LMFDB - L-function 12-50e6-1.1-c25e6-0-1

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 2.45e4·2^-s − 8.01e5·3^-s + 3.52e8·4^-s − 1.96e10·6^-s − 3.40e10·7^-s + 3.84e12·8^-s − 1.94e12·9^-s + 9.86e12·11^-s − 2.82e14·12^-s − 3.07e13·13^-s − 8.35e14·14^-s + 3.54e16·16^-s − 3.43e15·17^-s − 4.79e16·18^-s + 2.00e15·19^-s + 2.72e16·21^-s + 2.42e17·22^-s − 1.35e17·23^-s − 3.08e18·24^-s − 7.56e17·26^-s + 1.69e18·27^-s − 1.19e19·28^-s − 2.92e18·29^-s + 7.92e16·31^-s + 2.90e20·32^-s − 7.90e18·33^-s − 8.43e19·34^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 4.24·2^-s − 0.870·3^-s + 21/2·4^-s − 3.69·6^-s − 0.928·7^-s + 19.7·8^-s − 2.30·9^-s + 0.947·11^-s − 9.14·12^-s − 0.366·13^-s − 3.93·14^-s + 63/2·16^-s − 1.42·17^-s − 9.76·18^-s + 0.208·19^-s + 0.808·21^-s + 4.01·22^-s − 1.29·23^-s − 17.2·24^-s − 1.55·26^-s + 2.17·27^-s − 9.75·28^-s − 1.53·29^-s + 0.0180·31^-s + 44.5·32^-s − 0.824·33^-s − 6.06·34^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{6} \cdot 5^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(26-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{6} \cdot 5^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+25/2)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$12$
Conductor:	$2^{6} \cdot 5^{12}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$6.02517\times 10^{13}$
Root analytic conductor:	$14.0711$
Motivic weight:	$25$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$6$
Selberg data:	$(12,\ 2^{6} \cdot 5^{12} ,\ ( \ : [25/2]^{6} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(13)$	$=$	$0$
$L(\frac12)$	$=$	$0$
$L(\frac{27}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ ( 1 - p^{12} T )^{6} $
	5	$ 1 $
good	3	$ 1 + 801416 T + 864088413266 p T^{2} + 23978389710317560 p^{4} T^{3} + $$17\!\cdots\!65$$ p^{7} T^{4} + $$45\!\cdots\!24$$ p^{10} T^{5} + $$93\!\cdots\!56$$ p^{16} T^{6} + $$45\!\cdots\!24$$ p^{35} T^{7} + $$17\!\cdots\!65$$ p^{57} T^{8} + 23978389710317560 p^{79} T^{9} + 864088413266 p^{101} T^{10} + 801416 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	7	$ 1 + 34007705352 T + $$37\!\cdots\!02$$ T^{2} + $$10\!\cdots\!40$$ p T^{3} + $$15\!\cdots\!85$$ p^{3} T^{4} + $$87\!\cdots\!76$$ p^{5} T^{5} + $$10\!\cdots\!04$$ p^{8} T^{6} + $$87\!\cdots\!76$$ p^{30} T^{7} + $$15\!\cdots\!85$$ p^{53} T^{8} + $$10\!\cdots\!40$$ p^{76} T^{9} + $$37\!\cdots\!02$$ p^{100} T^{10} + 34007705352 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	11	$ 1 - 9861544614312 T + $$53\!\cdots\!06$$ p T^{2} - $$40\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{3} + $$11\!\cdots\!45$$ p^{3} T^{4} - $$63\!\cdots\!92$$ p^{5} T^{5} + $$11\!\cdots\!44$$ p^{7} T^{6} - $$63\!\cdots\!92$$ p^{30} T^{7} + $$11\!\cdots\!45$$ p^{53} T^{8} - $$40\!\cdots\!20$$ p^{77} T^{9} + $$53\!\cdots\!06$$ p^{101} T^{10} - 9861544614312 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	13	$ 1 + 30787386783696 T + $$17\!\cdots\!98$$ T^{2} + $$15\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$15\!\cdots\!35$$ p T^{4} + $$89\!\cdots\!04$$ p^{2} T^{5} + $$73\!\cdots\!48$$ p^{3} T^{6} + $$89\!\cdots\!04$$ p^{27} T^{7} + $$15\!\cdots\!35$$ p^{51} T^{8} + $$15\!\cdots\!60$$ p^{75} T^{9} + $$17\!\cdots\!98$$ p^{100} T^{10} + 30787386783696 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	17	$ 1 + 3432836939805312 T + $$15\!\cdots\!02$$ T^{2} + $$16\!