# Properties

 Label 10-4235e5-1.1-c1e5-0-5 Degree $10$ Conductor $1.362\times 10^{18}$ Sign $-1$ Analytic cond. $4.42234\times 10^{7}$ Root an. cond. $5.81520$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $5$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 2·3-s − 3·4-s − 5·5-s + 5·7-s − 4·8-s + 6·12-s − 10·13-s + 10·15-s + 5·16-s − 2·17-s + 3·19-s + 15·20-s − 10·21-s + 3·23-s + 8·24-s + 15·25-s + 27-s − 15·28-s − 29-s − 12·31-s + 11·32-s − 25·35-s + 20·39-s + 20·40-s + 11·41-s − 10·43-s + 16·47-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 1.15·3-s − 3/2·4-s − 2.23·5-s + 1.88·7-s − 1.41·8-s + 1.73·12-s − 2.77·13-s + 2.58·15-s + 5/4·16-s − 0.485·17-s + 0.688·19-s + 3.35·20-s − 2.18·21-s + 0.625·23-s + 1.63·24-s + 3·25-s + 0.192·27-s − 2.83·28-s − 0.185·29-s − 2.15·31-s + 1.94·32-s − 4.22·35-s + 3.20·39-s + 3.16·40-s + 1.71·41-s − 1.52·43-s + 2.33·47-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{5} \cdot 7^{5} \cdot 11^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{5} \cdot 7^{5} \cdot 11^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$10$$ Conductor: $$5^{5} \cdot 7^{5} \cdot 11^{10}$$ Sign: $-1$ Analytic conductor: $$4.42234\times 10^{7}$$ Root analytic conductor: $$5.81520$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: induced by $\chi_{4235} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$5$$ Selberg data: $$(10,\ 5^{5} \cdot 7^{5} \cdot 11^{10} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ -1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad5$C_1$ $$( 1 + T )^{5}$$
7$C_1$ $$( 1 - T )^{5}$$
11 $$1$$
good2$C_2 \wr S_5$ $$1 + 3 T^{2} + p^{2} T^{3} + p^{2} T^{4} + 13 T^{5} + p^{3} T^{6} + p^{4} T^{7} + 3 p^{3} T^{8} + p^{5} T^{10}$$
3$C_2 \wr S_5$ $$1 + 2 T + 4 T^{2} + 7 T^{3} + 2 p^{2} T^{4} + 25 T^{5} + 2 p^{3} T^{6} + 7 p^{2} T^{7} + 4 p^{3} T^{8} + 2 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
13$C_2 \wr S_5$ $$1 + 10 T + 73 T^{2} + 421 T^{3} + 1998 T^{4} + 7699 T^{5} + 1998 p T^{6} + 421 p^{2} T^{7} + 73 p^{3} T^{8} + 10 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
17$C_2 \wr S_5$ $$1 + 2 T + 57 T^{2} + 93 T^{3} + 1546 T^{4} + 1997 T^{5} + 1546 p T^{6} + 93 p^{2} T^{7} + 57 p^{3} T^{8} + 2 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
19$C_2 \wr S_5$ $$1 - 3 T + 44 T^{2} - 6 p T^{3} + 1142 T^{4} - 1897 T^{5} + 1142 p T^{6} - 6 p^{3} T^{7} + 44 p^{3} T^{8} - 3 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
23$C_2 \wr S_5$ $$1 - 3 T + 45 T^{2} - 67 T^{3} + 1651 T^{4} - 3481 T^{5} + 1651 p T^{6} - 67 p^{2} T^{7} + 45 p^{3} T^{8} - 3 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
29$C_2 \wr S_5$ $$1 + T + 109 T^{2} + T^{3} + 5251 T^{4} - 1477 T^{5} + 5251 p T^{6} + p^{2} T^{7} + 109 p^{3} T^{8} + p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
