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Properties

Label 9.2e32_7e6.16t1030.1c1
Dimension 9
Group $A_4^2:C_4$
Conductor $ 2^{32} \cdot 7^{6}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$A_4^2:C_4$
Conductor:$505298607407104= 2^{32} \cdot 7^{6} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 1 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 16T1030
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 85.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{3} + 2 x + 18 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 2 + 7\cdot 23 + 7\cdot 23^{2} + 21\cdot 23^{3} + 8\cdot 23^{4} + 16\cdot 23^{5} + 8\cdot 23^{6} + 19\cdot 23^{7} + 16\cdot 23^{8} + 10\cdot 23^{9} + 14\cdot 23^{10} + 22\cdot 23^{11} + 4\cdot 23^{12} + 9\cdot 23^{13} + 4\cdot 23^{14} + 19\cdot 23^{15} + 9\cdot 23^{16} + 11\cdot 23^{17} + 22\cdot 23^{18} + 8\cdot 23^{19} + 8\cdot 23^{20} + 17\cdot 23^{21} + 16\cdot 23^{23} + 17\cdot 23^{24} + 20\cdot 23^{25} + 19\cdot 23^{26} + 21\cdot 23^{27} + 12\cdot 23^{28} + 16\cdot 23^{29} + 21\cdot 23^{30} + 18\cdot 23^{31} + 6\cdot 23^{32} + 16\cdot 23^{33} + 14\cdot 23^{34} + 19\cdot 23^{35} + 19\cdot 23^{36} + 6\cdot 23^{37} + 11\cdot 23^{38} + 23^{39} + 5\cdot 23^{40} + 7\cdot 23^{41} + 20\cdot 23^{42} + 18\cdot 23^{44} + 2\cdot 23^{45} + 23^{46} + 8\cdot 23^{47} + 16\cdot 23^{49} + 18\cdot 23^{50} + 20\cdot 23^{51} + 21\cdot 23^{52} + 5\cdot 23^{53} + 21\cdot 23^{54} + 5\cdot 23^{55} + 17\cdot 23^{56} + 6\cdot 23^{57} + 10\cdot 23^{58} + 4\cdot 23^{60} + 19\cdot 23^{61} + 19\cdot 23^{62} + 9\cdot 23^{63} + 13\cdot 23^{64} + 16\cdot 23^{65} + 9\cdot 23^{66} + 19\cdot 23^{67} + 22\cdot 23^{68} + 3\cdot 23^{69} + 13\cdot 23^{70} + 2\cdot 23^{71} + 11\cdot 23^{73} + 2\cdot 23^{74} + 4\cdot 23^{75} + 15\cdot 23^{76} + 2\cdot 23^{77} + 18\cdot 23^{78} + 10\cdot 23^{79} + 2\cdot 23^{80} + 11\cdot 23^{81} + 14\cdot 23^{82} + 11\cdot 23^{83} + 5\cdot 23^{84} +O\left(23^{ 85 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 7 a^{2} + 12 a + 20 + \left(20 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23 + \left(a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{9} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{10} + \left(16 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{11} + \left(20 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{12} + \left(7 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{13} + \left(4 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 23^{14} + \left(3 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23^{15} + \left(7 a^{2} + 15\right)\cdot 23^{16} + \left(12 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{17} + \left(22 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 23^{18} + \left(17 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{19} + \left(2 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{20} + \left(20 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{21} + \left(8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{22} + \left(9 a + 6\right)\cdot 23^{23} + \left(6 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{24} + \left(3 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{25} + \left(21 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{26} + \left(13 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{27} + \left(12 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{28} + \left(7 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{29} + \left(5 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{30} + \left(8 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{31} + \left(10 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{32} + \left(6 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{33} + \left(21 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{34} + \left(22 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{35} + \left(13 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{36} + \left(10 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 23^{37} + \left(10 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{38} + \left(13 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{39} + \left(7 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{40} + \left(a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{41} + \left(19 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{42} + \left(17 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{43} + \left(14 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{44} + \left(8 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{45} + \left(19 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{46} + \left(21 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 23^{47} + \left(4 a + 12\right)\cdot 23^{48} + \left(13 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{49} + \left(11 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{50} + \left(17 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{51} + \left(5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{52} + \left(6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23^{53} + \left(10 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{54} + \left(20 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{55} + \left(2 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{56} + \left(13 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{57} + \left(18 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{58} + \left(17 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{59} + \left(17 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{60} + \left(22 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{61} + \left(5 a + 11\right)\cdot 23^{62} + \left(19 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{63} + \left(22 a + 5\right)\cdot 23^{64} + \left(7 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 23^{65} + \left(6 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{66} + \left(11 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{67} + \left(13 a^{2} + 15\right)\cdot 23^{68} + \left(13 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{69} + \left(7 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 23^{70} + \left(5 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{71} + \left(4 a^{2} + a\right)\cdot 23^{72} + \left(15 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{73} + \left(22 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{74} + \left(22 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{75} + \left(2 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{76} + \left(22 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{77} + \left(13 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{78} + \left(14 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23^{79} + \left(6 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 23^{80} + \left(20 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{81} + \left(16 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{82} + \left(19 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{83} + \left(a^{2} + 10 a\right)\cdot 