Properties

Label 9.526731062976.16t1294.a.a
Dimension 9
Group $S_4\wr C_2$
Conductor $ 2^{6} \cdot 3^{3} \cdot 673^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$S_4\wr C_2$
Conductor:$526731062976= 2^{6} \cdot 3^{3} \cdot 673^{3} $
Artin number field: Splitting field of 8.2.2461736148492.1 defined by $f= x^{8} - 4 x^{7} - 4 x^{6} + 16 x^{5} + 65 x^{4} - 98 x^{3} - 196 x^{2} + 432 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 16T1294
Parity: Odd
Determinant: 1.2019.2t1.a.a
Projective image: $S_4\wr C_2$
Projective field: Galois closure of 8.2.2461736148492.1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 169.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{3} + 2 x + 11 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 11 a^{2} + 4 a + \left(2 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13 + \left(a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{10} + \left(7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(2 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{26} + \left(12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(7 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(5 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{32} + \left(a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(11 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(4 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{37} + \left(9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{38} + \left(9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(6 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{41} + \left(9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(7 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{46} + \left(2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{47} + \left(8 a + 3\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{49} + \left(a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{50} + \left(11 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{51} + \left(8 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{52} + \left(7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{53} + \left(6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{54} + \left(7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{55} + \left(4 a + 9\right)\cdot 13^{56} + \left(2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{57} + \left(9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{58} + \left(5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{59} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{60} + \left(2 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{61} + \left(5 a + 5\right)\cdot 13^{62} + \left(12 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{63} + \left(5 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{64} + \left(a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{65} + \left(6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{66} + \left(9 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{67} + \left(6 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{68} + \left(7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{69} + \left(a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{70} + \left(9 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{71} + \left(4 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{72} + \left(5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{73} + \left(7 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{74} + \left(7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{75} + \left(12 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{76} + \left(7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{77} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{78} + \left(5 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{79} + \left(4 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{80} + \left(4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{81} + \left(7 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{82} + \left(10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{83} + \left(4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{84} + \left(6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{85} + \left(3 a + 12\right)\cdot 13^{86} + \left(10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{87} + \left(4 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{88} + \left(8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{89} + \left(10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{90} + \left(10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{91} + \left(7 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{92} + \left(2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{93} + \left(11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{94} + \left(2 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{95} + \left(3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{96} + \left(6 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{97} + \left(11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{98} + \left(7 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{99} + \left(3 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{100} + \left(4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{101} + \left(6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{102} + \left(11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{103} + \left(8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{104} + \left(4 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{105} + \left(8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{106} + \left(10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{107} + \left(12 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{108} + \left(7 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{109} + \left(4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{110} + \left(a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{111} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{112} + \left(6 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{113} + \left(12 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{114} + \left(11 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{115} + \left(4 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{116} + \left(9 a + 3\right)\cdot 13^{117} + \left(3 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{118} + \left(3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{119} + \left(12 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{120} + \left(4 a + 6\right)\cdot 13^{121} + \left(3 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{122} + \left(6 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{123} + \left(12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{124} + \left(11 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{125} + \left(10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{126} + \left(6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{127} + \left(8 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{128} + \left(10 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{129} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{130} + \left(2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{131} + \left(7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{132} + \left(9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{133} + \left(10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{134} + \left(12 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{135} + \left(12 