Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 149.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{3} + x + 28 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 18 a^{2} + 14 a + 27 + \left(23 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 31 + \left(12 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 31^{9} + \left(21 a^{2} + 3\right)\cdot 31^{10} + \left(20 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31^{11} + \left(6 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 31^{12} + \left(19 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 31^{13} + \left(3 a^{2} + 30\right)\cdot 31^{14} + \left(14 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 31^{15} + \left(6 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 31^{16} + \left(4 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 31^{17} + \left(16 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 31^{18} + \left(6 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31^{19} + \left(2 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 31^{20} + \left(26 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 31^{21} + \left(13 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{22} + \left(23 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 31^{23} + \left(7 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 31^{24} + \left(23 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{25} + \left(18 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 31^{26} + \left(9 a + 14\right)\cdot 31^{27} + \left(21 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{28} + \left(a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{29} + \left(12 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{30} + \left(16 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{31} + \left(10 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 31^{32} + \left(13 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{33} + \left(10 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31^{34} + \left(21 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 31^{35} + \left(16 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{36} + \left(7 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{37} + \left(2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 31^{38} + \left(28 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{39} + \left(19 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 31^{40} + \left(15 a^{2} + 5 a\right)\cdot 31^{41} + \left(20 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{42} + \left(15 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 31^{43} + \left(25 a^{2} + a + 16\right)\cdot 31^{44} + \left(9 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 31^{45} + \left(18 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{46} + \left(20 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 31^{47} + \left(13 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 31^{48} + \left(25 a^{2} + 22 a\right)\cdot 31^{49} + \left(30 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{50} + \left(12 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{51} + \left(26 a^{2} + a + 13\right)\cdot 31^{52} + \left(10 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 31^{53} + \left(30 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 31^{54} + \left(15 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 31^{55} + \left(21 a^{2} + 4 a\right)\cdot 31^{56} + \left(16 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31^{57} + \left(3 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{58} + \left(24 a + 19\right)\cdot 31^{59} + \left(a^{2} + 29 a + 30\right)\cdot 31^{60} + \left(15 a^{2} + a + 23\right)\cdot 31^{61} + \left(22 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 31^{62} + \left(10 a^{2} + 18 a\right)\cdot 31^{63} + \left(11 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{64} + \left(19 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 31^{65} + \left(2 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 31^{66} + \left(5 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31^{67} + \left(10 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 31^{68} + \left(19 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{69} + \left(21 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{70} + \left(26 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{71} + \left(6 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{72} + \left(22 a^{2} + a + 27\right)\cdot 31^{73} + \left(6 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 31^{74} + \left(14 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 31^{75} + \left(11 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 31^{76} + \left(a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 31^{77} + \left(9 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{78} + \left(16 a^{2} + 9\right)\cdot 31^{79} + \left(27 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 31^{80} + \left(24 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 31^{81} + \left(26 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 31^{82} + \left(9 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{83} + \left(11 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 31^{84} + \left(5 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 31^{85} + \left(2 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{86} + \left(7 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{87} + \left(11 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 31^{88} + \left(18 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 31^{89} + \left(25 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 31^{90} + \left(15 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 31^{91} + \left(9 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 31^{92} + \left(24 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 31^{93} + \left(4 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 31^{94} + \left(25 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{95} + \left(5 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{96} + \left(13 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{97} + \left(21 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{98} + \left(20 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{99} + \left(11 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 31^{100} + \left(3 a^{2} + 19 a\right)\cdot 31^{101} + \left(18 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{102} + \left(14 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{103} + \left(19 a + 23\right)\cdot 31^{104} + \left(16 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 31^{105} + \left(5 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{106} + \left(14 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 31^{107} + \left(10 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 31^{108} + \left(24 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 31^{109} + \left(5 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 31^{110} + \left(16 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 31^{111} + \left(8 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{112} + \left(13 a^{2} + a + 14\right)\cdot 31^{113} + \left(2 a^{2} + a + 2\right)\cdot 31^{114} + \left(29 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 31^{115} + \left(14 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 31^{116} + \left(25 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{117} + \left(24 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 31^{118} + \left(9 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 31^{119} + \left(20 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 31^{120} + \left(16 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{121} + \left(23 a + 22\right)\cdot 31^{122} + \left(14 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 31^{123} + \left(23 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{124} + \left(27 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 31^{125} + \left(a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{126} + \left(10 