# Properties

 Label 9.5e3_19e3_101e3.16t1294.1c1 Dimension 9 Group $S_4\wr C_2$ Conductor $5^{3} \cdot 19^{3} \cdot 101^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $883354319875= 5^{3} \cdot 19^{3} \cdot 101^{3}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 2 x^{7} + 5 x^{6} - 4 x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 10 x^{2} - 19$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 16T1294 Parity: Odd Determinant: 1.5_19_101.2t1.1c1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 93.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $x^{2} + 42 x + 3$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $a + 25 + \left(13 a + 12\right)\cdot 43 + \left(26 a + 30\right)\cdot 43^{2} + \left(18 a + 15\right)\cdot 43^{3} + \left(37 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(37 a + 1\right)\cdot 43^{5} + \left(37 a + 20\right)\cdot 43^{6} + \left(22 a + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(2 a + 27\right)\cdot 43^{8} + \left(20 a + 17\right)\cdot 43^{9} + \left(3 a + 28\right)\cdot 43^{10} + \left(40 a + 11\right)\cdot 43^{11} + \left(14 a + 34\right)\cdot 43^{12} + \left(30 a + 34\right)\cdot 43^{13} + \left(37 a + 21\right)\cdot 43^{14} + \left(30 a + 17\right)\cdot 43^{15} + \left(11 a + 39\right)\cdot 43^{16} + \left(7 a + 35\right)\cdot 43^{17} + \left(39 a + 39\right)\cdot 43^{18} + \left(13 a + 13\right)\cdot 43^{19} + \left(38 a + 42\right)\cdot 43^{20} + \left(a + 35\right)\cdot 43^{21} + \left(34 a + 3\right)\cdot 43^{22} + \left(31 a + 30\right)\cdot 43^{23} + \left(8 a + 37\right)\cdot 43^{24} + \left(21 a + 37\right)\cdot 43^{25} + \left(13 a + 23\right)\cdot 43^{26} + \left(28 a + 36\right)\cdot 43^{27} + \left(3 a + 2\right)\cdot 43^{28} + \left(23 a + 33\right)\cdot 43^{29} + \left(24 a + 37\right)\cdot 43^{30} + \left(40 a + 26\right)\cdot 43^{31} + \left(24 a + 24\right)\cdot 43^{32} + 24\cdot 43^{33} + \left(21 a + 18\right)\cdot 43^{34} + \left(36 a + 32\right)\cdot 43^{35} + \left(9 a + 16\right)\cdot 43^{36} + \left(6 a + 22\right)\cdot 43^{37} + \left(10 a + 27\right)\cdot 43^{38} + \left(37 a + 16\right)\cdot 43^{39} + \left(23 a + 32\right)\cdot 43^{40} + \left(32 a + 25\right)\cdot 43^{41} + \left(16 a + 19\right)\cdot 43^{42} + \left(41 a + 13\right)\cdot 43^{43} + \left(3 a + 3\right)\cdot 43^{44} + \left(23 a + 20\right)\cdot 43^{45} + \left(3 a + 12\right)\cdot 43^{46} + \left(30 a + 11\right)\cdot 43^{47} + \left(6 a + 17\right)\cdot 43^{48} + \left(12 a + 33\right)\cdot 43^{49} + \left(3 a + 31\right)\cdot 43^{50} + \left(6 a + 37\right)\cdot 43^{51} + \left(20 a + 12\right)\cdot 43^{52} + \left(26 a + 24\right)\cdot 43^{53} + \left(16 a + 12\right)\cdot 43^{54} + 14 a\cdot 43^{55} + \left(35 a + 28\right)\cdot 43^{56} + \left(19 a + 40\right)\cdot 43^{57} + \left(26 a + 9\right)\cdot 43^{58} + \left(12 a + 24\right)\cdot 43^{59} + \left(33 a + 15\right)\cdot 43^{60} + \left(4 a + 35\right)\cdot 43^{61} + \left(11 a + 9\right)\cdot 43^{62} + \left(42 a + 2\right)\cdot 43^{63} + \left(21 a + 37\right)\cdot 43^{64} + \left(30 a + 24\right)\cdot 43^{65} + \left(25 a + 16\right)\cdot 43^{66} + \left(42 a + 13\right)\cdot 43^{67} + \left(29 a + 15\right)\cdot 