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Properties

Label 9.2e12_5e6_19e6.18t112.1c1
Dimension 9
Group $A_4\wr C_2$
Conductor $ 2^{12} \cdot 5^{6} \cdot 19^{6}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$A_4\wr C_2$
Conductor:$3010936384000000= 2^{12} \cdot 5^{6} \cdot 19^{6} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} + 4 x^{6} - 6 x^{5} + 7 x^{4} - 12 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x + 1 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 18T112
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 85.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ a^{2} + 8 a + \left(7 a^{2} + 9\right)\cdot 11 + \left(2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{5} + \left(a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{17} + \left(7 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{18} + \left(2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{24} + \left(4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{25} + \left(2 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{26} + \left(2 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{29} + \left(2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{30} + \left(6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{32} + \left(5 a + 2\right)\cdot 11^{33} + \left(a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{34} + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{35} + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{36} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{37} + \left(6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{38} + \left(10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{39} + \left(9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{40} + \left(2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{41} + 7\cdot 11^{42} + \left(5 a + 5\right)\cdot 11^{43} + \left(4 a + 9\right)\cdot 11^{44} + \left(8 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{45} + \left(a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{46} + \left(10 a + 8\right)\cdot 11^{47} + \left(9 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{48} + \left(10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{50} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{51} + \left(9 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{52} + \left(2 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{53} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{54} + \left(4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{55} + \left(5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{56} + \left(9 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{57} + \left(4 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{58} + \left(6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{59} + \left(6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{60} + \left(10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{61} + \left(8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{62} + \left(8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{63} + \left(6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{64} + \left(6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{65} + \left(3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{66} + 8\cdot 11^{67} + \left(3 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{68} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{69} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{70} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{71} + \left(a^{2} + 3\right)\cdot 11^{72} + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{73} + \left(9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{74} + \left(3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{75} + \left(9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{76} + \left(3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{77} + \left(3 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{78} + \left(8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{79} + \left(8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{80} + \left(3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{81} + \left(3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{82} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{83} + \left(10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{84} +O\left(11^{ 85 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 6 a^{2} + 5 a + 3 + \left(9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11 + \left(a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{2} + \left(6 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{3} + 10\cdot 11^{4} + \left(a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a + 1\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{8} + \left(2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{13} + \left(2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{17} + 7 a\cdot 11^{18} + \left(3 a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{20} + \left(a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{21} + 6\cdot 11^{22} + \left(8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(4 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{25} + \left(4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{26} + 2 a^{2}11^{27} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{30} + \left(10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{32} + \left(4 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{33} + \left(9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{35} + \left(8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{36} + \left(8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{38} + \left(2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{39} + \left(6 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{40} + \left(3 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{41} + \left(2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{42} + \left(9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{43} + \left(2 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{44} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{45} + \left(3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{46} + \left(6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{47} + \left(3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{48} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{49} + \left(5 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{50} + \left(6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{51} + \left(a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{52} + \left(8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{53} + \left(6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{54} + \left(8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{55} + \left(10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{56} + \left(a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{57} + \left(6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{58} + \left(3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{59} + \left(4 