Properties

Label 10-207e5-1.1-c5e5-0-0
Degree $10$
Conductor $380059617807$
Sign $-1$
Analytic cond. $4.03324\times 10^{7}$
Root an. cond. $5.76189$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $5$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 8·2-s + 11·4-s − 94·5-s + 272·7-s + 82·8-s + 752·10-s − 1.10e3·11-s − 978·13-s − 2.17e3·14-s − 915·16-s − 2.52e3·17-s + 2.06e3·19-s − 1.03e3·20-s + 8.80e3·22-s + 2.64e3·23-s + 2.62e3·25-s + 7.82e3·26-s + 2.99e3·28-s − 1.52e3·29-s − 7.39e3·31-s + 7.53e3·32-s + 2.01e4·34-s − 2.55e4·35-s − 8.21e3·37-s − 1.64e4·38-s − 7.70e3·40-s − 2.12e4·41-s + ⋯
L(s)  = 1  − 1.41·2-s + 0.343·4-s − 1.68·5-s + 2.09·7-s + 0.452·8-s + 2.37·10-s − 2.74·11-s − 1.60·13-s − 2.96·14-s − 0.893·16-s − 2.11·17-s + 1.30·19-s − 0.578·20-s + 3.87·22-s + 1.04·23-s + 0.839·25-s + 2.26·26-s + 0.721·28-s − 0.336·29-s − 1.38·31-s + 1.30·32-s + 2.99·34-s − 3.52·35-s − 0.985·37-s − 1.85·38-s − 0.761·40-s − 1.97·41-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{10} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{10} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(10\)
Conductor: \(3^{10} \cdot 23^{5}\)
Sign: $-1$
Analytic conductor: \(4.03324\times 10^{7}\)
Root analytic conductor: \(5.76189\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{207} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(5\)
Selberg data: \((10,\ 3^{10} \cdot 23^{5} ,\ ( \ : 5/2, 5/2, 5/2, 5/2, 5/2 ),\ -1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac12)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad3 \( 1 \)
23$C_1$ \( ( 1 - p^{2} T )^{5} \)
good2$C_2 \wr S_5$ \( 1 + p^{3} T + 53 T^{2} + 127 p T^{3} + 427 p^{2} T^{4} + 789 p^{3} T^{5} + 427 p^{7} T^{6} + 127 p^{11} T^{7} + 53 p^{15} T^{8} + p^{23} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
5$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 94 T + 6213 T^{2} + 233272 T^{3} + 16438526 T^{4} + 918832724 T^{5} + 16438526 p^{5} T^{6} + 233272 p^{10} T^{7} + 6213 p^{15} T^{8} + 94 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
7$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 272 T + 92999 T^{2} - 15921576 T^{3} + 3139766110 T^{4} - 382935152112 T^{5} + 3139766110 p^{5} T^{6} - 15921576 p^{10} T^{7} + 92999 p^{15} T^{8} - 272 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
11$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 100 p T + 950167 T^{2} + 47832944 p T^{3} + 266170957962 T^{4} + 106836876092680 T^{5} + 266170957962 p^{5} T^{6} + 47832944 p^{11} T^{7} + 950167 p^{15} T^{8} + 100 p^{21} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
13$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 978 T + 1491369 T^{2} + 962007576 T^{3} + 67101754522 p T^{4} + 442247737686732 T^{5} + 67101754522 p^{6} T^{6} + 962007576 p^{10} T^{7} + 1491369 p^{15} T^{8} + 978 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
17$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 2522 T + 8504033 T^{2} + 13985869736 T^{3} + 25829300837998 T^{4} + 29533869359617308 T^{5} + 25829300837998 p^{5} T^{6} + 13985869736 p^{10} T^{7} + 8504033 p^{15} T^{8} + 2522 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
19$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 2060 T + 429073 p T^{2} - 6053371160 T^{3} + 17747857284814 T^{4} - 1707014975296600 T^{5} + 17747857284814 p^{5} T^{6} - 6053371160 p^{10} T^{7} + 429073 p^{16} T^{8} - 2060 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
29$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 1526 T + 53450201 T^{2} + 160216816776 T^{3} + 1463826216452722 T^{4} + 4967385842939808356 T^{5} + 1463826216452722 p^{5} T^{6} + 160216816776 p^{10} T^{7} + 53450201 p^{15} T^{8} + 1526 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
31$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 7392 T + 143582859 T^{2} + 814586108224 T^{3} + 8222478851768122 T^{4} + 34540989938511230912 T^{5} + 8222478851768122 p^{5} T^{6} + 814586108224 p^{10} T^{7} + 143582859 p^{15} T^{8} + 7392 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
37$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 8210 T + 333147057 T^{2} + 2158433364600 T^{3} + 45276559134316162 T^{4} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( T^{5} + 45276559134316162 p^{5} T^{6} + 2158433364600 p^{10} T^{7} + 333147057 p^{15} T^{8} + 8210 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
41$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 21250 T + 285983317 T^{2} + 1967560460248 T^{3} + 17015437600068850 T^{4} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( T^{5} + 17015437600068850 p^{5} T^{6} + 1967560460248 p^{10} T^{7} + 285983317 p^{15} T^{8} + 21250 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
43$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 4548 T + 287763707 T^{2} + 3207650046632 T^{3} + 68028185295500398 T^{4} + \)\(50\!\cdots\!76\)\( T^{5} + 68028185295500398 p^{5} T^{6} + 3207650046632 p^{10} T^{7} + 287763707 p^{15} T^{8} + 4548 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
