LMFDB - L-function 10-50e5-1.1-c25e5-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 2.04e4·2^-s − 7.23e5·3^-s + 2.51e8·4^-s + 1.48e10·6^-s − 4.92e10·7^-s − 2.40e12·8^-s − 1.36e12·9^-s − 8.83e12·11^-s − 1.82e14·12^-s − 6.76e13·13^-s + 1.00e15·14^-s + 1.97e16·16^-s − 1.54e15·17^-s + 2.80e16·18^-s + 6.82e15·19^-s + 3.56e16·21^-s + 1.80e17·22^-s − 1.75e17·23^-s + 1.74e18·24^-s + 1.38e18·26^-s + 9.54e17·27^-s − 1.23e19·28^-s + 2.61e18·29^-s + 1.38e18·31^-s − 1.45e20·32^-s + 6.39e18·33^-s + 3.16e19·34^-s + ⋯

L(s) = 1

− 3.53·2^-s − 0.786·3^-s + 15/2·4^-s + 2.78·6^-s − 1.34·7^-s − 12.3·8^-s − 1.61·9^-s − 0.848·11^-s − 5.89·12^-s − 0.804·13^-s + 4.75·14^-s + 35/2·16^-s − 0.642·17^-s + 5.71·18^-s + 0.707·19^-s + 1.05·21^-s + 3.00·22^-s − 1.67·23^-s + 9.73·24^-s + 2.84·26^-s + 1.22·27^-s − 10.0·28^-s + 1.37·29^-s + 0.315·31^-s − 22.2·32^-s + 0.667·33^-s + 2.27·34^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{5} \cdot 5^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(26-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{5} \cdot 5^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+25/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$10$
Conductor:	$2^{5} \cdot 5^{10}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$3.04304\times 10^{11}$
Root analytic conductor:	$14.0711$
Motivic weight:	$25$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(10,\ 2^{5} \cdot 5^{10} ,\ ( \ : 25/2, 25/2, 25/2, 25/2, 25/2 ),\ 1 )$

