LMFDB - L-function 16-162e8-1.1-c9e8-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 64·2^-s + 1.53e3·4^-s − 1.96e3·5^-s − 4.49e3·7^-s − 1.25e5·10^-s + 8.78e3·11^-s + 1.62e5·13^-s − 2.87e5·14^-s − 9.83e5·16^-s + 1.07e6·17^-s − 1.64e4·19^-s − 3.02e6·20^-s + 5.62e5·22^-s − 2.59e6·23^-s + 4.90e6·25^-s + 1.04e7·26^-s − 6.90e6·28^-s − 3.23e6·29^-s − 3.48e6·31^-s − 2.51e7·32^-s + 6.88e7·34^-s + 8.84e6·35^-s − 4.97e6·37^-s − 1.05e6·38^-s − 3.46e7·41^-s + 4.14e7·43^-s + 1.34e7·44^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 2.82·2^-s + 3·4^-s − 1.40·5^-s − 0.707·7^-s − 3.98·10^-s + 0.180·11^-s + 1.57·13^-s − 2.00·14^-s − 3.75·16^-s + 3.12·17^-s − 0.0289·19^-s − 4.22·20^-s + 0.511·22^-s − 1.93·23^-s + 2.51·25^-s + 4.46·26^-s − 2.12·28^-s − 0.848·29^-s − 0.677·31^-s − 4.24·32^-s + 8.83·34^-s + 0.996·35^-s − 0.436·37^-s − 0.0818·38^-s − 1.91·41^-s + 1.84·43^-s + 0.542·44^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 3^{32}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(10-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 3^{32}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+9/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$16$
Conductor:	$2^{8} \cdot 3^{32}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$2.34865\times 10^{15}$
Root analytic conductor:	$9.13432$
Motivic weight:	$9$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(16,\ 2^{8} \cdot 3^{32} ,\ ( \ : [9/2]^{8} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(5)$	$\approx$	$0.2548403481$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.2548403481$
$L(\frac{11}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ ( 1 - p^{4} T + p^{8} T^{2} )^{4} $
	3	$ 1 $
good	5	$ 1 + 1968 T - 1033142 T^{2} - 5161447392 T^{3} - 5179172183639 T^{4} - 1384901732162592 p T^{5} - 65069990362238686 p^{3} T^{6} + $$14\!\cdots\!72$$ p^{3} T^{7} + $$94\!\cdots\!56$$ p^{4} T^{8} + $$14\!\cdots\!72$$ p^{12} T^{9} - 65069990362238686 p^{21} T^{10} - 1384901732162592 p^{28} T^{11} - 5179172183639 p^{36} T^{12} - 5161447392 p^{45} T^{13} - 1033142 p^{54} T^{14} + 1968 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	7	$ 1 + 4496 T - 134312340 T^{2} - 322254528992 T^{3} + 12375797650597322 T^{4} + 2317622011382359056 p T^{5} - $$15\!\cdots\!96$$ p^{2} T^{6} - $$66\!\cdots\!28$$ p^{3} T^{7} + $$14\!\cdots\!19$$ p^{4} T^{8} - $$66\!\cdots\!28$$ p^{12} T^{9} - $$15\!\cdots\!96$$ p^{20} T^{10} + 2317622011382359056 p^{28} T^{11} + 12375797650597322 p^{36} T^{12} - 322254528992 p^{45} T^{13} - 134312340 p^{54} T^{14} + 4496 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	11	$ 1 - 8784 T - 101412412 p T^{2} + 21402247486176 T^{3} + 6705736084500736186 T^{4} - $$15\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$17\!\cdots\!40$$ p T^{6} + $$26\!\cdots\!60$$ T^{7} - $$79\!\cdots\!65$$ T^{8} + $$26\!\cdots\!60$$ p^{9} T^{9} + $$17\!\cdots\!40$$ p^{19} T^{10} - $$15\!\cdots\!00$$ p^{27} T^{11} + 6705736084500736186 p^{36} T^{12} + 21402247486176 p^{45} T^{13} - 101412412 p^{55} T^{14} - 8784 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	13	$ 1 - 162556 T - 4223324994 T^{2} + 1896098353352872 T^{3} - 85260860756219808295 T^{4} + $$94\!\cdots\!40$$ T^{5} - $$14\!\cdots\!42$$ T^{6} - $$92\!\cdots\!12$$ p T^{7} + $$21\!\cdots\!24$$ p^{2} T^{8} - $$92\!\cdots\!12$$ p^{10} T^{9} - $$14\!