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{136} + \left(5 a^{2} + a\right)\cdot 13^{137} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{138} + \left(2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{139} + \left(5 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{140} + \left(10 a + 12\right)\cdot 13^{141} + \left(a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{142} + \left(2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{143} + \left(2 a + 2\right)\cdot 13^{144} + \left(4 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{145} + \left(9 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{146} + \left(7 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{147} + \left(7 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{148} + \left(8 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{149} + \left(9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{150} + \left(7 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{151} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{152} + \left(5 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{153} + \left(6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{154} + \left(9 a^{2} + \frac{9}{4} a + 12\right)\cdot 13^{155} + \left(a^{2} + 5\right)\cdot 13^{156} + \left(7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{157} + \left(8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{158} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{159} + \left(3 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{160} + \left(8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{161} + \left(9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{162} + \left(4 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{163} + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{164} + \left(7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{165} + \left(2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{166} + \left(a + 11\right)\cdot 13^{167} + \left(8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 9 a + 1 + \left(2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13 + \left(10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{2} + a\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(2 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{25} + \left(6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{27} + \left(9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{32} + \left(9 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{33} + \left(12 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(2 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{37} + \left(10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{38} + \left(a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(7 a + 11\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{41} + \left(2 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{42} + \left(12 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{43} + \left(6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{44} + \left(a^{2} + a\right)\cdot 13^{45} + \left(5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{46} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{47} + \left(4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{48} + \left(4 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{49} + \left(a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{50} + \left(2 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{51} + \left(a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{52} + \left(4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{53} + \left(8 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{54} + \left(6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{55} + \left(2 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{56} + \left(3 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{57} + \left(9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{58} + \left(11 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{59} + \left(a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{60} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{61} + \left(8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{62} + \left(8 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{63} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{64} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{65} + \left(12 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{66} + \left(5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{67} + \left(10 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{68} + \left(a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{69} + \left(12 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{70} + \left(5 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{71} + \left(7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{72} + \left(9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{73} + \left(6 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{74} + \left(8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{75} + \left(a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{76} + \left(3 a + 4\right)\cdot 13^{77} + \left(4 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{78} + \left(7 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{79} + \left(a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{80} + \left(11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{81} + \left(5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{82} + \left(2 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{83} + \left(a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{84} + \left(5 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{85} + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{86} + \left(9 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{87} + \left(7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{88} + \left(10 a + 2\right)\cdot 13^{89} + \left(5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{90} + \left(8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{91} + \left(11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{92} + \left(11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{93} + \left(11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{94} + \left(6 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{95} + \left(2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{96} + \left(6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{97} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{98} + \left(a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{99} + \left(11 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{100} + \left(12 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{101} + \left(3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{102} + \left(6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{103} + \left(5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{104} + \left(10 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{105} + \left(4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{106} + \left(12 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{107} + \left(8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{108} + \left(12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{109} + \left(4 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{110} + \left(2 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{111} + \left(7 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{112} + \left(5 a + 