LMFDB - L-function 12-75e6-1.1-c17e6-0-3

Dirichlet series

L(s) = 1

− 338·2^-s + 3.93e4·3^-s − 1.39e5·4^-s − 1.33e7·6^-s + 2.09e7·7^-s + 8.31e7·8^-s + 9.03e8·9^-s + 8.59e7·11^-s − 5.49e9·12^-s + 3.44e8·13^-s − 7.09e9·14^-s − 8.63e9·16^-s + 4.87e10·17^-s − 3.05e11·18^-s + 2.71e10·19^-s + 8.26e11·21^-s − 2.90e10·22^-s − 7.10e10·23^-s + 3.27e12·24^-s − 1.16e11·26^-s + 1.58e13·27^-s − 2.92e12·28^-s − 6.86e11·29^-s − 1.87e12·31^-s − 4.64e12·32^-s + 3.38e12·33^-s − 1.64e13·34^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.933·2^-s + 3.46·3^-s − 1.06·4^-s − 3.23·6^-s + 1.37·7^-s + 1.75·8^-s + 7·9^-s + 0.120·11^-s − 3.68·12^-s + 0.117·13^-s − 1.28·14^-s − 0.502·16^-s + 1.69·17^-s − 6.53·18^-s + 0.367·19^-s + 4.76·21^-s − 0.112·22^-s − 0.189·23^-s + 6.07·24^-s − 0.109·26^-s + 10.7·27^-s − 1.46·28^-s − 0.254·29^-s − 0.394·31^-s − 0.747·32^-s + 0.418·33^-s − 1.58·34^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{6} \cdot 5^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(18-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{6} \cdot 5^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+17/2)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$12$
Conductor:	$3^{6} \cdot 5^{12}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$6.73340\times 10^{12}$
Root analytic conductor:	$11.7224$
Motivic weight:	$17$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(12,\ 3^{6} \cdot 5^{12} ,\ ( \ : [17/2]^{6} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(9)$	$\approx$	$96.46597688$
$L(\frac12)$	$\approx$	$96.46597688$
$L(\frac{19}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	3	$ ( 1 - p^{8} T )^{6} $
	5	$ 1 $
good	2	$ 1 + 169 p T + 126857 p T^{2} + 194149 p^{8} T^{3} + 1021913121 p^{5} T^{4} + 2169671807 p^{11} T^{5} + 585265022317 p^{13} T^{6} + 2169671807 p^{28} T^{7} + 1021913121 p^{39} T^{8} + 194149 p^{59} T^{9} + 126857 p^{69} T^{10} + 169 p^{86} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	7	$ 1 - 20999794 T + 969232642679649 T^{2} - $$23\!\cdots\!86$$ p T^{3} + $$84\!\cdots\!14$$ p^{2} T^{4} - $$24\!\cdots\!62$$ p^{4} T^{5} + $$96\!\cdots\!37$$ p^{6} T^{6} - $$24\!\cdots\!62$$ p^{21} T^{7} + $$84\!\cdots\!14$$ p^{36} T^{8} - $$23\!\cdots\!86$$ p^{52} T^{9} + 969232642679649 p^{68} T^{10} - 20999794 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	11	$ 1 - 85907324 T + 1496249333660162734 T^{2} + $$50\!\cdots\!92$$ p T^{3} + $$10\!\cdots\!73$$ p^{3} T^{4} + $$23\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{5} + $$56\!\cdots\!08$$ p^{4} T^{6} + $$23\!\cdots\!60$$ p^{20} T^{7} + $$10\!\cdots\!73$$ p^{37} T^{8} + $$50\!\cdots\!92$$ p^{52} T^{9} + 1496249333660162734 p^{68} T^{10} - 85907324 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	13	$ 1 - 344649098 T - 4128208198022675635 T^{2} + $$11\!\cdots\!82$$ p T^{3} + $$80\!\cdots\!10$$ p^{2} T^{4} + $$33\!\cdots\!26$$ p^{3} T^{5} - $$15\!\cdots\!79$$ p^{4} T^{6} + $$33\!\cdots\!26$$ p^{20} T^{7} + $$80\!\cdots\!10$$ p^{36} T^{8} + $$11\!\cdots\!82$$ p^{52} T^{9} - 4128208198022675635 p^{68} T^{10} - 344649098 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	17	$ 1 - 2867193284 p T + $$48\!