# Properties

 Label 10-4600e5-1.1-c1e5-0-4 Degree $10$ Conductor $2.060\times 10^{18}$ Sign $-1$ Analytic cond. $6.68612\times 10^{7}$ Root an. cond. $6.06062$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $5$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 3·3-s + 7-s − 9-s − 4·11-s + 13-s − 5·17-s + 4·19-s − 3·21-s − 5·23-s + 13·27-s − 11·29-s + 4·31-s + 12·33-s − 6·37-s − 3·39-s − 8·41-s − 3·43-s − 2·47-s − 18·49-s + 15·51-s − 18·53-s − 12·57-s + 23·59-s − 26·61-s − 63-s − 3·67-s + 15·69-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 1.73·3-s + 0.377·7-s − 1/3·9-s − 1.20·11-s + 0.277·13-s − 1.21·17-s + 0.917·19-s − 0.654·21-s − 1.04·23-s + 2.50·27-s − 2.04·29-s + 0.718·31-s + 2.08·33-s − 0.986·37-s − 0.480·39-s − 1.24·41-s − 0.457·43-s − 0.291·47-s − 2.57·49-s + 2.10·51-s − 2.47·53-s − 1.58·57-s + 2.99·59-s − 3.32·61-s − 0.125·63-s − 0.366·67-s + 1.80·69-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 5^{10} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 5^{10} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$10$$ Conductor: $$2^{15} \cdot 5^{10} \cdot 23^{5}$$ Sign: $-1$ Analytic conductor: $$6.68612\times 10^{7}$$ Root analytic conductor: $$6.06062$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: induced by $\chi_{4600} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$5$$ Selberg data: $$(10,\ 2^{15} \cdot 5^{10} \cdot 23^{5} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ -1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
5 $$1$$
23$C_1$ $$( 1 + T )^{5}$$
good3$C_2 \wr S_5$ $$1 + p T + 10 T^{2} + 20 T^{3} + 44 T^{4} + 76 T^{5} + 44 p T^{6} + 20 p^{2} T^{7} + 10 p^{3} T^{8} + p^{5} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
7$C_2 \wr S_5$ $$1 - T + 19 T^{2} - 16 T^{3} + 30 p T^{4} - 158 T^{5} + 30 p^{2} T^{6} - 16 p^{2} T^{7} + 19 p^{3} T^{8} - p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
11$C_2 \wr S_5$ $$1 + 4 T + 38 T^{2} + 8 p T^{3} + 557 T^{4} + 960 T^{5} + 557 p T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + 38 p^{3} T^{8} + 4 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
13$C_2 \wr S_5$ $$1 - T + 28 T^{2} - 4 T^{3} + 568 T^{4} - 220 T^{5} + 568 p T^{6} - 4 p^{2} T^{7} + 28 p^{3} T^{8} - p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
17$C_2 \wr S_5$ $$1 + 5 T + 57 T^{2} + 224 T^{3} + 1390 T^{4} + 4758 T^{5} + 1390 p T^{6} + 224 p^{2} T^{7} + 57 p^{3} T^{8} + 5 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
19$C_2 \wr S_5$ $$1 - 4 T + 42 T^{2} - 40 T^{3} + 317 T^{4} + 1304 T^{5} + 317 p T^{6} - 40 p^{2} T^{7} + 42 p^{3} T^{8} - 4 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
29$C_2 \wr S_5$ $$1 + 11 T + 134 T^{2} + 970 T^{3} + 238 p T^{4} + 37502 T^{5} + 238 p^{2} T^{6} + 970 p^{2} T^{7} + 134 p^{3} T^{8} + 11 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
31$C_2 \wr S_5$ $$1 - 4 T + 80 T^{2} - 337 T^{3} + 3437 T^{4} - 12806 T^{5} + 3437 p T^{6} - 337 p^{2} T^{7} + 80 p^{3} T^{8} - 4 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
37$C_2 \wr S_5$ $$1 + 6 T + 45 T^{2} + 312 T^{3} + 2822 T^{4} + 12004 T^{5} + 2822 p T^{6} + 312 p^{2} T^{7} + 45 p^{3} T^{8} + 6 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
41$C_2 \wr S_5$ $$1 + 8 T + 153 T^{2} + 641 T^{3} + 8317 T^{4} + 23597 T^{5} + 8317 p T^{6} + 641 p^{2} T^{7} + 153 p^{3} T^{8} + 8 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
43$C_2 \wr S_5$ $$1 + 3 T + 71 T^{2} + 192 T^{3} + 4450 T^{4} + 13194 T^{5} + 4450 p T^{6} + 192 p^{2} T^{7} + 71 p^{3} T^{8} + 3 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
47$C_2 \wr S_5$ $$1 + 2 T + 68 T^{2} + 343 T^{3} + 3101 T^{4} + 29318 T^{5} + 3101 p T^{6} + 343 p^{2} T^{7} + 68 p^{3} T^{8} + 2 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
53$C_2 \wr S_5$ $$1 + 18 T + 213 T^{2} + 1184 T^{3} + 4462 T^{4} + 2236 T^{5} + 4462 p T^{6} + 1184 p^{2} T^{7} + 213 p^{3} T^{8} + 18 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
59$C_2 \wr S_5$ $$1 - 23 T + 348 T^{2} - 4341 T^{3} + 43633 T^{4} - 357240 T^{5} + 43633 p T^{6} - 4341 p^{2} T^{7} + 348 p^{3} T^{8} - 23 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
61$C_2 \wr S_5$ $$1 + 26 T + 541 T^{2} + 7192 T^{3} + 81278 T^{4} + 683676 T^{5} + 81278 p T^{6} + 7192 p^{2} T^{7} + 541 p^{3} T^{8} + 26 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
67$C_2 \wr S_5$ $$1 + 3 T + 275 T^{2} + 612 T^{3} + 33150 T^{4} + 55586 T^{5} + 33150 p T^{6} + 612 p^{2} T^{7} + 275 p^{3} T^{8} + 3 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
71$C_2 \wr S_5$ $$1 + 2 T + 288 T^{2} + 435 T^{3} + 36805 T^{4} + 41598 T^{5} + 36805 p T^{6} + 435 p^{2} T^{7} + 288 p^{3} T^{8} + 2 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
73$C_2 \wr S_5$ $$1 + 4 T - 3 T^{2} + 167 T^{3} + 6489 T^{4} + 34251 T^{5} + 6489 p T^{6} + 167 p^{2} T^{7} - 3 p^{3} T^{8} + 4 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
79$C_2 \wr S_5$ $$1 - 43 T + 1029 T^{2} - 16880 T^{3} + 210588 T^{4} - 2084442 T^{5} + 210588 p T^{6} - 16880 p^{2} T^{7} + 1029 p^{3} T^{8} - 43 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
83$C_2 \wr S_5$ $$1 + 30 T + 584 T^{2} + 8400 T^{3} + 102155 T^{4} + 1014020 T^{5} + 102155 p T^{6} + 8400 p^{2} T^{7} + 584 p^{3} T^{8} + 30 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
89$C_2 \wr S_5$ $$1 - 15 T + 291 T^{2} - 2152 T^{3} + 25484 T^{4} - 1554 p T^{5} + 25484 p T^{6} - 2152 p^{2} T^{7} + 291 p^{3} T^{8} - 15 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
97$C_2 \wr S_5$ $$1 + 8 T + 257 T^{2} + 1592 T^{3} + 32590 T^{4} + 159328 T^{5} + 32590 p T^{6} + 1592 p^{2} T^{7} + 257 p^{3} T^{8} + 8 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$