·4^-s + 1.96e3·5^-s − 4.49e3·7^-s − 1.25e5·10^-s − 8.78e3·11^-s + 1.62e5·13^-s + 2.87e5·14^-s − 9.83e5·16^-s − 1.07e6·17^-s − 1.64e4·19^-s + 3.02e6·20^-s + 5.62e5·22^-s + 2.59e6·23^-s + 4.90e6·25^-s − 1.04e7·26^-s − 6.90e6·28^-s + 3.23e6·29^-s − 3.48e6·31^-s + 2.51e7·32^-s + 6.88e7·34^-s − 8.84e6·35^-s − 4.97e6·37^-s + 1.05e6·38^-s + 3.46e7·41^-s + 4.14e7·43^-s − 1.34e7·44^-s + ⋯

L(s) = 1

− 2.82·2^-s + 3·4^-s + 1.40·5^-s − 0.707·7^-s − 3.98·10^-s − 0.180·11^-s + 1.57·13^-s + 2.00·14^-s − 3.75·16^-s − 3.12·17^-s − 0.0289·19^-s + 4.22·20^-s + 0.511·22^-s + 1.93·23^-s + 2.51·25^-s − 4.46·26^-s − 2.12·28^-s + 0.848·29^-s − 0.677·31^-s + 4.24·32^-s + 8.83·34^-s − 0.996·35^-s − 0.436·37^-s + 0.0818·38^-s + 1.91·41^-s + 1.84·43^-s − 0.542·44^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 3^{32}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(10-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 3^{32}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+9/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$16$
Conductor:	$2^{8} \cdot 3^{32}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$2.34865\times 10^{15}$
Root analytic conductor:	$9.13432$
Motivic weight:	$9$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(16,\ 2^{8} \cdot 3^{32} ,\ ( \ : [9/2]^{8} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(5)$	$\approx$	$3.233357554$
$L(\frac12)$	$\approx$	$3.233357554$
$L(\frac{11}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ ( 1 + p^{4} T + p^{8} T^{2} )^{4} $
	3	$ 1 $
good	5	$ 1 - 1968 T - 1033142 T^{2} + 5161447392 T^{3} - 5179172183639 T^{4} + 1384901732162592 p T^{5} - 65069990362238686 p^{3} T^{6} - $$14\!\cdots\!72$$ p^{3} T^{7} + $$94\!\cdots\!56$$ p^{4} T^{8} - $$14\!\cdots\!72$$ p^{12} T^{9} - 65069990362238686 p^{21} T^{10} + 1384901732162592 p^{28} T^{11} - 5179172183639 p^{36} T^{12} + 5161447392 p^{45} T^{13} - 1033142 p^{54} T^{14} - 1968 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	7	$ 1 + 4496 T - 134312340 T^{2} - 322254528992 T^{3} + 12375797650597322 T^{4} + 2317622011382359056 p T^{5} - $$15\!\cdots\!96$$ p^{2} T^{6} - $$66\!\cdots\!28$$ p^{3} T^{7} + $$14\!\cdots\!19$$ p^{4} T^{8} - $$66\!\cdots\!28$$ p^{12} T^{9} - $$15\!\cdots\!96$$ p^{20} T^{10} + 2317622011382359056 p^{28} T^{11} + 12375797650597322 p^{36} T^{12} - 322254528992 p^{45} T^{13} - 134312340 p^{54} T^{14} + 4496 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	11	$ 1 + 8784 T - 101412412 p T^{2} - 21402247486176 T^{3} + 6705736084500736186 T^{4} + $$15\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$17\!\cdots\!40$$ p T^{6} - $$26\!\cdots\!60$$ T^{7} - $$79\!\cdots\!65$$ T^{8} - $$26\!\cdots\!60$$ p^{9} T^{9} + $$17\!\cdots\!40$$ p^{19} T^{10} + $$15\!\cdots\!00$$ p^{27} T^{11} + 6705736084500736186 p^{36} T^{12} - 21402247486176 p^{45} T^{13} - 101412412 p^{55} T^{14} + 8784 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	13	$ 1 - 162556 T - 4223324994 T^{2} + 1896098353352872 T^{3} - 85260860756219808295 T^{4} + $$94\!\cdots\!40$$ T^{5} - $$14\!\cdots\!42$$ T^{6} - $$92\!\cdots\!12$$ p T^{7} + $$21\!\cdots\!24$$ p^{2} T^{8} - $$92\!\cdots\!12$$ p^{10} T^{9} - $$14\!\cdots\!42$$ p^{18} T^{10} + $$94\!