Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 41 }$ to precision 95.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 41 }$: $ x^{3} + x + 35 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 18 a^{2} + 23 a + 34 + \left(8 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 41 + \left(5 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 41^{2} + \left(18 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 41^{3} + \left(4 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 41^{4} + \left(30 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 41^{5} + \left(21 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 41^{6} + \left(24 a^{2} + 32 a + 16\right)\cdot 41^{7} + \left(6 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 41^{8} + \left(8 a^{2} + 15 a + 35\right)\cdot 41^{9} + \left(14 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 41^{10} + \left(32 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 41^{11} + \left(31 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 41^{12} + \left(34 a^{2} + 31 a + 26\right)\cdot 41^{13} + \left(13 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 41^{14} + \left(22 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 41^{15} + \left(21 a^{2} + 10 a + 33\right)\cdot 41^{16} + \left(12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 41^{17} + \left(17 a^{2} + 3 a + 37\right)\cdot 41^{18} + \left(28 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 41^{19} + \left(33 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 41^{20} + \left(22 a^{2} + 37 a + 21\right)\cdot 41^{21} + \left(26 a + 1\right)\cdot 41^{22} + \left(40 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 41^{23} + \left(3 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 41^{24} + \left(35 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 41^{25} + \left(12 a^{2} + 37 a + 22\right)\cdot 41^{26} + \left(5 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 41^{27} + \left(33 a^{2} + 20 a + 37\right)\cdot 41^{28} + \left(12 a^{2} + 8 a\right)\cdot 41^{29} + \left(27 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 41^{30} + \left(10 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 41^{31} + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 41^{32} + \left(34 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 41^{33} + \left(20 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 41^{34} + \left(12 a^{2} + 37 a + 23\right)\cdot 41^{35} + \left(25 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 41^{36} + \left(36 a^{2} + a + 35\right)\cdot 41^{37} + \left(18 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 41^{38} + \left(11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 41^{39} + \left(35 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 41^{40} + \left(33 a^{2} + 40 a + 1\right)\cdot 41^{41} + \left(29 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 41^{42} + \left(12 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 41^{43} + \left(5 a^{2} + 15 a\right)\cdot 41^{44} + \left(18 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 41^{45} + \left(31 a^{2} + 39 a + 19\right)\cdot 41^{46} + \left(40 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 41^{47} + \left(5 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 41^{48} + 27\cdot 41^{49} + \left(3 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 41^{50} + \left(27 a^{2} + a + 4\right)\cdot 41^{51} + \left(36 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 41^{52} + \left(26 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 41^{53} + \left(35 a^{2} + 38 a + 14\right)\cdot 41^{54} + \left(a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 41^{55} + \left(25 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 41^{56} + \left(11 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 41^{57} + \left(38 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 41^{58} + \left(26 a^{2} + 34 a + 37\right)\cdot 41^{59} + \left(26 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 41^{60} + \left(23 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 41^{61} + \left(40 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 41^{62} + \left(26 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 41^{63} + \left(28 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 41^{64} + \left(19 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 41^{65} + \left(15 a^{2} + 39 a + 37\right)\cdot 41^{66} + \left(10 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 41^{67} + \left(11 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 41^{68} + \left(29 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 41^{69} + \left(7 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 41^{70} + \left(20 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 41^{71} + \left(32 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 41^{72} + \left(30 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 41^{73} + \left(30 