43^{68} + \left(20 a + 13\right)\cdot 43^{69} + 5\cdot 43^{70} + \left(14 a + 28\right)\cdot 43^{71} + \left(3 a + 21\right)\cdot 43^{72} + \left(28 a + 22\right)\cdot 43^{73} + \left(a + 11\right)\cdot 43^{74} + \left(31 a + 17\right)\cdot 43^{75} + \left(25 a + 39\right)\cdot 43^{76} + \left(40 a + 28\right)\cdot 43^{77} + \left(10 a + 22\right)\cdot 43^{78} + \left(28 a + 21\right)\cdot 43^{79} + \left(7 a + 14\right)\cdot 43^{80} + \left(37 a + 37\right)\cdot 43^{81} + \left(12 a + 24\right)\cdot 43^{82} + \left(20 a + 19\right)\cdot 43^{83} + \left(22 a + 33\right)\cdot 43^{84} + \left(35 a + 19\right)\cdot 43^{85} + \left(8 a + 33\right)\cdot 43^{86} + \left(18 a + 21\right)\cdot 43^{87} + \left(33 a + 14\right)\cdot 43^{88} + \left(28 a + 42\right)\cdot 43^{89} + \left(38 a + 26\right)\cdot 43^{90} + \left(14 a + 22\right)\cdot 43^{91} + \left(18 a + 6\right)\cdot 43^{92} +O\left(43^{ 93 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $9 a + 10 + \left(17 a + 28\right)\cdot 43 + \left(20 a + 20\right)\cdot 43^{2} + \left(25 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a + 24\right)\cdot 43^{4} + \left(25 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(30 a + 41\right)\cdot 43^{6} + \left(15 a + 12\right)\cdot 43^{7} + \left(20 a + 40\right)\cdot 43^{8} + \left(2 a + 36\right)\cdot 43^{9} + \left(34 a + 29\right)\cdot 43^{10} + \left(42 a + 26\right)\cdot 43^{11} + \left(38 a + 35\right)\cdot 43^{12} + \left(a + 14\right)\cdot 43^{13} + \left(36 a + 39\right)\cdot 43^{14} + \left(2 a + 36\right)\cdot 43^{15} + \left(27 a + 33\right)\cdot 43^{16} + \left(27 a + 32\right)\cdot 43^{17} + 41 a\cdot 43^{18} + \left(32 a + 23\right)\cdot 43^{19} + \left(17 a + 13\right)\cdot 43^{20} + \left(16 a + 24\right)\cdot 43^{21} + \left(36 a + 6\right)\cdot 43^{22} + \left(38 a + 28\right)\cdot 43^{23} + \left(5 a + 5\right)\cdot 43^{24} + \left(29 a + 11\right)\cdot 43^{25} + \left(30 a + 16\right)\cdot 43^{26} + \left(7 a + 36\right)\cdot 43^{27} + \left(9 a + 27\right)\cdot 43^{28} + \left(15 a + 9\right)\cdot 43^{29} + \left(19 a + 18\right)\cdot 43^{30} + \left(22 a + 35\right)\cdot 43^{31} + \left(4 a + 25\right)\cdot 43^{32} + \left(12 a + 41\right)\cdot 43^{33} + \left(30 a + 2\right)\cdot 43^{34} + \left(23 a + 38\right)\cdot 43^{35} + \left(a + 5\right)\cdot 43^{36} + \left(15 a + 24\right)\cdot 43^{37} + \left(25 a + 7\right)\cdot 43^{38} + \left(3 a + 6\right)\cdot 43^{39} + \left(40 a + 15\right)\cdot 43^{40} + \left(3 a + 6\right)\cdot 43^{41} + \left(5 a + 28\right)\cdot 43^{42} + \left(30 a + 3\right)\cdot 43^{43} + \left(31 a + 9\right)\cdot 43^{44} + \left(8 a + 5\right)\cdot 43^{45} + \left(15 a + 13\right)\cdot 43^{46} + \left(26 a + 6\right)\cdot 43^{47} + \left(21 a + 19\right)\cdot 43^{48} + \left(19 a + 12\right)\cdot 43^{49} + \left(35 a + 37\right)\cdot 43^{50} + \left(23 a + 30\right)\cdot 43^{51} + \left(27 a + 38\right)\cdot 43^{52} + \left(28 a + 28\right)\cdot 43^{53} + \left(32 a + 30\right)\cdot 43^{54} + \left(20 a + 15\right)\cdot 43^{55} + \left(3 a + 13\right)\cdot 43^{56} + \left(29 a + 14\right)\cdot 43^{57} + \left(25 a + 13\right)\cdot 43^{58} + \left(15 a + 34\right)\cdot 43^{59} + \left(18 a + 22\right)\cdot 