# Properties

 Label 14-4002e7-1.1-c1e7-0-0 Degree $14$ Conductor $1.644\times 10^{25}$ Sign $1$ Analytic cond. $3.40313\times 10^{10}$ Root an. cond. $5.65297$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 7·2-s + 7·3-s + 28·4-s + 5-s + 49·6-s − 2·7-s + 84·8-s + 28·9-s + 7·10-s + 11·11-s + 196·12-s − 13-s − 14·14-s + 7·15-s + 210·16-s + 18·17-s + 196·18-s + 6·19-s + 28·20-s − 14·21-s + 77·22-s + 7·23-s + 588·24-s − 11·25-s − 7·26-s + 84·27-s − 56·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 4.94·2-s + 4.04·3-s + 14·4-s + 0.447·5-s + 20.0·6-s − 0.755·7-s + 29.6·8-s + 28/3·9-s + 2.21·10-s + 3.31·11-s + 56.5·12-s − 0.277·13-s − 3.74·14-s + 1.80·15-s + 52.5·16-s + 4.36·17-s + 46.1·18-s + 1.37·19-s + 6.26·20-s − 3.05·21-s + 16.4·22-s + 1.45·23-s + 120.·24-s − 2.19·25-s − 1.37·26-s + 16.1·27-s − 10.5·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{7} \cdot 3^{7} \cdot 23^{7} \cdot 29^{7}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{7} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{7} \cdot 3^{7} \cdot 23^{7} \cdot 29^{7}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{7} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$14$$ Conductor: $$2^{7} \cdot 3^{7} \cdot 23^{7} \cdot 29^{7}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$3.40313\times 10^{10}$$ Root analytic conductor: $$5.65297$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(14,\ 2^{7} \cdot 3^{7} \cdot 23^{7} \cdot 29^{7} ,\ ( \ : [1/2]^{7} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$\approx$$ $$15294.45780$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$15294.45780$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad2 $$( 1 - T )^{7}$$
3 $$( 1 - T )^{7}$$
23 $$( 1 - T )^{7}$$
29 $$( 1 + T )^{7}$$
good5 $$1 - T + 12 T^{2} - 9 T^{3} + 14 p T^{4} + T^{5} + 297 T^{6} + 274 T^{7} + 297 p T^{8} + p^{2} T^{9} + 14 p^{4} T^{10} - 9 p^{4} T^{11} + 12 p^{5} T^{12} - p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
7 $$1 + 2 T + 23 T^{2} + 40 T^{3} + 255 T^{4} + 58 p T^{5} + 1977 T^{6} + 2976 T^{7} + 1977 p T^{8} + 58 p^{3} T^{9} + 255 p^{3} T^{10} + 40 p^{4} T^{11} + 23 p^{5} T^{12} + 2 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
11 $$1 - p T + 94 T^{2} - 557 T^{3} + 270 p T^{4} - 13045 T^{5} + 52889 T^{6} - 182502 T^{7} + 52889 p T^{8} - 13045 p^{2} T^{9} + 270 p^{4} T^{10} - 557 p^{4} T^{11} + 94 p^{5} T^{12} - p^{7} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
13 $$1 + T + 54 T^{2} + 45 T^{3} + 1424 T^{4} + 803 T^{5} + 24693 T^{6} + 10462 T^{7} + 24693 p T^{8} + 803 p^{2} T^{9} + 1424 p^{3} T^{10} + 45 p^{4} T^{11} + 54 p^{5} T^{12} + p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
17 $$1 - 18 T + 215 T^{2} - 1880 T^{3} + 13421 T^{4} - 80110 T^{5} + 409851 T^{6} - 1813456 T^{7} + 409851 p T^{8} - 80110 p^{2} T^{9} + 13421 p^{3} T^{10} - 1880 p^{4} T^{11} + 215 p^{5} T^{12} - 18 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
19 $$1 - 6 T + 63 T^{2} - 288 T^{3} + 1339 T^{4} - 3666 T^{5} + 11005 T^{6} - 13520 T^{7} + 11005 p T^{8} - 3666 p^{2} T^{9} + 1339 p^{3} T^{10} - 288 p^{4} T^{11} + 63 p^{5} T^{12} - 6 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
31 $$1 - 3 T + 108 T^{2} - 283 T^{3} + 6922 T^{4} - 18429 T^{5} + 9505 p T^{6} - 669642 T^{7} + 9505 p^{2} T^{8} - 18429 p^{2} T^{9} + 6922 p^{3} T^{10} - 283 p^{4} T^{11} + 108 p^{5} T^{12} - 3 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
