| L(s) = 1 | + 5·3-s + 81·5-s − 400·9-s − 361·11-s + 342·13-s + 405·15-s + 1.80e3·17-s − 1.27e3·19-s − 911·23-s − 2.56e3·25-s − 863·27-s + 5.44e3·29-s − 2.18e3·31-s − 1.80e3·33-s − 8.18e3·37-s + 1.71e3·39-s + 1.65e4·41-s − 6.33e3·43-s − 3.24e4·45-s − 1.61e4·47-s + 9.04e3·51-s + 1.60e4·53-s − 2.92e4·55-s − 6.38e3·57-s − 7.10e4·59-s + 3.10e4·61-s + 2.77e4·65-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.320·3-s + 1.44·5-s − 1.64·9-s − 0.899·11-s + 0.561·13-s + 0.464·15-s + 1.51·17-s − 0.811·19-s − 0.359·23-s − 0.819·25-s − 0.227·27-s + 1.20·29-s − 0.408·31-s − 0.288·33-s − 0.982·37-s + 0.180·39-s + 1.54·41-s − 0.522·43-s − 2.38·45-s − 1.06·47-s + 0.486·51-s + 0.784·53-s − 1.30·55-s − 0.260·57-s − 2.65·59-s + 1.06·61-s + 0.813·65-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 7^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 7^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(20.40342202\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(20.40342202\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 7 | | \( 1 \) |
| good | 3 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 5 T + 425 T^{2} - 3262 T^{3} + 35539 p T^{4} - 44569 p^{3} T^{5} + 35539 p^{6} T^{6} - 3262 p^{10} T^{7} + 425 p^{15} T^{8} - 5 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 5 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 81 T + 9123 T^{2} - 738118 T^{3} + 54280501 T^{4} - 2825105751 T^{5} + 54280501 p^{5} T^{6} - 738118 p^{10} T^{7} + 9123 p^{15} T^{8} - 81 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 361 T + 648073 T^{2} + 166821518 T^{3} + 176754828553 T^{4} + 34805897602071 T^{5} + 176754828553 p^{5} T^{6} + 166821518 p^{10} T^{7} + 648073 p^{15} T^{8} + 361 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 342 T + 658729 T^{2} - 16742472 T^{3} + 400951495762 T^{4} - 83399975875236 T^{5} + 400951495762 p^{5} T^{6} - 16742472 p^{10} T^{7} + 658729 p^{15} T^{8} - 342 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 1809 T + 2330335 T^{2} - 1621905158 T^{3} - 872380927763 T^{4} + 1461604643249017 T^{5} - 872380927763 p^{5} T^{6} - 1621905158 p^{10} T^{7} + 2330335 p^{15} T^{8} - 1809 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1277 T + 9100593 T^{2} + 9378363238 T^{3} + 36656810135801 T^{4} + 30881377163773635 T^{5} + 36656810135801 p^{5} T^{6} + 9378363238 p^{10} T^{7} + 9100593 p^{15} T^{8} + 1277 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 911 T + 14996605 T^{2} + 13484305914 T^{3} + 124468835803265 T^{4} + 80076680642505209 T^{5} + 124468835803265 p^{5} T^{6} + 13484305914 p^{10} T^{7} + 14996605 p^{15} T^{8} + 911 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 5442 T + 53607865 T^{2} - 323790343640 T^{3} + 1691550940023826 T^{4} - 8382651448038313964 T^{5} + 1691550940023826 p^{5} T^{6} - 323790343640 p^{10} T^{7} + 53607865 p^{15} T^{8} - 5442 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 2187 T + 63496861 T^{2} - 183051259606 T^{3} + 679455214095025 T^{4} - 14338922817943516315 T^{5} + 679455214095025 p^{5} T^{6} - 183051259606 p^{10} T^{7} + 63496861 p^{15} T^{8} + 2187 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 8181 T + 309227443 T^{2} + 1936865164686 T^{3} + 40451628515878453 T^{4} + \)\(19\!\cdots\!91\)\( T^{5} + 40451628515878453 p^{5} T^{6} + 1936865164686 p^{10} T^{7} + 309227443 p^{15} T^{8} + 8181 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 16578 T + 438988677 T^{2} - 6633181514936 T^{3} + 89732309440975426 T^{4} - \)\(11\!\cdots\!56\)\( T^{5} + 89732309440975426 p^{5} T^{6} - 6633181514936 p^{10} T^{7} + 438988677 p^{15} T^{8} - 16578 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 6332 T + 90028871 T^{2} + 2312008443088 T^{3} + 23373438267559322 T^{4} + 62823390482714555176 T^{5} + 23373438267559322 p^{5} T^{6} + 2312008443088 p^{10} T^{7} + 90028871 p^{15} T^{8} + 6332 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 16101 T + 18090627 p T^{2} + 13127026030678 T^{3} + 342189868368362833 T^{4} + 91945387616522919717 p T^{5} + 342189868368362833 p^{5} T^{6} + 13127026030678 p^{10} T^{7} + 18090627 p^{16} T^{8} + 16101 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 16047 T + 1957887859 T^{2} - 24507724378010 T^{3} + 1586770976826054229 T^{4} - \)\(14\!