\cdots\!22$$ T^{2} - $$10\!\cdots\!60$$ p T^{3} + $$10\!\cdots\!55$$ T^{4} - $$16\!\cdots\!04$$ p T^{5} + $$11\!\cdots\!44$$ T^{6} - $$16\!\cdots\!04$$ p^{18} T^{7} + $$10\!\cdots\!55$$ p^{34} T^{8} - $$10\!\cdots\!60$$ p^{52} T^{9} + $$48\!\cdots\!22$$ p^{68} T^{10} - 2867193284 p^{86} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	19	$ 1 - 27193720402 T + $$96\!\cdots\!17$$ T^{2} - $$63\!\cdots\!14$$ T^{3} + $$84\!\cdots\!78$$ T^{4} - $$38\!\cdots\!78$$ T^{5} + $$59\!\cdots\!33$$ T^{6} - $$38\!\cdots\!78$$ p^{17} T^{7} + $$84\!\cdots\!78$$ p^{34} T^{8} - $$63\!\cdots\!14$$ p^{51} T^{9} + $$96\!\cdots\!17$$ p^{68} T^{10} - 27193720402 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	23	$ 1 + 71031572148 T + $$33\!\cdots\!46$$ T^{2} - $$38\!\cdots\!64$$ T^{3} + $$68\!\cdots\!31$$ T^{4} - $$71\!\cdots\!36$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!12$$ T^{6} - $$71\!\cdots\!36$$ p^{17} T^{7} + $$68\!\cdots\!31$$ p^{34} T^{8} - $$38\!\cdots\!64$$ p^{51} T^{9} + $$33\!\cdots\!46$$ p^{68} T^{10} + 71031572148 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	29	$ 1 + 686216807636 T + $$17\!\cdots\!66$$ T^{2} - $$15\!\cdots\!32$$ T^{3} + $$11\!\cdots\!67$$ T^{4} - $$43\!\cdots\!44$$ T^{5} + $$61\!\cdots\!72$$ T^{6} - $$43\!\cdots\!44$$ p^{17} T^{7} + $$11\!\cdots\!67$$ p^{34} T^{8} - $$15\!\cdots\!32$$ p^{51} T^{9} + $$17\!\cdots\!66$$ p^{68} T^{10} + 686216807636 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	31	$ 1 + 1873231882354 T + $$91\!\cdots\!13$$ T^{2} + $$23\!\cdots\!02$$ T^{3} + $$38\!\cdots\!58$$ T^{4} + $$11\!\cdots\!46$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!17$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!46$$ p^{17} T^{7} + $$38\!\cdots\!58$$ p^{34} T^{8} + $$23\!\cdots\!02$$ p^{51} T^{9} + $$91\!\cdots\!13$$ p^{68} T^{10} + 1873231882354 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	37	$ 1 - 19242169234164 T + $$22\!\cdots\!74$$ T^{2} - $$31\!\cdots\!52$$ T^{3} + $$21\!\cdots\!91$$ T^{4} - $$24\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!48$$ T^{6} - $$24\!\cdots\!72$$ p^{17} T^{7} + $$21\!\cdots\!91$$ p^{34} T^{8} - $$31\!\cdots\!52$$ p^{51} T^{9} + $$22\!\cdots\!74$$ p^{68} T^{10} - 19242169234164 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	41	$ 1 - 221880229804096 T + $$28\!\cdots\!58$$ T^{2} - $$61\!\cdots\!28$$ p T^{3} + $$17\!\cdots\!43$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!84$$ T^{5} + $$55\!\cdots\!72$$ T^{6} - $$10\!\cdots\!84$$ p^{17} T^{7} + $$17\!\cdots\!43$$ p^{34} T^{8} - $$61\!\cdots\!28$$ p^{52} T^{9} + $$28\!\cdots\!58$$ p^{68} T^{10} - 221880229804096 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	43	$ 1 + 61700614892950 T + $$12\!\cdots\!65$$ T^{2} + $$93\!\cdots\!50$$ T^{3} + $$14\!\cdots\!22$$ T^{4} + $$87\!\cdots\!50$$ T^{5} + $$87\!\cdots\!45$$ T^{6} + $$87\!\cdots\!50$$ p^{17} T^{7} + $$14\!\cdots\!22$$ p^{34} T^{8} + $$93\!\cdots\!50$$ p^{51} T^{9} + $$12\!\cdots\!65$$ p^{68} T^{10} + 61700614892950 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	47	$ 1 - 314747038040020 T + $$82\!\cdots\!30$$ T^{2} - $$12\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$14\!