Particular Values

$L(13)$	$\approx$	$0.2472419395$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.2472419395$
$L(\frac{27}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
bad	2	$C_1$	$ ( 1 + p^{12} T )^{5} $
	5		$ 1 $
good	3	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 723995 T + 630872740975 p T^{2} + 5788990056353210 p^{5} T^{3} + $$11\!\cdots\!55$$ p^{7} T^{4} + $$80\!\cdots\!03$$ p^{13} T^{5} + $$11\!\cdots\!55$$ p^{32} T^{6} + 5788990056353210 p^{55} T^{7} + 630872740975 p^{76} T^{8} + 723995 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	7	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 49218886190 T + $$29\!\cdots\!25$$ p T^{2} + $$25\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{3} + $$28\!\cdots\!30$$ p^{5} T^{4} + $$20\!\cdots\!08$$ p^{8} T^{5} + $$28\!\cdots\!30$$ p^{30} T^{6} + $$25\!\cdots\!60$$ p^{52} T^{7} + $$29\!\cdots\!25$$ p^{76} T^{8} + 49218886190 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	11	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 8837033983815 T + $$70\!\cdots\!95$$ p T^{2} + $$73\!\cdots\!30$$ p^{2} T^{3} + $$12\!\cdots\!85$$ p^{4} T^{4} + $$75\!\cdots\!93$$ p^{6} T^{5} + $$12\!\cdots\!85$$ p^{29} T^{6} + $$73\!\cdots\!30$$ p^{52} T^{7} + $$70\!\cdots\!95$$ p^{76} T^{8} + 8837033983815 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	13	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 67609989586220 T + $$10\!\cdots\!25$$ T^{2} - $$62\!\cdots\!40$$ p T^{3} + $$25\!\cdots\!90$$ p^{2} T^{4} - $$12\!\cdots\!48$$ p^{3} T^{5} + $$25\!\cdots\!90$$ p^{27} T^{6} - $$62\!\cdots\!40$$ p^{51} T^{7} + $$10\!\cdots\!25$$ p^{75} T^{8} + 67609989586220 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	17	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 1543441123223415 T + $$10\!\cdots\!75$$ T^{2} + $$96\!\cdots\!70$$ p T^{3} + $$30\!\cdots\!65$$ p^{2} T^{4} + $$19\!\cdots\!73$$ p^{4} T^{5} + $$30\!\cdots\!65$$ p^{27} T^{6} + $$96\!\cdots\!70$$ p^{51} T^{7} + $$10\!\cdots\!75$$ p^{75} T^{8} + 1543441123223415 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	19	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 6828205451077225 T + $$19\!\cdots\!55$$ p T^{2} - $$11\!\cdots\!50$$ p T^{3} + $$89\!\cdots\!15$$ p^{3} T^{4} - $$40\!\cdots\!25$$ p^{3} T^{5} + $$89\!\cdots\!15$$ p^{28} T^{6} - $$11\!\cdots\!50$$ p^{51} T^{7} + $$19\!\cdots\!55$$ p^{76} T^{8} - 6828205451077225 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	23	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 7637191269884190 p T + $$88\!\cdots\!75$$ p^{2} T^{2} + $$45\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{3} + $$32\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} + $$12\!\cdots\!08$$ p^{5} T^{5} + $$32\!\cdots\!10$$ p^{29} T^{6} + $$45\!\cdots\!40$$ p^{53} T^{7} + $$88\!\cdots\!75$$ p^{77} T^{8} + 7637191269884190 p^{101} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	29	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 2616960879251719800 T + $$98\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$19\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$50\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$95\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$50\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{7} + $$98\!\cdots\!45$$ p^{75} T^{8} - 2616960879251719800 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	31	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 1381921297247629210 T + $$44\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$13\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$92\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$52\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$92\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{50} T^{7} + $$44\!\cdots\!95$$ p^{75} T^{8} - 1381921297247629210 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	37	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 1839317412372824870 p T + $$56\!\cdots\!25$$ T^{2} + $$21\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$12\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$40\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} + $$21\!\cdots\!40$$ p^{50} T^{7} + $$56\!\cdots\!25$$ p^{75} T^{8} + 1839317412372824870 p^{101} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	41	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$11\!\cdots\!85$$ T + $$10\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$22\!\cdots\!70$$ T^{3} + $$19\!\cdots\!85$$ T^{4} + $$56\!\cdots\!73$$ T^{5} + $$19\!\cdots\!85$$ p^{25} T^{6} - $$22\!\cdots\!70$$ p^{50} T^{7} + $$10\!\cdots\!95$$ p^{75} T^{8} - $$11\!\cdots\!85$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	43	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$16\!\cdots\!80$$ T + $$22\!\cdots\!75$$ T^{2} - $$28\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$23\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$26\!\cdots\!56$$ T^{5} + $$23\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} - $$28\!\cdots\!20$$ p^{50} T^{7} + $$22\!\cdots\!75$$ p^{75} T^{8} - $$16\!\cdots\!80$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	47	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$16\!\cdots\!60$$ T + $$28\!\cdots\!75$$ T^{2} - $$27\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$28\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$21\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$28\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} - $$27\!\cdots\!60$$ p^{50} T^{7} + $$28\!\cdots\!75$$ p^{75} T^{8} - $$16\!\cdots\!60$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	53	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$42\!\cdots\!70$$ T + $$39\!\cdots\!25$$ T^{2} + $$15\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$87\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$24\!\cdots\!44$$ T^{5} + $$87\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} + $$15\!\cdots\!80$$ p^{50} T^{7} + $$39\!