23^{84} +O\left(23^{ 85 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 8 a + 2 + \left(17 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23 + \left(20 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(5 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{9} + \left(9 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{10} + \left(5 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23^{11} + \left(6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{12} + \left(7 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{13} + \left(16 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{14} + \left(20 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{15} + \left(22 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{16} + \left(14 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{17} + \left(22 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 23^{18} + \left(8 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{19} + \left(2 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 23^{20} + \left(9 a + 9\right)\cdot 23^{21} + \left(5 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{22} + \left(7 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{23} + \left(20 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{24} + \left(3 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 23^{25} + \left(6 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{26} + \left(14 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 23^{27} + \left(3 a^{2} + 15\right)\cdot 23^{28} + \left(21 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{29} + \left(19 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{30} + \left(13 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{31} + \left(18 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{32} + \left(4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{33} + \left(15 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{34} + \left(16 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{35} + \left(19 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{36} + \left(5 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{37} + \left(7 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{38} + \left(16 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{39} + \left(a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{40} + \left(11 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{41} + \left(13 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{42} + \left(11 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{43} + \left(4 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{44} + \left(18 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{45} + \left(22 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{46} + \left(13 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{47} + \left(3 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{48} + \left(16 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 23^{49} + \left(a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{50} + \left(17 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{51} + \left(22 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{52} + \left(17 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{53} + \left(18 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{54} + \left(7 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{55} + \left(9 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23^{56} + \left(20 a + 13\right)\cdot 23^{57} + \left(12 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{58} + \left(5 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 23^{59} + \left(15 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{60} + \left(5 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{61} + \left(15 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{62} + \left(a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 23^{63} + \left(14 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{64} + \left(6 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{65} + \left(13 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{66} + \left(12 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 23^{67} + \left(19 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{68} + \left(19 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{69} + \left(15 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 23^{70} + \left(18 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{71} + \left(12 a + 8\right)\cdot 23^{72} + \left(3 a^{2} + 11 a\right)\cdot 23^{73} + \left(21 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{74} + \left(18 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{75} + \left(6 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{76} + \left(6 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{77} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{78} + \left(2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{79} + \left(11 a + 22\right)\cdot 23^{80} + \left(5 a + 3\right)\cdot 23^{81} + \left(11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{82} + \left(13 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{83} + \left(17 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{84} +O\left(23^{ 85 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 4 a + 6 + \left(3 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23 + \left(16 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{9} + \left(a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{10} + \left(20 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{11} + \left(8 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{12} + \left(15 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{13} + \left(12 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{14} + \left(20 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{15} + \left(6 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{16} + \left(19 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{17} + \left(20 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{18} + \left(a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{19} + \left(4 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 23^{20} + \left(2 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{21} + \left(17 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{22} + \left(9 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{23} + \left(6 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{24} + \left(20 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{25} + \left(8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{26} + \left(8 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{27} + \left(20 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{28} + \left(4 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{29} + \left(14 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{30} + \left(2 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{31} + \left(4 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{32} + \left(8 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{33} + \left(8 