Properties

Label 10-230e5-1.1-c5e5-0-1
Degree $10$
Conductor $643634300000$
Sign $1$
Analytic cond. $6.83033\times 10^{7}$
Root an. cond. $6.07357$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 20·2-s + 3-s + 240·4-s + 125·5-s − 20·6-s + 102·7-s − 2.24e3·8-s − 440·9-s − 2.50e3·10-s + 251·11-s + 240·12-s + 1.74e3·13-s − 2.04e3·14-s + 125·15-s + 1.79e4·16-s + 1.94e3·17-s + 8.80e3·18-s − 845·19-s + 3.00e4·20-s + 102·21-s − 5.02e3·22-s − 2.64e3·23-s − 2.24e3·24-s + 9.37e3·25-s − 3.48e4·26-s + 288·27-s + 2.44e4·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 3.53·2-s + 0.0641·3-s + 15/2·4-s + 2.23·5-s − 0.226·6-s + 0.786·7-s − 12.3·8-s − 1.81·9-s − 7.90·10-s + 0.625·11-s + 0.481·12-s + 2.86·13-s − 2.78·14-s + 0.143·15-s + 35/2·16-s + 1.63·17-s + 6.40·18-s − 0.536·19-s + 16.7·20-s + 0.0504·21-s − 2.21·22-s − 1.04·23-s − 0.793·24-s + 3·25-s − 10.1·26-s + 0.0760·27-s + 5.90·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{5} \cdot 5^{5} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{5} \cdot 5^{5} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(10\)
Conductor: \(2^{5} \cdot 5^{5} \cdot 23^{5}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(6.83033\times 10^{7}\)
Root analytic conductor: \(6.07357\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{230} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((10,\ 2^{5} \cdot 5^{5} \cdot 23^{5} ,\ ( \ : 5/2, 5/2, 5/2, 5/2, 5/2 ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(\approx\) \(4.298736081\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(4.298736081\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2$C_1$ \( ( 1 + p^{2} T )^{5} \)
5$C_1$ \( ( 1 - p^{2} T )^{5} \)
23$C_1$ \( ( 1 + p^{2} T )^{5} \)
good3$C_2 \wr S_5$ \( 1 - T + 49 p^{2} T^{2} - 1169 T^{3} + 92531 T^{4} - 98636 p T^{5} + 92531 p^{5} T^{6} - 1169 p^{10} T^{7} + 49 p^{17} T^{8} - p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
7$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 102 T + 1699 T^{2} + 441095 T^{3} - 173075738 T^{4} + 12005933570 T^{5} - 173075738 p^{5} T^{6} + 441095 p^{10} T^{7} + 1699 p^{15} T^{8} - 102 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
11$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 251 T + 396934 T^{2} + 42201726 T^{3} + 35916833921 T^{4} + 26830642335754 T^{5} + 35916833921 p^{5} T^{6} + 42201726 p^{10} T^{7} + 396934 p^{15} T^{8} - 251 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
13$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 1743 T + 2320333 T^{2} - 2149376173 T^{3} + 1719321763603 T^{4} - 84590325518470 p T^{5} + 1719321763603 p^{5} T^{6} - 2149376173 p^{10} T^{7} + 2320333 p^{15} T^{8} - 1743 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
17$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 1944 T + 5592385 T^{2} - 7962664989 T^{3} + 12463122646414 T^{4} - 14622158363680074 T^{5} + 12463122646414 p^{5} T^{6} - 7962664989 p^{10} T^{7} + 5592385 p^{15} T^{8} - 1944 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
19$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 845 T + 3332472 T^{2} + 6308082522 T^{3} + 14730843199923 T^{4} + 15110077512695874 T^{5} + 14730843199923 p^{5} T^{6} + 6308082522 p^{10} T^{7} + 3332472 p^{15} T^{8} + 845 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
29$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 4021 T + 2438630 p T^{2} + 321579765099 T^{3} + 2393071055288039 T^{4} + 9733424656331106760 T^{5} + 2393071055288039 p^{5} T^{6} + 321579765099 p^{10} T^{7} + 2438630 p^{16} T^{8} + 4021 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
31$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 15752 T + 147580386 T^{2} + 977642232087 T^{3} + 5502243646667061 T^{4} + 28632909996326311755 T^{5} + 5502243646667061 p^{5} T^{6} + 977642232087 p^{10} T^{7} + 147580386 p^{15} T^{8} + 15752 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
37$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 3455 T + 239666121 T^{2} + 1102201441332 T^{3} + 27331653143107866 T^{4} + \)\(11\!\cdots\!50\)\( T^{5} + 27331653143107866 p^{5} T^{6} + 1102201441332 p^{10} T^{7} + 239666121 p^{15} T^{8} + 3455 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
41$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 11898 T + 487603420 T^{2} + 5343653490621 T^{3} + 102374034000426175 T^{4} + \)\(91\!\cdots\!99\)\( T^{5} + 102374034000426175 p^{5} T^{6} + 5343653490621 p^{10} T^{7} + 487603420 p^{15} T^{8} + 11898 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
43$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 6968 T + 689663315 T^{2} - 3917775258416 T^{3} + 196764408262203430 T^{4} - \)\(85\!\cdots\!60\)\( T^{5} + 196764408262203430 p^{5} T^{6} - 3917775258416 p^{10} T^{7} + 689663315 p^{15} T^{8} - 6968 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
47$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 13412 T + 664650340 T^{2} - 5989528533990 T^{3} + 210505665900463931 T^{4} - \)\(13\!\cdots\!60\)\( T^{5} + 210505665900463931 p^{5} T^{6} - 5989528533990 p^{10} T^{7} + 664650340 p^{15} T^{8} - 13412 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