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 31^{127} + \left(14 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31^{128} + \left(24 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 31^{129} + \left(3 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{130} + \left(19 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 31^{131} + \left(24 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 31^{132} + \left(11 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 31^{133} + \left(22 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 31^{134} + \left(15 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{135} + \left(4 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{136} + \left(28 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 31^{137} + \left(9 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{138} + \left(30 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{139} + \left(9 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{140} + \left(29 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 31^{141} + \left(9 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{142} + \left(15 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 31^{143} + \left(21 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 31^{144} + \left(21 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 31^{145} + \left(18 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 31^{146} + \left(11 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{147} + \left(19 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{148} +O\left(31^{ 149 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 22 a^{2} + 18 a + 22 + \left(25 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 31 + \left(4 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(4 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{9} + \left(27 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{10} + \left(18 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{11} + \left(8 a + 8\right)\cdot 31^{12} + \left(11 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{13} + \left(5 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 31^{14} + \left(5 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 31^{15} + \left(7 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{16} + \left(11 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{17} + \left(18 a + 9\right)\cdot 31^{18} + \left(5 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{19} + \left(23 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{20} + \left(19 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 31^{21} + \left(7 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{22} + \left(10 a + 28\right)\cdot 31^{23} + \left(9 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 31^{24} + \left(7 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 31^{25} + \left(6 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31^{26} + \left(10 a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 31^{27} + \left(6 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{28} + \left(25 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 31^{29} + \left(7 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 31^{30} + \left(21 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 31^{31} + \left(3 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{32} + \left(7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{33} + \left(17 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 31^{34} + \left(10 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{35} + \left(23 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 31^{36} + \left(12 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 31^{37} + \left(21 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 31^{38} + \left(11 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{39} + \left(14 a^{2} + 29 a + 15\right)\cdot 31^{40} + \left(15 a^{2} + 21 a + 26\right)\cdot 31^{41} + \left(23 a^{2} + a + 10\right)\cdot 31^{42} + \left(23 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{43} + \left(21 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 31^{44} + \left(24 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{45} + \left(29 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{46} + \left(14 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{47} + \left(25 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 31^{48} + \left(26 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{49} + \left(29 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 31^{50} + \left(24 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{51} + \left(22 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 31^{52} + \left(4 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{53} + 14 a^{2}31^{54} + \left(18 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 31^{55} + \left(27 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 31^{56} + \left(24 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{57} + \left(23 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 31^{58} + \left(19 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{59} + \left(6 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{60} + \left(8 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{61} + \left(9 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{62} + \left(5 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 31^{63} + \left(9 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{64} + \left(7 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{65} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31^{66} + \left(4 a + 30\right)\cdot 31^{67} + \left(8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 31^{68} + \left(19 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 31^{69} + \left(10 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 31^{70} + \left(30 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 31^{71} + \left(24 a^{2} + a + 17\right)\cdot 31^{72} + \left(18 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{73} + \left(23 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 31^{74} + \left(10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 31^{75} + \left(18 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 31^{76} + \left(29 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 31^{77} + \left(4 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 31^{78} + \left(a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 31^{79} + \left(22 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 31^{80} + \left(5 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 31^{81} + \left(15 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31^{82} + \left(20 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 31^{83} + \left(26 a + 20\right)\cdot 31^{84} + \left(21 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 31^{85} + \left(2 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 31^{86} + \left(8 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 31^{87} + \left(24 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{88} + \left(26 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 31^{89} + \left(3 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 31^{90} + \left(5 a^{2} + 7\right)\cdot 31^{91} + \left(16 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 31^{92} + \left(8 a + 12\right)\cdot 31^{93} + \left(13 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 31^{94} + \left(8 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{95} + \left(12 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 31^{96} + \left(5 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{97} + \left(15 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{98} + \left(22 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 31^{99} + \left(a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 31^{100} + \left(9 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 31^{101} + \left(3 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 31^{102} + \left(2 