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{34} + \left(15 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{35} + \left(8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 23^{36} + \left(3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{37} + \left(7 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{38} + \left(20 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{39} + \left(8 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{40} + \left(5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{41} + \left(10 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{42} + \left(14 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{43} + \left(3 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{44} + \left(4 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{45} + \left(6 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{46} + \left(5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{47} + \left(11 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{48} + \left(14 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{49} + \left(6 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{50} + \left(22 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{51} + \left(14 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{52} + \left(a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{53} + \left(8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{54} + \left(16 a^{2} + a + 4\right)\cdot 23^{55} + \left(18 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{56} + \left(17 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{57} + \left(6 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 23^{58} + \left(14 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{59} + \left(14 a + 22\right)\cdot 23^{60} + \left(6 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{61} + \left(19 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{62} + \left(9 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 23^{63} + \left(22 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23^{64} + \left(a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{65} + \left(7 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{66} + \left(a^{2} + a + 2\right)\cdot 23^{67} + \left(18 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{68} + \left(19 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{69} + \left(22 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{70} + \left(12 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{71} + \left(5 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{72} + \left(13 a + 19\right)\cdot 23^{73} + \left(13 a + 6\right)\cdot 23^{74} + \left(20 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{75} + \left(14 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23^{76} + \left(9 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{77} + \left(a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{78} + \left(10 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{79} + \left(14 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{80} + \left(14 a + 12\right)\cdot 23^{81} + \left(16 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{82} + \left(7 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{83} + \left(13 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{84} +O\left(23^{ 85 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 18 a^{2} + 19 a + 4 + \left(18 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23 + \left(20 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{9} + \left(14 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{10} + \left(21 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{11} + \left(4 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 23^{12} + \left(18 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{13} + \left(5 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{14} + \left(9 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 23^{15} + \left(15 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{16} + \left(22 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{17} + \left(10 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{18} + \left(19 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{19} + \left(a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{20} + \left(14 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{21} + \left(17 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{22} + \left(21 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{23} + \left(18 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{24} + \left(19 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{25} + \left(3 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 23^{26} + \left(9 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23^{27} + \left(9 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{28} + \left(6 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{29} + \left(2 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{30} + \left(19 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{31} + \left(5 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{32} + \left(7 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{33} + \left(16 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23^{34} + \left(21 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{35} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{36} + \left(5 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 23^{37} + \left(15 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 23^{38} + \left(6 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{39} + \left(20 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{40} + \left(6 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{41} + \left(14 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{42} + \left(21 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{43} + \left(19 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{44} + \left(3 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{45} + \left(a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{46} + \left(16 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{47} + \left(17 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{48} + \left(7 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{49} + \left(14 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 23^{50} + \left(14 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{51} + \left(2 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{52} + \left(11 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{53} + \left(6 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{54} + \left(20 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{55} + \left(12 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{56} + \left(2 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{57} + \left(a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{58} + \left(11 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{59} + \left(9 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{60} + \left(11 