47$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 536 T + 264020283 T^{2} + 2501526488736 T^{3} + 112580424453867674 T^{4} + \)\(14\!\cdots\!12\)\( T^{5} + 112580424453867674 p^{5} T^{6} + 2501526488736 p^{10} T^{7} + 264020283 p^{15} T^{8} + 536 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
53$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 11482 T + 1116302917 T^{2} + 941657798856 T^{3} + 483029536217021550 T^{4} + \)\(40\!\cdots\!16\)\( T^{5} + 483029536217021550 p^{5} T^{6} + 941657798856 p^{10} T^{7} + 1116302917 p^{15} T^{8} - 11482 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
59$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 74676 T + 4089190183 T^{2} + 163708505958576 T^{3} + 5812674984278443178 T^{4} + \)\(16\!\cdots\!84\)\( T^{5} + 5812674984278443178 p^{5} T^{6} + 163708505958576 p^{10} T^{7} + 4089190183 p^{15} T^{8} + 74676 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
61$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 44618 T + 4437282569 T^{2} + 138965692205272 T^{3} + 7551174855833493282 T^{4} + \)\(17\!\cdots\!68\)\( T^{5} + 7551174855833493282 p^{5} T^{6} + 138965692205272 p^{10} T^{7} + 4437282569 p^{15} T^{8} + 44618 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
67$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 1412 T + 4040959155 T^{2} - 20057652231432 T^{3} + 7903786473880913422 T^{4} - \)\(60\!\cdots\!48\)\( T^{5} + 7903786473880913422 p^{5} T^{6} - 20057652231432 p^{10} T^{7} + 4040959155 p^{15} T^{8} + 1412 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
71$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 37912 T + 1466467779 T^{2} - 7879531293536 T^{3} + 2981493544848827562 T^{4} + \)\(14\!\cdots\!32\)\( T^{5} + 2981493544848827562 p^{5} T^{6} - 7879531293536 p^{10} T^{7} + 1466467779 p^{15} T^{8} + 37912 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
73$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 46546 T + 8346436661 T^{2} - 319480387049752 T^{3} + 31398063765510760370 T^{4} - \)\(92\!\cdots\!96\)\( T^{5} + 31398063765510760370 p^{5} T^{6} - 319480387049752 p^{10} T^{7} + 8346436661 p^{15} T^{8} - 46546 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
79$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 50544 T + 6561571119 T^{2} - 53943736845944 T^{3} + 15591070525869009022 T^{4} + \)\(22\!\cdots\!12\)\( T^{5} + 15591070525869009022 p^{5} T^{6} - 53943736845944 p^{10} T^{7} + 6561571119 p^{15} T^{8} - 50544 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
83$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 89588 T + 10451924351 T^{2} + 775319273971120 T^{3} + 61260146630661454026 T^{4} + \)\(36\!\cdots\!20\)\( T^{5} + 61260146630661454026 p^{5} T^{6} + 775319273971120 p^{10} T^{7} + 10451924351 p^{15} T^{8} + 89588 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
89$C_2 \wr S_5$ \( 1 + 280410 T + 47711380473 T^{2} + 5653018849483864 T^{3} + \)\(53\!\cdots\!70\)\( T^{4} + \)\(42\!\cdots\!76\)\( T^{5} + \)\(53\!\cdots\!70\)\( p^{5} T^{6} + 5653018849483864 p^{10} T^{7} + 47711380473 p^{15} T^{8} + 280410 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
97$C_2 \wr S_5$ \( 1 - 90074 T + 36682650013 T^{2} - 2072067856619224 T^{3} + \)\(53\!\cdots\!94\)\( T^{4} - \)\(21\!\cdots\!28\)\( T^{5} + \)\(53\!\cdots\!94\)\( p^{5} T^{6} - 2072067856619224 p^{10} T^{7} + 36682650013 p^{15} T^{8} - 90074 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−7.41884863581944734008160860194, −7.32765958030257242449113122317, −7.27959718696764679201917651309, −6.96736703447452818538092760264, −6.58732348227897149438518948218, −6.40848084673431174650897636036, −6.04633231004228032126938975173, −5.57938446629014045389499577120, −5.35144491476078714834106730629, −5.16103936442287838475006853797, −5.04720797740275920568113718286, −4.74863620530129369541939914960, −4.60936165108928591535315987970, −4.48660328025438362697377426145, −4.33688325466885155897023616713, −3.63092596899130499872450297993, −3.45758554835424640939907484013, −3.16789220829536151850051894866, −2.93685159139078593387133438247, −2.43922667383458701271959818125, −2.33820534735904312861278639632, −2.01057629856631468786996339815, −1.53835021038652935217207778691, −1.34326012150385907222829818358, −1.11475956789843685528933425306, 0, 0, 0, 0, 0, 1.11475956789843685528933425306, 1.34326012150385907222829818358, 1.53835021038652935217207778691, 2.01057629856631468786996339815, 2.33820534735904312861278639632, 2.43922667383458701271959818125, 2.93685159139078593387133438247, 3.16789220829536151850051894866, 3.45758554835424640939907484013, 3.63092596899130499872450297993, 4.33688325466885155897023616713, 4.48660328025438362697377426145, 4.60936165108928591535315987970, 4.74863620530129369541939914960, 5.04720797740275920568113718286, 5.16103936442287838475006853797, 5.35144491476078714834106730629, 5.57938446629014045389499577120, 6.04633231004228032126938975173, 6.40848084673431174650897636036, 6.58732348227897149438518948218, 6.96736703447452818538092760264, 7.27959718696764679201917651309, 7.32765958030257242449113122317, 7.41884863581944734008160860194

Graph of the $Z$-function along the critical line