\cdots\!42$$ p^{18} T^{10} + $$94\!\cdots\!40$$ p^{27} T^{11} - 85260860756219808295 p^{36} T^{12} + 1896098353352872 p^{45} T^{13} - 4223324994 p^{54} T^{14} - 162556 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	17	$ ( 1 - 538080 T + 323513900798 T^{2} - 114203532371811840 T^{3} + $$41\!\cdots\!35$$ T^{4} - 114203532371811840 p^{9} T^{5} + 323513900798 p^{18} T^{6} - 538080 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	19	$ ( 1 + 8224 T + 530682376996 T^{2} + 34455495884405920 T^{3} + $$19\!\cdots\!10$$ T^{4} + 34455495884405920 p^{9} T^{5} + 530682376996 p^{18} T^{6} + 8224 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	23	$ 1 + 2594736 T - 1409342638820 T^{2} - 4698748269105556896 T^{3} + $$43\!\cdots\!46$$ p T^{4} + $$10\!\cdots\!00$$ T^{5} - $$25\!\cdots\!76$$ T^{6} - $$17\!\cdots\!68$$ T^{7} + $$68\!\cdots\!55$$ T^{8} - $$17\!\cdots\!68$$ p^{9} T^{9} - $$25\!\cdots\!76$$ p^{18} T^{10} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{27} T^{11} + $$43\!\cdots\!46$$ p^{37} T^{12} - 4698748269105556896 p^{45} T^{13} - 1409342638820 p^{54} T^{14} + 2594736 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	29	$ 1 + 3232656 T - 22806359737718 T^{2} - $$14\!\cdots\!24$$ T^{3} + $$15\!\cdots\!45$$ T^{4} + $$23\!\cdots\!28$$ T^{5} + $$50\!\cdots\!70$$ T^{6} - $$18\!\cdots\!32$$ T^{7} - $$12\!\cdots\!64$$ T^{8} - $$18\!\cdots\!32$$ p^{9} T^{9} + $$50\!\cdots\!70$$ p^{18} T^{10} + $$23\!\cdots\!28$$ p^{27} T^{11} + $$15\!\cdots\!45$$ p^{36} T^{12} - $$14\!\cdots\!24$$ p^{45} T^{13} - 22806359737718 p^{54} T^{14} + 3232656 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	31	$ 1 + 3482576 T - 84666387090492 T^{2} - $$18\!\cdots\!08$$ T^{3} + $$47\!\cdots\!94$$ T^{4} + $$60\!\cdots\!48$$ T^{5} - $$18\!\cdots\!84$$ T^{6} - $$61\!\cdots\!08$$ T^{7} + $$55\!\cdots\!47$$ T^{8} - $$61\!\cdots\!08$$ p^{9} T^{9} - $$18\!\cdots\!84$$ p^{18} T^{10} + $$60\!\cdots\!48$$ p^{27} T^{11} + $$47\!\cdots\!94$$ p^{36} T^{12} - $$18\!\cdots\!08$$ p^{45} T^{13} - 84666387090492 p^{54} T^{14} + 3482576 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	37	$ ( 1 + 2487892 T + 426737747557378 T^{2} + $$84\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$78\!\cdots\!75$$ T^{4} + $$84\!\cdots\!80$$ p^{9} T^{5} + 426737747557378 p^{18} T^{6} + 2487892 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	41	$ 1 + 34657152 T - 344666917407812 T^{2} - $$14\!\cdots\!12$$ T^{3} + $$42\!\cdots\!50$$ T^{4} + $$83\!\cdots\!96$$ T^{5} - $$13\!\cdots\!20$$ T^{6} - $$39\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$73\!\cdots\!51$$ T^{8} - $$39\!\cdots\!96$$ p^{9} T^{9} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{18} T^{10} + $$83\!\cdots\!96$$ p^{27} T^{11} + $$42\!\cdots\!50$$ p^{36} T^{12} - $$14\!\cdots\!12$$ p^{45} T^{13} - 344666917407812 p^{54} T^{14} + 34657152 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	43	$ 1 - 41410000 T - 285852612011364 T^{2} + $$26\!\cdots\!68$$ T^{3} + $$27\!\cdots\!78$$ T^{4} - $$14\!\cdots\!88$$ T^{5} - $$11\!\cdots\!24$$ T^{6} + $$29\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$49\!\cdots\!11$$ T^{8} + $$29\!\cdots\!24$$ p^{9} T^{9} - $$11\!\cdots\!24$$ p^{18} T^{10} - $$14\!\cdots\!88$$ p^{27} T^{11} + $$27\!\cdots\!78$$ p^{36} T^{12} + $$26\!