Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 66.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 16 a^{2} + 10 a + 18 + \left(10 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19 + \left(13 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{9} + \left(3 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(17 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{16} + \left(15 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{17} + \left(4 a + 14\right)\cdot 19^{18} + \left(6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{20} + \left(15 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{21} + \left(6 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{22} + \left(2 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{23} + \left(16 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{24} + \left(4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{25} + \left(11 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{27} + \left(3 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{28} + \left(18 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{29} + \left(11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{30} + \left(11 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{31} + \left(16 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{32} + \left(9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{33} + \left(18 a + 1\right)\cdot 19^{34} + \left(14 a + 6\right)\cdot 19^{35} + \left(7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{36} + \left(16 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{38} + \left(4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{39} + \left(5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{40} + \left(18 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{41} + \left(14 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{42} + \left(18 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{43} + \left(18 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{44} + \left(a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{45} + \left(a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{46} + \left(15 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{47} + \left(3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{48} + \left(8 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{49} + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{50} + \left(17 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{51} + \left(16 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{52} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{53} + \left(9 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{54} + \left(3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{55} + \left(16 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{56} + \left(17 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{57} + \left(14 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{58} + \left(18 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{59} + \left(16 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{60} + \left(3 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{61} + \left(10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{62} + \left(13 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{63} + \left(6 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{64} + \left(3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 15 a + 14 + \left(17 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19 + \left(13 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{9} + \left(4 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{10} + \left(15 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{11} + \left(13 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(14 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{13} + \left(3 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{14} + \left(3 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{18} + \left(10 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{19} + \left(11 a + 5\right)\cdot 19^{20} + \left(15 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{21} + \left(7 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{22} + \left(16 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{23} + \left(12 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{24} + \left(17 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{25} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{26} + \left(8 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(14 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{28} + \left(6 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{29} + \left(4 a + 18\right)\cdot 19^{30} + \left(13 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{31} + \left(2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{32} + \left(6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{33} + \left(8 a + 7\right)\cdot 19^{34} + \left(13 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{36} + \left(18 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{37} + \left(a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{38} + \left(12 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{39} + \left(13 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{40} + \left(18 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{41} + \left(4 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{42} + \left(4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{43} + \left(3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{44} + \left(16 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{45} + 19^{46} + \left(5 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{47} + \left(14 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{48} + \left(13 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{49} + \left(14 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{50} + \left(14 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{51} + \left(14 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{52} + \left(5 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{53} + \left(16 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{54} + \left(15 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{55} + \left(2 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{56} + \left(17 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{57} + \left(8 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{58} + \left(8 a + 2\right)\cdot 19^{59} + \left(16 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{60} + \left(15 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{61} + \left(4 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{62} + \left(9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{63} + \left(4 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{64} + \left(15 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 13 + 13\cdot 19 + 3\cdot 19^{2} + 6\cdot 19^{3} + 12\cdot 19^{4} + 16\cdot 19^{5} + 19^{6} + 17\cdot 19^{7} + 5\cdot 19^{8} + 18\cdot 19^{9} + 18\cdot 19^{10} + 18\cdot 19^{11} + 7\cdot 19^{12} + 9\cdot 19^{13} + 17\cdot 19^{15} + 8\cdot 19^{16} + 13\cdot 19^{17} + 14\cdot 19^{18} + 16\cdot 19^{19} + 2\cdot 19^{20} + 11\cdot 19^{21} + 18\cdot 19^{22} + 8\cdot 19^{23} + 5\cdot 19^{24} + 5\cdot 19^{25} + 17\cdot 19^{26} + 13\cdot 19^{27} + 17\cdot 19^{28} + 7\cdot 19^{29} + 2\cdot 19^{30} + 5\cdot 19^{31} + 4\cdot 19^{32} + 13\cdot 19^{33} + 9\cdot 19^{34} + 19^{35} + 4\cdot 19^{37} + 7\cdot 19^{38} + 7\cdot 19^{39} + 14\cdot 19^{40} + 8\cdot 19^{41} + 14\cdot 19^{42} + 11\cdot 19^{43} + 17\cdot 19^{46} + 12\cdot 19^{47} + 14\cdot 19^{48} + 5\cdot 19^{49} + 12\cdot 19^{50} + 9\cdot 19^{51} + 17\cdot 19^{52} + 12\cdot 19^{53} + 13\cdot 19^{54} + 4\cdot 19^{55} + 9\cdot 19^{56} + 3\cdot 19^{57} + 4\cdot 19^{58} + 7\cdot 19^{59} + 14\cdot 19^{60} + 15\cdot 19^{61} + 10\cdot 19^{62} + 17\cdot 19^{63} + 14\cdot 19^{64} + 7\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 13 