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 41^{74} + \left(35 a^{2} + 33 a + 19\right)\cdot 41^{75} + \left(8 a^{2} + 38 a + 3\right)\cdot 41^{76} + \left(18 a + 6\right)\cdot 41^{77} + \left(a^{2} + 35 a + 37\right)\cdot 41^{78} + \left(31 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 41^{79} + \left(26 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 41^{80} + \left(34 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 41^{81} + \left(34 a^{2} + 5 a + 32\right)\cdot 41^{82} + \left(28 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 41^{83} + \left(32 a^{2} + 12 a + 37\right)\cdot 41^{84} + \left(17 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 41^{85} + \left(2 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 41^{86} + \left(35 a^{2} + 31 a + 29\right)\cdot 41^{87} + \left(27 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 41^{88} + \left(16 a + 9\right)\cdot 41^{89} + \left(9 a^{2} + 25 a + 38\right)\cdot 41^{90} + \left(32 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 41^{91} + \left(24 a^{2} + 32 a + 11\right)\cdot 41^{92} + \left(33 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 41^{93} + \left(3 a^{2} + 7 a + 33\right)\cdot 41^{94} +O\left(41^{ 95 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 37 a^{2} + a + 14 + \left(14 a^{2} + 20 a\right)\cdot 41 + \left(18 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 41^{2} + \left(5 a^{2} + 40 a + 1\right)\cdot 41^{3} + \left(8 a^{2} + 2 a + 40\right)\cdot 41^{4} + \left(18 a^{2} + 35 a + 38\right)\cdot 41^{5} + \left(20 a^{2} + 38 a + 38\right)\cdot 41^{6} + \left(24 a^{2} + 40 a + 13\right)\cdot 41^{7} + \left(3 a^{2} + 31 a\right)\cdot 41^{8} + \left(5 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 41^{9} + \left(19 a^{2} + 20 a + 33\right)\cdot 41^{10} + \left(6 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 41^{11} + \left(25 a^{2} + 40 a + 26\right)\cdot 41^{12} + \left(27 a^{2} + 20 a + 40\right)\cdot 41^{13} + \left(4 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 41^{14} + \left(20 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 41^{15} + \left(11 a^{2} + 4 a + 37\right)\cdot 41^{16} + \left(31 a^{2} + 32 a + 24\right)\cdot 41^{17} + \left(9 a^{2} + 34\right)\cdot 41^{18} + \left(23 a^{2} + 19 a + 31\right)\cdot 41^{19} + \left(11 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 41^{20} + \left(8 a^{2} + 37 a\right)\cdot 41^{21} + \left(37 a^{2} + 17 a + 38\right)\cdot 41^{22} + \left(30 a^{2} + 5 a + 35\right)\cdot 41^{23} + \left(36 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 41^{24} + \left(31 a^{2} + 37 a + 4\right)\cdot 41^{25} + \left(21 a^{2} + 18 a + 24\right)\cdot 41^{26} + \left(16 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 41^{27} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 41^{28} + \left(18 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 41^{29} + \left(16 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 41^{30} + \left(37 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 41^{31} + \left(35 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 41^{32} + \left(37 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 41^{33} + \left(32 a^{2} + 31 a + 31\right)\cdot 41^{34} + \left(5 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 41^{35} + \left(19 a^{2} + 38 a + 35\right)\cdot 41^{36} + \left(2 a^{2} + 37 a + 23\right)\cdot 41^{37} + \left(2 a^{2} + 34 a + 7\right)\cdot 41^{38} + \left(25 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 41^{39} + \left(6 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 41^{40} + \left(a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 41^{41} + \left(6 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 41^{42} + \left(28 a^{2} + 2 a + 38\right)\cdot 41^{43} + \left(28 a^{2} + 8 a + 35\right)\cdot 41^{44} + \left(4 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 41^{45} + \left(3 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 41^{46} + \left(33 a^{2} + 32 a + 22\right)\cdot 41^{47} + \left(33 a^{2} + 27 a + 2\right)\cdot 41^{48} + \left(22 a^{2} + 36 a + 16\right)\cdot 41^{49} + \left(34 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 41^{50} + \left(5 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 41^{51} + \left(32 a^{2} + 36 a + 13\right)\cdot 41^{52} + \left(13 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 41^{53} + \left(40 a^{2} + 16 a + 31\right)\cdot 41^{54} + \left(27 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 41^{55} + \left(27 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 41^{56} + \left(36 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 41^{57} + \left(29 a^{2} + 17 a + 38\right)\cdot 41^{58} + \left(4 a^{2} + 10\right)\cdot 41^{59} + \left(24 a + 17\right)\cdot 41^{60} + \left(39 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 41^{61} + \left(3 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 41^{62} + \left(40 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 