# Properties

 Label 10-5225e5-1.1-c1e5-0-0 Degree $10$ Conductor $3.894\times 10^{18}$ Sign $1$ Analytic cond. $1.26420\times 10^{8}$ Root an. cond. $6.45924$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 2·2-s − 3-s + 2·6-s − 6·7-s + 2·8-s − 5·9-s + 5·11-s − 4·13-s + 12·14-s − 16-s + 4·17-s + 10·18-s − 5·19-s + 6·21-s − 10·22-s − 3·23-s − 2·24-s + 8·26-s + 10·27-s + 10·29-s + 11·31-s − 5·33-s − 8·34-s − 37-s + 10·38-s + 4·39-s + 2·41-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 1.41·2-s − 0.577·3-s + 0.816·6-s − 2.26·7-s + 0.707·8-s − 5/3·9-s + 1.50·11-s − 1.10·13-s + 3.20·14-s − 1/4·16-s + 0.970·17-s + 2.35·18-s − 1.14·19-s + 1.30·21-s − 2.13·22-s − 0.625·23-s − 0.408·24-s + 1.56·26-s + 1.92·27-s + 1.85·29-s + 1.97·31-s − 0.870·33-s − 1.37·34-s − 0.164·37-s + 1.62·38-s + 0.640·39-s + 0.312·41-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{10} \cdot 11^{5} \cdot 19^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{10} \cdot 11^{5} \cdot 19^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$10$$ Conductor: $$5^{10} \cdot 11^{5} \cdot 19^{5}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$1.26420\times 10^{8}$$ Root analytic conductor: $$6.45924$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(10,\ 5^{10} \cdot 11^{5} \cdot 19^{5} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$\approx$$ $$1.147391030$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$1.147391030$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad5 $$1$$
11$C_1$ $$( 1 - T )^{5}$$
19$C_1$ $$( 1 + T )^{5}$$
good2$C_2 \wr S_5$ $$1 + p T + p^{2} T^{2} + 3 p T^{3} + 9 T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + 9 p T^{6} + 3 p^{3} T^{7} + p^{5} T^{8} + p^{5} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
3$C_2 \wr S_5$ $$1 + T + 2 p T^{2} + T^{3} + 16 T^{4} - 11 T^{5} + 16 p T^{6} + p^{2} T^{7} + 2 p^{4} T^{8} + p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
7$C_2 \wr S_5$ $$1 + 6 T + 34 T^{2} + 106 T^{3} + 50 p T^{4} + 832 T^{5} + 50 p^{2} T^{6} + 106 p^{2} T^{7} + 34 p^{3} T^{8} + 6 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
13$C_2 \wr S_5$ $$1 + 4 T + 56 T^{2} + 14 p T^{3} + 1376 T^{4} + 3378 T^{5} + 1376 p T^{6} + 14 p^{3} T^{7} + 56 p^{3} T^{8} + 4 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
17$C_2 \wr S_5$ $$1 - 4 T + 53 T^{2} - 208 T^{3} + 1562 T^{4} - 4696 T^{5} + 1562 p T^{6} - 208 p^{2} T^{7} + 53 p^{3} T^{8} - 4 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
23$C_2 \wr S_5$ $$1 + 3 T + 39 T^{2} - 112 T^{3} - 178 T^{4} - 7542 T^{5} - 178 p T^{6} - 112 p^{2} T^{7} + 39 p^{3} T^{8} + 3 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
29$C_2 \wr S_5$ $$1 - 10 T + 108 T^{2} - 504 T^{3} + 4 p^{2} T^{4} - 11922 T^{5} + 4 p^{3} T^{6} - 504 p^{2} T^{7} + 108 p^{3} T^{8} - 10 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
