| L(s) = 1 | + 7·2-s + 36·3-s − 34·4-s + 252·6-s + 204·7-s − 406·8-s + 306·9-s − 792·11-s − 1.22e3·12-s − 88·13-s + 1.42e3·14-s − 933·16-s − 1.44e3·17-s + 2.14e3·18-s − 5.16e3·19-s + 7.34e3·21-s − 5.54e3·22-s + 6.14e3·23-s − 1.46e4·24-s − 616·26-s − 2.99e3·27-s − 6.93e3·28-s − 7.32e3·29-s − 8.96e3·31-s + 4.58e3·32-s − 2.85e4·33-s − 1.01e4·34-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 1.23·2-s + 2.30·3-s − 1.06·4-s + 2.85·6-s + 1.57·7-s − 2.24·8-s + 1.25·9-s − 1.97·11-s − 2.45·12-s − 0.144·13-s + 1.94·14-s − 0.911·16-s − 1.21·17-s + 1.55·18-s − 3.27·19-s + 3.63·21-s − 2.44·22-s + 2.42·23-s − 5.17·24-s − 0.178·26-s − 0.789·27-s − 1.67·28-s − 1.61·29-s − 1.67·31-s + 0.792·32-s − 4.55·33-s − 1.50·34-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{10} \cdot 17^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{10} \cdot 17^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 5 | | \( 1 \) |
| 17 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{5} \) |
| good | 2 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 7 T + 83 T^{2} - 413 T^{3} + 951 p^{2} T^{4} - 4523 p^{2} T^{5} + 951 p^{7} T^{6} - 413 p^{10} T^{7} + 83 p^{15} T^{8} - 7 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 3 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 4 p^{2} T + 110 p^{2} T^{2} - 21632 T^{3} + 138271 p T^{4} - 776776 p^{2} T^{5} + 138271 p^{6} T^{6} - 21632 p^{10} T^{7} + 110 p^{17} T^{8} - 4 p^{22} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 204 T + 76067 T^{2} - 11975552 T^{3} + 2515412794 T^{4} - 286377792872 T^{5} + 2515412794 p^{5} T^{6} - 11975552 p^{10} T^{7} + 76067 p^{15} T^{8} - 204 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 72 p T + 475371 T^{2} + 73006512 T^{3} - 13237712930 T^{4} - 24400183499920 T^{5} - 13237712930 p^{5} T^{6} + 73006512 p^{10} T^{7} + 475371 p^{15} T^{8} + 72 p^{21} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 88 T + 1301954 T^{2} - 36078222 T^{3} + 775094286573 T^{4} - 45317719005604 T^{5} + 775094286573 p^{5} T^{6} - 36078222 p^{10} T^{7} + 1301954 p^{15} T^{8} + 88 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 5160 T + 20173362 T^{2} + 52480572292 T^{3} + 116297677532821 T^{4} + 197122376119679304 T^{5} + 116297677532821 p^{5} T^{6} + 52480572292 p^{10} T^{7} + 20173362 p^{15} T^{8} + 5160 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 6140 T + 22798739 T^{2} - 27659683392 T^{3} - 46601612759846 T^{4} + 325166994221877368 T^{5} - 46601612759846 p^{5} T^{6} - 27659683392 p^{10} T^{7} + 22798739 p^{15} T^{8} - 6140 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 7328 T + 116559314 T^{2} + 599701385686 T^{3} + 5053752284708397 T^{4} + 18430161706793037892 T^{5} + 5053752284708397 p^{5} T^{6} + 599701385686 p^{10} T^{7} + 116559314 p^{15} T^{8} + 7328 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 8968 T + 100485226 T^{2} + 774121232516 T^{3} + 5615900974322617 T^{4} + 28634054625221243240 T^{5} + 5615900974322617 p^{5} T^{6} + 774121232516 p^{10} T^{7} + 100485226 p^{15} T^{8} + 8968 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 9834 T + 145632565 T^{2} + 794165836896 T^{3} + 11574045885549998 T^{4} + 58281299343630151180 T^{5} + 11574045885549998 p^{5} T^{6} + 794165836896 p^{10} T^{7} + 145632565 p^{15} T^{8} + 9834 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 5302 T + 331755365 T^{2} + 2322358278120 T^{3} + 60978866765317730 T^{4} + \)\(37\!\cdots\!68\)\( T^{5} + 60978866765317730 p^{5} T^{6} + 2322358278120 p^{10} T^{7} + 331755365 p^{15} T^{8} + 5302 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 4916 T + 391357059 T^{2} - 1793667281728 T^{3} + 87553162812653398 T^{4} - \)\(40\!\cdots\!96\)\( T^{5} + 87553162812653398 p^{5} T^{6} - 1793667281728 p^{10} T^{7} + 391357059 p^{15} T^{8} - 4916 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 20364 T + 926330822 T^{2} - 12970734733144 T^{3} + 364114489205000153 T^{4} - \)\(39\!\cdots\!84\)\( T^{5} + 364114489205000153 p^{5} T^{6} - 12970734733144 p^{10} T^{7} + 926330822 p^{15} T^{8} - 20364 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 56492 T + 3138562178 T^{2} + 101120124019522 T^{3} + 3067790564612534749 T^{4} + \)\(64\!