41^{63} + \left(6 a^{2} + 36 a + 24\right)\cdot 41^{64} + \left(38 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 41^{65} + \left(16 a^{2} + a + 34\right)\cdot 41^{66} + \left(30 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 41^{67} + \left(34 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 41^{68} + \left(3 a^{2} + 38 a + 22\right)\cdot 41^{69} + \left(26 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 41^{70} + \left(36 a^{2} + 32 a + 34\right)\cdot 41^{71} + \left(33 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 41^{72} + \left(13 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 41^{73} + \left(30 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 41^{74} + \left(11 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 41^{75} + \left(23 a^{2} + 32 a + 39\right)\cdot 41^{76} + \left(20 a^{2} + 19\right)\cdot 41^{77} + \left(7 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 41^{78} + \left(8 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 41^{79} + \left(24 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 41^{80} + \left(19 a^{2} + 35 a + 8\right)\cdot 41^{81} + \left(9 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 41^{82} + \left(34 a^{2} + 19 a + 37\right)\cdot 41^{83} + \left(8 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 41^{84} + \left(18 a^{2} + 38 a + 23\right)\cdot 41^{85} + \left(38 a^{2} + 33 a + 24\right)\cdot 41^{86} + \left(4 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 41^{87} + \left(27 a^{2} + 39 a + 20\right)\cdot 41^{88} + \left(25 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 41^{89} + \left(36 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 41^{90} + \left(3 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 41^{91} + \left(31 a^{2} + 5 a + 32\right)\cdot 41^{92} + \left(17 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 41^{93} + \left(27 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 41^{94} +O\left(41^{ 95 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 34 + 35\cdot 41 + 14\cdot 41^{2} + 24\cdot 41^{3} + 24\cdot 41^{4} + 10\cdot 41^{5} + 37\cdot 41^{6} + 13\cdot 41^{7} + 33\cdot 41^{8} + 2\cdot 41^{9} + 24\cdot 41^{10} + 15\cdot 41^{12} + 23\cdot 41^{13} + 36\cdot 41^{14} + 7\cdot 41^{15} + 14\cdot 41^{16} + 3\cdot 41^{17} + 23\cdot 41^{18} + 4\cdot 41^{19} + 2\cdot 41^{20} + 10\cdot 41^{21} + 4\cdot 41^{22} + 30\cdot 41^{23} + 15\cdot 41^{24} + 11\cdot 41^{25} + 20\cdot 41^{26} + 28\cdot 41^{27} + 39\cdot 41^{28} + 17\cdot 41^{29} + 20\cdot 41^{30} + 36\cdot 41^{31} + 33\cdot 41^{32} + 10\cdot 41^{33} + 9\cdot 41^{34} + 9\cdot 41^{35} + 3\cdot 41^{36} + 27\cdot 41^{37} + 31\cdot 41^{38} + 41^{39} + 41^{40} + 12\cdot 41^{41} + 15\cdot 41^{42} + 27\cdot 41^{43} + 39\cdot 41^{44} + 8\cdot 41^{45} + 37\cdot 41^{46} + 32\cdot 41^{47} + 31\cdot 41^{48} + 6\cdot 41^{49} + 24\cdot 41^{50} + 12\cdot 41^{51} + 32\cdot 41^{52} + 7\cdot 41^{53} + 30\cdot 41^{54} + 23\cdot 41^{55} + 37\cdot 41^{56} + 33\cdot 41^{57} + 32\cdot 41^{58} + 32\cdot 41^{59} + 33\cdot 41^{60} + 17\cdot 41^{61} + 38\cdot 41^{62} + 23\cdot 41^{63} + 34\cdot 41^{64} + 34\cdot 41^{65} + 7\cdot 41^{66} + 7\cdot 41^{67} + 28\cdot 41^{68} + 16\cdot 41^{69} + 13\cdot 41^{70} + 39\cdot 41^{71} + 23\cdot 41^{72} + 27\cdot 41^{73} + 32\cdot 41^{74} + 5\cdot 41^{75} + 26\cdot 41^{76} + 20\cdot 41^{77} + 7\cdot 41^{78} + 30\cdot 41^{79} + 40\cdot 41^{80} + 16\cdot 41^{81} + 3\cdot 41^{82} + 21\cdot 41^{83} + 31\cdot 41^{84} + 3\cdot 41^{85} + 37\cdot 41^{86} + 18\cdot 41^{87} + 4\cdot 41^{88} + 16\cdot 41^{89} + 8\cdot 41^{90} + 15\cdot 41^{91} + 11\cdot 41^{92} + 32\cdot 41^{93} + 22\cdot 41^{94} +O\left(41^{ 95 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 12 a^{2} + 35 a + 11 + \left(27 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 41 + \left(37 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 41^{2} + \left(10 a^{2} + 34 a + 4\right)\cdot 41^{3} + \left(6 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 41^{4} + \left(37 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 41^{5} + \left(33 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 41^{6} + \left(10 a^{2} + 4\right)\cdot 41^{7} + \left(27 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 41^{8} + \left(14 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 41^{9} + \left(22 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 41^{10} + \left(22 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 41^{11} + \left(31 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 41^{12} + \left(6 a^{2} + 31 a + 13\right)\cdot 41^{13} + \left(34 a^{2} + 34 a + 3\right)\cdot 41^{14} + \left(18 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 41^{15} + \left(37 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 41^{16} + \left(15 a^{2} + a + 28\right)\cdot 41^{17} + \left(15 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 41^{18} + \left(18 a^{2} + 34 a + 28\right)\cdot 41^{19} + \left(16 