# Properties

 Label 12-8470e6-1.1-c1e6-0-8 Degree $12$ Conductor $3.692\times 10^{23}$ Sign $1$ Analytic cond. $9.57112\times 10^{10}$ Root an. cond. $8.22394$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $6$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 6·2-s + 3-s + 21·4-s + 6·5-s − 6·6-s − 6·7-s − 56·8-s − 9-s − 36·10-s + 21·12-s − 2·13-s + 36·14-s + 6·15-s + 126·16-s − 7·17-s + 6·18-s − 11·19-s + 126·20-s − 6·21-s − 6·23-s − 56·24-s + 21·25-s + 12·26-s − 27-s − 126·28-s − 2·29-s − 36·30-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 4.24·2-s + 0.577·3-s + 21/2·4-s + 2.68·5-s − 2.44·6-s − 2.26·7-s − 19.7·8-s − 1/3·9-s − 11.3·10-s + 6.06·12-s − 0.554·13-s + 9.62·14-s + 1.54·15-s + 63/2·16-s − 1.69·17-s + 1.41·18-s − 2.52·19-s + 28.1·20-s − 1.30·21-s − 1.25·23-s − 11.4·24-s + 21/5·25-s + 2.35·26-s − 0.192·27-s − 23.8·28-s − 0.371·29-s − 6.57·30-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{6} \cdot 5^{6} \cdot 7^{6} \cdot 11^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{6} \cdot 5^{6} \cdot 7^{6} \cdot 11^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$12$$ Conductor: $$2^{6} \cdot 5^{6} \cdot 7^{6} \cdot 11^{12}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$9.57112\times 10^{10}$$ Root analytic conductor: $$8.22394$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: induced by $\chi_{8470} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$6$$ Selberg data: $$(12,\ 2^{6} \cdot 5^{6} \cdot 7^{6} \cdot 11^{12} ,\ ( \ : [1/2]^{6} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad2 $$( 1 + T )^{6}$$
5 $$( 1 - T )^{6}$$
7 $$( 1 + T )^{6}$$
11 $$1$$
good3 $$1 - T + 2 T^{2} - 2 T^{3} + p^{2} T^{4} - 2 p^{2} T^{5} + 43 T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} - 2 p^{3} T^{9} + 2 p^{4} T^{10} - p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
13 $$1 + 2 T + 46 T^{2} + 36 T^{3} + 1031 T^{4} + 418 T^{5} + 16136 T^{6} + 418 p T^{7} + 1031 p^{2} T^{8} + 36 p^{3} T^{9} + 46 p^{4} T^{10} + 2 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
17 $$1 + 7 T + 82 T^{2} + 412 T^{3} + 2667 T^{4} + 10758 T^{5} + 53119 T^{6} + 10758 p T^{7} + 2667 p^{2} T^{8} + 412 p^{3} T^{9} + 82 p^{4} T^{10} + 7 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
19 $$1 + 11 T + 134 T^{2} + 868 T^{3} + 6039 T^{4} + 28176 T^{5} + 145727 T^{6} + 28176 p T^{7} + 6039 p^{2} T^{8} + 868 p^{3} T^{9} + 134 p^{4} T^{10} + 11 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
23 $$1 + 6 T + 82 T^{2} + 22 p T^{3} + 3551 T^{4} + 19524 T^{5} + 99068 T^{6} + 19524 p T^{7} + 3551 p^{2} T^{8} + 22 p^{4} T^{9} + 82 p^{4} T^{10} + 6 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
29 $$1 + 2 T + 112 T^{2} + 112 T^{3} + 6199 T^{4} + 4674 T^{5} + 222956 T^{6} + 4674 p T^{7} + 6199 p^{2} T^{8} + 112 p^{3} T^{9} + 112 p^{4} T^{10} + 2 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
31 $$1 + 144 T^{2} + 58 T^{3} + 9523 T^{4} + 4926 T^{5} + 372956 T^{6} + 4926 p T^{7} + 9523 p^{2} T^{8} + 58 p^{3} T^{9} + 144 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{12}$$