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{103} + \left(4 a^{2} + 20\right)\cdot 31^{104} + \left(14 a^{2} + a + 2\right)\cdot 31^{105} + \left(6 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 31^{106} + \left(22 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 31^{107} + \left(21 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 31^{108} + \left(5 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 31^{109} + \left(3 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 31^{110} + \left(29 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{111} + \left(27 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{112} + \left(13 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{113} + \left(26 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 31^{114} + \left(24 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 31^{115} + \left(25 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 31^{116} + \left(30 a^{2} + 15 a\right)\cdot 31^{117} + \left(19 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 31^{118} + \left(21 a^{2} + a + 18\right)\cdot 31^{119} + \left(12 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 31^{120} + \left(2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 31^{121} + \left(7 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{122} + \left(23 a^{2} + 29 a\right)\cdot 31^{123} + \left(26 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 31^{124} + \left(19 a + 21\right)\cdot 31^{125} + \left(6 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 31^{126} + \left(25 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{127} + \left(6 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 31^{128} + \left(21 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 31^{129} + \left(24 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 31^{130} + \left(3 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31^{131} + \left(a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{132} + \left(7 a + 19\right)\cdot 31^{133} + \left(19 a + 12\right)\cdot 31^{134} + \left(23 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{135} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 31^{136} + \left(15 a + 10\right)\cdot 31^{137} + \left(13 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{138} + \left(30 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31^{139} + \left(17 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 31^{140} + \left(21 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{141} + \left(4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 31^{142} + \left(28 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 31^{143} + \left(28 a + 26\right)\cdot 31^{144} + \left(29 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 31^{145} + \left(29 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31^{146} + \left(6 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{147} + \left(3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 31^{148} +O\left(31^{ 149 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{2} + 3 a + 19 + \left(4 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 31 + \left(23 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{2} + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{9} + \left(7 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 31^{10} + \left(20 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 31^{11} + \left(26 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 31^{12} + \left(14 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 31^{13} + \left(10 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{14} + \left(6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 31^{15} + \left(11 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 31^{16} + \left(9 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 31^{17} + \left(29 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 31^{18} + \left(a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31^{19} + \left(8 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 31^{20} + \left(12 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 31^{21} + \left(3 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 31^{22} + \left(8 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{23} + \left(12 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 31^{24} + \left(4 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 31^{25} + \left(7 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{26} + \left(25 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 31^{27} + \left(15 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 31^{28} + \left(12 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 31^{29} + \left(2 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31^{30} + \left(8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 31^{31} + \left(11 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{32} + \left(9 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 31^{33} + \left(20 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 31^{34} + \left(12 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{35} + \left(3 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{36} + \left(17 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 31^{37} + \left(3 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 31^{38} + \left(30 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{39} + \left(25 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31^{40} + \left(8 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{41} + \left(28 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 31^{42} + \left(12 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{43} + \left(12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{44} + \left(17 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 31^{45} + \left(12 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 31^{46} + \left(6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 31^{47} + \left(11 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 31^{48} + \left(18 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{49} + \left(25 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 31^{50} + \left(28 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{51} + \left(8 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31^{52} + \left(12 a^{2} + a + 10\right)\cdot 31^{53} + \left(15 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{54} + \left(13 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 31^{55} + \left(7 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 31^{56} + \left(30 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{57} + 13 a\cdot 31^{58} + \left(12 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{59} + \left(17 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{60} + \left(14 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 31^{61} + \left(12 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 31^{62} + \left(17 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{63} + \left(30 a + 8\right)\cdot 31^{64} + \left(5 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{65} + \left(14 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{66} + \left(20 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{67} + \left(21 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 31^{68} + \left(18 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 31^{69} + \left(a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 31^{70} + \left(29 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{71} + \left(11 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{72} + \left(11 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 31^{73} + \left(22 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{74} + \left(10 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{75} + \left(6 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{76} + \left(2 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{77} + \left(28 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 31^{78} + \left(30 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 