Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 99.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{3} + x + 28 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 26 + 2\cdot 31 + 20\cdot 31^{2} + 3\cdot 31^{3} + 3\cdot 31^{4} + 28\cdot 31^{5} + 11\cdot 31^{6} + 3\cdot 31^{7} + 7\cdot 31^{8} + 25\cdot 31^{9} + 22\cdot 31^{10} + 8\cdot 31^{11} + 28\cdot 31^{12} + 17\cdot 31^{13} + 2\cdot 31^{14} + 10\cdot 31^{15} + 24\cdot 31^{16} + 21\cdot 31^{17} + 14\cdot 31^{18} + 5\cdot 31^{19} + 2\cdot 31^{20} + 15\cdot 31^{21} + 24\cdot 31^{23} + 14\cdot 31^{24} + 8\cdot 31^{25} + 19\cdot 31^{26} + 23\cdot 31^{27} + 3\cdot 31^{28} + 8\cdot 31^{29} + 14\cdot 31^{30} + 6\cdot 31^{31} + 2\cdot 31^{32} + 26\cdot 31^{33} + 19\cdot 31^{34} + 8\cdot 31^{35} + 19\cdot 31^{36} + 7\cdot 31^{37} + 22\cdot 31^{38} + 19\cdot 31^{39} + 22\cdot 31^{40} + 14\cdot 31^{41} + 28\cdot 31^{42} + 20\cdot 31^{43} + 17\cdot 31^{44} + 2\cdot 31^{45} + 11\cdot 31^{46} + 8\cdot 31^{47} + 3\cdot 31^{49} + 14\cdot 31^{50} + 14\cdot 31^{51} + 10\cdot 31^{52} + 5\cdot 31^{53} + 31^{54} + 6\cdot 31^{55} + 12\cdot 31^{56} + 8\cdot 31^{57} + 21\cdot 31^{58} + 3\cdot 31^{59} + 20\cdot 31^{60} + 21\cdot 31^{61} + 5\cdot 31^{62} + 18\cdot 31^{63} + 6\cdot 31^{64} + 7\cdot 31^{65} + 19\cdot 31^{66} + 27\cdot 31^{67} + 31^{68} + 18\cdot 31^{69} + 3\cdot 31^{70} + 21\cdot 31^{71} + 28\cdot 31^{72} + 29\cdot 31^{73} + 26\cdot 31^{74} + 4\cdot 31^{75} + 17\cdot 31^{76} + 21\cdot 31^{77} + 18\cdot 31^{78} + 8\cdot 31^{79} + 6\cdot 31^{80} + 9\cdot 31^{81} + 17\cdot 31^{82} + 10\cdot 31^{83} + 29\cdot 31^{84} + 2\cdot 31^{85} + 5\cdot 31^{86} + 15\cdot 31^{87} + 18\cdot 31^{88} + 18\cdot 31^{89} + 8\cdot 31^{90} + 19\cdot 31^{91} + 24\cdot 31^{92} + 21\cdot 31^{93} + 10\cdot 31^{94} + 15\cdot 31^{95} + 23\cdot 31^{96} + 3\cdot 31^{97} + 2\cdot 31^{98} +O\left(31^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 20 a^{2} + 7 a + 15 + \left(25 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 31 + \left(23 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 31^{6} + 21 a\cdot 31^{7} + \left(12 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{9} + \left(15 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{10} + \left(14 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31^{11} + \left(2 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 31^{12} + \left(19 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 31^{13} + \left(23 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31^{14} + \left(7 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 31^{15} + \left(22 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{16} + \left(29 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 31^{17} + \left(19 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{18} + \left(27 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 31^{19} + \left(19 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 31^{20} + \left(7 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 31^{21} + \left(15 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 31^{22} + \left(26 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 31^{23} + \left(4 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{24} + \left(9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{25} + \left(a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 31^{26} + \left(11 a + 19\right)\cdot 31^{27} + \left(9 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31^{28} + \left(30 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{29} + \left(17 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{30} + \left(22 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{31} + \left(23 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{32} + \left(10 a^{2} + a + 13\right)\cdot 31^{33} + \left(4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 31^{34} + \left(7 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 31^{35} + \left(12 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{36} + \left(5 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{37} + \left(25 a^{2} + 29 a + 30\right)\cdot 31^{38} + \left(15 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 31^{39} + \left(18 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{40} + \left(17 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 31^{41} + \left(11 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 31^{42} + \left(19 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 31^{43} + \left(25 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{44} + \left(4 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 31^{45} + \left(29 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{46} + \left(13 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 31^{47} + \left(19 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 31^{48} + \left(9 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31^{49} + \left(23 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 31^{50} + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31^{51} + \left(29 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31^{52} + \left(28 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 31^{53} + \left(30 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{54} + \left(25 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{55} + \left(5 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 31^{56} + \left(20 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{57} + \left(a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{58} + \left(5 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 31^{59} + \left(23 a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 31^{60} + \left(5 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{61} + \left(20 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 31^{62} + \left(27 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 31^{63} + \left(14 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{64} + \left(16 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{65} + \left(8 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31^{66} + \left(13 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 31^{67} + \left(10 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{68} + \left(14 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{69} + \left(23 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 31^{70} + \left(8 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 31^{71} + \left(4 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 31^{72} + \left(11 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{73} + \left(22 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 31^{74} + \left(8 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 31^{75} + \left(14 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 31^{76} + \left(13 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31^{77} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 31^{78} + \left(25 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 31^{79} + \left(21 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 31^{80} + \left(11 