43^{60} + \left(25 a + 3\right)\cdot 43^{61} + \left(35 a + 4\right)\cdot 43^{62} + \left(13 a + 37\right)\cdot 43^{63} + \left(34 a + 1\right)\cdot 43^{64} + \left(11 a + 35\right)\cdot 43^{65} + \left(10 a + 39\right)\cdot 43^{66} + \left(a + 3\right)\cdot 43^{67} + \left(9 a + 42\right)\cdot 43^{68} + \left(18 a + 37\right)\cdot 43^{69} + \left(22 a + 37\right)\cdot 43^{70} + \left(3 a + 15\right)\cdot 43^{71} + \left(9 a + 17\right)\cdot 43^{72} + \left(15 a + 22\right)\cdot 43^{73} + \left(42 a + 8\right)\cdot 43^{74} + \left(32 a + 34\right)\cdot 43^{75} + \left(22 a + 19\right)\cdot 43^{76} + \left(21 a + 38\right)\cdot 43^{77} + \left(12 a + 28\right)\cdot 43^{78} + \left(7 a + 23\right)\cdot 43^{79} + \left(25 a + 25\right)\cdot 43^{80} + \left(15 a + 26\right)\cdot 43^{81} + \left(13 a + 14\right)\cdot 43^{82} + \left(41 a + 12\right)\cdot 43^{83} + \left(7 a + 38\right)\cdot 43^{84} + \left(38 a + 42\right)\cdot 43^{85} + \left(39 a + 10\right)\cdot 43^{86} + \left(11 a + 1\right)\cdot 43^{87} + \left(15 a + 17\right)\cdot 43^{88} + \left(40 a + 10\right)\cdot 43^{89} + \left(7 a + 9\right)\cdot 43^{90} + \left(22 a + 28\right)\cdot 43^{91} + \left(36 a + 28\right)\cdot 43^{92} +O\left(43^{ 93 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $6 a + 26 + \left(2 a + 12\right)\cdot 43 + \left(10 a + 38\right)\cdot 43^{2} + \left(6 a + 36\right)\cdot 43^{3} + \left(16 a + 23\right)\cdot 43^{4} + \left(9 a + 42\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a + 1\right)\cdot 43^{6} + \left(8 a + 35\right)\cdot 43^{7} + \left(2 a + 24\right)\cdot 43^{8} + \left(20 a + 27\right)\cdot 43^{9} + \left(39 a + 30\right)\cdot 43^{10} + \left(2 a + 8\right)\cdot 43^{11} + \left(42 a + 11\right)\cdot 43^{12} + \left(34 a + 7\right)\cdot 43^{13} + \left(17 a + 38\right)\cdot 43^{14} + \left(8 a + 5\right)\cdot 43^{15} + \left(15 a + 15\right)\cdot 43^{16} + \left(31 a + 23\right)\cdot 43^{17} + 14 a\cdot 43^{18} + \left(16 a + 2\right)\cdot 43^{19} + \left(a + 23\right)\cdot 43^{20} + \left(33 a + 3\right)\cdot 43^{21} + 21\cdot 43^{22} + \left(2 a + 34\right)\cdot 43^{23} + \left(26 a + 41\right)\cdot 43^{24} + \left(30 a + 17\right)\cdot 43^{25} + \left(34 a + 2\right)\cdot 43^{26} + \left(3 a + 12\right)\cdot 43^{27} + \left(11 a + 32\right)\cdot 43^{28} + \left(36 a + 17\right)\cdot 43^{29} + \left(22 a + 29\right)\cdot 43^{30} + \left(38 a + 19\right)\cdot 43^{31} + \left(33 a + 28\right)\cdot 43^{32} + \left(13 a + 7\right)\cdot 43^{33} + \left(19 a + 28\right)\cdot 43^{34} + \left(40 a + 40\right)\cdot 43^{35} + \left(11 a + 40\right)\cdot 43^{36} + \left(17 a + 30\right)\cdot 43^{37} + \left(37 a + 41\right)\cdot 43^{38} + \left(6 a + 19\right)\cdot 43^{39} + 25 a\cdot 43^{40} + \left(30 a + 9\right)\cdot 43^{41} + \left(5 a + 5\right)\cdot 43^{42} + \left(42 a + 30\right)\cdot 43^{43} + \left(18 a + 1\right)\cdot 43^{44} + \left(42 a + 16\right)\cdot 43^{45} + \left(38 a + 28\right)\cdot 43^{46} + \left(15 a + 42\right)\cdot 43^{47} + \left(30 a + 18\right)\cdot 43^{48} + \left(22 a + 35\right)\cdot 43^{49} + \left(29 a + 15\right)\cdot 43^{50} + \left(25 a + 41\right)\cdot 43^{51} + \left(37 a + 17\right)\cdot 43^{52} + \left(38 