31^{79} + \left(27 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 31^{80} + \left(24 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{81} + \left(13 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{82} + \left(4 a^{2} + 30 a\right)\cdot 31^{83} + \left(4 a^{2} + 28\right)\cdot 31^{84} + \left(12 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{85} + \left(11 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 31^{86} + \left(18 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{87} + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{88} + \left(a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 31^{89} + \left(27 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{90} + \left(15 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 31^{91} + \left(26 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{92} + \left(17 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{93} + \left(30 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 31^{94} + \left(5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{95} + \left(7 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{96} + \left(26 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 31^{97} + \left(10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 31^{98} + \left(2 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{99} + \left(18 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 31^{100} + \left(12 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{101} + \left(6 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 31^{102} + \left(14 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31^{103} + \left(20 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{104} + \left(13 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 31^{105} + \left(30 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 31^{106} + \left(2 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{107} + \left(10 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 31^{108} + \left(21 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 31^{109} + \left(18 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 31^{110} + \left(20 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 31^{111} + \left(17 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{112} + \left(12 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 31^{113} + \left(30 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{114} + \left(20 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 31^{115} + \left(8 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 31^{116} + \left(15 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 31^{117} + \left(29 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{118} + \left(18 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 31^{119} + \left(24 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{120} + \left(15 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 31^{121} + \left(23 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{122} + \left(6 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{123} + \left(17 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{124} + \left(16 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{125} + \left(27 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{126} + \left(a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{127} + \left(11 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 31^{128} + \left(18 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{129} + \left(18 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 31^{130} + \left(8 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 31^{131} + \left(24 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 31^{132} + \left(a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 31^{133} + \left(22 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 31^{134} + \left(20 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{135} + \left(9 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 31^{136} + \left(23 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31^{137} + \left(28 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{138} + \left(27 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{139} + \left(20 a + 5\right)\cdot 31^{140} + \left(17 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 31^{141} + \left(26 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 31^{142} + \left(24 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 31^{143} + \left(26 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 31^{144} + \left(29 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31^{145} + \left(8 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 31^{146} + \left(25 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 31^{147} + \left(26 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 31^{148} +O\left(31^{ 149 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 15 a^{2} + 5 a + 7 + \left(7 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 31 + \left(14 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 31^{9} + \left(17 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 31^{10} + \left(27 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 31^{11} + \left(18 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{12} + \left(12 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 31^{13} + \left(5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{14} + \left(15 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 31^{15} + \left(19 a + 6\right)\cdot 31^{16} + \left(8 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{17} + \left(3 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 31^{18} + \left(27 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{19} + \left(17 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{20} + \left(28 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 31^{21} + \left(20 a + 28\right)\cdot 31^{22} + \left(17 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 31^{23} + \left(23 a + 24\right)\cdot 31^{24} + \left(19 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 31^{25} + \left(6 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{26} + \left(17 a^{2} + a + 10\right)\cdot 31^{27} + \left(a^{2} + 23 a\right)\cdot 31^{28} + \left(9 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 31^{29} + \left(10 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{30} + \left(20 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{31} + \left(16 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{32} + \left(19 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 31^{33} + \left(2 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 31^{34} + \left(12 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{35} + \left(29 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{36} + \left(15 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{37} + \left(6 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 31^{38} + \left(25 a^{2} + 1\right)\cdot 31^{39} + \left(18 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{40} + \left(15 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 31^{41} + \left(20 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{42} + \left(21 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{43} + \left(30 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 31^{44} + \left(16 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{45} + \left(26 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 31^{46} + \left(28 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 31^{47} + \left(6 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 31^{48} + \left(30 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 31^{49} + \left(12 a^{2} + 18 a + 30\right)\cdot 31^{50} + \left(11 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{51} + \left(2 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 31^{52} + \left(25 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{53} + \left(21 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{54} + \left(5 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 