\cdots\!40$$ p^{27} T^{11} - 85260860756219808295 p^{36} T^{12} + 1896098353352872 p^{45} T^{13} - 4223324994 p^{54} T^{14} - 162556 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	17	$ ( 1 + 538080 T + 323513900798 T^{2} + 114203532371811840 T^{3} + $$41\!\cdots\!35$$ T^{4} + 114203532371811840 p^{9} T^{5} + 323513900798 p^{18} T^{6} + 538080 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	19	$ ( 1 + 8224 T + 530682376996 T^{2} + 34455495884405920 T^{3} + $$19\!\cdots\!10$$ T^{4} + 34455495884405920 p^{9} T^{5} + 530682376996 p^{18} T^{6} + 8224 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	23	$ 1 - 2594736 T - 1409342638820 T^{2} + 4698748269105556896 T^{3} + $$43\!\cdots\!46$$ p T^{4} - $$10\!\cdots\!00$$ T^{5} - $$25\!\cdots\!76$$ T^{6} + $$17\!\cdots\!68$$ T^{7} + $$68\!\cdots\!55$$ T^{8} + $$17\!\cdots\!68$$ p^{9} T^{9} - $$25\!\cdots\!76$$ p^{18} T^{10} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{27} T^{11} + $$43\!\cdots\!46$$ p^{37} T^{12} + 4698748269105556896 p^{45} T^{13} - 1409342638820 p^{54} T^{14} - 2594736 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	29	$ 1 - 3232656 T - 22806359737718 T^{2} + $$14\!\cdots\!24$$ T^{3} + $$15\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$23\!\cdots\!28$$ T^{5} + $$50\!\cdots\!70$$ T^{6} + $$18\!\cdots\!32$$ T^{7} - $$12\!\cdots\!64$$ T^{8} + $$18\!\cdots\!32$$ p^{9} T^{9} + $$50\!\cdots\!70$$ p^{18} T^{10} - $$23\!\cdots\!28$$ p^{27} T^{11} + $$15\!\cdots\!45$$ p^{36} T^{12} + $$14\!\cdots\!24$$ p^{45} T^{13} - 22806359737718 p^{54} T^{14} - 3232656 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	31	$ 1 + 3482576 T - 84666387090492 T^{2} - $$18\!\cdots\!08$$ T^{3} + $$47\!\cdots\!94$$ T^{4} + $$60\!\cdots\!48$$ T^{5} - $$18\!\cdots\!84$$ T^{6} - $$61\!\cdots\!08$$ T^{7} + $$55\!\cdots\!47$$ T^{8} - $$61\!\cdots\!08$$ p^{9} T^{9} - $$18\!\cdots\!84$$ p^{18} T^{10} + $$60\!\cdots\!48$$ p^{27} T^{11} + $$47\!\cdots\!94$$ p^{36} T^{12} - $$18\!\cdots\!08$$ p^{45} T^{13} - 84666387090492 p^{54} T^{14} + 3482576 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	37	$ ( 1 + 2487892 T + 426737747557378 T^{2} + $$84\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$78\!\cdots\!75$$ T^{4} + $$84\!\cdots\!80$$ p^{9} T^{5} + 426737747557378 p^{18} T^{6} + 2487892 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	41	$ 1 - 34657152 T - 344666917407812 T^{2} + $$14\!\cdots\!12$$ T^{3} + $$42\!\cdots\!50$$ T^{4} - $$83\!\cdots\!96$$ T^{5} - $$13\!\cdots\!20$$ T^{6} + $$39\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$73\!\cdots\!51$$ T^{8} + $$39\!\cdots\!96$$ p^{9} T^{9} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{18} T^{10} - $$83\!\cdots\!96$$ p^{27} T^{11} + $$42\!\cdots\!50$$ p^{36} T^{12} + $$14\!\cdots\!12$$ p^{45} T^{13} - 344666917407812 p^{54} T^{14} - 34657152 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	43	$ 1 - 41410000 T - 285852612011364 T^{2} + $$26\!\cdots\!68$$ T^{3} + $$27\!\cdots\!78$$ T^{4} - $$14\!\cdots\!88$$ T^{5} - $$11\!\cdots\!24$$ T^{6} + $$29\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$49\!\cdots\!11$$ T^{8} + $$29\!\cdots\!24$$ p^{9} T^{9} - $$11\!\cdots\!24$$ p^{18} T^{10} - $$14\!\cdots\!88$$ p^{27} T^{11} + $$27\!\cdots\!78$$ p^{36} T^{12} + $$26\!