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{61} + \left(5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 23^{62} + \left(5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{63} + \left(a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{64} + \left(20 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{65} + \left(13 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{66} + \left(6 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{67} + \left(16 a + 13\right)\cdot 23^{68} + \left(14 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{69} + \left(21 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{70} + \left(20 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{71} + \left(7 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 23^{72} + \left(7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{73} + \left(19 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{74} + \left(18 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{75} + \left(4 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{76} + \left(5 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{77} + \left(11 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{78} + \left(a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{79} + \left(12 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{80} + \left(4 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{81} + \left(10 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{82} + \left(7 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{83} + \left(11 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{84} +O\left(23^{ 85 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 16 a^{2} + 11 a + 13 + \left(2 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23 + \left(9 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{9} + \left(12 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 23^{10} + \left(20 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{11} + \left(7 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{12} + \left(19 a + 20\right)\cdot 23^{13} + \left(17 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{14} + \left(4 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{15} + \left(16 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{16} + \left(11 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{17} + \left(2 a^{2} + a + 18\right)\cdot 23^{18} + \left(12 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 23^{19} + \left(16 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{20} + \left(20 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{21} + \left(21 a + 8\right)\cdot 23^{22} + \left(6 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 23^{23} + \left(19 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 23^{24} + \left(21 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{25} + \left(7 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{26} + \left(18 a + 16\right)\cdot 23^{27} + \left(22 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{28} + \left(19 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{29} + \left(11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{30} + \left(6 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{31} + \left(18 a + 21\right)\cdot 23^{32} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{33} + \left(22 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{34} + \left(13 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{35} + \left(17 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{36} + \left(13 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{37} + \left(8 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{38} + \left(9 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{39} + \left(12 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{40} + \left(6 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{41} + \left(22 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{42} + \left(19 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{43} + \left(14 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{44} + \left(9 a + 15\right)\cdot 23^{45} + \left(17 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{46} + \left(3 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{47} + \left(8 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{48} + \left(15 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{49} + \left(14 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{50} + \left(6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{51} + \left(8 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{52} + \left(3 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{53} + \left(19 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{54} + \left(21 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{55} + \left(17 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{56} + \left(4 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{57} + \left(4 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 23^{58} + \left(3 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{59} + \left(7 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{60} + \left(11 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{61} + \left(11 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{62} + \left(11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{63} + \left(9 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{64} + \left(14 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23^{65} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{66} + \left(9 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{67} + \left(8 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{68} + \left(6 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{69} + \left(7 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{70} + \left(14 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 23^{71} + \left(16 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{72} + \left(19 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{73} + \left(a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{74} + \left(7 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{75} + \left(a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{76} + \left(7 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{77} + \left(16 a^{2} + 15\right)\cdot 23^{78} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{79} + \left(8 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{80} + \left(22 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{81} + \left(18 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{82} + \left(a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{83} + \left(15 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{84} +O\left(23^{ 85 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 14 + 6\cdot 23 + 20\cdot 23^{2} + 10\cdot 23^{3} + 19\cdot 23^{4} + 9\cdot 23^{5} + 12\cdot 23^{6} + 6\cdot 23^{7} + 22\cdot 23^{8} + 21\cdot 23^{9} + 10\cdot 23^{10} + 18\cdot 23^{11} + 16\cdot 23^{12} + 15\cdot 23^{13} + 14\cdot 