31^{55} + \left(6 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{56} + \left(20 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{57} + \left(2 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31^{58} + \left(19 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 31^{59} + \left(12 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 31^{60} + \left(14 a + 1\right)\cdot 31^{61} + \left(9 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 31^{62} + \left(8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 31^{63} + \left(30 a + 19\right)\cdot 31^{64} + \left(29 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{65} + \left(6 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 31^{66} + \left(25 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 31^{67} + \left(30 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{68} + \left(30 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{69} + \left(27 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{70} + \left(14 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 31^{71} + \left(12 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 31^{72} + \left(22 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 31^{73} + \left(14 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 31^{74} + \left(17 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 31^{75} + \left(8 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 31^{76} + \left(6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{77} + \left(23 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 31^{78} + \left(17 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31^{79} + \left(13 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{80} + \left(27 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 31^{81} + \left(11 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{82} + 6 a\cdot 31^{83} + \left(26 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{84} + \left(a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 31^{85} + \left(9 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{86} + \left(27 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{87} + \left(30 a^{2} + a + 9\right)\cdot 31^{88} + \left(4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{89} + \left(24 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 31^{90} + \left(6 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 31^{91} + \left(6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 31^{92} + \left(14 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31^{93} + \left(8 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31^{94} + \left(24 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 31^{95} + \left(22 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 31^{96} + \left(22 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 31^{97} + \left(27 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{98} + \left(14 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{99} + \left(13 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{100} + \left(8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 31^{101} + \left(13 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 31^{102} + \left(7 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 31^{103} + \left(8 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{104} + \left(2 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{105} + \left(29 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{106} + \left(16 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{107} + \left(29 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{108} + \left(3 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{109} + \left(16 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{110} + \left(13 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 31^{111} + \left(11 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 31^{112} + \left(20 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 31^{113} + \left(8 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{114} + \left(22 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 31^{115} + \left(21 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 31^{116} + \left(28 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{117} + \left(3 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 31^{118} + \left(18 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 31^{119} + \left(a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{120} + \left(8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{121} + \left(7 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 31^{122} + \left(a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{123} + \left(a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{124} + \left(16 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{125} + \left(27 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{126} + \left(21 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 31^{127} + \left(10 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{128} + \left(18 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 31^{129} + \left(20 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 31^{130} + \left(14 a^{2} + 28\right)\cdot 31^{131} + \left(11 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 31^{132} + \left(13 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{133} + \left(8 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{134} + \left(15 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{135} + \left(5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 31^{136} + \left(6 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 31^{137} + \left(15 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 31^{138} + \left(9 a^{2} + 8\right)\cdot 31^{139} + \left(15 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 31^{140} + \left(28 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 31^{141} + \left(14 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31^{142} + \left(6 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 31^{143} + \left(12 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 31^{144} + \left(8 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{145} + \left(10 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{146} + \left(15 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 31^{147} + \left(8 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{148} +O\left(31^{ 149 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 25 a^{2} + 8 a + 24 + \left(28 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 31 + \left(11 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(14 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{9} + \left(17 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 31^{10} + \left(15 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{11} + \left(11 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 31^{12} + \left(7 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 31^{13} + \left(20 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 31^{14} + \left(10 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 31^{15} + \left(23 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{16} + \left(11 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 31^{17} + \left(27 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 31^{18} + \left(29 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{19} + \left(20 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{20} + \left(13 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31^{21} + \left(22 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 31^{22} + \left(13 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{23} + \left(21 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 31^{24} + \left(4 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 31^{25} + \left(18 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{26} + \left(3 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31^{27} + \left(23 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{28} + \left(27 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 