\cdots\!40$$ p T^{3} + $$22\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{4} + $$28\!\cdots\!64$$ p^{3} T^{5} + $$20\!\cdots\!44$$ p^{4} T^{6} + $$28\!\cdots\!64$$ p^{28} T^{7} + $$22\!\cdots\!95$$ p^{52} T^{8} + $$16\!\cdots\!40$$ p^{76} T^{9} + $$15\!\cdots\!02$$ p^{100} T^{10} + 3432836939805312 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	19	$ 1 - 2007656488916520 T + $$25\!\cdots\!94$$ T^{2} + $$52\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$51\!\cdots\!85$$ p^{3} T^{4} + $$27\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$31\!\cdots\!80$$ p^{4} T^{6} + $$27\!\cdots\!00$$ p^{28} T^{7} + $$51\!\cdots\!85$$ p^{53} T^{8} + $$52\!\cdots\!00$$ p^{76} T^{9} + $$25\!\cdots\!94$$ p^{100} T^{10} - 2007656488916520 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	23	$ 1 + 135711886432707576 T + $$11\!\cdots\!26$$ p T^{2} + $$56\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{3} + $$36\!\cdots\!65$$ p^{3} T^{4} + $$15\!\cdots\!36$$ p^{4} T^{5} + $$87\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{6} + $$15\!\cdots\!36$$ p^{29} T^{7} + $$36\!\cdots\!65$$ p^{53} T^{8} + $$56\!\cdots\!40$$ p^{77} T^{9} + $$11\!\cdots\!26$$ p^{101} T^{10} + 135711886432707576 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	29	$ 1 + 2926032031655504820 T + $$19\!\cdots\!94$$ T^{2} + $$38\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$14\!\cdots\!15$$ T^{4} + $$22\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$67\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$22\!\cdots\!00$$ p^{25} T^{7} + $$14\!\cdots\!15$$ p^{50} T^{8} + $$38\!\cdots\!00$$ p^{75} T^{9} + $$19\!\cdots\!94$$ p^{100} T^{10} + 2926032031655504820 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	31	$ 1 - 79292935777014912 T + $$37\!\cdots\!66$$ T^{2} + $$43\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!95$$ T^{4} + $$22\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$17\!\cdots\!24$$ T^{6} + $$22\!\cdots\!08$$ p^{25} T^{7} + $$10\!\cdots\!95$$ p^{50} T^{8} + $$43\!\cdots\!80$$ p^{75} T^{9} + $$37\!\cdots\!66$$ p^{100} T^{10} - 79292935777014912 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	37	$ 1 + 3345885298190974032 T + $$32\!\cdots\!02$$ T^{2} - $$73\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$62\!\cdots\!55$$ T^{4} - $$28\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$22\!\cdots\!72$$ p T^{6} - $$28\!\cdots\!68$$ p^{25} T^{7} + $$62\!\cdots\!55$$ p^{50} T^{8} - $$73\!\cdots\!20$$ p^{75} T^{9} + $$32\!\cdots\!02$$ p^{100} T^{10} + 3345885298190974032 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	41	$ 1 - $$10\!\cdots\!12$$ T + $$70\!\cdots\!66$$ T^{2} - $$43\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$20\!\cdots\!95$$ T^{4} - $$57\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$41\!\cdots\!24$$ T^{6} - $$57\!\cdots\!92$$ p^{25} T^{7} + $$20\!\cdots\!95$$ p^{50} T^{8} - $$43\!\cdots\!20$$ p^{75} T^{9} + $$70\!\cdots\!66$$ p^{100} T^{10} - $$10\!\cdots\!12$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	43	$ 1 + $$16\!\cdots\!36$$ T + $$21\!\cdots\!98$$ T^{2} + $$90\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$16\!\cdots\!55$$ T^{4} - $$20\!\cdots\!24$$ T^{5} + $$88\!\cdots\!96$$ T^{6} - $$20\!\cdots\!24$$ p^{25} T^{7} + $$16\!\cdots\!55$$ p^{50} T^{8} + $$90\!\cdots\!60$$ p^{75} T^{9} + $$21\!\cdots\!98$$ p^{100} T^{10} + $$16\!