10\right)\cdot 13^{113} + \left(11 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{114} + \left(11 a + 12\right)\cdot 13^{115} + \left(5 a^{2} + a\right)\cdot 13^{116} + \left(a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{117} + \left(2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{118} + \left(2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{119} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{120} + \left(5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{121} + \left(3 a + 11\right)\cdot 13^{122} + \left(9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{123} + \left(8 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{124} + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{125} + \left(a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{126} + \left(7 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{127} + \left(4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{128} + \left(12 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{129} + \left(6 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{130} + \left(a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{131} + \left(10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{132} + \left(8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{133} + \left(11 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{134} + \left(2 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{135} + \left(11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{136} + 5\cdot 13^{137} + \left(5 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{138} + \left(2 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{139} + \left(2 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{140} + \left(7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{141} + \left(9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{142} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{143} + \left(2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{144} + \left(10 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{145} + \left(9 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{146} + \left(11 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{147} + \left(3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{148} + \left(8 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{149} + \left(12 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{150} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{151} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{152} + \left(8 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{153} + \left(11 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{154} + \left(11 a^{2} + 12 a + \frac{19}{4}\right)\cdot 13^{155} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{156} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{157} + \left(6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{158} + \left(11 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{159} + \left(3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{160} + \left(6 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{161} + \left(4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{162} + \left(3 a + 10\right)\cdot 13^{163} + \left(5 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{164} + \left(10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{165} + \left(10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{166} + \left(12 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{167} + \left(6 a + 6\right)\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 5 a + 5 + \left(7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13 + \left(10 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(7 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{24} + \left(7 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(2 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{26} + \left(5 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{28} + \left(12 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a + 12\right)\cdot 13^{31} + \left(3 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{32} + \left(11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{34} + \left(12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{38} + \left(12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{39} + \left(12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{42} + \left(3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{43} + \left(5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{45} + \left(2 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{46} + \left(10 a + 12\right)\cdot 13^{47} + \left(a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{48} + \left(10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{49} + \left(2 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{50} + \left(3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{51} + \left(8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{52} + \left(a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{53} + \left(8 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{54} + \left(8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{55} + \left(8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{56} + \left(8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{57} + \left(10 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{58} + \left(5 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{59} + \left(3 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{60} + \left(2 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{61} + \left(3 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{62} + \left(9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{63} + \left(2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{64} + \left(a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{65} + \left(4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{66} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{67} + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{68} + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{69} + \left(4 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{70} + \left(11 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{71} + \left(12 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{72} + \left(2 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{73} + \left(3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{74} + \left(12 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{75} + \left(9 a + 12\right)\cdot 13^{76} + \left(6 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{77} + \left(12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{78} + \left(5 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{79} + \left(6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{80} + \left(12 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{81} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{82} + \left(4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{83} + \left(8 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{84} + \left(4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{85} + \left(12 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{86} + \left(9 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{87} + \left(9 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{88} + \left(5 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{89} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{90} + \left(4 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{91} + \left(6 