37 $$1 + 14 T + 170 T^{2} + 1256 T^{3} + 8519 T^{4} + 43862 T^{5} + 266248 T^{6} + 43862 p T^{7} + 8519 p^{2} T^{8} + 1256 p^{3} T^{9} + 170 p^{4} T^{10} + 14 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
41 $$1 + 13 T + 262 T^{2} + 2314 T^{3} + 26585 T^{4} + 175582 T^{5} + 857 p^{2} T^{6} + 175582 p T^{7} + 26585 p^{2} T^{8} + 2314 p^{3} T^{9} + 262 p^{4} T^{10} + 13 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
43 $$1 + 19 T + 278 T^{2} + 2670 T^{3} + 21395 T^{4} + 144524 T^{5} + 950221 T^{6} + 144524 p T^{7} + 21395 p^{2} T^{8} + 2670 p^{3} T^{9} + 278 p^{4} T^{10} + 19 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
47 $$1 - 22 T + 322 T^{2} - 3242 T^{3} + 27887 T^{4} - 204308 T^{5} + 1456284 T^{6} - 204308 p T^{7} + 27887 p^{2} T^{8} - 3242 p^{3} T^{9} + 322 p^{4} T^{10} - 22 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
53 $$1 + 10 T + 268 T^{2} + 2312 T^{3} + 32335 T^{4} + 229038 T^{5} + 2219396 T^{6} + 229038 p T^{7} + 32335 p^{2} T^{8} + 2312 p^{3} T^{9} + 268 p^{4} T^{10} + 10 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
59 $$1 + 7 T + 282 T^{2} + 1772 T^{3} + 35099 T^{4} + 191984 T^{5} + 2589251 T^{6} + 191984 p T^{7} + 35099 p^{2} T^{8} + 1772 p^{3} T^{9} + 282 p^{4} T^{10} + 7 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
61 $$1 + 22 T + 410 T^{2} + 4232 T^{3} + 41271 T^{4} + 272662 T^{5} + 2325648 T^{6} + 272662 p T^{7} + 41271 p^{2} T^{8} + 4232 p^{3} T^{9} + 410 p^{4} T^{10} + 22 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
67 $$1 - 5 T + 176 T^{2} - 496 T^{3} + 12781 T^{4} + 15162 T^{5} + 728231 T^{6} + 15162 p T^{7} + 12781 p^{2} T^{8} - 496 p^{3} T^{9} + 176 p^{4} T^{10} - 5 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
71 $$1 - 8 T + 252 T^{2} - 1754 T^{3} + 29715 T^{4} - 177122 T^{5} + 2381652 T^{6} - 177122 p T^{7} + 29715 p^{2} T^{8} - 1754 p^{3} T^{9} + 252 p^{4} T^{10} - 8 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
73 $$1 + 13 T + 268 T^{2} + 2302 T^{3} + 28743 T^{4} + 204130 T^{5} + 2189947 T^{6} + 204130 p T^{7} + 28743 p^{2} T^{8} + 2302 p^{3} T^{9} + 268 p^{4} T^{10} + 13 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
79 $$1 - 16 T + 224 T^{2} - 2498 T^{3} + 34039 T^{4} - 291126 T^{5} + 2720252 T^{6} - 291126 p T^{7} + 34039 p^{2} T^{8} - 2498 p^{3} T^{9} + 224 p^{4} T^{10} - 16 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
83 $$1 - 5 T + 304 T^{2} - 2048 T^{3} + 45651 T^{4} - 335256 T^{5} + 4479499 T^{6} - 335256 p T^{7} + 45651 p^{2} T^{8} - 2048 p^{3} T^{9} + 304 p^{4} T^{10} - 5 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
89 $$1 - T + 196 T^{2} - 624 T^{3} + 29603 T^{4} - 71168 T^{5} + 3211265 T^{6} - 71168 p T^{7} + 29603 p^{2} T^{8} - 624 p^{3} T^{9} + 196 p^{4} T^{10} - p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
97 $$1 + 3 T + 342 T^{2} - 982 T^{3} + 39927 T^{4} - 437408 T^{5} + 3130779 T^{6} - 437408 p T^{7} + 39927 p^{2} T^{8} - 982 p^{3} T^{9} + 342 p^{4} T^{10} + 3 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{12} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$