a + 34\right)\cdot 43^{53} + \left(40 a + 30\right)\cdot 43^{54} + \left(41 a + 32\right)\cdot 43^{55} + \left(42 a + 37\right)\cdot 43^{56} + \left(37 a + 39\right)\cdot 43^{57} + \left(35 a + 10\right)\cdot 43^{58} + \left(40 a + 11\right)\cdot 43^{59} + \left(27 a + 25\right)\cdot 43^{60} + \left(32 a + 33\right)\cdot 43^{61} + \left(42 a + 28\right)\cdot 43^{62} + \left(19 a + 6\right)\cdot 43^{63} + \left(41 a + 20\right)\cdot 43^{64} + \left(12 a + 33\right)\cdot 43^{65} + \left(32 a + 15\right)\cdot 43^{66} + \left(6 a + 13\right)\cdot 43^{67} + \left(a + 21\right)\cdot 43^{68} + \left(35 a + 26\right)\cdot 43^{69} + \left(18 a + 32\right)\cdot 43^{70} + \left(7 a + 20\right)\cdot 43^{71} + \left(4 a + 24\right)\cdot 43^{72} + \left(11 a + 35\right)\cdot 43^{73} + \left(33 a + 9\right)\cdot 43^{74} + \left(30 a + 36\right)\cdot 43^{75} + \left(23 a + 31\right)\cdot 43^{76} + \left(4 a + 14\right)\cdot 43^{77} + \left(15 a + 13\right)\cdot 43^{78} + \left(37 a + 32\right)\cdot 43^{79} + \left(5 a + 2\right)\cdot 43^{80} + \left(14 a + 17\right)\cdot 43^{81} + \left(12 a + 30\right)\cdot 43^{82} + \left(9 a + 39\right)\cdot 43^{83} + \left(27 a + 33\right)\cdot 43^{84} + \left(2 a + 18\right)\cdot 43^{85} + \left(31 a + 38\right)\cdot 43^{86} + \left(36 a + 9\right)\cdot 43^{87} + \left(31 a + 5\right)\cdot 43^{88} + \left(40 a + 37\right)\cdot 43^{89} + \left(30 a + 11\right)\cdot 43^{90} + \left(13 a + 16\right)\cdot 43^{91} + \left(37 a + 38\right)\cdot 43^{92} +O\left(43^{ 93 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $22 + 17\cdot 43 + 30\cdot 43^{2} + 30\cdot 43^{3} + 27\cdot 43^{4} + 27\cdot 43^{5} + 12\cdot 43^{6} + 21\cdot 43^{7} + 29\cdot 43^{8} + 36\cdot 43^{9} + 10\cdot 43^{10} + 15\cdot 43^{11} + 37\cdot 43^{12} + 26\cdot 43^{13} + 38\cdot 43^{14} + 16\cdot 43^{15} + 11\cdot 43^{16} + 10\cdot 43^{17} + 24\cdot 43^{18} + 17\cdot 43^{19} + 33\cdot 43^{20} + 18\cdot 43^{21} + 4\cdot 43^{22} + 15\cdot 43^{23} + 25\cdot 43^{24} + 19\cdot 43^{25} + 13\cdot 43^{26} + 31\cdot 43^{27} + 13\cdot 43^{28} + 25\cdot 43^{29} + 43^{30} + 16\cdot 43^{31} + 14\cdot 43^{32} + 40\cdot 43^{33} + 41\cdot 43^{34} + 7\cdot 43^{35} + 27\cdot 43^{36} + 7\cdot 43^{37} + 25\cdot 43^{38} + 21\cdot 43^{39} + 43^{40} + 40\cdot 43^{41} + 29\cdot 43^{42} + 25\cdot 43^{43} + 23\cdot 43^{44} + 20\cdot 43^{45} + 29\cdot 43^{46} + 37\cdot 43^{47} + 41\cdot 43^{48} + 2\cdot 43^{49} + 22\cdot 43^{50} + 29\cdot 43^{51} + 38\cdot 43^{52} + 26\cdot 43^{53} + 15\cdot 43^{54} + 30\cdot 43^{55} + 37\cdot 43^{56} + 19\cdot 43^{57} + 7\cdot 43^{58} + 25\cdot 43^{59} + 21\cdot 43^{61} + 27\cdot 43^{62} + 10\cdot 43^{63} + 39\cdot 43^{65} + 16\cdot 43^{66} + 34\cdot 43^{67} + 21\cdot 43^{68} + 3\cdot 43^{69} + 27\cdot 43^{70} + 31\cdot 43^{71} + 8\cdot 43^{72} + 42\cdot 43^{73} + 23\cdot 43^{74} + 3\cdot 43^{75} + 24\cdot 43^{76} + 25\cdot 43^{77} + 9\cdot 43^{78} + 39\cdot 43^{79} + 42\cdot 43^{80} + 42\cdot 43^{81} + 41\cdot 43^{82} + 13\cdot 43^{85} + 33\cdot 43^{86} + 30\cdot 43^{87} + 10\cdot 43^{88} + 34\cdot 43^{89} + 35\cdot 43^{90} + 36\cdot 43^{91} + 6\cdot 43^{92} +O\left(43^{ 93 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $14 + 31\cdot 43 + 24\cdot 