\cdots\!36$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	47	$ 1 + $$40\!\cdots\!92$$ T + $$19\!\cdots\!02$$ T^{2} + $$42\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$21\!\cdots\!55$$ T^{4} + $$48\!\cdots\!32$$ T^{5} + $$16\!\cdots\!84$$ T^{6} + $$48\!\cdots\!32$$ p^{25} T^{7} + $$21\!\cdots\!55$$ p^{50} T^{8} + $$42\!\cdots\!80$$ p^{75} T^{9} + $$19\!\cdots\!02$$ p^{100} T^{10} + $$40\!\cdots\!92$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	53	$ 1 + $$97\!\cdots\!16$$ T + $$76\!\cdots\!98$$ T^{2} + $$35\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$15\!\cdots\!55$$ T^{4} + $$51\!\cdots\!76$$ T^{5} + $$20\!\cdots\!76$$ T^{6} + $$51\!\cdots\!76$$ p^{25} T^{7} + $$15\!\cdots\!55$$ p^{50} T^{8} + $$35\!\cdots\!60$$ p^{75} T^{9} + $$76\!\cdots\!98$$ p^{100} T^{10} + $$97\!\cdots\!16$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	59	$ 1 + $$12\!\cdots\!40$$ T + $$87\!\cdots\!94$$ T^{2} + $$92\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$58\!\cdots\!85$$ p T^{4} + $$30\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$81\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$30\!\cdots\!00$$ p^{25} T^{7} + $$58\!\cdots\!85$$ p^{51} T^{8} + $$92\!\cdots\!00$$ p^{75} T^{9} + $$87\!\cdots\!94$$ p^{100} T^{10} + $$12\!\cdots\!40$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	61	$ 1 - $$36\!\cdots\!12$$ T + $$16\!\cdots\!66$$ T^{2} - $$72\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$11\!\cdots\!95$$ T^{4} - $$58\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$58\!\cdots\!24$$ T^{6} - $$58\!\cdots\!92$$ p^{25} T^{7} + $$11\!\cdots\!95$$ p^{50} T^{8} - $$72\!\cdots\!20$$ p^{75} T^{9} + $$16\!\cdots\!66$$ p^{100} T^{10} - $$36\!\cdots\!12$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	67	$ 1 + $$16\!\cdots\!12$$ T + $$91\!\cdots\!02$$ T^{2} - $$25\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$56\!\cdots\!55$$ T^{4} - $$80\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$23\!\cdots\!24$$ T^{6} - $$80\!\cdots\!68$$ p^{25} T^{7} + $$56\!\cdots\!55$$ p^{50} T^{8} - $$25\!\cdots\!20$$ p^{75} T^{9} + $$91\!\cdots\!02$$ p^{100} T^{10} + $$16\!\cdots\!12$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	71	$ 1 - $$74\!\cdots\!12$$ T + $$61\!\cdots\!66$$ T^{2} - $$26\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$16\!\cdots\!95$$ T^{4} - $$24\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$30\!\cdots\!24$$ T^{6} - $$24\!\cdots\!92$$ p^{25} T^{7} + $$16\!\cdots\!95$$ p^{50} T^{8} - $$26\!\cdots\!20$$ p^{75} T^{9} + $$61\!\cdots\!66$$ p^{100} T^{10} - $$74\!\cdots\!12$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	73	$ 1 + $$38\!\cdots\!76$$ T + $$16\!\cdots\!98$$ T^{2} + $$27\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$57\!\cdots\!55$$ T^{4} + $$74\!\cdots\!76$$ T^{5} + $$66\!\cdots\!36$$ T^{6} + $$74\!\cdots\!76$$ p^{25} T^{7} + $$57\!\cdots\!55$$ p^{50} T^{8} + $$27\!\cdots\!60$$ p^{75} T^{9} + $$16\!\cdots\!98$$ p^{100} T^{10} + $$38\!\cdots\!76$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	79	$ 1 + $$40\!\cdots\!20$$ T + $$66\!\cdots\!94$$ T^{2} + $$43\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$30\!\cdots\!15$$ T^{4} + $$15\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!00$$ p^{25} T^{7} + $$30\!\cdots\!15$$ p^{50} T^{8} + $$43\!\cdots\!00$$ p^{75} T^{9} + $$66\!\cdots\!94$$ p^{100} T^{10} + $$40\!