\cdots\!40\)\( T^{5} + 3067790564612534749 p^{5} T^{6} + 101120124019522 p^{10} T^{7} + 3138562178 p^{15} T^{8} + 56492 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 96200 T + 90900270 p T^{2} + 218491281087340 T^{3} + 7460039555179458365 T^{4} + \)\(21\!\cdots\!92\)\( T^{5} + 7460039555179458365 p^{5} T^{6} + 218491281087340 p^{10} T^{7} + 90900270 p^{16} T^{8} + 96200 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 7284 T + 3595282978 T^{2} + 13326070959942 T^{3} + 5489804475717265309 T^{4} + \)\(12\!\cdots\!16\)\( T^{5} + 5489804475717265309 p^{5} T^{6} + 13326070959942 p^{10} T^{7} + 3595282978 p^{15} T^{8} + 7284 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 60308 T + 5706720459 T^{2} - 278444092938752 T^{3} + 14814734894353317766 T^{4} - \)\(52\!\cdots\!56\)\( T^{5} + 14814734894353317766 p^{5} T^{6} - 278444092938752 p^{10} T^{7} + 5706720459 p^{15} T^{8} - 60308 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 25304 T + 5474510642 T^{2} - 453639846244 T^{3} + 10312308672866225761 T^{4} - \)\(18\!\cdots\!48\)\( T^{5} + 10312308672866225761 p^{5} T^{6} - 453639846244 p^{10} T^{7} + 5474510642 p^{15} T^{8} + 25304 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 163328 T + 18036871366 T^{2} + 1327147293325694 T^{3} + 80774259236242432009 T^{4} + \)\(39\!\cdots\!76\)\( T^{5} + 80774259236242432009 p^{5} T^{6} + 1327147293325694 p^{10} T^{7} + 18036871366 p^{15} T^{8} + 163328 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 50940 T + 9408943103 T^{2} + 510388699922096 T^{3} + 49812499198117623790 T^{4} + \)\(20\!\cdots\!80\)\( T^{5} + 49812499198117623790 p^{5} T^{6} + 510388699922096 p^{10} T^{7} + 9408943103 p^{15} T^{8} + 50940 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 179060 T + 30022059455 T^{2} - 2991374495716912 T^{3} + \)\(27\!\cdots\!30\)\( T^{4} - \)\(17\!\cdots\!56\)\( T^{5} + \)\(27\!\cdots\!30\)\( p^{5} T^{6} - 2991374495716912 p^{10} T^{7} + 30022059455 p^{15} T^{8} - 179060 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 387356 T + 82932119726 T^{2} + 12161446502031258 T^{3} + \)\(13\!\cdots\!93\)\( T^{4} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!93\)\( p^{5} T^{6} + 12161446502031258 p^{10} T^{7} + 82932119726 p^{15} T^{8} + 387356 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 106076 T + 33168613798 T^{2} - 2671936803544858 T^{3} + \)\(46\!\cdots\!13\)\( T^{4} - \)\(30\!\cdots\!64\)\( T^{5} + \)\(46\!\cdots\!13\)\( p^{5} T^{6} - 2671936803544858 p^{10} T^{7} + 33168613798 p^{15} T^{8} - 106076 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−6.60224761114251707583277773667, −6.09186603351089869434594819952, −6.05265198700705546634237660527, −6.02562389975236351508171050650, −5.45310674484528896805869047817, −5.30567880758097330993977291974, −5.04739134081240491787755185442, −4.97368812948814921095944645547, −4.89583058330474235631777369716, −4.60423498749272728040576423284, −4.39808792600696597929089496739, −4.32694867019283860338811126468, −3.94836916940970732156080274506, −3.83184368290453586021269807076, −3.49814968206217302594647812402, −3.21117152738400322728030754911, −3.03334189440335949934627734722, −2.82536432383393211422173205396, −2.59701991416362787736119853663, −2.46025747588138757598533111963, −2.17705483312291024253277307918, −1.77640158197901708734101896166, −1.72800475604397100580925906669, −1.37997443670429947244890021258, −1.13495619310651421413159028303, 0, 0, 0, 0, 0,
1.13495619310651421413159028303, 1.37997443670429947244890021258, 1.72800475604397100580925906669, 1.77640158197901708734101896166, 2.17705483312291024253277307918, 2.46025747588138757598533111963, 2.59701991416362787736119853663, 2.82536432383393211422173205396, 3.03334189440335949934627734722, 3.21117152738400322728030754911, 3.49814968206217302594647812402, 3.83184368290453586021269807076, 3.94836916940970732156080274506, 4.32694867019283860338811126468, 4.39808792600696597929089496739, 4.60423498749272728040576423284, 4.89583058330474235631777369716, 4.97368812948814921095944645547, 5.04739134081240491787755185442, 5.30567880758097330993977291974, 5.45310674484528896805869047817, 6.02562389975236351508171050650, 6.05265198700705546634237660527, 6.09186603351089869434594819952, 6.60224761114251707583277773667