43^{2} + 31\cdot 43^{3} + 12\cdot 43^{5} + 33\cdot 43^{6} + 30\cdot 43^{7} + 21\cdot 43^{8} + 39\cdot 43^{9} + 34\cdot 43^{10} + 10\cdot 43^{11} + 5\cdot 43^{12} + 17\cdot 43^{13} + 39\cdot 43^{14} + 40\cdot 43^{15} + 14\cdot 43^{16} + 8\cdot 43^{17} + 36\cdot 43^{18} + 22\cdot 43^{19} + 29\cdot 43^{20} + 31\cdot 43^{21} + 41\cdot 43^{22} + 12\cdot 43^{23} + 8\cdot 43^{24} + 21\cdot 43^{25} + 32\cdot 43^{26} + 9\cdot 43^{27} + 5\cdot 43^{28} + 18\cdot 43^{29} + 7\cdot 43^{30} + 38\cdot 43^{32} + 20\cdot 43^{33} + 29\cdot 43^{34} + 40\cdot 43^{35} + 8\cdot 43^{36} + 37\cdot 43^{37} + 43^{38} + 4\cdot 43^{39} + 33\cdot 43^{40} + 28\cdot 43^{41} + 32\cdot 43^{42} + 8\cdot 43^{43} + 7\cdot 43^{44} + 6\cdot 43^{45} + 8\cdot 43^{46} + 42\cdot 43^{47} + 32\cdot 43^{48} + 10\cdot 43^{49} + 9\cdot 43^{50} + 21\cdot 43^{51} + 7\cdot 43^{52} + 4\cdot 43^{53} + 12\cdot 43^{54} + 14\cdot 43^{55} + 14\cdot 43^{56} + 9\cdot 43^{58} + 26\cdot 43^{59} + 33\cdot 43^{60} + 22\cdot 43^{61} + 32\cdot 43^{62} + 39\cdot 43^{63} + 31\cdot 43^{64} + 31\cdot 43^{65} + 40\cdot 43^{66} + 7\cdot 43^{67} + 3\cdot 43^{68} + 22\cdot 43^{69} + 25\cdot 43^{70} + 27\cdot 43^{71} + 43^{72} + 17\cdot 43^{73} + 22\cdot 43^{74} + 18\cdot 43^{75} + 31\cdot 43^{76} + 30\cdot 43^{77} + 17\cdot 43^{78} + 29\cdot 43^{79} + 34\cdot 43^{80} + 24\cdot 43^{81} + 18\cdot 43^{82} + 38\cdot 43^{83} + 16\cdot 43^{84} + 20\cdot 43^{85} + 12\cdot 43^{86} + 2\cdot 43^{87} + 31\cdot 43^{88} + 14\cdot 43^{89} + 29\cdot 43^{90} + 27\cdot 43^{91} + 19\cdot 43^{92} +O\left(43^{ 93 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $42 a + 26 + \left(29 a + 24\right)\cdot 43 + 16 a\cdot 43^{2} + \left(24 a + 8\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a + 38\right)\cdot 43^{4} + \left(5 a + 1\right)\cdot 43^{5} + \left(5 a + 20\right)\cdot 43^{6} + \left(20 a + 9\right)\cdot 43^{7} + \left(40 a + 7\right)\cdot 43^{8} + \left(22 a + 35\right)\cdot 43^{9} + \left(39 a + 11\right)\cdot 43^{10} + \left(2 a + 5\right)\cdot 43^{11} + \left(28 a + 9\right)\cdot 43^{12} + \left(12 a + 7\right)\cdot 43^{13} + \left(5 a + 29\right)\cdot 43^{14} + \left(12 a + 10\right)\cdot 43^{15} + \left(31 a + 20\right)\cdot 43^{16} + \left(35 a + 31\right)\cdot 43^{17} + \left(3 a + 28\right)\cdot 43^{18} + \left(29 a + 31\right)\cdot 43^{19} + \left(4 a + 23\right)\cdot 43^{20} + \left(41 a + 42\right)\cdot 43^{21} + \left(8 a + 35\right)\cdot 43^{22} + \left(11 a + 27\right)\cdot 43^{23} + \left(34 a + 14\right)\cdot 43^{24} + \left(21 a + 7\right)\cdot 43^{25} + \left(29 a + 16\right)\cdot 43^{26} + \left(14 a + 8\right)\cdot 43^{27} + \left(39 a + 21\right)\cdot 43^{28} + \left(19 a + 9\right)\cdot 43^{29} + \left(18 a + 39\right)\cdot 43^{30} + \left(2 a + 42\right)\cdot 43^{31} + \left(18 a + 8\right)\cdot 43^{32} + 42 a\cdot 43^{33} + \left(21 a + 39\right)\cdot 43^{34} + \left(6 a + 4\right)\cdot 43^{35} + \left(33 a + 33\right)\cdot 43^{36} + \left(36 a + 18\right)\cdot 43^{37} + \left(32 a + 31\right)\cdot 43^{38} + 5 a\cdot 43^{39} + \left(19 a + 19\right)\cdot 43^{40} + \left(10 a + 34\right)\cdot 43^{41} + \left(26 a + 3\right)\cdot 43^{42} + \left(a + 38\right)\cdot 43^{43} + \left(39 a + 8\right)\cdot 