# Properties

 Label 12-3e36-1.1-c1e6-0-12 Degree $12$ Conductor $1.501\times 10^{17}$ Sign $1$ Analytic cond. $38907.0$ Root an. cond. $2.41269$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $6$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 3·2-s − 6·5-s + 9·8-s + 18·10-s − 12·11-s − 9·16-s − 9·17-s + 3·19-s + 36·22-s − 15·23-s − 12·29-s − 3·32-s + 27·34-s + 3·37-s − 9·38-s − 54·40-s − 15·41-s + 45·46-s − 21·47-s − 27·49-s − 9·53-s + 72·55-s + 36·58-s − 24·59-s − 9·61-s + 8·64-s − 9·67-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2.12·2-s − 2.68·5-s + 3.18·8-s + 5.69·10-s − 3.61·11-s − 9/4·16-s − 2.18·17-s + 0.688·19-s + 7.67·22-s − 3.12·23-s − 2.22·29-s − 0.530·32-s + 4.63·34-s + 0.493·37-s − 1.45·38-s − 8.53·40-s − 2.34·41-s + 6.63·46-s − 3.06·47-s − 3.85·49-s − 1.23·53-s + 9.70·55-s + 4.72·58-s − 3.12·59-s − 1.15·61-s + 64-s − 1.09·67-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{36}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{36}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$12$$ Conductor: $$3^{36}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$38907.0$$ Root analytic conductor: $$2.41269$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$6$$ Selberg data: $$(12,\ 3^{36} ,\ ( \ : [1/2]^{6} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad3 $$1$$
good2 $$1 + 3 T + 9 T^{2} + 9 p T^{3} + 9 p^{2} T^{4} + 57 T^{5} + 91 T^{6} + 57 p T^{7} + 9 p^{4} T^{8} + 9 p^{4} T^{9} + 9 p^{4} T^{10} + 3 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
5 $$1 + 6 T + 36 T^{2} + 126 T^{3} + 441 T^{4} + 1113 T^{5} + 2863 T^{6} + 1113 p T^{7} + 441 p^{2} T^{8} + 126 p^{3} T^{9} + 36 p^{4} T^{10} + 6 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
7 $$1 + 27 T^{2} + 11 T^{3} + 351 T^{4} + 216 T^{5} + 2937 T^{6} + 216 p T^{7} + 351 p^{2} T^{8} + 11 p^{3} T^{9} + 27 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{12}$$
11 $$1 + 12 T + 117 T^{2} + 756 T^{3} + 4140 T^{4} + 17715 T^{5} + 65431 T^{6} + 17715 p T^{7} + 4140 p^{2} T^{8} + 756 p^{3} T^{9} + 117 p^{4} T^{10} + 12 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
13 $$1 + 54 T^{2} + 2 T^{3} + 1377 T^{4} + 135 T^{5} + 21945 T^{6} + 135 p T^{7} + 1377 p^{2} T^{8} + 2 p^{3} T^{9} + 54 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{12}$$
17 $$1 + 9 T + 111 T^{2} + 711 T^{3} + 4893 T^{4} + 23337 T^{5} + 112057 T^{6} + 23337 p T^{7} + 4893 p^{2} T^{8} + 711 p^{3} T^{9} + 111 p^{4} T^{10} + 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
19 $$1 - 3 T + 84 T^{2} - 13 p T^{3} + 3303 T^{4} - 8784 T^{5} + 4137 p T^{6} - 8784 p T^{7} + 3303 p^{2} T^{8} - 13 p^{4} T^{9} + 84 p^{4} T^{10} - 3 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
23 $$1 + 15 T + 198 T^{2} + 1692 T^{3} + 13023 T^{4} + 77028 T^{5} + 414235 T^{6} + 77028 p T^{7} + 13023 p^{2} T^{8} + 1692 p^{3} T^{9} + 198 p^{4} T^{10} + 15 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
29 $$1 + 12 T + 171 T^{2} + 1278 T^{3} + 369 p T^{4} + 59628 T^{5} + 381601 T^{6} + 59628 p T^{7} + 369 p^{3} T^{8} + 1278 p^{3} T^{9} + 171 p^{4} T^{10} + 12 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