a^{2} + 4 a + 5 + \left(16 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19 + \left(11 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{9} + \left(8 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{10} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{11} + \left(7 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{12} + \left(a^{2} + a\right)\cdot 19^{13} + \left(15 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{14} + \left(6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(5 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{17} + \left(9 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{18} + \left(17 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{21} + \left(3 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{22} + \left(12 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{23} + \left(18 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{24} + \left(3 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{25} + \left(18 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{26} + \left(5 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{27} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{28} + \left(2 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{29} + \left(3 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{30} + \left(15 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{31} + \left(15 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{32} + \left(a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{33} + \left(a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{34} + \left(18 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{35} + \left(6 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{36} + \left(16 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{37} + \left(8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{38} + \left(12 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{39} + \left(10 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{40} + \left(9 a + 4\right)\cdot 19^{41} + \left(9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{42} + \left(11 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{43} + \left(3 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{44} + \left(7 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{45} + \left(6 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{46} + \left(7 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{47} + \left(2 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{48} + \left(8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{49} + \left(16 a + 3\right)\cdot 19^{50} + \left(17 a + 3\right)\cdot 19^{51} + \left(4 a + 13\right)\cdot 19^{52} + \left(17 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{53} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{54} + \left(a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{55} + \left(7 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{56} + \left(16 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{57} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{58} + \left(15 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{59} + \left(11 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{60} + \left(14 a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{61} + \left(8 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{62} + \left(13 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{63} + \left(a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{64} + \left(8 a + 10\right)\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 17 a^{2} + 13 a + 8 + \left(9 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19 + \left(10 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{9} + \left(10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{10} + \left(5 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{11} + \left(6 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(9 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{14} + \left(8 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{15} + \left(8 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{17} + \left(15 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{18} + \left(2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{19} + \left(10 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(4 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{22} + \left(16 a + 18\right)\cdot 19^{23} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{24} + \left(15 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{25} + \left(18 a^{2} + a\right)\cdot 19^{26} + \left(11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{27} + \left(17 a + 7\right)\cdot 19^{28} + \left(13 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{29} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{30} + \left(13 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{31} + \left(18 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{32} + \left(2 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{33} + \left(18 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{34} + \left(5 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{35} + \left(10 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{36} + \left(3 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{37} + \left(11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{38} + \left(2 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{39} + \left(16 a + 12\right)\cdot 19^{40} + \left(a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{41} + \left(18 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{42} + \left(14 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{43} + \left(15 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{44} + \left(12 a + 4\right)\cdot 19^{45} + \left(17 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{46} + \left(17 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{47} + \left(8 a + 14\right)\cdot 19^{48} + \left(16 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{49} + \left(a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{50} + \left(6 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{51} + \left(6 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{52} + \left(11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{53} + \left(12 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{54} + \left(18 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{55} + \left(18 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{56} + \left(2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{57} + \left(14 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{58} + \left(18 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{59} + \left(4 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{60} + \left(18 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{61} + \left(3 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{62} + \left(15 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{63} + \left(7 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{64} + \left(16 a + 18\right)\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 17 + 5\cdot 19^{2} + 13\cdot 19^{3} + 19^{4} + 7\cdot 19^{5} + 17\cdot 19^{6} + 2\cdot 19^{7} + 15\cdot 19^{8} + 9\cdot 19^{9} + 12\cdot 19^{10} + 17\cdot 19^{11} + 8\cdot 19^{12} + 2\cdot 19^{13} + 15\cdot 19^{14} + 7\cdot 19^{15} + 5\cdot 19^{16} + 19^{17} + 10\cdot 19^{19} + 6\cdot 19^{20} + 11\cdot 19^{21} + 17\cdot 19^{22} + 2\cdot 19^{23} + 16\cdot 19^{24} + 18\cdot 19^{25} + 16\cdot 19^{26} + 7\cdot 19^{27} + 2\cdot 19^{28} + 6\cdot 19^{29} + 3\cdot 19^{30} + 2\cdot 19^{31} + 3\cdot 19^{33} + 18\cdot 19^{34} + 3\cdot 19^{36} + 6\cdot 19^{37} + 13\cdot 19^{38} + 17\cdot 19^{39} + 17\cdot 19^{41} + 19^{43} + 19^{44} + 13\cdot 19^{45} + 19^{46} + 13\cdot 19^{47} + 19^{48} + 5\cdot 19^{49} + 10\cdot 19^{50} + 12\cdot 19^{51} + 5\cdot 19^{52} + 19^{53} + 4\cdot 19^{54} + 11\cdot 19^{55} + 4\cdot 19^{56} + 6\cdot 19^{57} + 3\cdot 19^{58} + 14\cdot 