\cdots\!68$$ p^{45} T^{13} - 285852612011364 p^{54} T^{14} - 41410000 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	47	$ 1 - 40558848 T - 467455196135516 T^{2} - $$74\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$35\!\cdots\!22$$ T^{4} + $$40\!\cdots\!88$$ T^{5} + $$35\!\cdots\!40$$ T^{6} - $$14\!\cdots\!44$$ T^{7} - $$20\!\cdots\!13$$ T^{8} - $$14\!\cdots\!44$$ p^{9} T^{9} + $$35\!\cdots\!40$$ p^{18} T^{10} + $$40\!\cdots\!88$$ p^{27} T^{11} + $$35\!\cdots\!22$$ p^{36} T^{12} - $$74\!\cdots\!40$$ p^{45} T^{13} - 467455196135516 p^{54} T^{14} - 40558848 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	53	$ ( 1 + 8421024 T + 3661990464011540 T^{2} - $$23\!\cdots\!52$$ T^{3} + $$24\!\cdots\!46$$ T^{4} - $$23\!\cdots\!52$$ p^{9} T^{5} + 3661990464011540 p^{18} T^{6} + 8421024 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	59	$ 1 - 26843328 T - 15233430258833900 T^{2} + $$63\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!98$$ T^{4} - $$57\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$37\!\cdots\!72$$ T^{6} + $$24\!\cdots\!48$$ T^{7} - $$75\!\cdots\!09$$ T^{8} + $$24\!\cdots\!48$$ p^{9} T^{9} + $$37\!\cdots\!72$$ p^{18} T^{10} - $$57\!\cdots\!08$$ p^{27} T^{11} + $$10\!\cdots\!98$$ p^{36} T^{12} + $$63\!\cdots\!80$$ p^{45} T^{13} - 15233430258833900 p^{54} T^{14} - 26843328 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	61	$ 1 - 111504484 T - 32808147451141410 T^{2} + $$27\!\cdots\!12$$ T^{3} + $$82\!\cdots\!01$$ T^{4} - $$45\!\cdots\!92$$ T^{5} - $$13\!\cdots\!54$$ T^{6} + $$19\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$18\!\cdots\!20$$ T^{8} + $$19\!\cdots\!24$$ p^{9} T^{9} - $$13\!\cdots\!54$$ p^{18} T^{10} - $$45\!\cdots\!92$$ p^{27} T^{11} + $$82\!\cdots\!01$$ p^{36} T^{12} + $$27\!\cdots\!12$$ p^{45} T^{13} - 32808147451141410 p^{54} T^{14} - 111504484 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	67	$ 1 - 208064512 T - 25688393210852964 T^{2} + $$37\!\cdots\!24$$ T^{3} + $$78\!\cdots\!74$$ T^{4} - $$38\!\cdots\!20$$ T^{5} - $$10\!\cdots\!56$$ T^{6} + $$30\!\cdots\!80$$ T^{7} - $$21\!\cdots\!33$$ T^{8} + $$30\!\cdots\!80$$ p^{9} T^{9} - $$10\!\cdots\!56$$ p^{18} T^{10} - $$38\!\cdots\!20$$ p^{27} T^{11} + $$78\!\cdots\!74$$ p^{36} T^{12} + $$37\!\cdots\!24$$ p^{45} T^{13} - 25688393210852964 p^{54} T^{14} - 208064512 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	71	$ ( 1 + 356008272 T + 129232988292852932 T^{2} + $$22\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$62\!\cdots\!14$$ T^{4} + $$22\!\cdots\!60$$ p^{9} T^{5} + 129232988292852932 p^{18} T^{6} + 356008272 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	73	$ ( 1 + 37126108 T + 123395685184922122 T^{2} + $$20\!\cdots\!88$$ T^{3} + $$73\!\cdots\!35$$ T^{4} + $$20\!\cdots\!88$$ p^{9} T^{5} + 123395685184922122 p^{18} T^{6} + 37126108 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	79	$ 1 - 645134848 T + 9399830430280620 T^{2} + $$10\!\cdots\!80$$ T^{3} - $$16\!\cdots\!02$$ T^{4} - $$11\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$40\!\cdots\!32$$ T^{6} + $$98\!\cdots\!48$$ T^{7} - $$84\!\cdots\!49$$ T^{8} + $$98\!\cdots\!48$$ p^{9} T^{9} + $$40\!\cdots\!32$$ p^{18} T^{10} - $$11\!\cdots\!48$$ p^{27} T^{11} - $$16\!\cdots\!02$$ p^{36} T^{12} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{45} T^{13} + 9399830430280620 p^{54} T^{14} - 645134848 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	83	$ 1 - 1019036256 T + 95168392525582708 T^{2} + $$13\!