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{92} + \left(2 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{93} + \left(10 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{94} + \left(2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{95} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{96} + \left(7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{97} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{98} + \left(2 a + 5\right)\cdot 13^{99} + \left(8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{100} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{101} + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{102} + \left(5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{103} + \left(11 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{104} + \left(4 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{105} + \left(10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{106} + \left(a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{107} + \left(11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{108} + \left(12 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{109} + \left(12 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{110} + \left(9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{111} + \left(a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{112} + \left(7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{113} + \left(10 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{114} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{115} + \left(3 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{116} + \left(a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{117} + \left(6 a^{2} + a\right)\cdot 13^{118} + \left(10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{119} + \left(11 a + 2\right)\cdot 13^{120} + \left(6 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{121} + \left(7 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{122} + \left(a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{123} + \left(12 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{124} + \left(7 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{125} + \left(7 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{126} + \left(3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{127} + \left(6 a + 10\right)\cdot 13^{128} + \left(a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{129} + \left(9 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{130} + \left(3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{131} + \left(11 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{132} + \left(10 a + 3\right)\cdot 13^{133} + \left(8 a + 6\right)\cdot 13^{134} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{135} + \left(6 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{136} + \left(3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{137} + 4\cdot 13^{138} + \left(12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{139} + \left(2 a + 12\right)\cdot 13^{140} + \left(10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{141} + \left(9 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{142} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{143} + \left(8 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{144} + \left(10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{145} + \left(4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{146} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{147} + \left(9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{148} + \left(2 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{149} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{150} + \left(4 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{151} + \left(11 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{152} + \left(11 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{153} + \left(3 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{154} + \left(5 a^{2} + \frac{87}{8} a + 9\right)\cdot 13^{155} + \left(8 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{156} + \left(8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{157} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{158} + \left(10 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{159} + \left(8 a + 2\right)\cdot 13^{160} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{161} + \left(a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{162} + \left(12 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{163} + \left(8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{164} + \left(6 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{165} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{166} + \left(10 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{167} + \left(3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 6 + 11\cdot 13 + 10\cdot 13^{2} + 8\cdot 13^{3} + 7\cdot 13^{4} + 8\cdot 13^{5} + 11\cdot 13^{6} + 6\cdot 13^{7} + 9\cdot 13^{8} + 10\cdot 13^{10} + 13^{11} + 10\cdot 13^{12} + 13^{13} + 9\cdot 13^{14} + 4\cdot 13^{15} + 13^{16} + 10\cdot 13^{17} + 2\cdot 13^{18} + 10\cdot 13^{19} + 12\cdot 13^{20} + 11\cdot 13^{21} + 13^{22} + 4\cdot 13^{23} + 11\cdot 13^{24} + 11\cdot 13^{25} + 7\cdot 13^{27} + 11\cdot 13^{28} + 3\cdot 13^{29} + 12\cdot 13^{30} + 12\cdot 13^{31} + 13^{32} + 4\cdot 13^{33} + 13^{34} + 5\cdot 13^{35} + 13^{36} + 9\cdot 13^{37} + 5\cdot 13^{39} + 3\cdot 13^{40} + 13^{42} + 9\cdot 13^{43} + 13^{44} + 10\cdot 13^{45} + 3\cdot 13^{46} + 2\cdot 13^{47} + 7\cdot 13^{48} + 13^{49} + 4\cdot 13^{50} + 8\cdot 13^{51} + 10\cdot 13^{52} + 13^{53} + 11\cdot 13^{54} + 10\cdot 13^{55} + 10\cdot 13^{56} + 7\cdot 13^{57} + 8\cdot 13^{58} + 13^{59} + 4\cdot 13^{60} + 7\cdot 13^{61} + 7\cdot 13^{62} + 8\cdot 13^{63} + 2\cdot 13^{65} + 6\cdot 13^{66} + 4\cdot 13^{67} + 3\cdot 13^{68} + 9\cdot 13^{69} + 6\cdot 13^{70} + 9\cdot 13^{71} + 5\cdot 13^{73} + 2\cdot 13^{74} + 7\cdot 13^{75} + 8\cdot 13^{76} + 6\cdot 13^{77} + 5\cdot 13^{78} + 6\cdot 13^{79} + 5\cdot 13^{80} + 12\cdot 13^{81} + 2\cdot 13^{82} + 8\cdot 13^{83} + 10\cdot 13^{84} + 7\cdot 13^{85} + 12\cdot 13^{86} + 7\cdot 13^{87} + 6\cdot 13^{88} + 12\cdot 13^{89} + 12\cdot 13^{90} + 9\cdot 13^{91} + 7\cdot 13^{92} + 13^{93} + 8\cdot 13^{94} + 12\cdot 13^{95} + 12\cdot 13^{96} + 11\cdot 13^{97} + 6\cdot 13^{98} + 12\cdot 13^{99} + 8\cdot 13^{100} + 9\cdot 13^{101} + 3\cdot 13^{102} + 8\cdot 13^{105} + 5\cdot 13^{106} + 7\cdot 13^{107} + 6\cdot 13^{108} + 9\cdot 13^{109} + 9\cdot 13^{110} + 6\cdot 13^{111} + 5\cdot 13^{112} + 8\cdot 13^{113} + 8\cdot 13^{114} + 5\cdot 13^{115} + 6\cdot 13^{116} + 11\cdot 13^{117} + 9\cdot 13^{118} + 4\cdot 13^{119} + 3\cdot 13^{120} + 6\cdot 13^{121} + 11\cdot 13^{122} + 4\cdot 13^{123} + 7\cdot 13^{124} + 5\cdot 13^{125} + 4\cdot 13^{126} + 9\cdot 13^{127} + 2\cdot 13^{128} + 5\cdot 13^{129} + 12\cdot 13^{130} + 4\cdot 13^{131} + 11\cdot 13^{132} + 11\cdot 13^{133} + 10\cdot 13^{134} + 3\cdot 13^{135} + 4\cdot 13^{136} + 5\cdot 13^{137} + 5\cdot 13^{139} + 9\cdot 13^{140} + 3\cdot 13^{141} + 6\cdot 13^{142} + 10\cdot 13^{143} + 6\cdot 13^{144} + 10\cdot 13^{145} + 6\cdot 13^{146} + 9\cdot 13^{148} + 2\cdot 13^{149} + 4\cdot 13^{150} + 10\cdot 13^{151} + 10\cdot 13^{152} + 4\cdot 13^{153} + 2\cdot 13^{154} + 9\cdot 13^{155} + 12\cdot 13^{156} + 6\cdot 13^{157} + 6\cdot 13^{158} + 6\cdot 13^{159} + 8\cdot 13^{160} + 12\cdot 13^{161} + 9\cdot 13^{163} + 9\cdot 13^{164} + 4\cdot 13^{165} + 13^{166} + 7\cdot 13^{167} + 