43^{44} + \left(19 a + 39\right)\cdot 43^{45} + \left(39 a + 35\right)\cdot 43^{46} + \left(12 a + 37\right)\cdot 43^{47} + \left(36 a + 36\right)\cdot 43^{48} + \left(30 a + 38\right)\cdot 43^{49} + \left(39 a + 22\right)\cdot 43^{50} + \left(36 a + 40\right)\cdot 43^{51} + \left(22 a + 26\right)\cdot 43^{52} + \left(16 a + 30\right)\cdot 43^{53} + \left(26 a + 2\right)\cdot 43^{54} + \left(28 a + 41\right)\cdot 43^{55} + \left(7 a + 5\right)\cdot 43^{56} + \left(23 a + 25\right)\cdot 43^{57} + \left(16 a + 16\right)\cdot 43^{58} + \left(30 a + 10\right)\cdot 43^{59} + \left(9 a + 36\right)\cdot 43^{60} + \left(38 a + 6\right)\cdot 43^{61} + \left(31 a + 16\right)\cdot 43^{62} + 33\cdot 43^{63} + \left(21 a + 16\right)\cdot 43^{64} + \left(12 a + 33\right)\cdot 43^{65} + \left(17 a + 11\right)\cdot 43^{66} + 30\cdot 43^{67} + \left(13 a + 2\right)\cdot 43^{68} + \left(22 a + 4\right)\cdot 43^{69} + \left(42 a + 28\right)\cdot 43^{70} + \left(28 a + 41\right)\cdot 43^{71} + \left(39 a + 10\right)\cdot 43^{72} + \left(14 a + 4\right)\cdot 43^{73} + \left(41 a + 28\right)\cdot 43^{74} + \left(11 a + 3\right)\cdot 43^{75} + \left(17 a + 34\right)\cdot 43^{76} + 2 a\cdot 43^{77} + \left(32 a + 36\right)\cdot 43^{78} + \left(14 a + 38\right)\cdot 43^{79} + \left(35 a + 36\right)\cdot 43^{80} + \left(5 a + 23\right)\cdot 43^{81} + 30 a\cdot 43^{82} + \left(22 a + 27\right)\cdot 43^{83} + \left(20 a + 35\right)\cdot 43^{84} + \left(7 a + 32\right)\cdot 43^{85} + \left(34 a + 6\right)\cdot 43^{86} + \left(24 a + 31\right)\cdot 43^{87} + \left(9 a + 29\right)\cdot 43^{88} + \left(14 a + 37\right)\cdot 43^{89} + \left(4 a + 36\right)\cdot 43^{90} + \left(28 a + 41\right)\cdot 43^{91} + \left(24 a + 9\right)\cdot 43^{92} +O\left(43^{ 93 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $34 a + 19 + \left(25 a + 36\right)\cdot 43 + \left(22 a + 23\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a + 10\right)\cdot 43^{3} + \left(37 a + 4\right)\cdot 43^{4} + \left(17 a + 35\right)\cdot 43^{5} + \left(12 a + 3\right)\cdot 43^{6} + \left(27 a + 41\right)\cdot 43^{7} + \left(22 a + 1\right)\cdot 43^{8} + \left(40 a + 19\right)\cdot 43^{9} + \left(8 a + 18\right)\cdot 43^{10} + 35\cdot 43^{11} + \left(4 a + 31\right)\cdot 43^{12} + \left(41 a + 20\right)\cdot 43^{13} + \left(6 a + 30\right)\cdot 43^{14} + \left(40 a + 3\right)\cdot 43^{15} + \left(15 a + 15\right)\cdot 43^{16} + \left(15 a + 33\right)\cdot 43^{17} + \left(a + 14\right)\cdot 43^{18} + \left(10 a + 14\right)\cdot 43^{19} + \left(25 a + 41\right)\cdot 43^{20} + \left(26 a + 22\right)\cdot 43^{21} + \left(6 a + 26\right)\cdot 43^{22} + \left(4 a + 30\right)\cdot 43^{23} + \left(37 a + 15\right)\cdot 43^{24} + \left(13 a + 34\right)\cdot 43^{25} + \left(12 a + 17\right)\cdot 43^{26} + \left(35 a + 13\right)\cdot 43^{27} + \left(33 a + 29\right)\cdot 43^{28} + \left(27 a + 15\right)\cdot 43^{29} + \left(23 a + 22\right)\cdot 43^{30} + \left(20 a + 38\right)\cdot 43^{31} + \left(38 a + 7\right)\cdot 43^{32} + \left(30 a + 6\right)\cdot 43^{33} + \left(12 a + 21\right)\cdot 43^{34} + \left(19 a + 31\right)\cdot 43^{35} + \left(41 a + 26\right)\cdot 43^{36} + \left(27 a + 37\right)\cdot 43^{37} + \left(17 