19^{59} + 6\cdot 19^{60} + 9\cdot 19^{61} + 16\cdot 19^{62} + 5\cdot 19^{63} + 12\cdot 19^{64} + 3\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{2} + 13 a + 18 + \left(7 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19 + \left(6 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{9} + \left(9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{11} + \left(17 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{12} + \left(16 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{13} + \left(5 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{14} + \left(17 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{17} + \left(17 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{18} + \left(5 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(11 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{20} + \left(4 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{21} + \left(13 a + 7\right)\cdot 19^{22} + \left(5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{23} + \left(4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{25} + \left(15 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{26} + \left(3 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{27} + \left(8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{28} + \left(18 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{29} + \left(16 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{30} + \left(10 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{31} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{32} + \left(8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{33} + \left(10 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{34} + \left(3 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{36} + \left(11 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{37} + \left(4 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{38} + \left(5 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{39} + \left(6 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{40} + \left(15 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{41} + \left(6 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{42} + \left(17 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{43} + \left(5 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{44} + \left(2 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{45} + \left(3 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{46} + \left(10 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{47} + \left(3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{48} + \left(5 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{49} + \left(6 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{50} + \left(a + 10\right)\cdot 19^{51} + \left(4 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{52} + \left(14 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{53} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{54} + \left(a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{55} + \left(15 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{56} + \left(17 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{57} + \left(12 a + 1\right)\cdot 19^{58} + \left(17 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{59} + \left(9 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{60} + \left(15 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{61} + \left(12 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{62} + \left(a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{63} + \left(15 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{64} + \left(3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 2 a + 2 + \left(14 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19 + \left(a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{9} + \left(15 a + 7\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{11} + \left(12 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{12} + \left(16 a + 17\right)\cdot 19^{13} + \left(17 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{14} + \left(13 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{17} + \left(10 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{18} + \left(14 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{19} + \left(17 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{21} + \left(14 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{22} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{23} + \left(15 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{24} + \left(9 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{25} + \left(4 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{26} + \left(9 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{28} + \left(17 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{29} + \left(17 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{30} + \left(11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{31} + \left(15 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{32} + \left(8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{33} + \left(7 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{34} + \left(16 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{35} + \left(10 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{36} + \left(10 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{38} + \left(a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{39} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 19^{40} + \left(3 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{41} + \left(3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{42} + \left(9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{43} + \left(9 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{44} + \left(9 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{45} + \left(9 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{46} + \left(a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{47} + \left(13 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{48} + \left(5 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{49} + \left(12 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{50} + \left(18 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{51} + \left(14 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{52} + \left(6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{53} + \left(8 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{54} + \left(16 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{55} + \left(15 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{56} + \left(3 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{57} + \left(8 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{58} + \left(5 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{59} + \left(16 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{60} + \left(7 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{61} + \left(16 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{62} + \left(3 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{63} + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{64} + \left(15 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,5)(2,6)$ |
| $(2,6,5)$ |
| $(3,4)(7,8)$ |
| $(1,2)(5,6)$ |
| $(3,7)(4,8)$ |
| $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ |
| $(3,7,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$9$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,5)(2,6)$ |
$-3$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ |
$1$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ |
$3$ |
| $8$ |
$3$ |
$(3,7,8)$ |
$0$ |
| $8$ |
$3$ |
$(3,8,7)$ |
$0$ |
| $16$ |
$3$ |
$(1,6,5)(3,8,7)$ |
$0$ |
| $16$ |
$3$ |
$(1,5,6)(3,7,8)$ |
$0$ |
| $32$ |
$3$ |
$(2,6,5)(3,8,7)$ |
$0$ |
| $36$ |
$4$ |
$(1,7,5,3)(2,8,6,4)$ |
$-1$ |
| $24$ |
$6$ |
$(1,5)(2,6)(3,7,8)$ |
$0$ |
| $24$ |
$6$ |
$(1,5)(2,6)(3,8,7)$ |
$0$ |
| $48$ |
$6$ |
$(1,8,6,7,5,3)(2,4)$ |
$0$ |
| $48$ |
$6$ |
$(1,3,5,7,6,8)(2,4)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