53$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 53029 T + 1673284285 T^{2} - 21538482907524 T^{3} - 70750143334792234 T^{4} + \)\(82\!\cdots\!26\)\( T^{5} - 70750143334792234 p^{5} T^{6} - 21538482907524 p^{10} T^{7} + 1673284285 p^{15} T^{8} - 53029 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
59$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 31223 T + 51749977 T^{2} - 15962857373976 T^{3} + 507833043660274652 T^{4} + \)\(32\!\cdots\!38\)\( T^{5} + 507833043660274652 p^{5} T^{6} - 15962857373976 p^{10} T^{7} + 51749977 p^{15} T^{8} + 31223 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
61$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 71477 T + 5596916510 T^{2} - 232699931306900 T^{3} + 10103225672512544845 T^{4} - \)\(28\!\cdots\!46\)\( T^{5} + 10103225672512544845 p^{5} T^{6} - 232699931306900 p^{10} T^{7} + 5596916510 p^{15} T^{8} - 71477 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
67$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 76003 T + 7653403455 T^{2} - 380755045384332 T^{3} + 21549101354298004122 T^{4} - \)\(75\!\cdots\!70\)\( T^{5} + 21549101354298004122 p^{5} T^{6} - 380755045384332 p^{10} T^{7} + 7653403455 p^{15} T^{8} - 76003 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
71$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 54418 T + 7989039538 T^{2} - 347459045595051 T^{3} + 27083179725751514873 T^{4} - \)\(90\!\cdots\!53\)\( T^{5} + 27083179725751514873 p^{5} T^{6} - 347459045595051 p^{10} T^{7} + 7989039538 p^{15} T^{8} - 54418 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
73$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 69418 T + 8297287422 T^{2} - 411024721190724 T^{3} + 28905032376530491725 T^{4} - \)\(11\!\cdots\!52\)\( T^{5} + 28905032376530491725 p^{5} T^{6} - 411024721190724 p^{10} T^{7} + 8297287422 p^{15} T^{8} - 69418 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
79$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 105024 T + 12983382259 T^{2} - 849845049806656 T^{3} + 68345856269270634322 T^{4} - \)\(34\!\cdots\!28\)\( T^{5} + 68345856269270634322 p^{5} T^{6} - 849845049806656 p^{10} T^{7} + 12983382259 p^{15} T^{8} - 105024 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
83$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 89399 T + 13489049947 T^{2} - 785663657597640 T^{3} + 82884005072260939046 T^{4} - \)\(40\!\cdots\!62\)\( T^{5} + 82884005072260939046 p^{5} T^{6} - 785663657597640 p^{10} T^{7} + 13489049947 p^{15} T^{8} - 89399 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
89$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 96240 T + 25021582105 T^{2} - 1571226370781136 T^{3} + \)\(24\!\cdots\!30\)\( T^{4} - \)\(11\!\cdots\!48\)\( T^{5} + \)\(24\!\cdots\!30\)\( p^{5} T^{6} - 1571226370781136 p^{10} T^{7} + 25021582105 p^{15} T^{8} - 96240 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
97$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 216087 T + 51336597460 T^{2} - 6535822162578682 T^{3} + \)\(88\!\cdots\!11\)\( T^{4} - \)\(79\!\cdots\!66\)\( T^{5} + \)\(88\!\cdots\!11\)\( p^{5} T^{6} - 6535822162578682 p^{10} T^{7} + 51336597460 p^{15} T^{8} - 216087 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−6.66510802785288873600071190689, −6.37442454010471592772743557374, −6.26310803912177423666051489679, −6.19759414824420650973667070984, −6.08808639989125399494185973367, −5.56512780361802919978146842680, −5.48152820191855108179929224658, −5.47387213856618898813527198724, −5.23032778226310670134154376878, −4.85433946833117576646713026073, −4.10108576905146034407063892321, −3.64124688822240060763220220712, −3.56674647041139659420305073685, −3.44455361467418303720275773077, −3.37279809146272384538592055529, −2.50050709954954397295413728214, −2.32539462411963892627993392093, −2.22127239949395168666418617745, −1.96990544035844286340248081941, −1.68254803256294991940398988542, −1.54850017254776971762569449061, −0.972401851147545834387009456483, −0.869442933108639570102142649408, −0.58850717659927947718509944773, −0.45951503934233084012503678500, 0.45951503934233084012503678500, 0.58850717659927947718509944773, 0.869442933108639570102142649408, 0.972401851147545834387009456483, 1.54850017254776971762569449061, 1.68254803256294991940398988542, 1.96990544035844286340248081941, 2.22127239949395168666418617745, 2.32539462411963892627993392093, 2.50050709954954397295413728214, 3.37279809146272384538592055529, 3.44455361467418303720275773077, 3.56674647041139659420305073685, 3.64124688822240060763220220712, 4.10108576905146034407063892321, 4.85433946833117576646713026073, 5.23032778226310670134154376878, 5.47387213856618898813527198724, 5.48152820191855108179929224658, 5.56512780361802919978146842680, 6.08808639989125399494185973367, 6.19759414824420650973667070984, 6.26310803912177423666051489679, 6.37442454010471592772743557374, 6.66510802785288873600071190689

Graph of the $Z$-function along the critical line