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31^{81} + \left(30 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 31^{82} + \left(21 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 31^{83} + \left(2 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 31^{84} + \left(8 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{85} + \left(22 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{86} + \left(3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{87} + \left(a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 31^{88} + \left(27 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{89} + \left(17 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 31^{90} + \left(16 a + 18\right)\cdot 31^{91} + \left(8 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{92} + \left(22 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 31^{93} + \left(17 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 31^{94} + \left(2 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 31^{95} + \left(16 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 31^{96} + \left(12 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 31^{97} + \left(27 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 31^{98} +O\left(31^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 22 a^{2} + 6 a + 6 + \left(28 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 31 + \left(15 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 31^{9} + \left(9 a^{2} + 25\right)\cdot 31^{10} + \left(17 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 31^{11} + \left(27 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{12} + \left(22 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 31^{13} + \left(16 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 31^{14} + \left(8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 31^{15} + \left(17 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{16} + \left(29 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 31^{17} + \left(24 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 31^{18} + \left(10 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 31^{19} + \left(15 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 31^{20} + \left(24 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31^{21} + \left(17 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 31^{22} + \left(22 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{23} + \left(17 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{24} + \left(11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{25} + \left(2 a + 24\right)\cdot 31^{26} + \left(11 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31^{27} + \left(23 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 31^{28} + \left(4 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{29} + \left(11 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 31^{30} + \left(8 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 31^{31} + \left(22 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 31^{32} + \left(5 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{33} + \left(27 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 31^{34} + \left(5 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 31^{35} + \left(4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{36} + \left(12 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 31^{37} + \left(8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 31^{38} + \left(17 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{39} + \left(6 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 31^{40} + \left(a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 31^{41} + \left(10 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 31^{42} + \left(16 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31^{43} + \left(24 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 31^{44} + \left(21 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{45} + \left(26 a^{2} + a + 17\right)\cdot 31^{46} + \left(7 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{47} + \left(3 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{48} + \left(8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 31^{49} + \left(19 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 31^{50} + \left(11 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 31^{51} + \left(5 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 31^{52} + \left(23 a^{2} + 4\right)\cdot 31^{53} + \left(a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{54} + \left(21 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{55} + \left(8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{56} + \left(25 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{57} + \left(23 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 31^{58} + \left(13 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{59} + \left(12 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{60} + \left(18 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 31^{61} + \left(28 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{62} + \left(9 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 31^{63} + \left(7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 31^{64} + \left(6 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{65} + \left(11 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 31^{66} + \left(3 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{67} + \left(24 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 31^{68} + \left(18 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 31^{69} + \left(23 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 31^{70} + \left(11 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 31^{71} + \left(4 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 31^{72} + \left(25 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 31^{73} + \left(14 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 31^{74} + \left(28 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31^{75} + \left(25 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{76} + \left(10 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{77} + \left(30 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31^{78} + \left(24 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{79} + \left(14 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{80} + \left(27 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 31^{81} + \left(21 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 31^{82} + \left(10 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 31^{83} + \left(18 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 31^{84} + \left(28 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 31^{85} + \left(16 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 31^{86} + \left(6 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{87} + \left(4 a^{2} + a + 29\right)\cdot 31^{88} + \left(9 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 31^{89} + \left(28 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{90} + \left(a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31^{91} + \left(28 