9\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 10 a^{2} + 4 a + 3 + \left(4 a^{2} + 3\right)\cdot 13 + \left(8 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{22} + \left(8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{24} + 12\cdot 13^{25} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{27} + \left(3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{28} + \left(10 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(5 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{2} + a\right)\cdot 13^{32} + \left(2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{33} + \left(7 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{34} + \left(a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{35} + 9 a\cdot 13^{36} + \left(10 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{37} + \left(4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{41} + \left(7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{43} + \left(11 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{44} + \left(6 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{46} + \left(10 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{47} + \left(12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{48} + \left(12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{50} + \left(7 a + 4\right)\cdot 13^{51} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{52} + \left(12 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{53} + \left(12 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{54} + \left(12 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{55} + \left(6 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{56} + \left(6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{57} + \left(7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{58} + \left(3 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{59} + \left(3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{60} + \left(a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{61} + \left(12 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{62} + \left(a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{63} + \left(8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{64} + \left(4 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{65} + \left(4 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{66} + \left(12 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{67} + \left(3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{68} + \left(4 a + 10\right)\cdot 13^{69} + \left(4 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{70} + \left(6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{71} + \left(2 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{72} + \left(12 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{73} + \left(12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{74} + \left(3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{75} + \left(2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{76} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{77} + \left(7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{78} + \left(3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{79} + \left(3 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{80} + \left(6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{81} + \left(4 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{82} + \left(10 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{83} + \left(6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{84} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{85} + \left(12 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{86} + 10\cdot 13^{87} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{88} + \left(5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{89} + \left(6 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{90} + \left(2 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{91} + \left(8 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{92} + \left(a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{93} + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{94} + \left(10 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{95} + \left(3 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{96} + \left(12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{97} + \left(5 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{98} + \left(2 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{99} + \left(a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{100} + \left(12 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{101} + \left(9 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{102} + \left(12 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{103} + \left(a^{2} + 7\right)\cdot 13^{104} + \left(11 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{105} + \left(7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{106} + \left(4 a + 4\right)\cdot 13^{107} + 9 a^{2}13^{108} + \left(12 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{109} + \left(10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{110} + \left(7 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{111} + \left(3 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{112} + \left(8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{113} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{114} + \left(2 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{115} + \left(6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{116} + \left(12 a + 5\right)\cdot 13^{117} + \left(6 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{118} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{119} + \left(3 a^{2} + a\right)\cdot 13^{120} + \left(7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{121} + \left(11 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{122} + \left(4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{123} + \left(11 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{124} + \left(4 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{125} + \left(10 a + 4\right)\cdot 13^{126} + \left(a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{127} + \left(8 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{128} + 11\cdot 13^{129} + \left(4 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{130} + \left(6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{131} + \left(2 a + 5\right)\cdot 13^{132} + \left(6 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{133} + \left(a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{134} + \left(2 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{135} + \left(12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{136} + \left(12 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{137} + \left(2 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{138} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{139} + \left(4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{140} + \left(3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{141} + \left(11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{142} + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{143} + \left(10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{144} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{145} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{146} + \left(5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{147} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{148} + \left(10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{149} + \left(10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{150} + \left(11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{151} + \left(6 