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{60} + \left(a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{61} + \left(8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{62} + \left(7 a + 6\right)\cdot 11^{63} + \left(2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{64} + \left(3 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{65} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{66} + \left(9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{67} + \left(8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{68} + \left(6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{69} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 11^{70} + \left(5 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{71} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{72} + \left(10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{73} + \left(4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{74} + \left(8 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{75} + \left(7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{76} + \left(3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{77} + \left(6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{78} + \left(8 a + 4\right)\cdot 11^{79} + \left(5 a + 7\right)\cdot 11^{80} + \left(9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{81} + \left(9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{82} + \left(8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{83} + \left(a^{2} + 7\right)\cdot 11^{84} +O\left(11^{ 85 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 4 + 11 + 3\cdot 11^{2} + 10\cdot 11^{3} + 2\cdot 11^{4} + 2\cdot 11^{5} + 6\cdot 11^{6} + 4\cdot 11^{7} + 5\cdot 11^{8} + 10\cdot 11^{9} + 10\cdot 11^{10} + 10\cdot 11^{11} + 7\cdot 11^{12} + 9\cdot 11^{14} + 4\cdot 11^{15} + 9\cdot 11^{16} + 3\cdot 11^{17} + 9\cdot 11^{18} + 2\cdot 11^{19} + 6\cdot 11^{20} + 5\cdot 11^{21} + 4\cdot 11^{22} + 3\cdot 11^{23} + 9\cdot 11^{25} + 11^{26} + 9\cdot 11^{27} + 4\cdot 11^{29} + 11^{31} + 9\cdot 11^{32} + 5\cdot 11^{33} + 2\cdot 11^{34} + 9\cdot 11^{35} + 8\cdot 11^{36} + 9\cdot 11^{37} + 11^{38} + 10\cdot 11^{39} + 11^{40} + 11^{41} + 5\cdot 11^{43} + 4\cdot 11^{44} + 9\cdot 11^{45} + 4\cdot 11^{46} + 8\cdot 11^{47} + 3\cdot 11^{48} + 8\cdot 11^{49} + 6\cdot 11^{51} + 11^{52} + 9\cdot 11^{53} + 10\cdot 11^{55} + 2\cdot 11^{56} + 8\cdot 11^{57} + 7\cdot 11^{58} + 4\cdot 11^{59} + 11^{60} + 11^{61} + 3\cdot 11^{62} + 5\cdot 11^{63} + 2\cdot 11^{64} + 4\cdot 11^{65} + 9\cdot 11^{66} + 9\cdot 11^{67} + 6\cdot 11^{68} + 10\cdot 11^{69} + 9\cdot 11^{70} + 3\cdot 11^{71} + 6\cdot 11^{72} + 2\cdot 11^{73} + 4\cdot 11^{74} + 11^{75} + 3\cdot 11^{77} + 7\cdot 11^{78} + 9\cdot 11^{79} + 10\cdot 11^{80} + 7\cdot 11^{81} + 7\cdot 11^{82} + 8\cdot 11^{83} + 5\cdot 11^{84} +O\left(11^{ 85 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 5 + 6\cdot 11 + 4\cdot 11^{2} + 8\cdot 11^{3} + 10\cdot 11^{4} + 8\cdot 11^{5} + 5\cdot 11^{6} + 7\cdot 11^{7} + 4\cdot 11^{8} + 7\cdot 11^{9} + 5\cdot 11^{10} + 10\cdot 11^{11} + 3\cdot 11^{12} + 6\cdot 11^{13} + 3\cdot 11^{14} + 4\cdot 11^{15} + 11^{16} + 6\cdot 11^{17} + 11^{18} + 5\cdot 11^{19} + 10\cdot 11^{20} + 3\cdot 11^{21} + 5\cdot 11^{22} + 3\cdot 11^{23} + 6\cdot 11^{24} + 8\cdot 11^{25} + 7\cdot 11^{26} + 8\cdot 11^{27} + 9\cdot 11^{28} + 7\cdot 11^{29} + 4\cdot 11^{30} + 7\cdot 11^{32} + 4\cdot 11^{33} + 9\cdot 11^{34} + 11^{35} + 6\cdot 11^{36} + 6\cdot 11^{37} + 11^{38} + 4\cdot 11^{39} + 11^{40} + 7\cdot 11^{41} + 5\cdot 11^{42} + 11^{43} + 11^{44} + 6\cdot 11^{45} + 5\cdot 11^{46} + 3\cdot 11^{47} + 3\cdot 11^{48} + 6\cdot 11^{49} + 6\cdot 11^{50} + 4\cdot 11^{51} + 4\cdot 11^{53} + 10\cdot 11^{54} + 10\cdot 11^{55} + 6\cdot 11^{56} + 3\cdot 11^{58} + 10\cdot 11^{61} + 8\cdot 11^{62} + 5\cdot 11^{63} + 9\cdot 11^{64} + 9\cdot 11^{65} + 2\cdot 11^{66} + 10\cdot 11^{67} + 6\cdot 11^{69} + 11^{72} + 9\cdot 11^{73} + 6\cdot 11^{75} + 7\cdot 11^{76} + 4\cdot 11^{77} + 2\cdot 11^{78} + 10\cdot 11^{79} + 9\cdot 11^{80} + 11^{81} + 2\cdot 11^{82} + 3\cdot 11^{83} + 7\cdot 11^{84} +O\left(11^{ 85 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 4 a^{2} + 7 a + \left(5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11 + \left(10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{7} + \left(8 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{11} + \left(a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a + 10\right)\cdot 11^{15} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{16} + \left(7 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{18} + \left(3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(6 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{20} + \left(10 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{22} + \left(2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{23} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{24} + \left(8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{25} + \left(5 a + 2\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{27} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{29} + \left(4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{30} + \left(3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{31} + \left(7 a + 5\right)\cdot 11^{32} + \left(3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{33} + \left(2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{34} + \left(10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{35} + \left(10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{36} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{37} + \left(10 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{38} + \left(6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{39} + 9 a\cdot 11^{40} + \left(a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{41} + \left(9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{42} + \left(9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{43} + \left(7 a + 4\right)\cdot 11^{44} + \left(7 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{45} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{46} + \left(5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{47} + \left(9 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{48} + \left(9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{49} + \left(8 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{50} + \left(4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{51} + \left(3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{53} + \left(6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{54} + \left(8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{55} + \left(5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{56} + \left(9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{57} + \left(8 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{58} + \left(6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{59} + \left(6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{60} + \left(10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{61} + \left(4 