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{92} + \left(27 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{93} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31^{94} + \left(8 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{95} + \left(8 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 31^{96} + \left(28 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{97} + \left(8 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 31^{98} +O\left(31^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 21 a^{2} + 26 a + 6 + \left(15 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31 + \left(20 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{2} + 27 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 31^{9} + \left(11 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{10} + \left(15 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 31^{11} + \left(6 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 31^{12} + \left(22 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 31^{13} + \left(21 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{14} + \left(19 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31^{15} + \left(7 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{16} + \left(8 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{17} + \left(19 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{18} + \left(6 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 31^{19} + \left(16 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 31^{20} + \left(15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 31^{21} + \left(27 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{22} + \left(16 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{23} + \left(19 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 31^{24} + \left(25 a^{2} + 3\right)\cdot 31^{25} + \left(29 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 31^{26} + \left(13 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31^{27} + \left(22 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 31^{28} + \left(4 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{29} + \left(12 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 31^{30} + \left(6 a^{2} + 22\right)\cdot 31^{31} + \left(25 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 31^{32} + \left(15 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{33} + \left(18 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 31^{34} + \left(19 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 31^{35} + \left(20 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{36} + \left(17 a^{2} + 14 a + 29\right)\cdot 31^{37} + \left(21 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{38} + \left(23 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 31^{39} + \left(30 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{40} + \left(3 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 31^{41} + \left(21 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{42} + \left(12 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{43} + \left(5 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 31^{44} + \left(13 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 31^{45} + \left(3 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{46} + \left(6 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 31^{47} + \left(21 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 31^{48} + \left(16 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{49} + \left(2 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 31^{50} + \left(18 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 31^{51} + \left(12 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{52} + \left(25 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{53} + \left(26 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{54} + \left(28 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 31^{55} + \left(25 a^{2} + a + 13\right)\cdot 31^{56} + \left(11 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 31^{57} + \left(a^{2} + 14\right)\cdot 31^{58} + \left(12 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{59} + \left(4 a^{2} + a + 16\right)\cdot 31^{60} + \left(28 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 31^{61} + \left(13 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 31^{62} + \left(18 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{63} + \left(22 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{64} + \left(12 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 31^{65} + \left(12 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 31^{66} + \left(20 a^{2} + 25\right)\cdot 31^{67} + \left(22 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 31^{68} + \left(a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 31^{69} + \left(16 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 31^{70} + \left(17 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 31^{71} + \left(a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 31^{72} + \left(28 a^{2} + 19\right)\cdot 31^{73} + \left(2 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 31^{74} + \left(26 a^{2} + a + 5\right)\cdot 31^{75} + \left(18 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 31^{76} + \left(26 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 31^{77} + \left(16 a^{2} + 29 a + 15\right)\cdot 31^{78} + \left(5 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 31^{79} + \left(5 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 31^{80} + \left(a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 31^{81} + \left(10 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31^{82} + \left(22 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{83} + \left(17 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31^{84} + \left(3 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{85} + \left(12 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 31^{86} + \left(16 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 31^{87} + \left(12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 31^{88} + \left(11 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 31^{89} + \left(6 a^{2} + a + 22\right)\cdot 31^{90} + \left(4 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{91} + \left(30 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 31^{92} + \left(19 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31^{93} + \left(18 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{94} + \left(8 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{95} + \left(12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{96} + \left(28 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{97} + \left(18 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{98} +O\left(31^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 20 a^{2} + 18 a + 15 + \left(7 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 31 + \left(22 a^{2} + a\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 31^{9} + \left(5 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{10} + \left(30 