# Properties

 Label 12-912e6-1.1-c1e6-0-17 Degree $12$ Conductor $5.754\times 10^{17}$ Sign $1$ Analytic cond. $149152.$ Root an. cond. $2.69858$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $6$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 6·5-s − 9·7-s − 9·11-s − 6·13-s − 12·17-s − 18·19-s − 3·23-s + 18·25-s − 27-s − 6·31-s + 54·35-s − 12·41-s − 39·47-s + 27·49-s − 12·53-s + 54·55-s − 12·59-s + 27·61-s + 36·65-s − 36·67-s − 18·71-s − 9·73-s + 81·77-s + 18·79-s + 9·83-s + 72·85-s + 3·89-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2.68·5-s − 3.40·7-s − 2.71·11-s − 1.66·13-s − 2.91·17-s − 4.12·19-s − 0.625·23-s + 18/5·25-s − 0.192·27-s − 1.07·31-s + 9.12·35-s − 1.87·41-s − 5.68·47-s + 27/7·49-s − 1.64·53-s + 7.28·55-s − 1.56·59-s + 3.45·61-s + 4.46·65-s − 4.39·67-s − 2.13·71-s − 1.05·73-s + 9.23·77-s + 2.02·79-s + 0.987·83-s + 7.80·85-s + 0.317·89-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{24} \cdot 3^{6} \cdot 19^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{24} \cdot 3^{6} \cdot 19^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$12$$ Conductor: $$2^{24} \cdot 3^{6} \cdot 19^{6}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$149152.$$ Root analytic conductor: $$2.69858$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: induced by $\chi_{912} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$6$$ Selberg data: $$(12,\ 2^{24} \cdot 3^{6} \cdot 19^{6} ,\ ( \ : [1/2]^{6} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
3 $$1 + T^{3} + T^{6}$$
19 $$1 + 18 T + 144 T^{2} + 737 T^{3} + 144 p T^{4} + 18 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
good5 $$1 + 6 T + 18 T^{2} + 9 p T^{3} + 81 T^{4} + 87 T^{5} + 109 T^{6} + 87 p T^{7} + 81 p^{2} T^{8} + 9 p^{4} T^{9} + 18 p^{4} T^{10} + 6 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
7 $$1 + 9 T + 54 T^{2} + 243 T^{3} + 927 T^{4} + 3042 T^{5} + 8641 T^{6} + 3042 p T^{7} + 927 p^{2} T^{8} + 243 p^{3} T^{9} + 54 p^{4} T^{10} + 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
11 $$1 + 9 T + 60 T^{2} + 27 p T^{3} + 1239 T^{4} + 414 p T^{5} + 15797 T^{6} + 414 p^{2} T^{7} + 1239 p^{2} T^{8} + 27 p^{4} T^{9} + 60 p^{4} T^{10} + 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
13 $$1 + 6 T + 24 T^{2} + 84 T^{3} - 42 T^{4} - 1266 T^{5} - 4703 T^{6} - 1266 p T^{7} - 42 p^{2} T^{8} + 84 p^{3} T^{9} + 24 p^{4} T^{10} + 6 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
17 $$1 + 12 T + 54 T^{2} + 81 T^{3} + 9 p T^{4} + 3999 T^{5} + 27073 T^{6} + 3999 p T^{7} + 9 p^{3} T^{8} + 81 p^{3} T^{9} + 54 p^{4} T^{10} + 12 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
23 $$1 + 3 T + 24 T^{2} + 6 T^{3} - 39 T^{4} + 1131 T^{5} - 1033 T^{6} + 1131 p T^{7} - 39 p^{2} T^{8} + 6 p^{3} T^{9} + 24 p^{4} T^{10} + 3 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
29 $$1 - 18 T^{2} - 36 T^{3} + 1062 T^{4} - 1854 T^{5} - 18703 T^{6} - 1854 p T^{7} + 1062 p^{2} T^{8} - 36 p^{3} T^{9} - 18 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{12}$$