a + 17\right)\cdot 43^{38} + \left(39 a + 27\right)\cdot 43^{39} + \left(2 a + 8\right)\cdot 43^{40} + \left(39 a + 13\right)\cdot 43^{41} + \left(37 a + 29\right)\cdot 43^{42} + \left(12 a + 28\right)\cdot 43^{43} + \left(11 a + 10\right)\cdot 43^{44} + \left(34 a + 25\right)\cdot 43^{45} + \left(27 a + 19\right)\cdot 43^{46} + \left(16 a + 17\right)\cdot 43^{47} + \left(21 a + 14\right)\cdot 43^{48} + \left(23 a + 10\right)\cdot 43^{49} + \left(7 a + 10\right)\cdot 43^{50} + \left(19 a + 19\right)\cdot 43^{51} + \left(15 a + 42\right)\cdot 43^{52} + \left(14 a + 29\right)\cdot 43^{53} + \left(10 a + 34\right)\cdot 43^{54} + \left(22 a + 3\right)\cdot 43^{55} + \left(39 a + 39\right)\cdot 43^{56} + \left(13 a + 39\right)\cdot 43^{57} + \left(17 a + 9\right)\cdot 43^{58} + \left(27 a + 24\right)\cdot 43^{59} + \left(24 a + 25\right)\cdot 43^{60} + \left(17 a + 10\right)\cdot 43^{61} + \left(7 a + 14\right)\cdot 43^{62} + \left(29 a + 15\right)\cdot 43^{63} + \left(8 a + 22\right)\cdot 43^{64} + \left(31 a + 12\right)\cdot 43^{65} + \left(32 a + 38\right)\cdot 43^{66} + \left(41 a + 37\right)\cdot 43^{67} + \left(33 a + 6\right)\cdot 43^{68} + \left(24 a + 4\right)\cdot 43^{69} + \left(20 a + 42\right)\cdot 43^{70} + \left(39 a + 39\right)\cdot 43^{71} + \left(33 a + 22\right)\cdot 43^{72} + \left(27 a + 28\right)\cdot 43^{73} + 35\cdot 43^{74} + \left(10 a + 24\right)\cdot 43^{75} + \left(20 a + 9\right)\cdot 43^{76} + \left(21 a + 37\right)\cdot 43^{77} + \left(30 a + 19\right)\cdot 43^{78} + \left(35 a + 18\right)\cdot 43^{79} + 17 a\cdot 43^{80} + \left(27 a + 17\right)\cdot 43^{81} + \left(29 a + 12\right)\cdot 43^{82} + \left(a + 40\right)\cdot 43^{83} + \left(35 a + 4\right)\cdot 43^{84} + \left(4 a + 30\right)\cdot 43^{85} + \left(3 a + 12\right)\cdot 43^{86} + \left(31 a + 16\right)\cdot 43^{87} + \left(27 a + 20\right)\cdot 43^{88} + \left(2 a + 35\right)\cdot 43^{89} + \left(35 a + 19\right)\cdot 43^{90} + \left(20 a + 42\right)\cdot 43^{91} + \left(6 a + 42\right)\cdot 43^{92} +O\left(43^{ 93 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $37 a + 32 + \left(40 a + 8\right)\cdot 43 + \left(32 a + 3\right)\cdot 43^{2} + \left(36 a + 33\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a + 33\right)\cdot 43^{4} + \left(33 a + 35\right)\cdot 43^{5} + \left(39 a + 38\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a + 39\right)\cdot 43^{7} + \left(40 a + 18\right)\cdot 43^{8} + \left(22 a + 2\right)\cdot 43^{9} + \left(3 a + 7\right)\cdot 43^{10} + \left(40 a + 15\right)\cdot 43^{11} + 7\cdot 43^{12} + 8 a\cdot 43^{13} + \left(25 a + 21\right)\cdot 43^{14} + \left(34 a + 39\right)\cdot 43^{15} + \left(27 a + 21\right)\cdot 43^{16} + \left(11 a + 39\right)\cdot 43^{17} + \left(28 a + 26\right)\cdot 43^{18} + \left(26 a + 3\right)\cdot 43^{19} + \left(41 a + 8\right)\cdot 43^{20} + \left(9 a + 35\right)\cdot 43^{21} + \left(42 a + 31\right)\cdot 43^{22} + \left(40 a + 35\right)\cdot 43^{23} + \left(16 a + 22\right)\cdot 43^{24} + \left(12 a + 22\right)\cdot 43^{25} + \left(8 a + 6\right)\cdot 43^{26} + \left(39 a + 24\right)\cdot 43^{27} + \left(31 a + 39\right)\cdot 43^{28} + \left(6 a + 42\right)\cdot 43^{29} + \left(20 a + 