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 31^{11} + \left(6 a + 15\right)\cdot 31^{12} + \left(20 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 31^{13} + \left(21 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 31^{14} + \left(14 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 31^{15} + \left(22 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 31^{16} + \left(2 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 31^{17} + \left(17 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 31^{18} + \left(23 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 31^{19} + \left(26 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 31^{20} + \left(29 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{21} + \left(28 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 31^{22} + \left(12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 31^{23} + \left(8 a^{2} + 13 a\right)\cdot 31^{24} + \left(10 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 31^{25} + \left(29 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 31^{26} + \left(19 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{27} + \left(29 a^{2} + 28 a\right)\cdot 31^{28} + \left(26 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 31^{29} + \left(a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{30} + \left(8 a + 1\right)\cdot 31^{31} + \left(16 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 31^{32} + \left(14 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 31^{33} + \left(30 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31^{34} + \left(17 a^{2} + a + 19\right)\cdot 31^{35} + \left(14 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 31^{36} + \left(13 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{37} + \left(28 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{38} + \left(28 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{39} + \left(5 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 31^{40} + \left(12 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 31^{41} + \left(9 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{42} + \left(26 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31^{43} + \left(11 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{44} + \left(4 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 31^{45} + \left(6 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 31^{46} + \left(9 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 31^{47} + \left(8 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{48} + \left(13 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 31^{49} + \left(19 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 31^{50} + \left(16 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 31^{51} + \left(27 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 31^{52} + \left(9 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 31^{53} + \left(29 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 31^{54} + \left(14 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 31^{55} + \left(16 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 31^{56} + \left(16 a^{2} + a + 30\right)\cdot 31^{57} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{58} + \left(12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31^{59} + \left(26 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 31^{60} + \left(6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 31^{61} + \left(13 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{62} + \left(24 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 31^{63} + \left(8 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 31^{64} + \left(8 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{65} + \left(11 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 31^{66} + \left(14 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 31^{67} + \left(27 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{68} + \left(28 a^{2} + 14 a\right)\cdot 31^{69} + \left(14 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 31^{70} + \left(10 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{71} + \left(22 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31^{72} + \left(25 a^{2} + 18\right)\cdot 31^{73} + \left(24 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31^{74} + \left(24 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 31^{75} + \left(21 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 31^{76} + \left(6 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 31^{77} + \left(30 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 31^{78} + \left(11 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{79} + \left(25 a^{2} + 22 a\right)\cdot 31^{80} + \left(22 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 31^{81} + \left(9 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 31^{82} + \left(29 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{83} + \left(9 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{84} + \left(25 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{85} + \left(22 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 31^{86} + \left(20 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{87} + \left(25 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{88} + \left(25 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 31^{89} + \left(15 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{90} + \left(28 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31^{91} + \left(25 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 31^{92} + \left(11 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 31^{93} + \left(10 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{94} + \left(20 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{95} + \left(6 a^{2} + 26\right)\cdot 31^{96} + \left(21 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 31^{97} + \left(25 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{98} +O\left(31^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 28 + 20\cdot 31 + 12\cdot 31^{2} + 2\cdot 31^{3} + 3\cdot 31^{4} + 9\cdot 31^{5} + 24\cdot 31^{6} + 30\cdot 31^{7} + 23\cdot 31^{8} + 12\cdot 31^{9} + 5\cdot 31^{10} + 30\cdot 31^{11} + 15\cdot 31^{12} + 20\cdot 31^{13} + 23\cdot 31^{14} + 19\cdot 31^{15} + 5\cdot 31^{16} + 14\cdot 31^{17} + 26\cdot 31^{18} + 22\cdot 31^{19} + 9\cdot 31^{20} + 11\cdot 31^{21} + 22\cdot 31^{22} + 24\cdot 31^{23} + 16\cdot 31^{24} + 22\cdot 31^{25} + 20\cdot 31^{26} + 4\cdot 31^{27} + 28\cdot 31^{28} + 21\cdot 31^{29} + 13\cdot 31^{30} + 25\cdot 31^{31} + 2\cdot 31^{32} + 12\cdot 31^{33} + 2\cdot 31^{34} + 9\cdot 31^{35} + 23\cdot 31^{36} + 6\cdot 31^{37} + 22\cdot 31^{38} + 18\cdot 31^{39} + 4\cdot 31^{40} + 19\cdot 31^{41} + 2\cdot 31^{42} + 31^{43} + 23\cdot 31^{44} + 29\cdot 31^{45} + 31^{46} + 11\cdot 31^{47} + 12\cdot 31^{48} + 31^{49} + 9\cdot 31^{50} + 13\cdot 31^{51} + 14\cdot 31^{52} + 31^{53} + 12\cdot 31^{54} + 15\cdot 31^{55} + 7\cdot 31^{56} + 2\cdot 31^{57} + 9\cdot 31^{58} + 21\cdot 31^{59} + 27\cdot 31^{60} + 16\cdot 31^{61} + 25\cdot 31^{62} + 9\cdot 31^{63} + 8\cdot 31^{64} + 