\cdots\!49\)\( T^{5} + 1586770976826054229 p^{5} T^{6} - 24507724378010 p^{10} T^{7} + 1957887859 p^{15} T^{8} - 16047 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 71027 T + 5104694017 T^{2} + 211826658652018 T^{3} + 8343957711891620713 T^{4} + \)\(22\!\cdots\!65\)\( T^{5} + 8343957711891620713 p^{5} T^{6} + 211826658652018 p^{10} T^{7} + 5104694017 p^{15} T^{8} + 71027 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 31093 T + 3654064907 T^{2} - 77461662035310 T^{3} + 5453657886369070245 T^{4} - \)\(86\!\cdots\!95\)\( T^{5} + 5453657886369070245 p^{5} T^{6} - 77461662035310 p^{10} T^{7} + 3654064907 p^{15} T^{8} - 31093 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 47981 T + 5747477945 T^{2} + 227290202626814 T^{3} + 14604286818738614521 T^{4} + \)\(43\!\cdots\!43\)\( T^{5} + 14604286818738614521 p^{5} T^{6} + 227290202626814 p^{10} T^{7} + 5747477945 p^{15} T^{8} + 47981 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 22512 T + 5446291779 T^{2} + 185923923716160 T^{3} + 14610969235368670762 T^{4} + \)\(51\!\cdots\!72\)\( T^{5} + 14610969235368670762 p^{5} T^{6} + 185923923716160 p^{10} T^{7} + 5446291779 p^{15} T^{8} + 22512 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 123333 T + 10313622295 T^{2} - 8738194914638 p T^{3} + 33660135935301495037 T^{4} - \)\(15\!\cdots\!59\)\( T^{5} + 33660135935301495037 p^{5} T^{6} - 8738194914638 p^{11} T^{7} + 10313622295 p^{15} T^{8} - 123333 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 212481 T + 31612590613 T^{2} - 3115458864134534 T^{3} + \)\(24\!\cdots\!37\)\( T^{4} - \)\(15\!\cdots\!31\)\( T^{5} + \)\(24\!\cdots\!37\)\( p^{5} T^{6} - 3115458864134534 p^{10} T^{7} + 31612590613 p^{15} T^{8} - 212481 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 87460 T + 12586854767 T^{2} + 984929271746864 T^{3} + 90999170917915570234 T^{4} + \)\(50\!\cdots\!56\)\( T^{5} + 90999170917915570234 p^{5} T^{6} + 984929271746864 p^{10} T^{7} + 12586854767 p^{15} T^{8} + 87460 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 129045 T + 26205253351 T^{2} - 1984105956055454 T^{3} + \)\(23\!\cdots\!81\)\( T^{4} - \)\(13\!\cdots\!07\)\( T^{5} + \)\(23\!\cdots\!81\)\( p^{5} T^{6} - 1984105956055454 p^{10} T^{7} + 26205253351 p^{15} T^{8} - 129045 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 328274 T + 68740402109 T^{2} - 10629471782320696 T^{3} + \)\(13\!\cdots\!98\)\( T^{4} - \)\(13\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!98\)\( p^{5} T^{6} - 10629471782320696 p^{10} T^{7} + 68740402109 p^{15} T^{8} - 328274 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−5.27854417165378193588482138607, −5.14677247881809105748775237898, −5.11956151260674270147232716351, −5.06720003034640454638377023826, −5.03761462958009337227153589823, −4.43549304090507698131794221018, −4.35345457874100234090463789212, −3.96853547658350033445890068374, −3.81273970783968179849864138503, −3.69902353162129765743345941300, −3.18179936860967547320933513965, −3.16152050340841056228231082125, −3.14479981259231267195077248635, −2.91278222282483975631661450163, −2.58640443337994677295053432064, −2.06267186385979032893309863219, −2.06067816433811395348456063624, −2.00135547126957512776551140812, −1.97338802985829153667614876955, −1.48539834129007245292865317895, −1.20462563090239376716004431370, −0.68529155201949066939543497648, −0.56818067682816585329320322292, −0.51787336940620365976855308912, −0.40056430374055821512253938005,
0.40056430374055821512253938005, 0.51787336940620365976855308912, 0.56818067682816585329320322292, 0.68529155201949066939543497648, 1.20462563090239376716004431370, 1.48539834129007245292865317895, 1.97338802985829153667614876955, 2.00135547126957512776551140812, 2.06067816433811395348456063624, 2.06267186385979032893309863219, 2.58640443337994677295053432064, 2.91278222282483975631661450163, 3.14479981259231267195077248635, 3.16152050340841056228231082125, 3.18179936860967547320933513965, 3.69902353162129765743345941300, 3.81273970783968179849864138503, 3.96853547658350033445890068374, 4.35345457874100234090463789212, 4.43549304090507698131794221018, 5.03761462958009337227153589823, 5.06720003034640454638377023826, 5.11956151260674270147232716351, 5.14677247881809105748775237898, 5.27854417165378193588482138607