\cdots\!68$$ p^{45} T^{13} - 285852612011364 p^{54} T^{14} - 41410000 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	47	$ 1 + 40558848 T - 467455196135516 T^{2} + $$74\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$35\!\cdots\!22$$ T^{4} - $$40\!\cdots\!88$$ T^{5} + $$35\!\cdots\!40$$ T^{6} + $$14\!\cdots\!44$$ T^{7} - $$20\!\cdots\!13$$ T^{8} + $$14\!\cdots\!44$$ p^{9} T^{9} + $$35\!\cdots\!40$$ p^{18} T^{10} - $$40\!\cdots\!88$$ p^{27} T^{11} + $$35\!\cdots\!22$$ p^{36} T^{12} + $$74\!\cdots\!40$$ p^{45} T^{13} - 467455196135516 p^{54} T^{14} + 40558848 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	53	$ ( 1 - 8421024 T + 3661990464011540 T^{2} + $$23\!\cdots\!52$$ T^{3} + $$24\!\cdots\!46$$ T^{4} + $$23\!\cdots\!52$$ p^{9} T^{5} + 3661990464011540 p^{18} T^{6} - 8421024 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	59	$ 1 + 26843328 T - 15233430258833900 T^{2} - $$63\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!98$$ T^{4} + $$57\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$37\!\cdots\!72$$ T^{6} - $$24\!\cdots\!48$$ T^{7} - $$75\!\cdots\!09$$ T^{8} - $$24\!\cdots\!48$$ p^{9} T^{9} + $$37\!\cdots\!72$$ p^{18} T^{10} + $$57\!\cdots\!08$$ p^{27} T^{11} + $$10\!\cdots\!98$$ p^{36} T^{12} - $$63\!\cdots\!80$$ p^{45} T^{13} - 15233430258833900 p^{54} T^{14} + 26843328 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	61	$ 1 - 111504484 T - 32808147451141410 T^{2} + $$27\!\cdots\!12$$ T^{3} + $$82\!\cdots\!01$$ T^{4} - $$45\!\cdots\!92$$ T^{5} - $$13\!\cdots\!54$$ T^{6} + $$19\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$18\!\cdots\!20$$ T^{8} + $$19\!\cdots\!24$$ p^{9} T^{9} - $$13\!\cdots\!54$$ p^{18} T^{10} - $$45\!\cdots\!92$$ p^{27} T^{11} + $$82\!\cdots\!01$$ p^{36} T^{12} + $$27\!\cdots\!12$$ p^{45} T^{13} - 32808147451141410 p^{54} T^{14} - 111504484 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	67	$ 1 - 208064512 T - 25688393210852964 T^{2} + $$37\!\cdots\!24$$ T^{3} + $$78\!\cdots\!74$$ T^{4} - $$38\!\cdots\!20$$ T^{5} - $$10\!\cdots\!56$$ T^{6} + $$30\!\cdots\!80$$ T^{7} - $$21\!\cdots\!33$$ T^{8} + $$30\!\cdots\!80$$ p^{9} T^{9} - $$10\!\cdots\!56$$ p^{18} T^{10} - $$38\!\cdots\!20$$ p^{27} T^{11} + $$78\!\cdots\!74$$ p^{36} T^{12} + $$37\!\cdots\!24$$ p^{45} T^{13} - 25688393210852964 p^{54} T^{14} - 208064512 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	71	$ ( 1 - 356008272 T + 129232988292852932 T^{2} - $$22\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$62\!\cdots\!14$$ T^{4} - $$22\!\cdots\!60$$ p^{9} T^{5} + 129232988292852932 p^{18} T^{6} - 356008272 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	73	$ ( 1 + 37126108 T + 123395685184922122 T^{2} + $$20\!\cdots\!88$$ T^{3} + $$73\!\cdots\!35$$ T^{4} + $$20\!\cdots\!88$$ p^{9} T^{5} + 123395685184922122 p^{18} T^{6} + 37126108 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	79	$ 1 - 645134848 T + 9399830430280620 T^{2} + $$10\!\cdots\!80$$ T^{3} - $$16\!\cdots\!02$$ T^{4} - $$11\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$40\!\cdots\!32$$ T^{6} + $$98\!\cdots\!48$$ T^{7} - $$84\!\cdots\!49$$ T^{8} + $$98\!\cdots\!48$$ p^{9} T^{9} + $$40\!\cdots\!32$$ p^{18} T^{10} - $$11\!\cdots\!48$$ p^{27} T^{11} - $$16\!\cdots\!02$$ p^{36} T^{12} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{45} T^{13} + 9399830430280620 p^{54} T^{14} - 645134848 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	83	$ 1 + 1019036256 T + 95168392525582708 T^{2} - $$13\!