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{152} + \left(10 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{153} + \left(5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{154} + 12\cdot 13^{155} + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{156} + \left(10 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{157} + \left(7 a + 2\right)\cdot 13^{158} + \left(a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{159} + \left(9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{160} + \left(8 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{161} + \left(a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{162} + \left(9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{163} + \left(9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{164} + \left(11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{165} + \left(5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{166} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{167} + \left(a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 11 a + 7 + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 13 + \left(12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(10 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(10 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{17} + \left(6 a + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(8 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{23} + \left(5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{25} + \left(10 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(2 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{29} + \left(4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{32} + \left(12 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{35} + \left(a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{36} + \left(3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{39} + \left(9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{40} + \left(4 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{41} + \left(11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{42} + \left(7 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{43} + \left(10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{44} + \left(11 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{46} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{47} + \left(4 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{48} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{49} + \left(3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{50} + \left(4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{51} + \left(2 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{52} + \left(10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{53} + \left(5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{54} + \left(3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{55} + \left(12 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{56} + \left(a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{57} + \left(8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{58} + \left(a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{59} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{60} + \left(5 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{61} + \left(a + 12\right)\cdot 13^{62} + \left(8 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{63} + \left(3 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{64} + \left(8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{65} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{66} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{67} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{69} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{70} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{71} + \left(11 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{72} + \left(5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{73} + \left(9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{74} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{75} + \left(9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{76} + \left(3 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{77} + \left(3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{78} + \left(10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{79} + \left(7 a + 2\right)\cdot 13^{80} + \left(8 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{81} + \left(a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{82} + \left(7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{83} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{84} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{85} + \left(3 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{86} + \left(7 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{87} + \left(2 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{88} + \left(a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{89} + \left(4 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{90} + \left(12 a + 8\right)\cdot 13^{91} + \left(10 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{92} + \left(2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{93} + \left(5 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{94} + \left(3 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{95} + \left(7 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{96} + \left(a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{97} + \left(7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{98} + \left(5 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{99} + \left(6 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{100} + \left(a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{101} + \left(9 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{102} + \left(10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{103} + \left(a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{104} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{105} + \left(a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{106} + \left(6 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{107} + \left(5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{108} + \left(11 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{109} + \left(10 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{110} + \left(9 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{111} + \left(11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{112} + \left(12 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{113} + \left(11 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{114} + \left(4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{115} + \left(8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{116} + \left(6 a + 7\right)\cdot 13^{117} + \left(3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{118} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{119} + \left(a + 3\right)\cdot 13^{120} + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{121} + \left(a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{122} + \left(4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{123} + \left(a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{124} + \left(4 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{125} + \left(12 