31^{29} + \left(12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 31^{30} + \left(20 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 31^{31} + \left(10 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 31^{32} + \left(4 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 31^{33} + \left(11 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 31^{34} + \left(8 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 31^{35} + \left(9 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{36} + \left(2 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{37} + \left(3 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{38} + \left(25 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 31^{39} + \left(28 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 31^{40} + \left(30 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 31^{41} + \left(17 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 31^{42} + \left(16 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 31^{43} + \left(9 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{44} + \left(20 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 31^{45} + \left(5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 31^{46} + \left(18 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 31^{47} + \left(29 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31^{48} + \left(4 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{49} + \left(19 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 31^{50} + \left(25 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31^{51} + \left(5 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{52} + \left(a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 31^{53} + \left(26 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 31^{54} + \left(6 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 31^{55} + \left(28 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{56} + \left(16 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{57} + \left(4 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 31^{58} + \left(23 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 31^{59} + \left(11 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{60} + \left(22 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31^{61} + \left(12 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{62} + \left(17 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 31^{63} + \left(21 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{64} + \left(25 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 31^{65} + \left(18 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 31^{66} + \left(5 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 31^{67} + \left(23 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{68} + \left(11 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{69} + \left(23 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{70} + \left(16 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 31^{71} + \left(24 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{72} + \left(20 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 31^{73} + \left(23 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 31^{74} + \left(2 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 31^{75} + \left(4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 31^{76} + \left(26 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{77} + \left(2 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{78} + \left(12 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 31^{79} + \left(26 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 31^{80} + \left(28 a^{2} + 3\right)\cdot 31^{81} + \left(3 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 31^{82} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 31^{83} + \left(4 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 31^{84} + \left(8 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{85} + \left(19 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31^{86} + \left(26 a^{2} + 18\right)\cdot 31^{87} + \left(6 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 31^{88} + \left(30 a^{2} + a + 10\right)\cdot 31^{89} + \left(2 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 31^{90} + \left(19 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{91} + \left(8 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 31^{92} + \left(16 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 31^{93} + \left(9 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 31^{94} + \left(29 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 31^{95} + \left(26 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{96} + \left(2 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 31^{97} + \left(19 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 31^{98} + \left(24 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 31^{99} + \left(15 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{100} + \left(13 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31^{101} + \left(14 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{102} + \left(21 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{103} + \left(18 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{104} + \left(14 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 31^{105} + \left(26 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 31^{106} + \left(22 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 31^{107} + \left(10 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 31^{108} + \left(21 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 31^{109} + \left(11 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{110} + \left(19 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 31^{111} + \left(22 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 31^{112} + \left(27 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{113} + \left(26 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{114} + \left(14 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 31^{115} + \left(14 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 31^{116} + \left(2 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{117} + \left(7 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 31^{118} + \left(22 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 31^{119} + \left(16 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 31^{120} + \left(20 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 31^{121} + \left(16 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 31^{122} + \left(6 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 31^{123} + \left(3 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 31^{124} + \left(14 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 31^{125} + \left(28 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31^{126} + \left(14 a^{2} + 28\right)\cdot 31^{127} + \left(13 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 31^{128} + \left(22 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 31^{129} + \left(16 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 31^{130} + \left(12 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 31^{131} + \left(18 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 31^{132} + \left(17 a^{2} + 14 a\right)\cdot 31^{133} + \left(22 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{134} + \left(23 a^{2} + 10\right)\cdot 31^{135} + \left(18 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{136} + \left(24 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 31^{137} + \left(2 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 31^{138} + \left(22 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31^{139} + \left(28 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 31^{140} + \left(11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 31^{141} + \left(11 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 31^{142} + \left(27 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 31^{143} + \left(17 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31^{144} + \left(24 