5\cdot 31^{65} + 19\cdot 31^{66} + 25\cdot 31^{67} + 8\cdot 31^{68} + 24\cdot 31^{69} + 18\cdot 31^{70} + 11\cdot 31^{71} + 24\cdot 31^{72} + 25\cdot 31^{73} + 14\cdot 31^{74} + 25\cdot 31^{75} + 8\cdot 31^{76} + 29\cdot 31^{77} + 15\cdot 31^{78} + 26\cdot 31^{79} + 16\cdot 31^{80} + 18\cdot 31^{81} + 29\cdot 31^{82} + 2\cdot 31^{83} + 21\cdot 31^{84} + 10\cdot 31^{85} + 27\cdot 31^{86} + 30\cdot 31^{87} + 11\cdot 31^{88} + 8\cdot 31^{89} + 26\cdot 31^{90} + 6\cdot 31^{91} + 19\cdot 31^{92} + 5\cdot 31^{94} + 14\cdot 31^{95} + 26\cdot 31^{96} + 24\cdot 31^{97} + 14\cdot 31^{98} +O\left(31^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{2} + 18 a + 29 + \left(25 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 31 + \left(14 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{2} + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{9} + \left(28 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{10} + \left(28 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{11} + \left(4 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{12} + \left(2 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{13} + \left(10 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{14} + \left(3 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 31^{15} + \left(a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 31^{16} + \left(24 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 31^{17} + \left(23 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 31^{18} + \left(8 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 31^{19} + \left(11 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 31^{20} + \left(20 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{21} + \left(6 a^{2} + a + 24\right)\cdot 31^{22} + \left(22 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 31^{23} + \left(21 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{24} + \left(8 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 31^{25} + \left(16 a^{2} + 25\right)\cdot 31^{26} + \left(4 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 31^{27} + \left(11 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{28} + \left(5 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 31^{29} + \left(4 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{30} + \left(17 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{31} + \left(24 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 31^{32} + \left(22 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{33} + \left(14 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 31^{34} + \left(20 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 31^{35} + \left(11 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 31^{36} + \left(8 a^{2} + 13\right)\cdot 31^{37} + \left(14 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 31^{38} + \left(3 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 31^{39} + \left(27 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 31^{40} + \left(4 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 31^{41} + \left(6 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{42} + \left(18 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 31^{43} + \left(18 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{44} + \left(3 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 31^{45} + \left(18 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 31^{46} + \left(12 a + 18\right)\cdot 31^{47} + \left(2 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 31^{48} + \left(6 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{49} + \left(18 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 31^{50} + \left(12 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 31^{51} + \left(22 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 31^{52} + \left(8 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{53} + \left(28 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{54} + \left(12 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{55} + \left(14 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 31^{56} + \left(26 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 31^{57} + \left(29 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 31^{58} + \left(a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{59} + \left(28 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{60} + \left(27 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 31^{61} + \left(16 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31^{62} + \left(18 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 31^{63} + \left(21 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{64} + \left(29 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{65} + \left(11 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 31^{66} + \left(21 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 31^{67} + \left(7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 31^{68} + \left(2 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{69} + \left(21 a^{2} + 29 a + 2\right)\cdot 31^{70} + \left(11 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{71} + \left(30 a^{2} + 28 a\right)\cdot 31^{72} + \left(16 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 31^{73} + \left(24 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 31^{74} + \left(11 a + 19\right)\cdot 31^{75} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 31^{76} + \left(29 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 31^{77} + \left(18 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 31^{78} + \left(20 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 31^{79} + \left(8 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{80} + \left(22 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{81} + \left(9 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{82} + \left(7 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{83} + \left(28 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{84} + \left(5 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{85} + \left(a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 31^{86} + \left(10 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 31^{87} + \left(17 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 31^{88} + \left(18 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{89} + \left(10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{90} + \left(12 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 31^{91} + \left(26 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 31^{92} + \left(10 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{93} + \left(20 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 31^{94} + \left(22 a^{2} + 30\right)\cdot 31^{95} + \left(19 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 31^{96} + \left(17 a^{2} + 20\right)\cdot 31^{97} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 31^{98} +O\left(31^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ a^{2} + 18 a + 3 + \left(21 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31 + \left(26 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(16 