15\right)\cdot 43^{30} + \left(4 a + 35\right)\cdot 43^{31} + \left(9 a + 23\right)\cdot 43^{32} + \left(29 a + 30\right)\cdot 43^{33} + \left(23 a + 33\right)\cdot 43^{34} + \left(2 a + 18\right)\cdot 43^{35} + \left(31 a + 12\right)\cdot 43^{36} + \left(25 a + 36\right)\cdot 43^{37} + \left(5 a + 18\right)\cdot 43^{38} + \left(36 a + 32\right)\cdot 43^{39} + \left(17 a + 18\right)\cdot 43^{40} + \left(12 a + 14\right)\cdot 43^{41} + \left(37 a + 23\right)\cdot 43^{42} + 23\cdot 43^{43} + \left(24 a + 21\right)\cdot 43^{44} + 39\cdot 43^{45} + \left(4 a + 24\right)\cdot 43^{46} + \left(27 a + 19\right)\cdot 43^{47} + \left(12 a + 33\right)\cdot 43^{48} + \left(20 a + 27\right)\cdot 43^{49} + \left(13 a + 22\right)\cdot 43^{50} + \left(17 a + 37\right)\cdot 43^{51} + \left(5 a + 29\right)\cdot 43^{52} + \left(4 a + 35\right)\cdot 43^{53} + \left(2 a + 32\right)\cdot 43^{54} + \left(a + 33\right)\cdot 43^{55} + 38\cdot 43^{56} + \left(5 a + 34\right)\cdot 43^{57} + \left(7 a + 8\right)\cdot 43^{58} + \left(2 a + 16\right)\cdot 43^{59} + \left(15 a + 12\right)\cdot 43^{60} + \left(10 a + 38\right)\cdot 43^{61} + 38\cdot 43^{62} + \left(23 a + 26\right)\cdot 43^{63} + \left(a + 41\right)\cdot 43^{64} + \left(30 a + 4\right)\cdot 43^{65} + \left(10 a + 35\right)\cdot 43^{66} + \left(36 a + 30\right)\cdot 43^{67} + \left(41 a + 15\right)\cdot 43^{68} + \left(7 a + 17\right)\cdot 43^{69} + \left(24 a + 16\right)\cdot 43^{70} + \left(35 a + 9\right)\cdot 43^{71} + \left(38 a + 21\right)\cdot 43^{72} + \left(31 a + 42\right)\cdot 43^{73} + \left(9 a + 31\right)\cdot 43^{74} + \left(12 a + 33\right)\cdot 43^{75} + \left(19 a + 24\right)\cdot 43^{76} + \left(38 a + 38\right)\cdot 43^{77} + \left(27 a + 23\right)\cdot 43^{78} + \left(5 a + 11\right)\cdot 43^{79} + \left(37 a + 14\right)\cdot 43^{80} + \left(28 a + 25\right)\cdot 43^{81} + \left(30 a + 28\right)\cdot 43^{82} + \left(33 a + 36\right)\cdot 43^{83} + \left(15 a + 8\right)\cdot 43^{84} + \left(40 a + 37\right)\cdot 43^{85} + \left(11 a + 23\right)\cdot 43^{86} + \left(6 a + 15\right)\cdot 43^{87} + 11 a\cdot 43^{88} + \left(2 a + 3\right)\cdot 43^{89} + \left(12 a + 2\right)\cdot 43^{90} + \left(29 a + 42\right)\cdot 43^{91} + \left(5 a + 18\right)\cdot 43^{92} +O\left(43^{ 93 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(2,3,7,8)$ $(1,2)(3,4)(5,7)(6,8)$ $(2,3)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(1,5)(4,6)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,5)(2,7)(3,8)(4,6)$ $1$ $12$ $2$ $(2,3)$ $3$ $24$ $2$ $(1,2)(3,4)(5,7)(6,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,4)(2,3)$ $1$ $36$ $2$ $(1,5)(2,3)(4,6)$ $-1$ $16$ $3$ $(2,7,8)$ $0$ $64$ $3$ $(2,7,8)(4,5,6)$ $0$ $12$ $4$ $(1,4,5,6)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,4,5,6)(2,3,7,8)$ $1$ $36$ $4$ $(1,5)(2,3,7,8)(4,6)$ $1$ $72$ $4$ $(1,7,5,2)(3,4,8,6)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,4,5,6)(2,3)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,2,4,3)(5,7)(6,8)$ $1$ $48$ $6$ $(1,5)(2,8,7)(4,6)$ $0$ $96$ $6$ $(2,3)(4,6,5)$ $0$ $192$ $6$ $(1,3)(2,4,7,5,8,6)$ $0$ $144$ $8$ $(1,3,4,7,5,8,6,2)$ $-1$ $96$ $12$ $(1,4,5,6)(2,7,8)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.