\cdots\!36$$ T^{3} + $$50\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$52\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$18\!\cdots\!36$$ T^{6} - $$12\!\cdots\!88$$ T^{7} + $$26\!\cdots\!39$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!88$$ p^{9} T^{9} + $$18\!\cdots\!36$$ p^{18} T^{10} + $$52\!\cdots\!68$$ p^{27} T^{11} + $$50\!\cdots\!10$$ p^{36} T^{12} - $$13\!\cdots\!36$$ p^{45} T^{13} + 95168392525582708 p^{54} T^{14} + 1019036256 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
	89	$ ( 1 - 1548192768 T + 2232987824828793326 T^{2} - $$18\!\cdots\!88$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!07$$ T^{4} - $$18\!\cdots\!88$$ p^{9} T^{5} + 2232987824828793326 p^{18} T^{6} - 1548192768 p^{27} T^{7} + p^{36} T^{8} )^{2} $
	97	$ 1 + 1112014568 T + 342623331593914980 T^{2} + $$30\!\cdots\!56$$ T^{3} + $$30\!\cdots\!26$$ T^{4} + $$76\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$39\!\cdots\!64$$ T^{6} + $$35\!\cdots\!92$$ T^{7} + $$71\!\cdots\!87$$ T^{8} + $$35\!\cdots\!92$$ p^{9} T^{9} + $$39\!\cdots\!64$$ p^{18} T^{10} + $$76\!\cdots\!52$$ p^{27} T^{11} + $$30\!\cdots\!26$$ p^{36} T^{12} + $$30\!\cdots\!56$$ p^{45} T^{13} + 342623331593914980 p^{54} T^{14} + 1112014568 p^{63} T^{15} + p^{72} T^{16} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.00884319767341901252552174619, −3.97766683829142215351100000478, −3.74278841553253263335414889972, −3.69674651052323969280209227855, −3.53833232525003764810777157716, −3.46555111831441841758227096757, −3.44494996928361724288330296923, −3.25566675046672397803824562309, −3.14743961645948066740943486585, −2.86729513950782695003887611925, −2.68723231581122477184323334937, −2.31032269923550871309095072180, −2.29057780758764201354130379564, −2.19148739065103951509620169963, −2.04057436504225269847225481186, −1.89089694090311429217336964429, −1.32664560329949420973354226040, −1.23637038724789823419697216540, −1.08172427285536068796509499945, −1.02208693441847515108560841934, −0.891660160899874166420351228747, −0.69608595304856805013306712353, −0.46166164448600542165223358902, −0.24626439181398440953062097088, −0.01883763783510576609517979564, 0.01883763783510576609517979564, 0.24626439181398440953062097088, 0.46166164448600542165223358902, 0.69608595304856805013306712353, 0.891660160899874166420351228747, 1.02208693441847515108560841934, 1.08172427285536068796509499945, 1.23637038724789823419697216540, 1.32664560329949420973354226040, 1.89089694090311429217336964429, 2.04057436504225269847225481186, 2.19148739065103951509620169963, 2.29057780758764201354130379564, 2.31032269923550871309095072180, 2.68723231581122477184323334937, 2.86729513950782695003887611925, 3.14743961645948066740943486585, 3.25566675046672397803824562309, 3.44494996928361724288330296923, 3.46555111831441841758227096757, 3.53833232525003764810777157716, 3.69674651052323969280209227855, 3.74278841553253263335414889972, 3.97766683829142215351100000478, 4.00884319767341901252552174619

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(5)\)	\(\approx\)	\(0.2548403481\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.2548403481\)
\(L(\frac{11}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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