\cdots\!25$$ p^{75} T^{8} + $$42\!\cdots\!70$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	59	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$33\!\cdots\!00$$ T + $$11\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$23\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$80\!\cdots\!90$$ p T^{4} - $$65\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$80\!\cdots\!90$$ p^{26} T^{6} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{7} + $$11\!\cdots\!95$$ p^{75} T^{8} - $$33\!\cdots\!00$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	61	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$11\!\cdots\!90$$ T + $$73\!\cdots\!45$$ T^{2} + $$18\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$57\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$68\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$57\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} + $$18\!\cdots\!80$$ p^{50} T^{7} + $$73\!\cdots\!45$$ p^{75} T^{8} + $$11\!\cdots\!90$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	67	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$92\!\cdots\!35$$ T + $$13\!\cdots\!25$$ T^{2} - $$12\!\cdots\!10$$ T^{3} + $$11\!\cdots\!85$$ T^{4} - $$72\!\cdots\!17$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!85$$ p^{25} T^{6} - $$12\!\cdots\!10$$ p^{50} T^{7} + $$13\!\cdots\!25$$ p^{75} T^{8} - $$92\!\cdots\!35$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	71	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$17\!\cdots\!60$$ T + $$54\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$93\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$16\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$24\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$16\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} - $$93\!\cdots\!20$$ p^{50} T^{7} + $$54\!\cdots\!95$$ p^{75} T^{8} - $$17\!\cdots\!60$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	73	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$19\!\cdots\!45$$ T + $$14\!\cdots\!75$$ T^{2} + $$29\!\cdots\!30$$ T^{3} + $$97\!\cdots\!85$$ T^{4} + $$16\!\cdots\!19$$ T^{5} + $$97\!\cdots\!85$$ p^{25} T^{6} + $$29\!\cdots\!30$$ p^{50} T^{7} + $$14\!\cdots\!75$$ p^{75} T^{8} + $$19\!\cdots\!45$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	79	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$22\!\cdots\!50$$ T + $$87\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$11\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$31\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$25\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$31\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{7} + $$87\!\cdots\!95$$ p^{75} T^{8} + $$22\!\cdots\!50$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	83	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$10\!\cdots\!45$$ T + $$33\!\cdots\!25$$ T^{2} + $$34\!\cdots\!30$$ T^{3} + $$54\!\cdots\!85$$ T^{4} + $$46\!\cdots\!19$$ T^{5} + $$54\!\cdots\!85$$ p^{25} T^{6} + $$34\!\cdots\!30$$ p^{50} T^{7} + $$33\!\cdots\!25$$ p^{75} T^{8} + $$10\!\cdots\!45$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	89	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$59\!\cdots\!25$$ T + $$28\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$98\!\cdots\!50$$ T^{3} + $$30\!\cdots\!85$$ T^{4} + $$73\!\cdots\!75$$ T^{5} + $$30\!\cdots\!85$$ p^{25} T^{6} + $$98\!\cdots\!50$$ p^{50} T^{7} + $$28\!\cdots\!95$$ p^{75} T^{8} + $$59\!\cdots\!25$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	97	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$37\!\cdots\!10$$ T + $$12\!\cdots\!25$$ T^{2} - $$74\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$86\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$29\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$86\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} - $$74\!\cdots\!60$$ p^{50} T^{7} + $$12\!\cdots\!25$$ p^{75} T^{8} - $$37\!\cdots\!10$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−5.89119984916218589800210601753, −5.48879488107897680359427254330, −5.42005569795753643309820262090, −5.40719265683779097234132018946, −5.24099133003850302459814458622, −4.65895881081937269319041791824, −4.13796511521541180040762241434, −4.05938487370558765999702305479, −3.80756611501412370073099391362, −3.57244058315239107294767432002, −2.94053348170299679686431244142, −2.85633216342282447349904007050, −2.76704271504475840933055190327, −2.70063988704325111666034282128, −2.53961888442457193747195524529, −2.17119819878770355508022833182, −1.72158782196861160034509911761, −1.68118916174707961119269965703, −1.55568218445186910296542538535, −1.13192203364311694255999075291, −0.71343175227787297074294208751, −0.57944673542836095061428808226, −0.49075519572031037821998914014, −0.25953383148419806882768795907, −0.25252090467895608243274312224, 0.25252090467895608243274312224, 0.25953383148419806882768795907, 0.49075519572031037821998914014, 0.57944673542836095061428808226, 0.71343175227787297074294208751, 1.13192203364311694255999075291, 1.55568218445186910296542538535, 1.68118916174707961119269965703, 1.72158782196861160034509911761, 2.17119819878770355508022833182, 2.53961888442457193747195524529, 2.70063988704325111666034282128, 2.76704271504475840933055190327, 2.85633216342282447349904007050, 2.94053348170299679686431244142, 3.57244058315239107294767432002, 3.80756611501412370073099391362, 4.05938487370558765999702305479, 4.13796511521541180040762241434, 4.65895881081937269319041791824, 5.24099133003850302459814458622, 5.40719265683779097234132018946, 5.42005569795753643309820262090, 5.48879488107897680359427254330, 5.89119984916218589800210601753

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(13)\)	\(\approx\)	\(0.2472419395\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.2472419395\)
\(L(\frac{27}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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