\cdots\!20$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	83	$ 1 - $$24\!\cdots\!44$$ T + $$58\!\cdots\!98$$ T^{2} - $$93\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!55$$ T^{4} - $$16\!\cdots\!24$$ T^{5} + $$17\!\cdots\!16$$ T^{6} - $$16\!\cdots\!24$$ p^{25} T^{7} + $$13\!\cdots\!55$$ p^{50} T^{8} - $$93\!\cdots\!40$$ p^{75} T^{9} + $$58\!\cdots\!98$$ p^{100} T^{10} - $$24\!\cdots\!44$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	89	$ 1 - $$29\!\cdots\!40$$ T + $$79\!\cdots\!94$$ T^{2} + $$22\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$15\!\cdots\!15$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$25\!\cdots\!80$$ T^{6} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{25} T^{7} + $$15\!\cdots\!15$$ p^{50} T^{8} + $$22\!\cdots\!00$$ p^{75} T^{9} + $$79\!\cdots\!94$$ p^{100} T^{10} - $$29\!\cdots\!40$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
	97	$ 1 - $$49\!\cdots\!08$$ T + $$17\!\cdots\!02$$ T^{2} - $$47\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!55$$ T^{4} - $$16\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$66\!\cdots\!84$$ T^{6} - $$16\!\cdots\!68$$ p^{25} T^{7} + $$13\!\cdots\!55$$ p^{50} T^{8} - $$47\!\cdots\!20$$ p^{75} T^{9} + $$17\!\cdots\!02$$ p^{100} T^{10} - $$49\!\cdots\!08$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{12} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−5.37874090193503905283651040129, −5.02093607160225073258093450480, −5.01999490427217786459971751307, −4.79170756460908010078615471898, −4.73131741716939731113093320322, −4.62154975464168539200005211178, −4.17525603782516464402099278373, −4.00693374817771153070729377968, −3.70218212295761472582509372544, −3.63739006076431670839858848036, −3.62227231481011207344262671958, −3.56045100734653545326331834112, −3.24746495714362166885574925900, −2.78564164429638021889967873776, −2.68459019158598909538897921551, −2.62855393423141583312383994949, −2.52453471070194034842298491789, −2.33431899642090755249656275690, −2.32988521467664185727467023783, −1.62351563379580516848345803221, −1.60258220389486573729143361472, −1.47087784794292522520309692647, −1.36542102772041476671398671123, −1.07253414120163122086015370079, −0.967074509945198751075113853278, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.967074509945198751075113853278, 1.07253414120163122086015370079, 1.36542102772041476671398671123, 1.47087784794292522520309692647, 1.60258220389486573729143361472, 1.62351563379580516848345803221, 2.32988521467664185727467023783, 2.33431899642090755249656275690, 2.52453471070194034842298491789, 2.62855393423141583312383994949, 2.68459019158598909538897921551, 2.78564164429638021889967873776, 3.24746495714362166885574925900, 3.56045100734653545326331834112, 3.62227231481011207344262671958, 3.63739006076431670839858848036, 3.70218212295761472582509372544, 4.00693374817771153070729377968, 4.17525603782516464402099278373, 4.62154975464168539200005211178, 4.73131741716939731113093320322, 4.79170756460908010078615471898, 5.01999490427217786459971751307, 5.02093607160225073258093450480, 5.37874090193503905283651040129

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(13)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac12)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac{27}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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