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{126} + \left(6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{127} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{128} + \left(12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{129} + \left(3 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{130} + \left(4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{131} + \left(7 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{132} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 13^{133} + \left(3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{134} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{135} + \left(7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{136} + \left(4 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{137} + \left(7 a + 6\right)\cdot 13^{138} + \left(8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{139} + \left(9 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{140} + \left(6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{141} + \left(11 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{142} + \left(8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{143} + \left(12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{144} + \left(6 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{145} + \left(2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{146} + \left(11 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{147} + \left(2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{148} + \left(5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{149} + \left(3 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{150} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{151} + \left(11 a + 7\right)\cdot 13^{152} + \left(10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{153} + \left(11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{154} + \left(5 a^{2} + \frac{13}{4} a\right)\cdot 13^{155} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{156} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{157} + 2\cdot 13^{158} + \left(3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{159} + \left(9 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{160} + \left(5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{161} + \left(9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{162} + \left(10 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{163} + \left(12 a^{2} + a\right)\cdot 13^{164} + \left(11 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{165} + \left(6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{166} + \left(8 a + 2\right)\cdot 13^{167} + \left(5 a + 1\right)\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 6 a + 1 + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13 + \left(10 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{3} + 4 a\cdot 13^{4} + \left(8 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{11} + \left(8 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a + 11\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(9 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a + 6\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{27} + \left(4 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{32} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(9 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{34} + \left(5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(9 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a + 8\right)\cdot 13^{40} + \left(6 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{41} + \left(12 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{42} + \left(7 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(12 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{44} + \left(11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{45} + \left(a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{46} + \left(4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{47} + \left(12 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{49} + \left(6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{50} + \left(4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{52} + \left(11 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{53} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{54} + \left(a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{55} + 10\cdot 13^{56} + \left(12 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{57} + \left(6 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{58} + \left(2 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{59} + \left(6 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{60} + 10 a^{2}13^{61} + \left(12 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{62} + \left(10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{63} + \left(a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{64} + \left(8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{65} + \left(11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{66} + \left(9 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{67} + \left(6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{68} + \left(4 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{69} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{70} + \left(a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{71} + \left(6 a + 2\right)\cdot 13^{72} + \left(7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{73} + \left(5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{74} + \left(10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{75} + \left(8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{76} + \left(7 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{77} + \left(11 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{78} + \left(3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{79} + \left(10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{80} + \left(a + 8\right)\cdot 13^{81} + \left(10 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{82} + \left(5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{83} + \left(12 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{84} + \left(11 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{85} + \left(4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{86} + \left(6 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{87} + \left(a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{88} + \left(8 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{89} + \left(3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{90} + \left(10 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{91} + \left(2 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{92} + \left(9 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{93} + \left(4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{94} + \left(7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{95} + \left(6 a^{2} + a\right)\cdot 13^{96} + \left(8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{97} + \left(9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{98} + \left(3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{99} + \left(5 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{100} + \left(7 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{101} + \left(4 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{102} + \left(4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{103} + \left(5 