| L(s) = 1 | + 10·2-s − 5·3-s + 60·4-s − 22·5-s − 50·6-s + 280·8-s − 28·9-s − 220·10-s + 42·11-s − 300·12-s − 107·13-s + 110·15-s + 1.12e3·16-s − 218·17-s − 280·18-s − 194·19-s − 1.32e3·20-s + 420·22-s + 115·23-s − 1.40e3·24-s + 39·25-s − 1.07e3·26-s + 159·27-s + 33·29-s + 1.10e3·30-s − 19·31-s + 4.03e3·32-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 3.53·2-s − 0.962·3-s + 15/2·4-s − 1.96·5-s − 3.40·6-s + 12.3·8-s − 1.03·9-s − 6.95·10-s + 1.15·11-s − 7.21·12-s − 2.28·13-s + 1.89·15-s + 35/2·16-s − 3.11·17-s − 3.66·18-s − 2.34·19-s − 14.7·20-s + 4.07·22-s + 1.04·23-s − 11.9·24-s + 0.311·25-s − 8.07·26-s + 1.13·27-s + 0.211·29-s + 6.69·30-s − 0.110·31-s + 22.2·32-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{5} \cdot 7^{10} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(4-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{5} \cdot 7^{10} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+3/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(2)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{5}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 - p T )^{5} \) |
| 7 | | \( 1 \) |
| 23 | $C_1$ | \( ( 1 - p T )^{5} \) |
| good | 3 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 5 T + 53 T^{2} + 82 p T^{3} + 638 p T^{4} + 5686 T^{5} + 638 p^{4} T^{6} + 82 p^{7} T^{7} + 53 p^{9} T^{8} + 5 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 5 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 22 T + 89 p T^{2} + 5666 T^{3} + 74906 T^{4} + 754936 T^{5} + 74906 p^{3} T^{6} + 5666 p^{6} T^{7} + 89 p^{10} T^{8} + 22 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 42 T + 3523 T^{2} - 135372 T^{3} + 7527430 T^{4} - 257248692 T^{5} + 7527430 p^{3} T^{6} - 135372 p^{6} T^{7} + 3523 p^{9} T^{8} - 42 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 107 T + 14069 T^{2} + 71460 p T^{3} + 5168950 p T^{4} + 3036807666 T^{5} + 5168950 p^{4} T^{6} + 71460 p^{7} T^{7} + 14069 p^{9} T^{8} + 107 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 218 T + 33717 T^{2} + 3700810 T^{3} + 19740002 p T^{4} + 88036896 p^{2} T^{5} + 19740002 p^{4} T^{6} + 3700810 p^{6} T^{7} + 33717 p^{9} T^{8} + 218 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 194 T + 31607 T^{2} + 3306328 T^{3} + 312906810 T^{4} + 25638493228 T^{5} + 312906810 p^{3} T^{6} + 3306328 p^{6} T^{7} + 31607 p^{9} T^{8} + 194 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 33 T + 80229 T^{2} - 1235696 T^{3} + 3065677362 T^{4} - 28128337238 T^{5} + 3065677362 p^{3} T^{6} - 1235696 p^{6} T^{7} + 80229 p^{9} T^{8} - 33 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 19 T + 62447 T^{2} + 3818030 T^{3} + 1631063032 T^{4} + 190834147754 T^{5} + 1631063032 p^{3} T^{6} + 3818030 p^{6} T^{7} + 62447 p^{9} T^{8} + 19 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 214 T + 87169 T^{2} - 19863400 T^{3} + 4521234778 T^{4} - 1311859177572 T^{5} + 4521234778 p^{3} T^{6} - 19863400 p^{6} T^{7} + 87169 p^{9} T^{8} - 214 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 395 T + 271897 T^{2} + 86295820 T^{3} + 34032198078 T^{4} + 8249099164786 T^{5} + 34032198078 p^{3} T^{6} + 86295820 p^{6} T^{7} + 271897 p^{9} T^{8} + 395 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 284 T + 170455 T^{2} + 17647776 T^{3} + 9001105298 T^{4} - 762505518904 T^{5} + 9001105298 p^{3} T^{6} + 17647776 p^{6} T^{7} + 170455 p^{9} T^{8} + 284 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 493 T + 401495 T^{2} - 147026266 T^{3} + 71398089964 T^{4} - 20363795544390 T^{5} + 71398089964 p^{3} T^{6} - 147026266 p^{6} T^{7} + 401495 p^{9} T^{8} - 493 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 70 T + 110249 T^{2} + 78849384 T^{3} + 38520300610 T^{4} + 1124690747140 T^{5} + 38520300610 p^{3} T^{6} + 