31$C_2 \wr S_5$ $$1 + 12 T + 116 T^{2} + 453 T^{3} + 1616 T^{4} - 139 T^{5} + 1616 p T^{6} + 453 p^{2} T^{7} + 116 p^{3} T^{8} + 12 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
37$C_2 \wr S_5$ $$1 + 40 T^{2} - 243 T^{3} + 2144 T^{4} - 6437 T^{5} + 2144 p T^{6} - 243 p^{2} T^{7} + 40 p^{3} T^{8} + p^{5} T^{10}$$
41$C_2 \wr S_5$ $$1 - 11 T + 175 T^{2} - 1223 T^{3} + 11437 T^{4} - 61879 T^{5} + 11437 p T^{6} - 1223 p^{2} T^{7} + 175 p^{3} T^{8} - 11 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
43$C_2 \wr S_5$ $$1 + 10 T + 218 T^{2} + 1473 T^{3} + 18040 T^{4} + 88937 T^{5} + 18040 p T^{6} + 1473 p^{2} T^{7} + 218 p^{3} T^{8} + 10 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
47$C_2 \wr S_5$ $$1 - 16 T + 256 T^{2} - 2458 T^{3} + 23647 T^{4} - 161699 T^{5} + 23647 p T^{6} - 2458 p^{2} T^{7} + 256 p^{3} T^{8} - 16 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
53$C_2 \wr S_5$ $$1 - 4 T + 98 T^{2} - 193 T^{3} + 4696 T^{4} - 293 T^{5} + 4696 p T^{6} - 193 p^{2} T^{7} + 98 p^{3} T^{8} - 4 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
59$C_2 \wr S_5$ $$1 + 32 T + 675 T^{2} + 9597 T^{3} + 106822 T^{4} + 912929 T^{5} + 106822 p T^{6} + 9597 p^{2} T^{7} + 675 p^{3} T^{8} + 32 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
61$C_2 \wr S_5$ $$1 + 40 T + 918 T^{2} + 14160 T^{3} + 163483 T^{4} + 1443777 T^{5} + 163483 p T^{6} + 14160 p^{2} T^{7} + 918 p^{3} T^{8} + 40 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
67$C_2 \wr S_5$ $$1 - 7 T + 218 T^{2} - 1484 T^{3} + 24806 T^{4} - 136015 T^{5} + 24806 p T^{6} - 1484 p^{2} T^{7} + 218 p^{3} T^{8} - 7 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
71$C_2 \wr S_5$ $$1 - 10 T + 320 T^{2} - 2293 T^{3} + 42034 T^{4} - 225941 T^{5} + 42034 p T^{6} - 2293 p^{2} T^{7} + 320 p^{3} T^{8} - 10 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
73$C_2 \wr S_5$ $$1 + 11 T + 224 T^{2} + 2294 T^{3} + 23764 T^{4} + 217565 T^{5} + 23764 p T^{6} + 2294 p^{2} T^{7} + 224 p^{3} T^{8} + 11 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
79$C_2 \wr S_5$ $$1 + 13 T + 300 T^{2} + 2988 T^{3} + 40636 T^{4} + 309897 T^{5} + 40636 p T^{6} + 2988 p^{2} T^{7} + 300 p^{3} T^{8} + 13 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
83$C_2 \wr S_5$ $$1 + 26 T + 531 T^{2} + 6951 T^{3} + 83026 T^{4} + 772193 T^{5} + 83026 p T^{6} + 6951 p^{2} T^{7} + 531 p^{3} T^{8} + 26 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
89$C_2 \wr S_5$ $$1 - 5 T + 350 T^{2} - 1403 T^{3} + 55471 T^{4} - 171451 T^{5} + 55471 p T^{6} - 1403 p^{2} T^{7} + 350 p^{3} T^{8} - 5 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
97$C_2 \wr S_5$ $$1 + 5 T + 362 T^{2} + 1189 T^{3} + 58577 T^{4} + 136625 T^{5} + 58577 p T^{6} + 1189 p^{2} T^{7} + 362 p^{3} T^{8} + 5 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$