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{104} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{105} + \left(a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{106} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{107} + \left(3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{108} + \left(a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{109} + \left(8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{110} + \left(7 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{111} + \left(7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{112} + \left(4 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{113} + \left(9 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{114} + \left(4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{115} + \left(8 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{116} + \left(7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{117} + \left(12 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{118} + \left(7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{119} + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{120} + \left(11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{121} + \left(2 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{122} + \left(6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{123} + \left(12 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{124} + \left(4 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{125} + \left(3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{126} + \left(9 a + 2\right)\cdot 13^{127} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{128} + \left(a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{129} + \left(a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{130} + \left(10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{131} + \left(6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{132} + \left(8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{133} + \left(4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{134} + \left(9 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{135} + \left(8 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{136} + \left(12 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{137} + \left(9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{138} + \left(3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{139} + \left(12 a + 6\right)\cdot 13^{140} + \left(5 a + 5\right)\cdot 13^{141} + \left(7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{142} + \left(10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{143} + \left(8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{144} + \left(5 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{145} + \left(6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{146} + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{147} + \left(11 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{148} + \left(9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{149} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{150} + \left(9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{151} + \left(9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{152} + \left(2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{153} + \left(a^{2} + \frac{49}{4} a + 8\right)\cdot 13^{154} + \left(8 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{155} + \left(a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{156} + \left(6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{157} + \left(6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{158} + \left(11 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{159} + \left(12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{160} + \left(3 a + 10\right)\cdot 13^{161} + \left(12 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{162} + \left(a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{163} + \left(8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{164} + \left(3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{165} + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{166} + \left(12 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{167} + \left(11 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 7 + 12\cdot 13 + 6\cdot 13^{2} + 9\cdot 13^{3} + 5\cdot 13^{4} + 8\cdot 13^{5} + 10\cdot 13^{6} + 4\cdot 13^{7} + 3\cdot 13^{8} + 10\cdot 13^{9} + 2\cdot 13^{10} + 2\cdot 13^{11} + 13^{12} + 12\cdot 13^{13} + 5\cdot 13^{14} + 8\cdot 13^{15} + 6\cdot 13^{16} + 10\cdot 13^{17} + 5\cdot 13^{18} + 5\cdot 13^{19} + 3\cdot 13^{20} + 9\cdot 13^{21} + 8\cdot 13^{22} + 4\cdot 13^{23} + 5\cdot 13^{24} + 13^{25} + 12\cdot 13^{27} + 12\cdot 13^{28} + 2\cdot 13^{29} + 9\cdot 13^{30} + 8\cdot 13^{31} + 4\cdot 13^{32} + 8\cdot 13^{34} + 9\cdot 13^{35} + 7\cdot 13^{36} + 5\cdot 13^{37} + 2\cdot 13^{38} + 6\cdot 13^{40} + 11\cdot 13^{41} + 6\cdot 13^{42} + 12\cdot 13^{43} + 4\cdot 13^{44} + 12\cdot 13^{45} + 8\cdot 13^{47} + 8\cdot 13^{48} + 8\cdot 13^{49} + 2\cdot 13^{50} + 12\cdot 13^{51} + 12\cdot 13^{52} + 13^{53} + 10\cdot 13^{54} + 8\cdot 13^{55} + 11\cdot 13^{56} + 2\cdot 13^{58} + 4\cdot 13^{59} + 10\cdot 13^{60} + 10\cdot 13^{61} + 4\cdot 13^{62} + 9\cdot 13^{63} + 6\cdot 13^{64} + 3\cdot 13^{65} + 6\cdot 13^{66} + 3\cdot 13^{67} + 11\cdot 13^{68} + 12\cdot 13^{69} + 6\cdot 13^{70} + 4\cdot 13^{71} + 13^{72} + 7\cdot 13^{73} + 3\cdot 13^{74} + 3\cdot 13^{75} + 6\cdot 13^{76} + 12\cdot 13^{77} + 11\cdot 13^{78} + 9\cdot 13^{79} + 8\cdot 13^{81} + 12\cdot 13^{82} + 3\cdot 13^{83} + 8\cdot 13^{84} + 5\cdot 13^{85} + 13^{86} + 5\cdot 13^{87} + 6\cdot 13^{88} + 10\cdot 13^{89} + 8\cdot 13^{91} + 9\cdot 13^{92} + 5\cdot 13^{93} + 8\cdot 13^{94} + 2\cdot 13^{95} + 7\cdot 13^{96} + 13^{97} + 3\cdot 13^{98} + 8\cdot 13^{99} + 12\cdot 13^{100} + 6\cdot 13^{101} + 12\cdot 13^{102} + 5\cdot 13^{103} + 13^{104} + 12\cdot 13^{105} + 12\cdot 13^{106} + 2\cdot 13^{107} + 6\cdot 13^{108} + 8\cdot 13^{109} + 3\cdot 13^{110} + 13^{111} + 7\cdot 13^{113} + 8\cdot 13^{114} + 5\cdot 13^{115} + 13^{116} + 12\cdot 13^{118} + 2\cdot 13^{119} + 11\cdot 13^{120} + 2\cdot 13^{121} + 10\cdot 13^{122} + 13^{123} + 11\cdot 13^{124} + 5\cdot 13^{125} + 10\cdot 13^{126} + 5\cdot 13^{127} + 8\cdot 13^{128} + 11\cdot 13^{129} + 7\cdot 13^{130} + 9\cdot 13^{131} + 8\cdot 13^{132} + 7\cdot 13^{133} + 7\cdot 13^{134} + 3\cdot 13^{135} + 12\cdot 13^{136} + 11\cdot 13^{137} + 5\cdot 13^{138} + 4\cdot 13^{139} + 5\cdot 13^{141} + 13^{142} + 3\cdot 13^{143} + 4\cdot 13^{144} + 3\cdot 13^{145} + 3\cdot 13^{146} + 3\cdot 13^{147} + 6\cdot 13^{148} + 11\cdot 13^{149} + 9\cdot 13^{150} + 9\cdot 13^{151} + 3\cdot 13^{152} + 10\cdot 13^{153} + 4\cdot 13^{155} + 13^{156} + 5\cdot 13^{157} + 8\cdot 13^{158} + 9\cdot 13^{159} + 9\cdot 13^{160} + 11\cdot 13^{162} + 8\cdot 13^{163} + 13^{164} + 13^{165} + 6\cdot 13^{167} + 5\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,3)$
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$
$(1,3,5,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(2,6)(4,7)$$-3$
$9$$2$$(1,5)(2,6)(3,8)(4,7)$$1$
$12$$2$$(1,3)$$3$
$24$$2$$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$$3$
$36$$2$$(1,3)(2,4)$$1$
$36$$2$$(1,3)(2,6)(4,7)$$-1$
$16$$3$$(1,5,8)$$0$
$64$$3$$(1,5,8)(4,6,7)$$0$
$12$$4$$(2,4,6,7)$$-3$
$36$$4$$(1,3,5,8)(2,4,6,7)$$1$
$36$$4$$(1,3,5,8)(2,6)(4,7)$$1$
$72$$4$$(1,2,5,6)(3,4,8,7)$$-1$
$72$$4$$(1,3)(2,4,6,7)$$-1$
$144$$4$$(1,4,3,2)(5,6)(7,8)$$1$
$48$$6$$(1,8,5)(2,6)(4,7)$$0$
$96$$6$$(1,3)(4,7,6)$$0$
$192$$6$$(1,4,5,6,8,7)(2,3)$$0$
$144$$8$$(1,2,3,4,5,6,8,7)$$-1$
$96$$12$$(1,5,8)(2,4,6,7)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.