\cdots\!07$$ T^{4} - $$74\!\cdots\!60$$ T^{5} - $$23\!\cdots\!60$$ T^{6} - $$74\!\cdots\!60$$ p^{17} T^{7} + $$14\!\cdots\!07$$ p^{34} T^{8} - $$12\!\cdots\!40$$ p^{51} T^{9} + $$82\!\cdots\!30$$ p^{68} T^{10} - 314747038040020 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	53	$ 1 - 1423050064341352 T + $$16\!\cdots\!26$$ T^{2} - $$12\!\cdots\!24$$ T^{3} + $$79\!\cdots\!11$$ T^{4} - $$39\!\cdots\!96$$ T^{5} + $$19\!\cdots\!92$$ T^{6} - $$39\!\cdots\!96$$ p^{17} T^{7} + $$79\!\cdots\!11$$ p^{34} T^{8} - $$12\!\cdots\!24$$ p^{51} T^{9} + $$16\!\cdots\!26$$ p^{68} T^{10} - 1423050064341352 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	59	$ 1 + 1863818311706812 T + $$52\!\cdots\!62$$ T^{2} + $$56\!\cdots\!04$$ T^{3} + $$11\!\cdots\!63$$ T^{4} + $$97\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$16\!\cdots\!48$$ T^{6} + $$97\!\cdots\!68$$ p^{17} T^{7} + $$11\!\cdots\!63$$ p^{34} T^{8} + $$56\!\cdots\!04$$ p^{51} T^{9} + $$52\!\cdots\!62$$ p^{68} T^{10} + 1863818311706812 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	61	$ 1 - 2566675276206010 T + $$10\!\cdots\!49$$ T^{2} - $$18\!\cdots\!70$$ T^{3} + $$45\!\cdots\!90$$ T^{4} - $$63\!\cdots\!70$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!05$$ T^{6} - $$63\!\cdots\!70$$ p^{17} T^{7} + $$45\!\cdots\!90$$ p^{34} T^{8} - $$18\!\cdots\!70$$ p^{51} T^{9} + $$10\!\cdots\!49$$ p^{68} T^{10} - 2566675276206010 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	67	$ 1 + 1098817645784222 T + $$37\!\cdots\!97$$ T^{2} + $$27\!\cdots\!30$$ T^{3} + $$74\!\cdots\!30$$ T^{4} + $$36\!\cdots\!82$$ T^{5} + $$96\!\cdots\!69$$ T^{6} + $$36\!\cdots\!82$$ p^{17} T^{7} + $$74\!\cdots\!30$$ p^{34} T^{8} + $$27\!\cdots\!30$$ p^{51} T^{9} + $$37\!\cdots\!97$$ p^{68} T^{10} + 1098817645784222 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	71	$ 1 + 2129839058265728 T + $$73\!\cdots\!06$$ T^{2} - $$94\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$24\!\cdots\!95$$ T^{4} - $$90\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$76\!\cdots\!44$$ T^{6} - $$90\!\cdots\!92$$ p^{17} T^{7} + $$24\!\cdots\!95$$ p^{34} T^{8} - $$94\!\cdots\!20$$ p^{51} T^{9} + $$73\!\cdots\!06$$ p^{68} T^{10} + 2129839058265728 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	73	$ 1 - 13688077112354132 T + $$29\!\cdots\!86$$ T^{2} - $$28\!\cdots\!44$$ T^{3} + $$35\!\cdots\!11$$ T^{4} - $$25\!\cdots\!56$$ T^{5} + $$22\!\cdots\!72$$ T^{6} - $$25\!\cdots\!56$$ p^{17} T^{7} + $$35\!\cdots\!11$$ p^{34} T^{8} - $$28\!\cdots\!44$$ p^{51} T^{9} + $$29\!\cdots\!86$$ p^{68} T^{10} - 13688077112354132 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	79	$ 1 + 4340635048065760 T + $$18\!\cdots\!54$$ T^{2} + $$91\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$91\!\cdots\!15$$ T^{4} + $$17\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$99\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$17\!\cdots\!00$$ p^{17} T^{7} + $$91\!\cdots\!15$$ p^{34} T^{8} + $$91\!\cdots\!00$$ p^{52} T^{9} + $$18\!\cdots\!54$$ p^{68} T^{10} + 4340635048065760 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	83	$ 1 - 306584076554076 T + $$14\!\cdots\!26$$ T^{2} + $$65\!