78849384 p^{6} T^{7} + 110249 p^{9} T^{8} + 70 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 226 T + 535555 T^{2} - 54412722 T^{3} + 91306217490 T^{4} - 40907662835696 T^{5} + 91306217490 p^{3} T^{6} - 54412722 p^{6} T^{7} + 535555 p^{9} T^{8} + 226 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1606 T + 1662393 T^{2} + 1147792382 T^{3} + 671593011566 T^{4} + 329170971256608 T^{5} + 671593011566 p^{3} T^{6} + 1147792382 p^{6} T^{7} + 1662393 p^{9} T^{8} + 1606 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 298 T + 1151003 T^{2} - 202912748 T^{3} + 581976378278 T^{4} - 71359928685428 T^{5} + 581976378278 p^{3} T^{6} - 202912748 p^{6} T^{7} + 1151003 p^{9} T^{8} - 298 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 969 T + 1260547 T^{2} + 1046640348 T^{3} + 869407217402 T^{4} + 489635145613014 T^{5} + 869407217402 p^{3} T^{6} + 1046640348 p^{6} T^{7} + 1260547 p^{9} T^{8} + 969 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 697 T + 1630625 T^{2} + 967341764 T^{3} + 1151478546214 T^{4} + 541614101484614 T^{5} + 1151478546214 p^{3} T^{6} + 967341764 p^{6} T^{7} + 1630625 p^{9} T^{8} + 697 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 186 T + 709791 T^{2} + 118246284 T^{3} + 291875777734 T^{4} + 80631379167708 T^{5} + 291875777734 p^{3} T^{6} + 118246284 p^{6} T^{7} + 709791 p^{9} T^{8} - 186 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 1104 T + 1913343 T^{2} - 1620029072 T^{3} + 1861347624578 T^{4} - 1283725515708352 T^{5} + 1861347624578 p^{3} T^{6} - 1620029072 p^{6} T^{7} + 1913343 p^{9} T^{8} - 1104 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 814 T + 2849761 T^{2} - 1792063326 T^{3} + 3588255859014 T^{4} - 1724879214245536 T^{5} + 3588255859014 p^{3} T^{6} - 1792063326 p^{6} T^{7} + 2849761 p^{9} T^{8} - 814 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 256 T + 3109249 T^{2} - 479644130 T^{3} + 4558628757734 T^{4} - 481285217496068 T^{5} + 4558628757734 p^{3} T^{6} - 479644130 p^{6} T^{7} + 3109249 p^{9} T^{8} - 256 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−5.15859196756317326825155013453, −5.06713581757718677070683905932, −4.92578563389148738930597895814, −4.92195948375850964002006743786, −4.83434750347183924034409167881, −4.55500603692004924480532023663, −4.36556709995627433991798232724, −4.35330781321526751776575008847, −4.14700420418838852564177418896, −4.09622017834912119615861805317, −3.74977584355336041936692457368, −3.54063398001694768403749582154, −3.48749877113948854458186177538, −3.28566693629532694592377277782, −3.16774567851705146272050393467, −2.67243297359265939888609259847, −2.57879205759713552607542495647, −2.53224769366721661861446931350, −2.27321501754380247473395513884, −2.19876995775920328806401422627, −1.86344786070412688562537402386, −1.80242893539930131566099808726, −1.23487231912567144211648879210, −1.18104278346053763862240017287, −0.846043750499627901839896537967, 0, 0, 0, 0, 0,
0.846043750499627901839896537967, 1.18104278346053763862240017287, 1.23487231912567144211648879210, 1.80242893539930131566099808726, 1.86344786070412688562537402386, 2.19876995775920328806401422627, 2.27321501754380247473395513884, 2.53224769366721661861446931350, 2.57879205759713552607542495647, 2.67243297359265939888609259847, 3.16774567851705146272050393467, 3.28566693629532694592377277782, 3.48749877113948854458186177538, 3.54063398001694768403749582154, 3.74977584355336041936692457368, 4.09622017834912119615861805317, 4.14700420418838852564177418896, 4.35330781321526751776575008847, 4.36556709995627433991798232724, 4.55500603692004924480532023663, 4.83434750347183924034409167881, 4.92195948375850964002006743786, 4.92578563389148738930597895814, 5.06713581757718677070683905932, 5.15859196756317326825155013453