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 41^{20} + \left(30 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 41^{21} + \left(30 a + 13\right)\cdot 41^{22} + \left(14 a^{2} + 30 a + 38\right)\cdot 41^{23} + \left(8 a^{2} + 34 a + 29\right)\cdot 41^{24} + \left(13 a^{2} + 28 a + 32\right)\cdot 41^{25} + \left(27 a^{2} + 36 a + 27\right)\cdot 41^{26} + \left(21 a^{2} + 11 a + 40\right)\cdot 41^{27} + \left(29 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 41^{28} + \left(33 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 41^{29} + \left(17 a^{2} + 31 a + 12\right)\cdot 41^{30} + \left(36 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 41^{31} + \left(25 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 41^{32} + \left(7 a^{2} + 37 a + 35\right)\cdot 41^{33} + \left(13 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 41^{34} + \left(21 a^{2} + 37 a + 31\right)\cdot 41^{35} + \left(30 a^{2} + 40 a + 1\right)\cdot 41^{36} + \left(7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 41^{37} + \left(10 a^{2} + 37 a + 13\right)\cdot 41^{38} + \left(14 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 41^{39} + \left(16 a^{2} + 33 a + 17\right)\cdot 41^{40} + \left(13 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 41^{41} + \left(26 a^{2} + 18 a + 38\right)\cdot 41^{42} + \left(31 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 41^{43} + \left(39 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 41^{44} + \left(11 a^{2} + 35 a + 35\right)\cdot 41^{45} + \left(14 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 41^{46} + \left(5 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 41^{47} + \left(34 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 41^{48} + \left(24 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 41^{49} + \left(30 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 41^{50} + \left(28 a^{2} + 39 a + 17\right)\cdot 41^{51} + \left(32 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 41^{52} + \left(23 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 41^{53} + \left(23 a^{2} + 38 a + 34\right)\cdot 41^{54} + \left(20 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 41^{55} + \left(32 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 41^{56} + \left(17 a^{2} + 38 a + 24\right)\cdot 41^{57} + \left(33 a^{2} + 36 a + 27\right)\cdot 41^{58} + \left(24 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 41^{59} + \left(7 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 41^{60} + \left(32 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 41^{61} + \left(36 a^{2} + 39 a + 24\right)\cdot 41^{62} + \left(30 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 41^{63} + \left(23 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 41^{64} + \left(36 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 41^{65} + \left(19 a^{2} + 33 a + 36\right)\cdot 41^{66} + \left(2 a^{2} + 32 a + 21\right)\cdot 41^{67} + \left(35 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 41^{68} + \left(16 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 41^{69} + \left(38 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 41^{70} + \left(24 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 41^{71} + \left(29 a^{2} + 31 a + 2\right)\cdot 41^{72} + \left(2 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 41^{73} + \left(36 a^{2} + 39 a + 40\right)\cdot 41^{74} + \left(15 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 41^{75} + \left(21 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 41^{76} + \left(38 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 41^{77} + \left(40 a^{2} + 24 a + 37\right)\cdot 41^{78} + \left(22 a^{2} + 5 a + 39\right)\cdot 41^{79} + \left(26 a^{2} + a + 26\right)\cdot 41^{80} + \left(7 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 41^{81} + \left(22 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 41^{82} + \left(9 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 41^{83} + \left(10 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 41^{84} + \left(6 a + 11\right)\cdot 41^{85} + \left(28 a^{2} + 7 a + 31\right)\cdot 41^{86} + \left(11 a^{2} + 34 a\right)\cdot 41^{87} + \left(4 a^{2} + 31 a + 19\right)\cdot 41^{88} + \left(37 a^{2} + 39 a + 38\right)\cdot 41^{89} + \left(6 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 41^{90} + \left(22 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 41^{91} + \left(4 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 41^{92} + \left(21 a^{2} + 6 a + 37\right)\cdot 41^{93} + \left(15 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 41^{94} +O\left(41^{ 95 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 16 + 27\cdot 41 + 21\cdot 41^{2} + 8\cdot 41^{3} + 28\cdot 41^{4} + 31\cdot 41^{5} + 8\cdot 41^{6} + 33\cdot 41^{7} + 35\cdot 41^{8} + 14\cdot 41^{9} + 14\cdot 41^{10} + 15\cdot 41^{11} + 8\cdot 41^{12} + 23\cdot 41^{13} + 9\cdot 41^{15} + 3\cdot 41^{16} + 21\cdot 41^{17} + 20\cdot 