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 31^{145} + \left(21 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 31^{146} + \left(8 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{147} + \left(19 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 31^{148} +O\left(31^{ 149 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 10 + 7\cdot 31 + 3\cdot 31^{2} + 24\cdot 31^{3} + 21\cdot 31^{4} + 9\cdot 31^{5} + 10\cdot 31^{6} + 25\cdot 31^{7} + 6\cdot 31^{8} + 10\cdot 31^{9} + 23\cdot 31^{10} + 3\cdot 31^{11} + 7\cdot 31^{12} + 10\cdot 31^{13} + 3\cdot 31^{14} + 18\cdot 31^{15} + 12\cdot 31^{16} + 14\cdot 31^{17} + 3\cdot 31^{18} + 18\cdot 31^{19} + 13\cdot 31^{20} + 21\cdot 31^{21} + 9\cdot 31^{22} + 7\cdot 31^{23} + 21\cdot 31^{24} + 20\cdot 31^{25} + 21\cdot 31^{26} + 31^{27} + 2\cdot 31^{28} + 4\cdot 31^{29} + 20\cdot 31^{30} + 11\cdot 31^{31} + 17\cdot 31^{32} + 20\cdot 31^{33} + 7\cdot 31^{34} + 28\cdot 31^{35} + 13\cdot 31^{36} + 30\cdot 31^{37} + 17\cdot 31^{38} + 14\cdot 31^{39} + 14\cdot 31^{40} + 13\cdot 31^{41} + 14\cdot 31^{42} + 22\cdot 31^{43} + 4\cdot 31^{44} + 23\cdot 31^{45} + 26\cdot 31^{46} + 21\cdot 31^{47} + 18\cdot 31^{48} + 9\cdot 31^{49} + 26\cdot 31^{50} + 24\cdot 31^{51} + 7\cdot 31^{52} + 30\cdot 31^{53} + 27\cdot 31^{54} + 14\cdot 31^{55} + 19\cdot 31^{56} + 4\cdot 31^{57} + 5\cdot 31^{58} + 12\cdot 31^{59} + 18\cdot 31^{60} + 27\cdot 31^{61} + 9\cdot 31^{63} + 5\cdot 31^{64} + 21\cdot 31^{65} + 9\cdot 31^{66} + 3\cdot 31^{67} + 29\cdot 31^{68} + 2\cdot 31^{69} + 3\cdot 31^{70} + 14\cdot 31^{71} + 27\cdot 31^{72} + 15\cdot 31^{73} + 4\cdot 31^{74} + 10\cdot 31^{75} + 25\cdot 31^{76} + 5\cdot 31^{77} + 6\cdot 31^{78} + 29\cdot 31^{79} + 6\cdot 31^{80} + 17\cdot 31^{81} + 19\cdot 31^{82} + 30\cdot 31^{83} + 27\cdot 31^{85} + 16\cdot 31^{86} + 29\cdot 31^{87} + 31^{88} + 28\cdot 31^{89} + 27\cdot 31^{90} + 19\cdot 31^{91} + 11\cdot 31^{92} + 25\cdot 31^{93} + 5\cdot 31^{94} + 21\cdot 31^{95} + 30\cdot 31^{96} + 8\cdot 31^{97} + 22\cdot 31^{99} + 28\cdot 31^{100} + 30\cdot 31^{101} + 26\cdot 31^{102} + 31^{103} + 8\cdot 31^{104} + 20\cdot 31^{105} + 13\cdot 31^{106} + 18\cdot 31^{107} + 7\cdot 31^{108} + 27\cdot 31^{109} + 17\cdot 31^{110} + 25\cdot 31^{111} + 5\cdot 31^{112} + 12\cdot 31^{113} + 14\cdot 31^{114} + 4\cdot 31^{115} + 27\cdot 31^{116} + 28\cdot 31^{117} + 10\cdot 31^{118} + 18\cdot 31^{119} + 18\cdot 31^{120} + 10\cdot 31^{121} + 3\cdot 31^{122} + 13\cdot 31^{123} + 10\cdot 31^{124} + 6\cdot 31^{127} + 23\cdot 31^{128} + 26\cdot 31^{129} + 19\cdot 31^{130} + 4\cdot 31^{131} + 7\cdot 31^{132} + 3\cdot 31^{133} + 24\cdot 31^{134} + 16\cdot 31^{135} + 20\cdot 31^{136} + 13\cdot 31^{138} + 23\cdot 31^{139} + 21\cdot 31^{140} + 23\cdot 31^{141} + 12\cdot 31^{142} + 25\cdot 31^{143} + 15\cdot 31^{144} + 3\cdot 31^{146} + 4\cdot 31^{147} + 20\cdot 31^{148} +O\left(31^{ 149 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{2} + 14 a + 30 + \left(3 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31 + \left(26 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31^{9} + \left(a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 31^{10} + \left(21 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 31^{11} + \left(28 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 31^{12} + \left(27 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{13} + \left(16 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{14} + \left(10 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 31^{15} + \left(13 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{16} + \left(17 a^{2} + 29 a + 15\right)\cdot 31^{17} + \left(16 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 31^{18} + \left(22 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{19} + \left(20 a^{2} + a + 12\right)\cdot 31^{20} + \left(23 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 31^{21} + \left(13 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{22} + \left(30 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 31^{23} + \left(10 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{24} + \left(3 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31^{25} + \left(5 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 31^{26} + \left(5 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{27} + \left(25 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 31^{28} + \left(16 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 31^{29} + \left(16 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 31^{30} + \left(6 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{31} + \left(9 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{32} + \left(8 a^{2} + 4\right)\cdot 31^{33} + \left(3 a + 17\right)\cdot 31^{34} + \left(28 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{35} + \left(10 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 31^{36} + \left(6 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{37} + \left(25 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{38} + \left(3 a^{2} + 21 a\right)\cdot 31^{39} + \left(16 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 31^{40} + \left(6 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 31^{41} + \left(13 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 31^{42} + \left(2 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{43} + \left(24 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{44} + \left(3 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{45} + \left(24 a + 27\right)\cdot 31^{46} + \left(4 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{47} + \left(6 a^{2} + 23 a\right)\cdot 31^{48} + \left(18 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{49} + \left(5 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{50} + \left(20 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 31^{51} + \left(26 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31^{52} + \left(7 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{53} + \left(16 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 31^{54} + \left(a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 31^{55} + \left(2 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 31^{56} + \left(15 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 31^{57} + \left(26 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{58} + \left(18 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 31^{59} + \left(12 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{60} + \left(a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{61} + \left(27 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{62} + \left(2 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{63} + \left(19 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{64} + \left(6 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{65} + \left(14 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{66} + \left(5 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 31^{67} + \left(30 a^{2} + 19 a\right)\cdot 31^{68} + \left(23 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{69} + \left(7 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 31^{70} + \left(6 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{71} + \left(12 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31^{72} + \left(28 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 31^{73} + \left(a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{74} + \left(6 a^{2} + 25\right)\cdot 31^{75} + \left(13 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31^{76} + \left(27 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 31^{77} + \left(24 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 31^{78} + \left(14 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 31^{79} + \left(6 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{80} + \left(12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 31^{81} + \left(21 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 31^{82} + \left(16 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 31^{83} + \left(15 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 