\cdots\!36$$ T^{3} + $$50\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$52\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$18\!\cdots\!36$$ T^{6} + $$12\!\cdots\!88$$ T^{7} + $$26\!\cdots\!39$$ T^{8} + $$12\!\cdots\!88$$ p^{9} T^{9} + $$18\!\cdots\!36$$ p^{18} T^{10} - $$52\!\cdots\!68$$ p^{27} T^{11} + $$50\!\cdots\!10$$ p^{36} T^{12} + $$13\!\cdots\!36$$ p^{45} T^{13} + 95168392525582708 p^{54} T^{14} - 1019036256 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	89	$ ( 1 + 1548192768 T + 2232987824828793326 T^{2} + $$18\!\cdots\!88$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!07$$ T^{4} + $$18\!\cdots\!88$$ p^{9} T^{5} + 2232987824828793326 p^{18} T^{6} + 1548192768 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	97	$ 1 + 1112014568 T + 342623331593914980 T^{2} + $$30\!\cdots\!56$$ T^{3} + $$30\!\cdots\!26$$ T^{4} + $$76\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$39\!\cdots\!64$$ T^{6} + $$35\!\cdots\!92$$ T^{7} + $$71\!\cdots\!87$$ T^{8} + $$35\!\cdots\!92$$ p^{9} T^{9} + $$39\!\cdots\!64$$ p^{18} T^{10} + $$76\!\cdots\!52$$ p^{27} T^{11} + $$30\!\cdots\!26$$ p^{36} T^{12} + $$30\!\cdots\!56$$ p^{45} T^{13} + 342623331593914980 p^{54} T^{14} + 1112014568 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.16606078461648721251872845424, −4.05172679062947658027841458282, −3.82019122086838366970859339888, −3.69332977808650935981287735918, −3.45839094572124227000344369380, −3.09976645554559992243127505814, −3.04172477931181410005125815237, −3.01439503706516172547316537182, −2.66296608920855403278730439513, −2.48835513646647993078168813343, −2.46910125885670306265848102369, −2.29042005552262215598002092098, −2.02256948994040536030836135932, −1.95390473066430518794073575280, −1.77107104684962718770712463671, −1.64219509394588459173954647167, −1.28223288519556932366206987087, −1.24376284688662363738174068697, −0.923271722276858538008707399536, −0.870407705614136115378425832251, −0.73274743581863149536332213738, −0.69774058875424132366907155065, −0.45871632893295238251287332538, −0.43675728661961285983450939240, −0.15104525046185539235491898617, 0.15104525046185539235491898617, 0.43675728661961285983450939240, 0.45871632893295238251287332538, 0.69774058875424132366907155065, 0.73274743581863149536332213738, 0.870407705614136115378425832251, 0.923271722276858538008707399536, 1.24376284688662363738174068697, 1.28223288519556932366206987087, 1.64219509394588459173954647167, 1.77107104684962718770712463671, 1.95390473066430518794073575280, 2.02256948994040536030836135932, 2.29042005552262215598002092098, 2.46910125885670306265848102369, 2.48835513646647993078168813343, 2.66296608920855403278730439513, 3.01439503706516172547316537182, 3.04172477931181410005125815237, 3.09976645554559992243127505814, 3.45839094572124227000344369380, 3.69332977808650935981287735918, 3.82019122086838366970859339888, 4.05172679062947658027841458282, 4.16606078461648721251872845424

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(5)\)	\(\approx\)	\(3.233357554\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(3.233357554\)
\(L(\frac{11}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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