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{62} + \left(a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{63} + \left(5 a + 7\right)\cdot 11^{64} + \left(a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{65} + \left(5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{66} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{67} + \left(9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{68} + \left(2 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{69} + \left(4 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{70} + \left(5 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{71} + \left(7 a + 3\right)\cdot 11^{72} + \left(2 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{73} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{74} + \left(10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{75} + \left(a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{76} + \left(10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{77} + \left(6 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{78} + \left(8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{79} + \left(10 a + 8\right)\cdot 11^{80} + \left(7 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{81} + \left(a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{82} + \left(8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{83} + \left(9 a + 5\right)\cdot 11^{84} +O\left(11^{ 85 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 8 a^{2} + 9 a + 9 + \left(3 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11 + \left(5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{7} + \left(6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{11} + \left(4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{14} + \left(2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{15} + \left(4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{19} + \left(9 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{20} + \left(2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{22} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{23} + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{25} + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a + 8\right)\cdot 11^{28} + \left(9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{30} + \left(3 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{31} + \left(a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{32} + \left(8 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{33} + \left(6 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{34} + \left(4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{35} + \left(2 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{36} + \left(6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{38} + \left(10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{39} + 2 a\cdot 11^{40} + \left(8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{41} + \left(a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{42} + \left(2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{43} + \left(6 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{44} + \left(4 a + 2\right)\cdot 11^{45} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{46} + \left(6 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{47} + \left(9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{48} + \left(9 a^{2} + a\right)\cdot 11^{49} + \left(6 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{50} + \left(4 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{51} + \left(7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{52} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{53} + \left(4 a + 8\right)\cdot 11^{54} + \left(a^{2} + 8\right)\cdot 11^{55} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{56} + \left(8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{57} + \left(6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{58} + \left(a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{59} + \left(4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{60} + \left(7 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{61} + \left(5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{62} + \left(10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{63} + \left(5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{64} + \left(5 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{65} + \left(8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{66} + 8 a^{2}11^{67} + \left(6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{68} + \left(6 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{69} + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{70} + \left(2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{71} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{72} + \left(7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{73} + \left(2 a + 7\right)\cdot 11^{74} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{75} + \left(4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{76} + \left(6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{77} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{78} + \left(6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{79} + \left(3 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{80} + \left(3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{81} + \left(8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{82} + \left(3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{83} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{84} +O\left(11^{ 85 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 4 a^{2} + 9 a + 4 + \left(5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11 + \left(6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{3} + 6 a\cdot 11^{4} + \left(4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(3 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{14} + \left(5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{19} + a^{2}11^{20} + \left(3 a + 2\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{22} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(2 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{24} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{25} + \left(4 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{29} + \left(10 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{30} + \left(4 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{31} + \left(2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{32} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(5 a + 7\right)\cdot 11^{34} + \left(7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{35} + \left(8 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{36} + \left(8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{37} + \left(a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{39} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{40} + \left(4 