31^{84} + \left(13 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 31^{85} + \left(17 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 31^{86} + \left(5 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 31^{87} + \left(11 a^{2} + 2\right)\cdot 31^{88} + \left(11 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 31^{89} + \left(9 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 31^{90} + \left(30 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{91} + \left(25 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 31^{92} + \left(19 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{93} + \left(26 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{94} + \left(30 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 31^{95} + \left(17 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 31^{96} + \left(22 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 31^{97} + \left(29 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 31^{98} + \left(7 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{99} + \left(a^{2} + 29 a + 30\right)\cdot 31^{100} + \left(15 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 31^{101} + \left(6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{102} + \left(2 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{103} + \left(10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31^{104} + \left(a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 31^{105} + \left(26 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 31^{106} + \left(13 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 31^{107} + \left(10 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 31^{108} + \left(16 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{109} + \left(6 a^{2} + 23 a\right)\cdot 31^{110} + \left(25 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 31^{111} + \left(4 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{112} + \left(5 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31^{113} + \left(29 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{114} + \left(11 a^{2} + a + 29\right)\cdot 31^{115} + \left(7 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 31^{116} + \left(21 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 31^{117} + \left(7 a^{2} + a + 3\right)\cdot 31^{118} + \left(2 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 31^{119} + \left(17 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 31^{120} + \left(29 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 31^{121} + \left(6 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 31^{122} + \left(10 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{123} + \left(21 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 31^{124} + \left(17 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 31^{125} + \left(a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{126} + \left(19 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{127} + \left(5 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{128} + \left(19 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{129} + \left(8 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 31^{130} + \left(3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 31^{131} + \left(13 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31^{132} + \left(17 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 31^{133} + \left(17 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{134} + \left(25 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 31^{135} + \left(16 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{136} + \left(10 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 31^{137} + \left(23 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{138} + \left(3 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 31^{139} + \left(20 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{140} + \left(15 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 31^{141} + \left(25 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 31^{142} + \left(21 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{143} + \left(13 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{144} + \left(10 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{145} + \left(3 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 31^{146} + \left(25 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 31^{147} + \left(15 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31^{148} +O\left(31^{ 149 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 18 + 11\cdot 31 + 26\cdot 31^{2} + 19\cdot 31^{3} + 18\cdot 31^{4} + 18\cdot 31^{5} + 2\cdot 31^{6} + 17\cdot 31^{7} + 23\cdot 31^{8} + 13\cdot 31^{9} + 3\cdot 31^{10} + 2\cdot 31^{11} + 16\cdot 31^{12} + 9\cdot 31^{13} + 7\cdot 31^{14} + 29\cdot 31^{15} + 3\cdot 31^{16} + 20\cdot 31^{17} + 13\cdot 31^{18} + 14\cdot 31^{19} + 4\cdot 31^{20} + 21\cdot 31^{21} + 19\cdot 31^{22} + 21\cdot 31^{23} + 26\cdot 31^{24} + 11\cdot 31^{25} + 9\cdot 31^{26} + 20\cdot 31^{27} + 20\cdot 31^{28} + 29\cdot 31^{29} + 4\cdot 31^{30} + 10\cdot 31^{31} + 5\cdot 31^{32} + 2\cdot 31^{33} + 11\cdot 31^{34} + 19\cdot 31^{35} + 5\cdot 31^{36} + 17\cdot 31^{38} + 5\cdot 31^{39} + 23\cdot 31^{40} + 29\cdot 31^{41} + 18\cdot 31^{42} + 14\cdot 31^{43} + 31^{44} + 17\cdot 31^{45} + 11\cdot 31^{46} + 6\cdot 31^{47} + 11\cdot 31^{48} + 19\cdot 31^{49} + 20\cdot 31^{50} + 20\cdot 31^{51} + 13\cdot 31^{52} + 23\cdot 31^{53} + 13\cdot 31^{54} + 26\cdot 31^{55} + 11\cdot 31^{56} + 6\cdot 31^{57} + 31^{58} + 4\cdot 31^{59} + 3\cdot 31^{60} + 20\cdot 31^{61} + 2\cdot 31^{62} + 21\cdot 31^{63} + 5\cdot 31^{64} + 25\cdot 31^{65} + 14\cdot 31^{66} + 11\cdot 31^{67} + 27\cdot 31^{68} + 10\cdot 31^{69} + 17\cdot 31^{70} + 16\cdot 31^{71} + 18\cdot 31^{72} + 24\cdot 31^{73} + 11\cdot 31^{74} + 29\cdot 31^{75} + 15\cdot 31^{76} + 8\cdot 31^{77} + 10\cdot 31^{78} + 3\cdot 31^{79} + 5\cdot 31^{80} + 17\cdot 31^{81} + 8\cdot 31^{82} + 8\cdot 31^{83} + 17\cdot 31^{84} + 18\cdot 31^{85} + 21\cdot 31^{86} + 15\cdot 31^{87} + 15\cdot 31^{88} + 7\cdot 31^{90} + 25\cdot 31^{91} + 30\cdot 31^{93} + 18\cdot 31^{94} + 15\cdot 31^{95} + 24\cdot 31^{96} + 5\cdot 31^{97} + 2\cdot 31^{98} + 29\cdot 31^{99} + 3\cdot 31^{100} + 6\cdot 31^{101} + 13\cdot 31^{102} + 11\cdot 31^{103} + 22\cdot 31^{104} + 14\cdot 31^{105} + 8\cdot 31^{106} + 18\cdot 31^{107} + 6\cdot 31^{108} + 7\cdot 31^{109} + 12\cdot 31^{110} + 8\cdot 31^{111} + 20\cdot 31^{112} + 13\cdot 31^{113} + 28\cdot 31^{114} + 28\cdot 31^{115} + 20\cdot 31^{116} + 12\cdot 31^{117} + 5\cdot 31^{118} + 3\cdot 31^{119} + 8\cdot 31^{120} + 13\cdot 31^{121} + 25\cdot 31^{122} + 17\cdot 31^{123} + 18\cdot 31^{125} + 20\cdot 31^{126} + 31^{127} + 23\cdot 31^{128} + 14\cdot 31^{129} + 24\cdot 31^{130} + 11\cdot 31^{131} + 13\cdot 31^{132} + 6\cdot 31^{133} + 16\cdot 31^{134} + 30\cdot 31^{135} + 11\cdot 31^{136} + 14\cdot 31^{137} + 12\cdot 31^{138} + 9\cdot 31^{139} + 17\cdot 31^{140} + 16\cdot 31^{141} + 22\cdot 31^{142} + 4\cdot 31^{143} + 16\cdot 31^{144} + 14\cdot 31^{146} + 8\cdot 31^{147} + 28\cdot 31^{148} +O\left(31^{ 149 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,3,7,8)$ |
| $(1,3)$ |
| $(1,2)(3,4)(5,7)(6,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $9$ |
| $6$ | $2$ | $(2,5)(4,6)$ | $-3$ |
| $9$ | $2$ | $(1,7)(2,5)(3,8)(4,6)$ | $1$ |
| $12$ | $2$ | $(1,3)$ | $3$ |
| $24$ | $2$ | $(1,2)(3,4)(5,7)(6,8)$ | $3$ |
| $36$ | $2$ | $(1,3)(2,4)$ | $1$ |
| $36$ | $2$ | $(1,3)(2,5)(4,6)$ | $-1$ |
| $16$ | $3$ | $(1,7,8)$ | $0$ |
| $64$ | $3$ | $(1,7,8)(4,5,6)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(2,4,5,6)$ | $-3$ |
| $36$ | $4$ | $(1,3,7,8)(2,4,5,6)$ | $1$ |
| $36$ | $4$ | $(1,3,7,8)(2,5)(4,6)$ | $1$ |
| $72$ | $4$ | $(1,2,7,5)(3,4,8,6)$ | $-1$ |
| $72$ | $4$ | $(1,3)(2,4,5,6)$ | $-1$ |
| $144$ | $4$ | $(1,4,3,2)(5,7)(6,8)$ | $1$ |
| $48$ | $6$ | $(1,8,7)(2,5)(4,6)$ | $0$ |
| $96$ | $6$ | $(1,3)(4,6,5)$ | $0$ |
| $192$ | $6$ | $(1,4,7,5,8,6)(2,3)$ | $0$ |
| $144$ | $8$ | $(1,2,3,4,7,5,8,6)$ | $-1$ |
| $96$ | $12$ | $(1,7,8)(2,4,5,6)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