31$C_2 \wr S_5$ $$1 - 11 T + 152 T^{2} - 1171 T^{3} + 300 p T^{4} - 52217 T^{5} + 300 p^{2} T^{6} - 1171 p^{2} T^{7} + 152 p^{3} T^{8} - 11 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
37$C_2 \wr S_5$ $$1 + T + 105 T^{2} + 44 T^{3} + 6330 T^{4} + 3606 T^{5} + 6330 p T^{6} + 44 p^{2} T^{7} + 105 p^{3} T^{8} + p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
41$C_2 \wr S_5$ $$1 - 2 T + 16 T^{2} - 76 T^{3} + 816 T^{4} - 3620 T^{5} + 816 p T^{6} - 76 p^{2} T^{7} + 16 p^{3} T^{8} - 2 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
43$C_2 \wr S_5$ $$1 + 20 T + 238 T^{2} + 1800 T^{3} + 11614 T^{4} + 1618 p T^{5} + 11614 p T^{6} + 1800 p^{2} T^{7} + 238 p^{3} T^{8} + 20 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
47$C_2 \wr S_5$ $$1 - 20 T + 263 T^{2} - 2672 T^{3} + 23846 T^{4} - 175992 T^{5} + 23846 p T^{6} - 2672 p^{2} T^{7} + 263 p^{3} T^{8} - 20 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
53$C_2 \wr S_5$ $$1 - 14 T + 177 T^{2} - 1576 T^{3} + 15906 T^{4} - 118708 T^{5} + 15906 p T^{6} - 1576 p^{2} T^{7} + 177 p^{3} T^{8} - 14 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
59$C_2 \wr S_5$ $$1 - 3 T + 131 T^{2} + 200 T^{3} + 5286 T^{4} + 42486 T^{5} + 5286 p T^{6} + 200 p^{2} T^{7} + 131 p^{3} T^{8} - 3 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
61$C_2 \wr S_5$ $$1 + 10 T + 281 T^{2} + 1976 T^{3} + 31554 T^{4} + 165916 T^{5} + 31554 p T^{6} + 1976 p^{2} T^{7} + 281 p^{3} T^{8} + 10 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
67$C_2 \wr S_5$ $$1 + 9 T + 140 T^{2} + 1585 T^{3} + 16328 T^{4} + 113899 T^{5} + 16328 p T^{6} + 1585 p^{2} T^{7} + 140 p^{3} T^{8} + 9 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
71$C_2 \wr S_5$ $$1 - 23 T + 338 T^{2} - 3603 T^{3} + 32304 T^{4} - 260659 T^{5} + 32304 p T^{6} - 3603 p^{2} T^{7} + 338 p^{3} T^{8} - 23 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
73$C_2 \wr S_5$ $$1 + 25 T^{2} + 16 p T^{3} + 6558 T^{4} + 15136 T^{5} + 6558 p T^{6} + 16 p^{3} T^{7} + 25 p^{3} T^{8} + p^{5} T^{10}$$
79$C_2 \wr S_5$ $$1 - 44 T + 1143 T^{2} - 20032 T^{3} + 263862 T^{4} - 2652648 T^{5} + 263862 p T^{6} - 20032 p^{2} T^{7} + 1143 p^{3} T^{8} - 44 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
83$C_2 \wr S_5$ $$1 - 14 T + 346 T^{2} - 3406 T^{3} + 47606 T^{4} - 368596 T^{5} + 47606 p T^{6} - 3406 p^{2} T^{7} + 346 p^{3} T^{8} - 14 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
89$C_2 \wr S_5$ $$1 + 27 T + 713 T^{2} + 10780 T^{3} + 152718 T^{4} + 1491426 T^{5} + 152718 p T^{6} + 10780 p^{2} T^{7} + 713 p^{3} T^{8} + 27 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
97$C_2 \wr S_5$ $$1 + 15 T + 361 T^{2} + 3704 T^{3} + 58310 T^{4} + 473762 T^{5} + 58310 p T^{6} + 3704 p^{2} T^{7} + 361 p^{3} T^{8} + 15 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$