\cdots\!08$$ T^{3} + $$85\!\cdots\!47$$ T^{4} + $$81\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$37\!\cdots\!56$$ T^{6} + $$81\!\cdots\!48$$ p^{17} T^{7} + $$85\!\cdots\!47$$ p^{34} T^{8} + $$65\!\cdots\!08$$ p^{51} T^{9} + $$14\!\cdots\!26$$ p^{68} T^{10} - 306584076554076 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	89	$ 1 - 82066415686814592 T + $$84\!\cdots\!02$$ T^{2} - $$45\!\cdots\!04$$ T^{3} + $$28\!\cdots\!03$$ T^{4} - $$11\!\cdots\!88$$ T^{5} + $$51\!\cdots\!88$$ T^{6} - $$11\!\cdots\!88$$ p^{17} T^{7} + $$28\!\cdots\!03$$ p^{34} T^{8} - $$45\!\cdots\!04$$ p^{51} T^{9} + $$84\!\cdots\!02$$ p^{68} T^{10} - 82066415686814592 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
	97	$ 1 + 13942082667796902 T + $$18\!\cdots\!57$$ T^{2} + $$49\!\cdots\!30$$ T^{3} + $$19\!\cdots\!30$$ T^{4} + $$41\!\cdots\!82$$ T^{5} + $$14\!\cdots\!57$$ p T^{6} + $$41\!\cdots\!82$$ p^{17} T^{7} + $$19\!\cdots\!30$$ p^{34} T^{8} + $$49\!\cdots\!30$$ p^{51} T^{9} + $$18\!\cdots\!57$$ p^{68} T^{10} + 13942082667796902 p^{85} T^{11} + p^{102} T^{12} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{12} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−5.13170316937997339903478881035, −4.53756945609042743241666646414, −4.52046155791379987427356913783, −4.35425181287806013587292628205, −4.25171082831248247568231506211, −4.05883390443211021879851232390, −4.00633430203551714703919111117, −3.56040711718281874464918277227, −3.40856380427934292614566765637, −3.30458099247837594352496038799, −3.01789388283301511958756546690, −2.72082767466881951941071754193, −2.71308250502232260326127334511, −2.42074289769904195467502384444, −2.25896820388128421361844913187, −1.92332600035384662740606084077, −1.73982695776437796873710705938, −1.73417012411726939316005031023, −1.49441953891111782807191260925, −1.17791575990309056079248682065, −0.890892507079424956456325231263, −0.837208496011743762916177644831, −0.72050077441615381218009873792, −0.41859752817226026926272815716, −0.39727361839453533158452661256, 0.39727361839453533158452661256, 0.41859752817226026926272815716, 0.72050077441615381218009873792, 0.837208496011743762916177644831, 0.890892507079424956456325231263, 1.17791575990309056079248682065, 1.49441953891111782807191260925, 1.73417012411726939316005031023, 1.73982695776437796873710705938, 1.92332600035384662740606084077, 2.25896820388128421361844913187, 2.42074289769904195467502384444, 2.71308250502232260326127334511, 2.72082767466881951941071754193, 3.01789388283301511958756546690, 3.30458099247837594352496038799, 3.40856380427934292614566765637, 3.56040711718281874464918277227, 4.00633430203551714703919111117, 4.05883390443211021879851232390, 4.25171082831248247568231506211, 4.35425181287806013587292628205, 4.52046155791379987427356913783, 4.53756945609042743241666646414, 5.13170316937997339903478881035

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$
Belyi maps

\(L(9)\)	\(\approx\)	\(96.46597688\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(96.46597688\)
\(L(\frac{19}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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