37 $$1 - 5 T + 124 T^{2} - 19 p T^{3} + 10192 T^{4} - 48303 T^{5} + 530823 T^{6} - 2259322 T^{7} + 530823 p T^{8} - 48303 p^{2} T^{9} + 10192 p^{3} T^{10} - 19 p^{5} T^{11} + 124 p^{5} T^{12} - 5 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
41 $$1 - 25 T + 386 T^{2} - 3905 T^{3} + 29516 T^{4} - 161567 T^{5} + 728617 T^{6} - 3510126 T^{7} + 728617 p T^{8} - 161567 p^{2} T^{9} + 29516 p^{3} T^{10} - 3905 p^{4} T^{11} + 386 p^{5} T^{12} - 25 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
43 $$1 - 20 T + 371 T^{2} - 4284 T^{3} + 46807 T^{4} - 390556 T^{5} + 3171125 T^{6} - 20952040 T^{7} + 3171125 p T^{8} - 390556 p^{2} T^{9} + 46807 p^{3} T^{10} - 4284 p^{4} T^{11} + 371 p^{5} T^{12} - 20 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
47 $$1 + 193 T^{2} + 148 T^{3} + 19597 T^{4} + 17136 T^{5} + 1313197 T^{6} + 1057272 T^{7} + 1313197 p T^{8} + 17136 p^{2} T^{9} + 19597 p^{3} T^{10} + 148 p^{4} T^{11} + 193 p^{5} T^{12} + p^{7} T^{14}$$
53 $$1 + 4 T + 235 T^{2} + 1148 T^{3} + 28293 T^{4} + 130940 T^{5} + 2232023 T^{6} + 8645640 T^{7} + 2232023 p T^{8} + 130940 p^{2} T^{9} + 28293 p^{3} T^{10} + 1148 p^{4} T^{11} + 235 p^{5} T^{12} + 4 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
59 $$1 + 17 T + 420 T^{2} + 5053 T^{3} + 72670 T^{4} + 669603 T^{5} + 6997663 T^{6} + 50801054 T^{7} + 6997663 p T^{8} + 669603 p^{2} T^{9} + 72670 p^{3} T^{10} + 5053 p^{4} T^{11} + 420 p^{5} T^{12} + 17 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
61 $$1 - 5 T + 340 T^{2} - 1419 T^{3} + 53696 T^{4} - 187719 T^{5} + 5080663 T^{6} - 14587154 T^{7} + 5080663 p T^{8} - 187719 p^{2} T^{9} + 53696 p^{3} T^{10} - 1419 p^{4} T^{11} + 340 p^{5} T^{12} - 5 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
67 $$1 - 15 T + 378 T^{2} - 4975 T^{3} + 66408 T^{4} - 740105 T^{5} + 6961363 T^{6} - 63504594 T^{7} + 6961363 p T^{8} - 740105 p^{2} T^{9} + 66408 p^{3} T^{10} - 4975 p^{4} T^{11} + 378 p^{5} T^{12} - 15 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
71 $$1 - 15 T + 392 T^{2} - 3679 T^{3} + 58458 T^{4} - 408289 T^{5} + 5414907 T^{6} - 32164450 T^{7} + 5414907 p T^{8} - 408289 p^{2} T^{9} + 58458 p^{3} T^{10} - 3679 p^{4} T^{11} + 392 p^{5} T^{12} - 15 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
73 $$1 - 14 T + 463 T^{2} - 5200 T^{3} + 92565 T^{4} - 854242 T^{5} + 10684267 T^{6} - 80209088 T^{7} + 10684267 p T^{8} - 854242 p^{2} T^{9} + 92565 p^{3} T^{10} - 5200 p^{4} T^{11} + 463 p^{5} T^{12} - 14 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
79 $$1 + 4 T + 253 T^{2} - 252 T^{3} + 26201 T^{4} - 193396 T^{5} + 1719485 T^{6} - 23900392 T^{7} + 1719485 p T^{8} - 193396 p^{2} T^{9} + 26201 p^{3} T^{10} - 252 p^{4} T^{11} + 253 p^{5} T^{12} + 4 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
83 $$1 - 14 T + 539 T^{2} - 6100 T^{3} + 125791 T^{4} - 1160370 T^{5} + 16757717 T^{6} - 124585720 T^{7} + 16757717 p T^{8} - 1160370 p^{2} T^{9} + 125791 p^{3} T^{10} - 6100 p^{4} T^{11} + 539 p^{5} T^{12} - 14 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
89 $$1 - 8 T + 195 T^{2} - 772 T^{3} + 28737 T^{4} - 119800 T^{5} + 3219435 T^{6} - 9854840 T^{7} + 3219435 p T^{8} - 119800 p^{2} T^{9} + 28737 p^{3} T^{10} - 772 p^{4} T^{11} + 195 p^{5} T^{12} - 8 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
97 $$1 + 18 T + 517 T^{2} + 7512 T^{3} + 125323 T^{4} + 1485718 T^{5} + 18324399 T^{6} + 179829792 T^{7} + 18324399 p T^{8} + 1485718 p^{2} T^{9} + 125323 p^{3} T^{10} + 7512 p^{4} T^{11} + 517 p^{5} T^{12} + 18 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{14} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$