31 $$1 + 6 T - 12 T^{2} + 82 T^{3} + 198 T^{4} - 7146 T^{5} - 35829 T^{6} - 7146 p T^{7} + 198 p^{2} T^{8} + 82 p^{3} T^{9} - 12 p^{4} T^{10} + 6 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
37 $$1 - 60 T^{2} + 3768 T^{4} - 145631 T^{6} + 3768 p^{2} T^{8} - 60 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{12}$$
41 $$1 + 12 T - 39 T^{2} - 1443 T^{3} - 6699 T^{4} + 38607 T^{5} + 551234 T^{6} + 38607 p T^{7} - 6699 p^{2} T^{8} - 1443 p^{3} T^{9} - 39 p^{4} T^{10} + 12 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
43 $$1 + 18 T^{2} + 234 T^{3} - 1854 T^{4} - 11574 T^{5} - 44261 T^{6} - 11574 p T^{7} - 1854 p^{2} T^{8} + 234 p^{3} T^{9} + 18 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{12}$$
47 $$1 + 39 T + 699 T^{2} + 8097 T^{3} + 74832 T^{4} + 621420 T^{5} + 4589651 T^{6} + 621420 p T^{7} + 74832 p^{2} T^{8} + 8097 p^{3} T^{9} + 699 p^{4} T^{10} + 39 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
53 $$1 + 12 T + 51 T^{2} - 651 T^{3} - 5583 T^{4} - 10965 T^{5} + 186374 T^{6} - 10965 p T^{7} - 5583 p^{2} T^{8} - 651 p^{3} T^{9} + 51 p^{4} T^{10} + 12 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
59 $$1 + 12 T + 234 T^{2} + 2403 T^{3} + 22707 T^{4} + 218721 T^{5} + 1460809 T^{6} + 218721 p T^{7} + 22707 p^{2} T^{8} + 2403 p^{3} T^{9} + 234 p^{4} T^{10} + 12 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
61 $$1 - 27 T + 324 T^{2} - 2414 T^{3} + 12636 T^{4} - 35397 T^{5} + 18543 T^{6} - 35397 p T^{7} + 12636 p^{2} T^{8} - 2414 p^{3} T^{9} + 324 p^{4} T^{10} - 27 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
67 $$1 + 36 T + 576 T^{2} + 5362 T^{3} + 26892 T^{4} - 18954 T^{5} - 1159755 T^{6} - 18954 p T^{7} + 26892 p^{2} T^{8} + 5362 p^{3} T^{9} + 576 p^{4} T^{10} + 36 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
71 $$1 + 18 T + 198 T^{2} + 2088 T^{3} + 21024 T^{4} + 168804 T^{5} + 1342873 T^{6} + 168804 p T^{7} + 21024 p^{2} T^{8} + 2088 p^{3} T^{9} + 198 p^{4} T^{10} + 18 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
73 $$1 + 9 T - 18 T^{2} + 376 T^{3} - 351 T^{4} - 5157 T^{5} + 665553 T^{6} - 5157 p T^{7} - 351 p^{2} T^{8} + 376 p^{3} T^{9} - 18 p^{4} T^{10} + 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
79 $$1 - 18 T + 18 T^{2} + 2360 T^{3} - 22032 T^{4} - 72252 T^{5} + 2325153 T^{6} - 72252 p T^{7} - 22032 p^{2} T^{8} + 2360 p^{3} T^{9} + 18 p^{4} T^{10} - 18 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
83 $$1 - 9 T + 264 T^{2} - 2133 T^{3} + 40989 T^{4} - 292788 T^{5} + 4079453 T^{6} - 292788 p T^{7} + 40989 p^{2} T^{8} - 2133 p^{3} T^{9} + 264 p^{4} T^{10} - 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
89 $$1 - 3 T + 6 T^{2} - 2562 T^{3} + 3003 T^{4} - 8997 T^{5} + 2885051 T^{6} - 8997 p T^{7} + 3003 p^{2} T^{8} - 2562 p^{3} T^{9} + 6 p^{4} T^{10} - 3 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
97 $$1 + 3 T + 6 T^{2} + 1428 T^{3} - 3957 T^{4} - 93747 T^{5} + 930127 T^{6} - 93747 p T^{7} - 3957 p^{2} T^{8} + 1428 p^{3} T^{9} + 6 p^{4} T^{10} + 3 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{12} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$