41^{18} + 28\cdot 41^{19} + 16\cdot 41^{20} + 29\cdot 41^{21} + 34\cdot 41^{22} + 17\cdot 41^{23} + 37\cdot 41^{24} + 41^{25} + 32\cdot 41^{26} + 7\cdot 41^{27} + 13\cdot 41^{28} + 36\cdot 41^{29} + 25\cdot 41^{30} + 26\cdot 41^{31} + 18\cdot 41^{32} + 41^{33} + 12\cdot 41^{34} + 15\cdot 41^{35} + 21\cdot 41^{36} + 37\cdot 41^{37} + 39\cdot 41^{38} + 39\cdot 41^{39} + 29\cdot 41^{40} + 6\cdot 41^{41} + 5\cdot 41^{42} + 33\cdot 41^{43} + 33\cdot 41^{45} + 25\cdot 41^{46} + 37\cdot 41^{47} + 30\cdot 41^{48} + 32\cdot 41^{49} + 3\cdot 41^{50} + 31\cdot 41^{51} + 15\cdot 41^{52} + 18\cdot 41^{53} + 25\cdot 41^{54} + 9\cdot 41^{55} + 26\cdot 41^{56} + 23\cdot 41^{57} + 14\cdot 41^{58} + 8\cdot 41^{59} + 38\cdot 41^{60} + 26\cdot 41^{61} + 32\cdot 41^{62} + 11\cdot 41^{63} + 15\cdot 41^{64} + 14\cdot 41^{65} + 5\cdot 41^{66} + 10\cdot 41^{67} + 38\cdot 41^{68} + 20\cdot 41^{69} + 22\cdot 41^{70} + 30\cdot 41^{71} + 30\cdot 41^{72} + 12\cdot 41^{73} + 41^{74} + 26\cdot 41^{75} + 32\cdot 41^{76} + 24\cdot 41^{77} + 16\cdot 41^{78} + 28\cdot 41^{79} + 19\cdot 41^{80} + 14\cdot 41^{81} + 34\cdot 41^{82} + 32\cdot 41^{83} + 25\cdot 41^{84} + 29\cdot 41^{85} + 16\cdot 41^{86} + 25\cdot 41^{87} + 39\cdot 41^{88} + 37\cdot 41^{89} + 24\cdot 41^{90} + 26\cdot 41^{91} + 9\cdot 41^{92} + 2\cdot 41^{93} + 16\cdot 41^{94} +O\left(41^{ 95 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 31 a^{2} + 30 a + 29 + \left(32 a^{2} + 20 a + 37\right)\cdot 41 + \left(7 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 41^{2} + \left(39 a^{2} + 39 a + 31\right)\cdot 41^{3} + \left(a^{2} + 32 a + 3\right)\cdot 41^{4} + \left(12 a^{2} + 39 a + 8\right)\cdot 41^{5} + \left(10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 41^{6} + \left(37 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 41^{7} + \left(9 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 41^{8} + \left(9 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 41^{9} + \left(35 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 41^{10} + \left(31 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 41^{11} + \left(29 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 41^{12} + \left(14 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 41^{13} + \left(31 a^{2} + 31 a + 14\right)\cdot 41^{14} + \left(29 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 41^{15} + \left(25 a^{2} + 23 a + 36\right)\cdot 41^{16} + \left(7 a^{2} + 21 a + 33\right)\cdot 41^{17} + \left(11 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 41^{18} + \left(26 a^{2} + 25 a + 31\right)\cdot 41^{19} + \left(28 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 41^{20} + \left(13 a^{2} + 1\right)\cdot 41^{21} + \left(30 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 41^{22} + \left(17 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 41^{23} + \left(31 a^{2} + 33 a + 6\right)\cdot 41^{24} + \left(12 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 41^{25} + \left(39 a^{2} + 39 a + 26\right)\cdot 41^{26} + \left(10 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 41^{27} + \left(31 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 41^{28} + \left(15 a^{2} + 36 a + 2\right)\cdot 41^{29} + \left(34 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 41^{30} + \left(2 a^{2} + 18 a\right)\cdot 41^{31} + \left(22 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 41^{32} + \left(32 a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 41^{33} + \left(20 a^{2} + 14 a + 38\right)\cdot 41^{34} + \left(9 a^{2} + 38 a + 7\right)\cdot 41^{35} + \left(4 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 41^{36} + \left(19 a^{2} + 23 a + 37\right)\cdot 41^{37} + \left(32 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 41^{38} + \left(7 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 41^{39} + \left(13 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 41^{40} + \left(11 a^{2} + 28 a\right)\cdot 41^{41} + \left(11 a^{2} + 24 a + 34\right)\cdot 41^{42} + \left(16 a^{2} + 35 a + 25\right)\cdot 41^{43} + \left(15 a^{2} + 24 a + 34\right)\cdot 41^{44} + \left(40 a^{2} + 38 a + 39\right)\cdot 41^{45} + \left(16 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 41^{46} + \left(16 a^{2} + a + 28\right)\cdot 41^{47} + \left(34 a^{2} + 38 a + 35\right)\cdot 41^{48} + \left(8 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 41^{49} + \left(2 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 41^{50} + \left(14 a^{2} + 21 a + 37\right)\cdot 41^{51} + \left(39 a^{2} + 6 a + 31\right)\cdot 41^{52} + \left(30 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 41^{53} + \left(39 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 41^{54} + \left(28 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 41^{55} + \left(22 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 41^{56} + \left(3 a^{2} + 34 a + 25\right)\cdot 41^{57} + \left(40 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 41^{58} + \left(28 a^{2} + 36 a + 