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{2} + 18 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 31^{9} + \left(21 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 31^{10} + \left(17 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 31^{11} + \left(19 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 31^{12} + \left(6 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{13} + \left(30 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{14} + \left(7 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 31^{15} + \left(22 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 31^{16} + \left(29 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{17} + \left(18 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 31^{18} + \left(15 a^{2} + 18\right)\cdot 31^{19} + \left(3 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{20} + \left(26 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 31^{21} + \left(27 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 31^{22} + \left(22 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 31^{23} + \left(20 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 31^{24} + \left(27 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{25} + \left(15 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{26} + \left(12 a^{2} + 21 a\right)\cdot 31^{27} + \left(28 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{28} + \left(20 a^{2} + 4 a\right)\cdot 31^{29} + \left(14 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31^{30} + \left(7 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 31^{31} + \left(12 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{32} + \left(23 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 31^{33} + \left(28 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{34} + \left(21 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{35} + \left(29 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 31^{36} + \left(4 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{37} + \left(26 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 31^{38} + \left(3 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 31^{39} + \left(4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 31^{40} + \left(22 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{41} + \left(3 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{42} + \left(30 a + 3\right)\cdot 31^{43} + \left(7 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 31^{44} + \left(14 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{45} + \left(9 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 31^{46} + \left(24 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{47} + \left(7 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{48} + \left(8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{49} + \left(10 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 31^{50} + \left(19 a + 16\right)\cdot 31^{51} + \left(27 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 31^{52} + \left(27 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 31^{53} + \left(6 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31^{54} + \left(20 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 31^{55} + \left(21 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31^{56} + \left(23 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 31^{57} + \left(30 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{58} + \left(16 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31^{59} + \left(29 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 31^{60} + \left(5 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 31^{61} + \left(26 a + 29\right)\cdot 31^{62} + \left(25 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 31^{63} + \left(17 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{64} + \left(19 a^{2} + 12 a\right)\cdot 31^{65} + \left(6 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 31^{66} + \left(20 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{67} + \left(13 a + 30\right)\cdot 31^{68} + \left(27 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 31^{69} + \left(24 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31^{70} + \left(a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 31^{71} + \left(30 a^{2} + 30 a\right)\cdot 31^{72} + \left(16 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{73} + \left(3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 31^{74} + \left(4 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31^{75} + \left(9 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{76} + \left(6 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 31^{77} + \left(26 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 31^{78} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{79} + \left(17 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{80} + \left(7 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 31^{81} + \left(11 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 31^{82} + \left(a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 31^{83} + \left(16 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 31^{84} + \left(21 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 31^{85} + \left(17 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 31^{86} + \left(4 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 31^{87} + \left(a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 31^{88} + \left(a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{89} + \left(14 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{90} + \left(14 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{91} + \left(5 a^{2} + 5\right)\cdot 31^{92} + \left(29 a + 3\right)\cdot 31^{93} + \left(23 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{94} + \left(30 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 31^{95} + \left(29 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{96} + \left(15 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 31^{97} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31^{98} +O\left(31^{ 99 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,4)(5,6)$ |
| $(5,6)(7,8)$ |
| $(1,2,7,5)(3,4)(6,8)$ |
| $(3,6)(4,7)$ |
| $(3,5)(4,7)$ |
| $(1,7)(2,3,6,5)$ |
| $(1,8)(3,5)$ |
| $(4,7,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
$c2$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$9$ |
$9$ |
| $6$ |
$2$ |
$(2,6)(3,5)$ |
$-3$ |
$-3$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,7)(2,6)(3,5)(4,8)$ |
$1$ |
$1$ |
| $36$ |
$2$ |
$(1,4)(5,6)$ |
$-1$ |
$-1$ |
| $16$ |
$3$ |
$(1,4,7)$ |
$0$ |
$0$ |
| $64$ |
$3$ |
$(1,4,7)(3,6,5)$ |
$0$ |
$0$ |
| $36$ |
$4$ |
$(1,4,7,8)(2,5,6,3)$ |
$-1$ |
$-1$ |
| $72$ |
$4$ |
$(1,7)(2,3,6,5)$ |
$1$ |
$1$ |
| $72$ |
$4$ |
$(1,2,7,5)(3,4)(6,8)$ |
$-\zeta_{4}$ |
$\zeta_{4}$ |
| $72$ |
$4$ |
$(1,5,7,2)(3,4)(6,8)$ |
$\zeta_{4}$ |
$-\zeta_{4}$ |
| $48$ |
$6$ |
$(1,7,4)(2,3)(5,6)$ |
$0$ |
$0$ |
| $72$ |
$8$ |
$(1,3,4,2,7,5,8,6)$ |
$-\zeta_{4}$ |
$\zeta_{4}$ |
| $72$ |
$8$ |
$(1,2,8,3,7,6,4,5)$ |
$\zeta_{4}$ |
$-\zeta_{4}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