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{41} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{42} + \left(a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{43} + \left(8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{45} + \left(5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{46} + \left(4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{47} + \left(9 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{48} + \left(5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{49} + \left(5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{50} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{51} + \left(7 a + 7\right)\cdot 11^{52} + 3 a\cdot 11^{53} + \left(10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{54} + \left(8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{55} + \left(5 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{56} + \left(10 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{57} + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{58} + \left(10 a + 7\right)\cdot 11^{59} + \left(3 a + 10\right)\cdot 11^{60} + \left(10 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{61} + \left(4 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{62} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{63} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{64} + \left(a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{65} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{66} + \left(6 a + 8\right)\cdot 11^{67} + \left(10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{68} + \left(3 a + 1\right)\cdot 11^{69} + \left(9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{70} + \left(2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{71} + \left(5 a + 9\right)\cdot 11^{72} + \left(a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{73} + 7 a^{2}11^{74} + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{75} + \left(4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{76} + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{77} + \left(a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{78} + \left(2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{79} + \left(2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{80} + \left(9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{81} + \left(8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{82} + \left(2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{83} + \left(9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{84} +O\left(11^{ 85 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 10 a^{2} + 6 a + 8 + \left(a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11 + \left(6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{4} + \left(7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{5} + \left(10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{8} + \left(7 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(7 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{21} + \left(4 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{23} + \left(4 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{24} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{26} + \left(7 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{28} + \left(10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{30} + \left(3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{32} + \left(10 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{33} + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{34} + \left(7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{35} + \left(8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{36} + \left(8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{37} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{38} + \left(4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{39} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{40} + \left(a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a + 9\right)\cdot 11^{42} + \left(10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{43} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{44} + \left(3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{45} + \left(6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{46} + \left(9 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{48} + 2 a^{2}11^{49} + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{50} + \left(a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{51} + 10 a\cdot 11^{52} + \left(4 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{53} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{54} + \left(a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{55} + \left(a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{56} + \left(4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{57} + \left(6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{58} + \left(2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{59} + 8 a\cdot 11^{60} + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{61} + \left(5 a + 1\right)\cdot 11^{62} + \left(10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{63} + \left(4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{64} + \left(4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{65} + \left(8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{66} + \left(8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{67} + \left(5 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{68} + \left(a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{69} + \left(8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{70} + \left(2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{71} + \left(6 a^{2} + a\right)\cdot 11^{72} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{73} + \left(5 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{74} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{75} + \left(4 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{76} + \left(5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{77} + \left(8 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{78} + \left(6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{79} + \left(6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{80} + 3\cdot 11^{81} + \left(a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{82} + \left(10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{83} + \left(5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{84} +O\left(11^{ 85 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(4,6,8)$
$(4,5,6)$
$(2,3,7)$
$(1,3,7)$
$(1,4)(2,5)(3,6)(7,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(4,5)(6,8)$$-3$
$9$$2$$(1,7)(2,3)(4,5)(6,8)$$1$
$12$$2$$(1,4)(2,5)(3,6)(7,8)$$-3$
$8$$3$$(1,3,7)$$0$
$8$$3$$(1,7,3)$$0$
$16$$3$$(1,3,7)(4,6,8)$$0$
$16$$3$$(1,7,3)(4,8,6)$$0$
$32$$3$$(1,7,3)(4,5,6)$$0$
$36$$4$$(1,8,7,6)(2,5,3,4)$$1$
$24$$6$$(1,3,7)(4,5)(6,8)$$0$
$24$$6$$(1,7,3)(4,5)(6,8)$$0$
$48$$6$$(1,6,3,8,7,4)(2,5)$$0$
$48$$6$$(1,4,7,8,3,6)(2,5)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.