25\right)\cdot 41^{59} + \left(5 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 41^{60} + \left(21 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 41^{61} + \left(6 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 41^{62} + \left(3 a^{2} + 17 a + 40\right)\cdot 41^{63} + \left(29 a + 17\right)\cdot 41^{64} + \left(13 a^{2} + 5 a + 37\right)\cdot 41^{65} + \left(40 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 41^{66} + \left(17 a^{2} + 11 a + 40\right)\cdot 41^{67} + \left(34 a^{2} + 8 a + 32\right)\cdot 41^{68} + \left(37 a^{2} + 34 a + 6\right)\cdot 41^{69} + \left(6 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 41^{70} + \left(2 a^{2} + 32 a + 9\right)\cdot 41^{71} + \left(22 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 41^{72} + \left(36 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 41^{73} + \left(10 a^{2} + 35 a + 34\right)\cdot 41^{74} + \left(7 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 41^{75} + \left(5 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 41^{76} + \left(17 a^{2} + 35 a + 3\right)\cdot 41^{77} + \left(12 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 41^{78} + \left(21 a^{2} + 33 a + 24\right)\cdot 41^{79} + \left(30 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 41^{80} + \left(39 a + 22\right)\cdot 41^{81} + \left(32 a^{2} + 31 a + 3\right)\cdot 41^{82} + \left(40 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 41^{83} + \left(12 a^{2} + 39 a + 24\right)\cdot 41^{84} + \left(11 a^{2} + 2 a + 39\right)\cdot 41^{85} + \left(8 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 41^{86} + \left(11 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 41^{87} + \left(14 a^{2} + 24 a + 33\right)\cdot 41^{88} + \left(13 a^{2} + 9 a + 31\right)\cdot 41^{89} + \left(2 a^{2} + 24 a + 33\right)\cdot 41^{90} + \left(19 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 41^{91} + \left(17 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 41^{92} + \left(20 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 41^{93} + \left(17 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 41^{94} +O\left(41^{ 95 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 33 a^{2} + 5 a + 25 + \left(39 a^{2} + 30\right)\cdot 41 + \left(25 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 41^{2} + \left(24 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 41^{3} + \left(26 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 41^{4} + \left(26 a^{2} + a + 30\right)\cdot 41^{5} + \left(27 a^{2} + 39 a + 2\right)\cdot 41^{6} + \left(5 a^{2} + 40 a + 15\right)\cdot 41^{7} + \left(10 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 41^{8} + \left(21 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 41^{9} + \left(40 a^{2} + 37 a + 34\right)\cdot 41^{10} + \left(11 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 41^{11} + \left(25 a^{2} + 35 a + 40\right)\cdot 41^{12} + \left(6 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 41^{13} + \left(2 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 41^{14} + \left(2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 41^{15} + \left(33 a^{2} + 18 a + 38\right)\cdot 41^{16} + \left(34 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 41^{17} + \left(15 a^{2} + 35 a + 24\right)\cdot 41^{18} + \left(40 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 41^{19} + \left(12 a^{2} + 6\right)\cdot 41^{20} + \left(2 a^{2} + 11 a + 37\right)\cdot 41^{21} + \left(3 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 41^{22} + \left(37 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 41^{23} + \left(36 a^{2} + 36 a + 35\right)\cdot 41^{24} + \left(36 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 41^{25} + \left(32 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 41^{26} + \left(2 a^{2} + 40 a + 14\right)\cdot 41^{27} + \left(7 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 41^{28} + \left(30 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 41^{29} + \left(6 a^{2} + 38 a + 18\right)\cdot 41^{30} + \left(8 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 41^{31} + \left(20 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 41^{32} + \left(36 a^{2} + 18 a\right)\cdot 41^{33} + \left(35 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 41^{34} + \left(13 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 41^{35} + \left(32 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 41^{36} + \left(30 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 41^{37} + \left(28 a^{2} + 9 a + 39\right)\cdot 41^{38} + \left(a^{2} + 40 a + 13\right)\cdot 41^{39} + \left(18 a^{2} + 36 a + 32\right)\cdot 41^{40} + \left(26 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 41^{41} + \left(8 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 41^{42} + \left(22 a^{2} + 30 a + 34\right)\cdot 41^{43} + \left(13 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 41^{44} + \left(24 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 