23^{14} + 14\cdot 23^{15} + 4\cdot 23^{16} + 12\cdot 23^{17} + 14\cdot 23^{18} + 9\cdot 23^{19} + 18\cdot 23^{20} + 3\cdot 23^{21} + 15\cdot 23^{22} + 5\cdot 23^{23} + 2\cdot 23^{24} + 21\cdot 23^{25} + 22\cdot 23^{26} + 13\cdot 23^{27} + 6\cdot 23^{28} + 13\cdot 23^{29} + 20\cdot 23^{30} + 13\cdot 23^{31} + 19\cdot 23^{32} + 20\cdot 23^{33} + 13\cdot 23^{34} + 11\cdot 23^{35} + 20\cdot 23^{36} + 23^{37} + 8\cdot 23^{38} + 19\cdot 23^{39} + 4\cdot 23^{40} + 4\cdot 23^{41} + 18\cdot 23^{42} + 8\cdot 23^{43} + 7\cdot 23^{44} + 22\cdot 23^{45} + 21\cdot 23^{46} + 10\cdot 23^{47} + 11\cdot 23^{48} + 9\cdot 23^{49} + 19\cdot 23^{50} + 15\cdot 23^{51} + 22\cdot 23^{52} + 22\cdot 23^{53} + 8\cdot 23^{54} + 4\cdot 23^{55} + 13\cdot 23^{56} + 19\cdot 23^{57} + 6\cdot 23^{58} + 3\cdot 23^{59} + 2\cdot 23^{60} + 11\cdot 23^{61} + 16\cdot 23^{62} + 16\cdot 23^{63} + 10\cdot 23^{64} + 14\cdot 23^{65} + 13\cdot 23^{66} + 13\cdot 23^{67} + 7\cdot 23^{68} + 13\cdot 23^{69} + 13\cdot 23^{70} + 14\cdot 23^{72} + 13\cdot 23^{73} + 8\cdot 23^{74} + 9\cdot 23^{75} + 7\cdot 23^{76} + 11\cdot 23^{77} + 3\cdot 23^{78} + 4\cdot 23^{79} + 4\cdot 23^{80} + 14\cdot 23^{81} + 7\cdot 23^{82} + 13\cdot 23^{83} + 4\cdot 23^{84} +O\left(23^{ 85 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 21 a^{2} + 15 a + 8 + \left(6 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 23 + \left(3 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{9} + \left(5 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{10} + \left(8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{11} + \left(20 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{12} + \left(19 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{13} + \left(12 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{14} + \left(10 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{15} + \left(18 a + 6\right)\cdot 23^{16} + \left(11 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{17} + \left(12 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{18} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{19} + \left(18 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{20} + \left(11 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{21} + \left(19 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{22} + \left(15 a + 6\right)\cdot 23^{23} + \left(21 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{24} + \left(22 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{25} + \left(20 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{26} + \left(22 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23^{27} + \left(14 a + 22\right)\cdot 23^{28} + \left(9 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{29} + \left(15 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{30} + \left(18 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{31} + \left(6 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 23^{32} + \left(9 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{33} + \left(8 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 23^{34} + \left(a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{35} + \left(22 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{36} + \left(6 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{37} + \left(20 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{38} + \left(2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{39} + \left(18 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{40} + \left(14 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{41} + \left(12 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{42} + \left(6 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{43} + \left(11 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{44} + \left(10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{45} + \left(2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{46} + \left(8 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23^{47} + \left(4 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{48} + \left(2 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{49} + \left(20 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{50} + \left(13 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{51} + \left(14 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 23^{52} + \left(5 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{53} + \left(6 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{54} + \left(5 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{55} + \left(7 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{56} + \left(7 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{57} + \left(3 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 23^{58} + \left(17 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{59} + \left(18 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{60} + \left(11 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{61} + \left(16 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{62} + \left(21 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{63} + \left(20 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{64} + \left(18 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{65} + \left(2 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23^{66} + \left(5 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{67} + \left(9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{68} + \left(18 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{69} + \left(16 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{70} + \left(19 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{71} + \left(10 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{72} + \left(3 a + 19\right)\cdot 23^{73} + \left(4 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{74} + \left(4 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23^{75} + \left(15 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{76} + \left(18 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{77} + \left(20 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{78} + \left(6 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{79} + \left(4 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23^{80} + \left(21 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{81} + \left(18 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{82} + \left(18 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 23^{83} + \left(9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{84} +O\left(23^{ 85 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,8)(2,6,7,4)(3,5)$
$(1,3)(2,7)$
$(3,6)(7,8)$
$(2,8,7,5)(3,6)$
$(4,6)(5,8)$
$(5,7,8)$
$(3,4)(5,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(2,5)(7,8)$$-3$
$9$$2$$(1,4)(2,5)(3,6)(7,8)$$1$
$36$$2$$(1,3)(2,7)$$1$
$16$$3$$(1,3,6)$$0$
$64$$3$$(1,6,3)(2,5,8)$$0$
$36$$4$$(1,3,4,6)(2,7,5,8)$$1$
$72$$4$$(1,8)(2,6,7,4)(3,5)$$1$
$72$$4$$(1,8)(2,4,7,6)(3,5)$$1$
$72$$4$$(2,8,7,5)(3,6)$$-1$
$48$$6$$(1,6,3)(2,5)(7,8)$$0$
$72$$8$$(1,2,3,7,4,5,6,8)$$-1$
$72$$8$$(1,7,6,2,4,8,3,5)$$-1$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.