31 $$1 + 135 T^{2} + 191 T^{3} + 7911 T^{4} + 17658 T^{5} + 290757 T^{6} + 17658 p T^{7} + 7911 p^{2} T^{8} + 191 p^{3} T^{9} + 135 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{12}$$
37 $$1 - 3 T + 165 T^{2} - 301 T^{3} + 12591 T^{4} - 16749 T^{5} + 586203 T^{6} - 16749 p T^{7} + 12591 p^{2} T^{8} - 301 p^{3} T^{9} + 165 p^{4} T^{10} - 3 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
41 $$1 + 15 T + 252 T^{2} + 2475 T^{3} + 24849 T^{4} + 180636 T^{5} + 1331587 T^{6} + 180636 p T^{7} + 24849 p^{2} T^{8} + 2475 p^{3} T^{9} + 252 p^{4} T^{10} + 15 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
43 $$1 + 162 T^{2} + 173 T^{3} + 13581 T^{4} + 14715 T^{5} + 729723 T^{6} + 14715 p T^{7} + 13581 p^{2} T^{8} + 173 p^{3} T^{9} + 162 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{12}$$
47 $$1 + 21 T + 387 T^{2} + 4707 T^{3} + 50769 T^{4} + 431463 T^{5} + 3276703 T^{6} + 431463 p T^{7} + 50769 p^{2} T^{8} + 4707 p^{3} T^{9} + 387 p^{4} T^{10} + 21 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
53 $$1 + 9 T + 210 T^{2} + 1872 T^{3} + 23856 T^{4} + 168327 T^{5} + 1634317 T^{6} + 168327 p T^{7} + 23856 p^{2} T^{8} + 1872 p^{3} T^{9} + 210 p^{4} T^{10} + 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
59 $$1 + 24 T + 495 T^{2} + 6651 T^{3} + 79659 T^{4} + 743550 T^{5} + 6351049 T^{6} + 743550 p T^{7} + 79659 p^{2} T^{8} + 6651 p^{3} T^{9} + 495 p^{4} T^{10} + 24 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
61 $$1 + 9 T + 207 T^{2} + 2225 T^{3} + 26217 T^{4} + 214785 T^{5} + 2128485 T^{6} + 214785 p T^{7} + 26217 p^{2} T^{8} + 2225 p^{3} T^{9} + 207 p^{4} T^{10} + 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
67 $$1 + 9 T + 288 T^{2} + 2081 T^{3} + 37935 T^{4} + 219402 T^{5} + 3096273 T^{6} + 219402 p T^{7} + 37935 p^{2} T^{8} + 2081 p^{3} T^{9} + 288 p^{4} T^{10} + 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
71 $$1 + 27 T + 651 T^{2} + 10071 T^{3} + 138813 T^{4} + 1464345 T^{5} + 13863913 T^{6} + 1464345 p T^{7} + 138813 p^{2} T^{8} + 10071 p^{3} T^{9} + 651 p^{4} T^{10} + 27 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
73 $$1 + 6 T + 264 T^{2} + 1940 T^{3} + 33111 T^{4} + 266427 T^{5} + 2798097 T^{6} + 266427 p T^{7} + 33111 p^{2} T^{8} + 1940 p^{3} T^{9} + 264 p^{4} T^{10} + 6 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
79 $$1 + 297 T^{2} - 70 T^{3} + 42768 T^{4} - 22869 T^{5} + 4038141 T^{6} - 22869 p T^{7} + 42768 p^{2} T^{8} - 70 p^{3} T^{9} + 297 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{12}$$
83 $$1 + 12 T + 333 T^{2} + 3825 T^{3} + 58977 T^{4} + 542334 T^{5} + 6262309 T^{6} + 542334 p T^{7} + 58977 p^{2} T^{8} + 3825 p^{3} T^{9} + 333 p^{4} T^{10} + 12 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
89 $$1 + 9 T + 354 T^{2} + 2979 T^{3} + 59703 T^{4} + 469404 T^{5} + 6461593 T^{6} + 469404 p T^{7} + 59703 p^{2} T^{8} + 2979 p^{3} T^{9} + 354 p^{4} T^{10} + 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
97 $$1 + 378 T^{2} + 713 T^{3} + 67581 T^{4} + 185517 T^{5} + 7814685 T^{6} + 185517 p T^{7} + 67581 p^{2} T^{8} + 713 p^{3} T^{9} + 378 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{12}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{12} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$