41^{45} + \left(23 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 41^{46} + \left(2 a^{2} + 34 a + 15\right)\cdot 41^{47} + \left(14 a^{2} + 31 a + 30\right)\cdot 41^{48} + \left(34 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 41^{49} + \left(16 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 41^{50} + \left(6 a^{2} + 38 a + 2\right)\cdot 41^{51} + \left(17 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 41^{52} + \left(3 a^{2} + a + 23\right)\cdot 41^{53} + \left(18 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 41^{54} + \left(33 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 41^{55} + \left(21 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 41^{56} + \left(27 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 41^{57} + \left(18 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 41^{58} + \left(11 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 41^{59} + \left(33 a^{2} + 38 a + 12\right)\cdot 41^{60} + \left(10 a^{2} + 20 a\right)\cdot 41^{61} + 35 a\cdot 41^{62} + \left(11 a^{2} + 40 a + 12\right)\cdot 41^{63} + \left(10 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 41^{64} + \left(7 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 41^{65} + \left(4 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 41^{66} + \left(8 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 41^{67} + \left(12 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 41^{68} + \left(20 a^{2} + 33 a + 33\right)\cdot 41^{69} + \left(17 a^{2} + 38 a\right)\cdot 41^{70} + \left(20 a^{2} + 19 a + 37\right)\cdot 41^{71} + \left(18 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 41^{72} + \left(24 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 41^{73} + \left(15 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 41^{74} + \left(13 a^{2} + 36 a + 16\right)\cdot 41^{75} + \left(37 a^{2} + 38 a + 21\right)\cdot 41^{76} + \left(22 a^{2} + 35 a + 21\right)\cdot 41^{77} + \left(33 a^{2} + 30 a + 32\right)\cdot 41^{78} + \left(9 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 41^{79} + \left(31 a^{2} + 31 a + 30\right)\cdot 41^{80} + \left(13 a^{2} + 25 a + 31\right)\cdot 41^{81} + \left(9 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 41^{82} + \left(38 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 41^{83} + \left(21 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 41^{84} + \left(22 a^{2} + 36 a + 40\right)\cdot 41^{85} + \left(15 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 41^{86} + \left(24 a^{2} + 34 a + 36\right)\cdot 41^{87} + \left(9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 41^{88} + \left(19 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 41^{89} + \left(38 a^{2} + 37 a + 36\right)\cdot 41^{90} + \left(14 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 41^{91} + \left(5 a^{2} + 40 a + 1\right)\cdot 41^{92} + \left(2 a^{2} + 14 a + 38\right)\cdot 41^{93} + \left(39 a^{2} + 30 a + 36\right)\cdot 41^{94} +O\left(41^{ 95 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 33 a^{2} + 29 a + 3 + \left(40 a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 41 + \left(27 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 41^{2} + \left(24 a^{2} + 32 a + 8\right)\cdot 41^{3} + \left(34 a^{2} + 8 a + 39\right)\cdot 41^{4} + \left(39 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 41^{5} + \left(8 a^{2} + a + 6\right)\cdot 41^{6} + \left(20 a^{2} + 4 a\right)\cdot 41^{7} + \left(24 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 41^{8} + \left(23 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 41^{9} + \left(32 a^{2} + 39 a + 1\right)\cdot 41^{10} + \left(17 a^{2} + 40 a + 24\right)\cdot 41^{11} + \left(20 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 41^{12} + \left(32 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 41^{13} + \left(36 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 41^{14} + \left(29 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 41^{15} + \left(34 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 41^{16} + \left(20 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 41^{17} + \left(12 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 41^{18} + \left(27 a^{2} + 31\right)\cdot 41^{19} + \left(19 a^{2} + 40 a + 8\right)\cdot 41^{20} + \left(4 a^{2} + 2 a + 36\right)\cdot 41^{21} + \left(10 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 41^{22} + \left(24 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 41^{23} + \left(5 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 41^{24} + \left(34 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 41^{25} + \left(29 a^{2} + 5 a + 33\right)\cdot 41^{26} + \left(24 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 41^{27} + \left(17 a^{2} + 33 a + 13\right)\cdot 41^{28} + \left(12 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 41^{29} + \left(20 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 41^{30} + \left(27 a^{2} + 38 a + 30\right)\cdot 41^{31} + \left(17 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 41^{32} + \left(15 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 41^{33} + \left(40 a^{2} + 39 a + 10\right)\cdot 41^{34} + \left(18 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 41^{35} + \left(11 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 41^{36} + \left(26 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 41^{37} + \left(30 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 41^{38} + \left(21 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 41^{39} + \left(33 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 41^{40} + \left(36 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 41^{41} + \left(40 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 41^{42} + \left(11 a^{2} + 31 a + 36\right)\cdot 41^{43} + \left(20 a^{2} + 37\right)\cdot 41^{44} + \left(23 a^{2} + 38 a + 14\right)\cdot 41^{45} + \left(33 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 41^{46} + \left(24 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 41^{47} + \left(31 a + 40\right)\cdot 41^{48} + \left(32 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 41^{49} + \left(35 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 41^{50} + \left(40 a^{2} + 17 a\right)\cdot 41^{51} + \left(5 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 41^{52} + \left(24 a^{2} + 13 a + 40\right)\cdot 41^{53} + \left(6 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 41^{54} + \left(10 a^{2} + 37 a + 25\right)\cdot 41^{55} + \left(34 a^{2} + 39 a + 36\right)\cdot 41^{56} + \left(25 a^{2} + a + 39\right)\cdot 41^{57} + \left(3 a^{2} + 34 a + 35\right)\cdot 41^{58} + \left(26 a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 41^{59} + \left(8 a^{2} + a + 32\right)\cdot 41^{60} + \left(37 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 41^{61} + \left(34 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 41^{62} + \left(10 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 41^{63} + \left(12 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 41^{64} + \left(8 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 41^{65} + \left(26 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 41^{66} + \left(12 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 41^{67} + \left(36 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 41^{68} + \left(14 a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 41^{69} + \left(26 a^{2} + 2\right)\cdot 41^{70} + \left(18 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 41^{71} + \left(27 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 41^{72} + \left(14 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 41^{73} + \left(40 a^{2} + 36 a + 40\right)\cdot 41^{74} + \left(38 a^{2} + a + 34\right)\cdot 41^{75} + \left(26 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 41^{76} + \left(23 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 41^{77} + \left(27 a^{2} + 9 a\right)\cdot 41^{78} + \left(29 a^{2} + 34 a + 3\right)\cdot 41^{79} + \left(24 a^{2} + 32 a + 28\right)\cdot 41^{80} + \left(5 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 41^{81} + \left(15 a^{2} + 3 a + 33\right)\cdot 41^{82} + \left(12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 41^{83} + \left(36 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 41^{84} + \left(11 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 41^{85} + \left(30 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 41^{86} + \left(35 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 41^{87} + \left(39 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 41^{88} + \left(26 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 41^{89} + \left(29 a^{2} + 32 a + 24\right)\cdot 41^{90} + \left(30 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 41^{91} + \left(39 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 41^{92} + \left(27 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 41^{93} + \left(19 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 41^{94} +O\left(41^{ 95 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,3,8)(2,7,5)$ |
| $(5,7)(6,8)$ |
| $(4,7)(6,8)$ |
| $(3,6)(5,7)$ |
| $(4,5,7)$ |
| $(2,7,4)(3,6,8)$ |
| $(2,5,7)(3,6,8)$ |
| $(1,4,6,2)(3,5)(7,8)$ |
| $(1,6,8,3)(2,5,4,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $9$ |
| $6$ | $2$ | $(2,7)(4,5)$ | $-3$ |
| $9$ | $2$ | $(1,8)(2,4)(3,6)(5,7)$ | $1$ |
| $36$ | $2$ | $(1,6)(2,4)$ | $1$ |
| $16$ | $3$ | $(1,6,3)$ | $0$ |
| $64$ | $3$ | $(1,3,8)(2,7,5)$ | $0$ |
| $36$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,5,4,7)$ | $1$ |
| $72$ | $4$ | $(1,4,6,2)(3,5)(7,8)$ | $1$ |
| $72$ | $4$ | $(1,2,6,4)(3,5)(7,8)$ | $1$ |
| $72$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,4)$ | $-1$ |
| $48$ | $6$ | $(1,3,6)(2,7)(4,5)$ | $0$ |
| $72$ | $8$ | $(1,2,3,4,8,5,6,7)$ | $-1$ |
| $72$ | $8$ | $(1,4,6,2,8,7,3,5)$ | $-1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
